CC BY
66
142 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩШ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 МБ С 41А10
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ПРИРОДА КУСОЧНО-ПЛАНАРНОЙ
АППРОКСИМАЦИИ
И.А. Астионенко, Е.И. Литвиненко, А.Н. Хомченко
Аннотация. В работе показана возможность использования функций-«полукрышск» для конструирования базисных функций высших порядков на треуі'ольньїх и квадратных конечных элементах.
Ключевые слова: конечный элемент, кусочно-планарная аппроксимация, функции-«но-лукрышки».
Введение. Статья посвящена кусочно-планарной аппроксимации, предложенной Р. Курант в 1943 г. Это своеобразное посвящение 70-летнему юбилею выхода в свет знаменитой статьи Куранта, положившей начало развитию метода конечных элементов (МКЭ), Дальнейшее обобщение основной идеи Куранта о простых базисных функциях стало решающим шагом в технике МКЭ. К сожалению, не все авторы, профессионально пишущие о методе и развивающие его, но достоинству оценивают идею Куранта о кусочно-планарной аппроксимации. Между тем, именно эта идея обеспечила успешное решение задач, .нежащих за пределами возможностей господствующего в середине XX века метода конечных разностей (МКР).
Построение простых элементов полезно само по себе, но еще более важно то, что на этих элементах можно убедительно проиллюстрировать существование глубоких связей между полиномиальной интерполяцией на конечном элементе и теорией вероятностей. В МКЭ, как показывает опыт, вероятностные представления позволяют перейти от «жестких» стандартных моделей к «мягким» (но В.И.Арнольду) альтернативным моделям восполнения финитных функций.
Анализ публикаций. Дня изучения вероятностной природы кусочно-планарных функций мы используем геометрический подход. Кстати, геометрическая вероятность появилась намного раньше классической (П. Лаплас) и статистической (Р. Мизес). Принято считать, что впервые геометрическая вероятность появилась в 1777 г., когда Ж. Бюффон опубликовал свою «задачу об игле». Недавно стало известно (из публикаций О. Шейнина), что первое упоминание о геометрической вероятности обнаружено в рукописи И. Ньютона 1664-1666 гг., увидевшей свет лишь в 1967 г. Известно, что Ньютон не очень любил публиковать свои работы, поэтому о многих гениальных открытиях Ньютона мир узнавал с большим опозданием. В задаче Ньютона рассматривается круг, разделенный на два неодинаковых сектора с отношением площадей 2 : у/Б.
Херсонский национальный технический университет, Бериславское шоссе, 24, Херсон, 73008, Украина; Черноморский государственный университет им.Петра Могилы,
68 ул. Десантников, 10, Николаев, 54003, Украина e-mail: [email protected]
Внутрь круга наудачу вбрасывается мяч. Необходимо определить вероятность попадания в каждый сектор круга. Ньютон вырази.:: эти вероятности через относительные площади: 2(2 + л/5)-1 и л/5(2 + \/Ъ)~1. Любопытно, что Ньютона мало интересовали вероятностные задачи, хотя в XVII веке такими задачами занимались многие физики и математики. По мнению Ф. Мостеллера |1|, Ньютон за всю свою жизнь реши.:: только одну вероятностную задачу (но просьбе С. Пенайса). Теперь, благодаря О. Шейнину, мы знаем, что Ньютон реши.:: две вероятностные задачи.
Кусочно-линейные функции часто называют «крышками» («полукрышками»). Их история уходит корнями в глубокую древность. Например, правило рычага Архимеда имеет прямое отношение к функциям-«полукрышкам». Если говорить конкретно о функции Куранта, следует уномяпуть А.Мёбиуса, который в 1827 г. открыл барицентрические координаты симплексов. В функциях Куранта легко узнать барицентрические (треугольные) координаты. Эти координаты описаны практически в каждой книге но МКЭ, Мы ограничимся ссылками на статью Куранта |2| и на книги |3-5|, По традиции треугольные координаты определяют путем составления и решения СЛАУ третьего порядка. На примере функции Куранта мы покажем, что кусочно-планарная модель имеет четко выраженную вероятностную природу. Этот результат положен нами в основу иерархической процедуры генерирования аппроксимаций высших порядков. Стоит отметить, что эта процедура эффективна не только на треугольниках. Накоплен немалый опыт конструирования серендиновых поверхностей с помощью «полукрышек».
Целью настоящей статьи является показать, что функции-«полукрышки» служат «строительным материалом» для конструирования базисных функций высших порядков на треугольных и квадратных конечных элементах.
Основная часть. На рис. 1 изображены сетка Куранта (а) и ячейка Куранта (б).
Риє. 1. Сетка Куранта (а) и стандартная ячейка Куранта (б).
Построение базисных (координатных) функций Куранта начинается с построения сетки. Сначала в квадрате П построим сетку с квадратными ячейками с помощью прямых х = хг = гк, у = У] = к = N-1, N > 0 - целое число, г,] = 0,1, 2
Точки (хг,уг) называют узлами сетки. Каждую квадратную ячейку сетки разделим на два треугольника диагональю, соединяющей юго-западную вершину квадрата с северовосточной (рис. 1а). Каждому узлу сетки (х*, у^) сопоставим координатную функцию (х, у), равную 1 в данном узле и нулю во всех остальных узлах, линейную в каждом треугольнике триангуляции. Чтобы записать функцию в произвольном узле, рассмотрим стандартную функцию, отличную от нуля только в ячейке Куранта (рис. 16). Функцию Куранта можно получить как геометрическую вероятность в каждом треугольнике Ад. (к = 1,6) ячейки Куранта.
Схема, изображенная на рис. 2а, иллюстрирует идею рандомизации функции Куранта. На рис. 26 показана «крышка» Куранта.
Рис. 2. Вероятностное истолкование «иолукрышек» (а), «крышка» Куранта (б).
В каждом треугольнике Ад. (к = 1,6) возьмём текущую точку М(в,1) - вершину треугольника, противолежащего центру ячейки Куранта (на рис. 2а эти треугольники заштрихованы). Теперь в каждый треугольник Дк наугад вбрасываем точку и ставим задачу: найти вероятность попадания случайной точки в заштрихованный треугольник с вершиной М(з,г), Так мы получаем шесть функций-«полукрышек», которые отождествляют с вероятностью. Запишем этот набор:
' (в,*) = 1 - 5, ^4(в,*) = 1 + 5,
<^2(М) = 1 - г, ^б(М) = 1 + г, (1)
рз(з,г) = 1 + 5 - г, <£б(з,г) = 1 - 5 + г.
Легко заметить, что фупкцию-«крышку» Куранта можно записать компактно:
ф,1) = 1 - ^(\з\ + Щ + |з -*|) . (2)
Тогда рч (х, у) = 'Ах/К - г, у/к - Л, г,3 = 0,1,...., N.
Таким образом, кусочно-планарная аппроксимация функции и(х, у) в квадрате П обретает вид:
где и7] = и(х*, у7-) - узловые значения и(х, у).
Наиболее содержательным дня дальнейшего является рис. 2а. При этом важно обобщить вероятностную процедуру построения «полукрышки» па треугольник, произвольно ориентированный в системе координат Оху. Такие треугольники называют треугольниками Курапта-Тэрпера. Стоит отметить, что каждая функция (1) в соответствующем треугольнике совпадает с барицентрической координатой треугольника, которая ассоциируется с вершиной 0(0, 0).
Заметим, что в любом осевом сечении пирамиды (рис. 26) мы получаем плоский аналог функции-«крышки». Такие модели используют в задачах кусочно-линейной аппроксимации функций одного аргумента.
N
(3)
*,.7=0
в) г)
5
7
Рис. 3. К построению типичных базисных функций: а) для угловых узлов; б) для промежуточных узлов на сторонах; в) для средних узлов на сторонах; I’) для внутренних узлов.
Треугольные плоские фрагменты - барицентрические координаты произвольного треугольника очень удобны в конструировании треугольников высших порядков. Ниже в качестве примера мы рассматриваем треугольник четвертого порядка. Интересно построить базис такого элемента на основе вероятностных соображений.
На рис. 3 показаны композиции из треугольников Куранта-Тэрнера, на каждом из которых осуществляется кусочно-планарная аппроксимация. Особенность моделей высших порядков в том, что теперь функции-«полукрышки» перемножаются но правилу умножения вероятностей независимых событий.
Чтобы описать ключевые идеи рандомизированного конструирования базисных функций, достаточно подробно рассмотреть процедуру построения какой-либо одной функции, например, N4 на рис. 36. Все базисные функции треугольника высшего порядка можно выразить через три барицентрические координаты основного треугольника 1-2-3. Здесь мы имеем дело с треугольником 4-го порядка. Поэтому каждый раз мы используем четыре треугольника с общей вершиной в контрольном узле. Для построения N нам понадобятся треугольники с общей вершиной 4: 4-10-13, 4-5-15, 4-2-7 и 4-9-1 (рис. 36). Это комплекс из 4-х симплексов. В терминах геометрической вероятности мы рассматриваем четыре независимых события и находим вероятность совместного наступления этих событий. В каждом из четырех треугольников выбирается точка М(Ь1, Ь2, Ь3), оде Ь* — барицентрические координаты в основном треугольнике 1-2-3. Теперь в каждый из перечисленных треугольников с общей вершиной 4 вбрасываем случайную точку и вычисляем вероятность попадания случайной точки в треугольник с вершиной и основанием, противоположным вершине 4.
Например, вероятность того, что точка, вброшенная в Д4-2_7, попала в ДМ_2_7, равна р1 = 4Ь1/3. Вероятность того, что точка, вброшенная в Д4_5_15, попала в ДМ _5 _15 равна р2 = 2Ь1 — 1/2 Вероятность того, что точка, вброшенная в Д4-10-1з, попала в ДМ_10_13, равна р3 = 4Ь1 — 2. Вероятность того, что точка, вброшенная в Д4_д_1, попала в ДМ_д_1, равна р4 = 4Ь2.
Базисная функция N определяется по правилу перемножения найденных вероятностей:
Щ = -Ь1Ь2(4Ь1-1)(2Ь1-1).
N4
(4)
С помощью рис. За и геометрической вероятности находим
ЛГ1 = ^1(4Ь1-1)(2Ь1-1)(4Ь1-3).
(5)
Рис. Зв дает
N10 = 4Ь^2(4Ь1 — 1)(4Ь2 — 1).
(6)
Рис. Зг приводит к
^3 = 32Ь1Ь2Ь3(4Ь1 — 1) •
(7)
По образцу (4) легко составить остальные функции для промежуточных узлов 5, 6, 7,
8, 9, Функции ^ и ^получаются из ^1 и ^2 - из ^0, ^4 и ^5 - из ^3, Все
15 функций построенного базиса обладают типичными свойствами интерполяционных коэффициентов Лагранжа:
15
ЩЫк) = 6гк , ]>]^(М) = 1,
(8)
г=1
ще 8ц! — символ Кронекера; г — помер функции; к — помер узла (г, к) = 1,5; произвольная точка в Д1-2-3.
Как видим, модель 4-го порядка — это результат «перемножения» кусочпо-нлапарпых моделей.
Иптерноляциоппый полипом па треугольнике 4-го порядка (15 узлов) имеет вид:
15
и(М) = ^ Ыг(Ы)Пг
(9)
г=1
где иг — известные узловые значения восполняв мой функции и (М), Недостатком этой модели является физическая неадекватность иоузлового распределения равномерной массовой силы («негативность» некоторых узловых нагрузок). Принято считать, что этот недостаток устранить невозможно. По нашему мнению, это заблуждение связано с выбором метода определения базисных функций. Заметим, что в методе конечных элементов господствует матричная алгебра, роль которой сильно преувеличена. Наша цепь — привлечь внимание разработчиков и пользователей МКЭ к нематричным методам конструирования базисных функций. Кстати, кусочно-планарная аппроксимация - это один из способов (есть и другие) устранения «негативности» в иоузловых распределениях нагрузок моделей высших порядков. Ниже мы построим альтернативную модель бикубического конечного элемента серендинова семейства (элемент 3-го норяд-
На рис. 4 изображен бикубический элемент серендинова семейства. В отличие от аналогичного элемента лагранжева семейства здесь отсутствуют внутренние узлы (их четыре).
10
11
12
^ , У' —“да——— * <
\ \ а X < *. А
Рис. 4. Рис. 4 Бикубический серендинов КЭ.
Впервые полиномиальный базис этого КЭ был получен подбором в 1968 г. Эргату-дие, Айронс, и Зенкевич, которые назвали его стандартным. Приведем две типичные функции (этого достаточно) стандартного базиса:
^(х, у) = ^-(1 - х)(1 - у){9(х2 + у2) - 10) ,
32 9 (10) ^5 (х,у) = — (1 - х2)(1 - у)(1 - Зх).
С учетом того, что узлы па границе расположены равномерно, нетрудно записать остальные функции базиса. Стандартная модель, как известно |6|, приводит к физически абсурдному распределению равномерной нагрузки по узлам: в угловых узлах доля нагрузки отрицательна и составляет -1/8, в промежуточных узлах она равна 3/16. Физически неадекватный спектр узловых нагрузок — основной недостаток серепдиновых элементов высших порядков. Интересно, что математически безупречные способы построения базисов всякий раз приводили к стандартной модели. В этой связи можно назвать алгебраический (матричный) метод, конденсацию, пематричпый метод Тейлора. В 1982 г. с помощью геометрической вероятности |7| удалось построить первую модель бикубического серепдинова элемента, свободного от негативности в спектре узловых нагрузок.
Покажем, как использовать куеочпо-плапарпую аппроксимацию для построения альтернативного базиса КЭ (рис. 4). Сначала представим квадрат в виде набора 4-х треугольников: Д1—2—3, Д1—3_4, Д1-б-11 и Д1—5—12 с общей вершиной 1. Понятно, что эта композиция предназначена для построения М1(х,у). В каждом треугольнике выбираем текущую точку М(х,у) и рассматриваем «вложенные» треугольники с вершиной и основанием, противолежащим вершине 1. Далее, решаем задачу па геометрическую
Д1_2_3
Дм_2—3, равна р1 = (1 — х)/2. Аналогично, для Д1—3—4: р2 = (1 — у)/2. Для Д1—б—11: р3 = —(2 + 3х + 3у)/4. Для Д1—5—12: р4 = —(4 + 3х + 3у)/4. По формуле умножения вероятностей
#1 (х,у) = ^(1 - х)(1 - у)(2 + Зх + Зу)(4 + Зх + 3у). (11)
При построении Ы5(х,у) рассматриваем треугольники: Д5—2—3, Д5—4—1, Д5—6_10 и Д5—3—4. Соответствующие вероятности таковы:
3 3 1 1
Р1 = -^{1-Х), Р2 = -(1+*), Рз = --{3х + у), р4=-(1-у).
По правилу перемножения вероятностей получаем
Щ(х, у) = -^(1- х'2)(1 ~ У)(3х + У) • (12)
Остальные функции альтернативного базиса бикубической интерполяции легко но-
ху
Здесь мы имеем дело с естественным дискретным распределением единичной нагрузки но узлам: в угловых узлах но 1/8, в промежуточных — но 1/16. Заметим, что нагрузка распределена поровну между угловыми и промежуточными узлами, и в этом отношении полученный результат вряд.ни нуждается в у ну чтении. Этот результат подтверди.:: принципиальную возможность получения физически адекватного спектра узловых нагрузок на серендиновом бикубическом элементе. Если потребуется коррекция спектра, можно воспользоваться взвешенным усреднением стандартного (10) и альтернативного (11) и (12) базисов. О других способах генерирования альтернативных моделей серендиновых элементов можно узнать из публикаций |8,9|,
Выводы. Глубокая и плодотворная идея Куранта о кусочно-планарной аппроксимации финитных функций получила простое вероятностное истолкование. Это дает наглядный и удобный метод конструирования альтернативных базисов на треугольных и квадратных элементах высших порядков.
Литература
1. Моетеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями / М.: Наука,
1985. 88 с.
2. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations /7
Bull. Amer. Math.Soe. № 49. 1943. P.l-23.
3. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электри-
ков / М.: Мир, 1986. 228 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / М.: Мир, 1979. 392 с.
5. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / М.: Наука, 1981. 416 с.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / М.: Мир, 1975. 540 с.
7. Хомченко А.Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / Ивано-Франковск: Ивано-
Франк. ин-т нефти и газа, 1982. 9 с. - Деи. в ВИНИТИ 18.03.82, № 1213.
8. Астионенко И.А. О серендиновых элементах с естественным спектром узловых нагрузок /7 Геом. та комп’ютерне моделювання / 36. паук. пр. Вии. 17. Харшв: ХДУХТ, 2007.' С.97-102.
9. Хомченко А.Н. Новый подход к построению базисов серендиновых элементов /7 Геом. та коми, моделювання / 36. наук, праць. Вии. 23. Харшв: ХДУХТ, 2009. С.90-95.
PROBABILISTIC NATURE OF PEACE-WISE PLANAR APPROXIMATION I.A. Astionenko, Ye.I. Litvinenko, A.N. Khomchenko
Kherson National Technical University,
24-Berislavskoe Shosse, Kherson, 73008, Ukraine;
Petro Mohyla Black Sea State University,
68 Desantnikov Str., 10, Nikolayev, 54003, Ukraine, e-mail: [email protected]
Abstract. It is shown the possibility of functions-"halflids"application for the construction of higher order basis functions on the triangular and square finite elements.
Key words: finite element, peace-wise planar approximation, functions-"halflids".
