Алгоритм построения аппроксимации Зламала при локальном укрупнении триангуляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Герасимов Иван Владимирович

УДК 004.021

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМАЦИИ ЗЛАМАЛА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ УКРУПНЕНИИ ТРИАНГУЛЯЦИИ

Аннотация

Рассматривается аппроксимация Зламала для представления функции заданной на двумерной области. Из аппроксимационных соотношений выведены выражения базисных элементов аппроксимации. Для триангуляции специального вида получены калибровочные соотношения, обеспечивающие удобный способ перехода между базисами аппроксимации при локальном укрупнении триангуляции.

Ключевые слова: аппроксимация, сплайны, вейвлеты.

1. ВВЕДЕНИЕ

При обработке двумерных числовых потоков возникает необходимость в построении адаптивной аппроксимации. Одним из возможных подходов к этому служит построение в рассматриваемой двумерной области триангуляции специального вида с последующим ее укрупнением в тех подобластях, в которых исходная точность дробления не требуется. Преимуществом такого подхода является возможность естественным образом распараллелить производимые вычисления. Проблема укрупнения разбиения области определения для одномерного случая рассматривалась в [1].

В работе [2] были получены калибровочные соотношения для измельчения произвольной правильной триангуляции. В настоящей работе рассматривается обратный процесс, то есть укрупнение триангуляции. Необходимо отметить, что не всякая правильная триангуляция допускает локальное укрупнение. В данной статье рассматривается такая триангуляция, которая допускает локальное укрупнение, производимое в несколько приемов. При этом вложенность пространств сплайн-вейвлетов позволяет просто выразить базисные элементы, соответствующие укрупненной триангуляции, через базисные элементы исходной более мелкой триангуляции, что упрощает вычисления.

Соответствующая триангуляция была предложена в [3]. В этой работе рассматривалась аппроксимация Куранта.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

Используемые в данной статье обозначения во многом совпадают с обозначениями, введенными в [1].

Пусть О. - область в двумерном евклидовом пространстве Ж2. Рассмотрим шестиком-понентную вектор-функцию ф (^ класса С ш(О):

ф(^ (1 ^ г2 ^ ,

где ^ и ¿2 - компоненты вектора 1 Область О будем считать триангулированной. Пусть Т - соответствующий триангуляционный комплекс, содержащий не более чем счетное мно-

© Герасимов И.В., 2014

жество открытых треугольников Т. Совокупное множество вершин и середин ребер триангуляции обозначим через X, а сами элементы этого множества - через 1, ] е J0, где J0 -некоторое множество индексов. Множество X называется сеткой, а точки Ь. - узлами этой сетки. Множество всех вершин и середин сторон треугольника Т обозначим через ХТ, а множество индексов, соответствующих этим точкам, через Таким образом,

Хт = 1е С1(Т), /€/„}, ^ = {] 1е С1 (Т), ) е ^},

где символ С1 обозначает замыкание.

Для Ь. объединение замыканий, инцидентных этому узлу треугольников, обозначим 6.. Если узел Ь. - вершина треугольника, то &. называется телом барицентрической звезды для этого узла. Если узел Ь. - середина стороны треугольника, то ©? представляет собой объединение замыканий треугольников, для которых эта сторона общая. Совокупность внутренних точек из обозначается &'..

Матрицу с вектор-столбцами а, ..., Г е К4 обозначим (а, ..., Г), а если эта матрица квадратная, то det(a, ..., f) обозначает ее определитель. Будем обозначать i-ю компоненту вектора квадратными скобками с нижним индексом i, например, [а]г означает i-ю компоненту вектора а е Ж6, так что а = ([а]р ..., [а]6)г.

На каждом треугольнике Т введем локальную нумерацию, используя числа 1, ..., 6. Соответствующее взаимно-однозначное отображение обозначим

Хт : {1,2,3,4,5,6} ->./т.

Пусть

-¿е1(ф(1ет(1)), ф(1ет(2)), ф(1ет(3)), ф(1ет(4)), ф(1ет(5)), ф(1хт(б))),

^ф. т. /, V = ¿е1(ф(1хта)), ф(1ет(2)),..., ф(1ХТ(6)), -¿"V V),

где ' V означает замену 7-го по счету столбца в рассматриваемом определителе на столбец V.

Будем также использовать вектор Dl == (5Н 521 531 541 551 561 )Т, I е {1, ..., 6}, где 5к1 -символ Кронекера:

5 а= |1, к = I, к1 = | 0, к Ф I.

3. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЗЛАМАЛА

Для каждой точки t е О рассмотрим соотношения, которые называются аппроксимаци-онными:

Хф (1;) а; (1) = Ф (1). (1)

jеJ 0

Из этих соотношений определяются функции а ^ (1), которые называются элементами Зламала. Узел ^ будем называть центральным для элемента а. Вне замыканий треугольников, инцидентных узлу 1, положим

ш;(1) = 0, (2)

Носителем функции со является множество 6 . Из невырожденности треугольников,

■> }

составляющих триангуляцию, следует, что элементы определены однозначно.

Будем искать выражение элементов Зламала на треугольнике Т в виде со; (1) = о/Т ' ■ ф(0, где вектор и т е К6. Учитывая еще (2), получаем

ш , (t) =

и

]Т

•<р№, I 6 Т с &. О, I е о\©..

Решая соответствующие системы линейных уравнений, получаем

d,

[и/Т]д-

ХтУ)

dl

(3)

Ф.Т

Обратимся к специальному виду триангуляции, введенной в работе [3]. Напомним, что исходная (то есть не укрупненная) триангуляция задается следующим набором треугольников:

Р х+4, у Р х+4, у+4 Р х, у + 4 Р х, у

Р х, у Р х+4, у Р х+4, у+4 Р х, у + 4

Р х+2, у +2 Р х+2, у +2 Р х+2, у +2 Р х+2, у +2

(4)

где р, - вектор с целочисленными координатами х и у (х, у е {4-к \ к е Z}), кратными четырем.

Для данной триангуляции существует восемь видов элементов Зламала. Рассмотрим их все. Для этого для начала зафиксируем целочисленные координаты х' и у', кратные четырем. Определим теперь таблицу инциденций, описывающую набор треугольников, на которых будут определены элементы Зламала.

т.» ^

М =

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

Р х Р х

Рх Рх Рх Рх Рх Рх Рх

-4, у'

-2,у -2 у

у у

у +4 -2, у +2 -4,у +2,у +2

Р х , у +4

Рх -2,у -2 Рх ,у -4 Рх ,у -4 Рх +2,у -2 Рх +4,у Рх ,у Рх ,у Рх ,у Р х + 4, у Р х +2, у' +2

Рх ,у Рх ,у Рх +2,у -2 Р х' + 4,у' Р х +2, у +2 Р х +2, у +2 Рх ,у +4 Рх -2,у +2 Р х +4, у +4 Р х +4, у +4

(5)

Треугольник с номером к из этой таблицы будем обозначать Т . Первый элемент задается на треугольниках Т к е {1, ..., 8}. Центральным узлом для этого элемента является точка ^^ рх, у.. Производя вычисления по формуле (3) и упрощая, находим

1^(1, 1), Т = Т™ или Т =ЧГ™ ^(-1,-1), Т = Тм или Т =Т™,

и и = <

1^(1,-1), Т = Т м или Т =ЧГ™ ^(-1, 1), Т = Т ум или Т =ЧГ™ где для краткости записи используется вектор

(

аеГ 1 '^2) = -

(х' + ^ у ' - 3^2 )2 - 1 - 2(х' + у' - 3s2) - 2(s1х' + у' - 35152) 1

2s1 1

\

т

Теперь определим второй и пятый элементы. Их центральными узлами являются точки 12 == рх'+2у' и 15 =рх, >+2 соответственно. Вновь воспользуемся формулой (3). После уп-

Ч ~ Нх'+2,/ " 15

рощения получаем

и

и2Т

и5Т =

г2(1,-1,-1), Т = Т™, г,(-1,-1,-1), Т = Т™,

г2(-1, 1, 1), Т = Tf, ■ м

г0(1, 1,-1), Т

где

^(х' + s1у')(s2х' - s1s2у' + 4s3)Л - 2^2 х ' + 2s3)

2(s2у' - 2slsз)

S2 0 - s2

, . ^ 1 Г2 (51, S2 , S3) = "4

Аналогичным образом определим теперь третий и восьмой базисные элементы. Цент-

ральным узлом третьего элемента является точка 13 = р

х +1, у +1

, а восьмого, соответственно,

= рх,+3 3. Снова используем формулу (3) для определения компонент векторов и и

и

8Т *

и

и ЗТ

и8Т =

г3(1,0), Т=Т™, г3(0,0), Т=Т™,

1\(0. 4), Т = Т

■ м

10'

Г,(1,4), Т

Здесь для краткости используется вспомогательный вектор

(- ((1 -

^С^ s2) = —

((1 - Sl) х + Sl у + S2)( х + у + 4) у + 2(1 - s1)( х + 2) + s2 х + 2s1 (у + 2) + s2 Sl -1 -1

- s1

Четвертый и седьмой базисные элементы определятся похожим образом. Их центральными узлами являются соответственно точки 14 = р х+3 у,+1 и 17 = р х ,+1 у,+3. Произведя вычисления по формуле (3), получим следующие выражения:

м

= Г4(1, 0), т = т5, и 4Т 1 .г4(-1, 4), Т = Тм,

и

и 7Т

г4(-1,0), Т = Т™, г4(1,4), Т=Т*

7

Здесь мы снова для краткости записи воспользовались вспомогательным вектором

- V) >

, .0611 ^(¿1, ¿2) = -Т

((¿1 (х + у) - X + у + 2SlS2)(x - у) 2((1 - ¿1)х - у - ^ 2((1 + 51)у - X + 5152 ¿1 -1

- ¿1 -1

И, наконец, определим шестой базисный элемент. Его центральным узлом является

сСе£

16 = Р

х' +2, у' +2

. Как и ранее, производя вычисления по формуле (3), получаем

г6(1,0), Т=ТМ

и а = <

гй(-1,0), Т

5 ' у М

Л 6 '

Гб(-1,6), Т=Т™,

гй(1,6), Т=Т*

где

/ 2 \ (х + у - ^(х - у) + ¿2 + 1) - г

- 2(1 - ¿1)(2 х + ¿2 +1)

- 2(1 + ¿1)(2 у + ¿2 +1)

2(1 - ¿1) 0

2(1 + ¿1)

Таким образом, мы определили все базисные элементы Зламала для указанной триангуляции.

4. УКРУПНЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ

При укрупнении триангуляции удаляется конечное множество вершин исходной триангуляции вместе с их ребрами. Оставшиеся вершины соединяются новыми ребрами, так чтобы вновь получилась правильная триангуляция. Нас будет, в первую очередь, интересовать такое укрупнение, при котором пространство базисных элементов укрупненной триангуляции оказывается вложенным в пространство базисных элементов исходной триангуляции. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы вновь добавляемые ребра геометрически находились в тех же местах плоскости, что и удаленные ребра. При этом вновь добавляемое ребро занимает место двух или более удаленных ребер. Ясно, что не любая триангуляция допускает укрупнение такого рода.

Рассмотрим семейство функционалов е , заданное формулами

^, и) = и(Ь г), Уы е С (О).

(6)

Так как ю . принимает значение 1 в своем центральном узле ^ и значение 0 во всех остальных узлах сетки tk, к Ф ., то

, Ю ;) =3 и , ^ ] е J .

Это означает, что формулой (6) задается продолжение на С (О) системы функционалов, биортогоналъной системе функций {ю ■} ■

2

Элемент га к укрупненной триангуляции может быть выражен как разложение по базису исходной триангуляции через значения в узлах сетки:

га

(1) = ЕЮ 1 •(~k (1 1 ).

(7)

1^ 0

Такие соотношения называются калибровочными.

Вновь обратимся к специальной триангуляции из работы [3], которая задается набором треугольников (4) для всех целочисленных координат х и у кратных четырем.

Зафиксируем пару координат х', у' и рассмотрим треугольники инцидентные вершине

'х +2,у -

р х' , у'

Р х'+4, у' Р х '+4, у'+4 Р х' , у '+4

Р х ' + 4, у ' Р х +4, у'+4 Р х ', у '+4

Р х ', у '

р х +2, у +2 р х +2, у +2 р х +2, у +2 р х +2, у +2

При удалении из триангуляции вершины р х+2 у+2 существует два варианта добавления нового ребра взамен удаленных. В первом варианте новая триангуляция будет содержать треугольники

Р х',у' Р х ' + 4, у'

Рху Р х +4, у '+4

а во втором новые треугольники будут такими:

Р х',у' Р х ' + 4, у'

Р х' , у '+4 Р х ' + 4, у'

Рх '+4, у '+ Р х' , у '+4

Р х' , у '+4 Р х '+4, у'+4

(8)

(9)

Варианты укрупненной триангуляции обозначим 'X| и Т-2 соответственно. При переходе к новой триангуляции будем сохранять нумерацию всех неудаляемых вершин. Старые и новые вершины обозначим

1 = t1 = Р х',у' '

~ с1е£ 4 = ^ = р Х ',у ' +2 '

= t7 = Р

х , у '+4 '

77

10 = Р х '+1, у'+1 ' 13 = Р х' +3,у' +3 '

412 = = Р х' + 2, у" t = ~ =

1:5 = t5 = Р х ' +2,у ' +2 '

Р х ' +2,у'+4 :

13 = 13 = Р х'+4,У' :

16 = :6 = Р

х '+4,у'+2 :

18 = 1 = Р

с1е£

ис!

:11 = Р

х' +3, у'+1 '

19 = 19 = Р Х'+4,у' + 4 * х'+1,у'+3 '

с1е£

:12 = Р

Новые базисные элементы будем обозначать га ^, а центральную вершину этого элемента через 11.

Треугольники, получающиеся в результате укрупнения триангуляции, обозначим

7, = ~ и 7, = II ~ ~ ТЛ.

13 19 || " - - _ II Ч 19 17 |

Заметим, что элемент со . совпадаете со . на всех треугольниках триангуляции Т |. кроме Т1_ и

Лемма 1. Для базисных элементов укрупненной триангуляции со1 и га9 на треугольниках Тх и справедливы следующие калибровочные соотношения:

га1(1) =га1(1) + (3 -га10(1) -га11(1) -га12(1) -га13(1))/ 8, (1) = га 9(1) + (3 "га 13(1) -га ю(1) -га11(1) -га12(1) V8 .

га

(10) (11)

ю^ ) = -

со9(1) =

Доказательство. Элемент Зламала со1 в указанной области представляет собой фрагменты параболических цилиндров:

' (х - х' - 2) • (х - х' - 4)/8 , ЬеТъ

(у - у' - 2) • (у - у' - 4)/8 , t е Та.

Аналогично, для элемента со9 имеем:

\у-У)-(у-У-2)/8, 1е Ть

¿х - х') • (х - х - 2)/8, t е Т2.

Раскладывая со1 и со9 по общей формуле (7), получаем необходимые соотношения. □

Лемма 2. Для базисных элементов укрупненной триангуляции ю2 и со6 на треугольнике Т]_ имеют место следующие калибровочные соотношения:

(й2(0 = юД1) +1 ^ю^), (12)

(t) =®6^) +1 •®п(1). (13)

Для элементов со4 и со8 аналогичные соотношения справедливы на треугольнике Т^:

ю4(1) = ю4(1) + 2 •ю12(0, (14)

(~8 (t) = Ю 8 (0 + 2-©12^). (15)

Доказательство. Каждый из четырех рассматриваемых элементов Зламала на соответствующем треугольнике представляет собой седловую поверхность второго порядка:

с~2(1) = -(х - х - 4) • (х - х - у + у ')/4, Ю~4 (1) = (у - у' - 4) • (х - х' - у + у0/4, «6^) = (у - у ') • (х - х' - у + у ')/4, с~8(*) = - (х - х) • (х - х - у + у ')/4.

Разложим все четыре элемента по формуле (7) и получим искомые калибровочные соотношения. □

Лемма 3. Базисные элементы укрупненной триангуляции со3 н со7, определенные на треугольниках ТГх и соответственно, не меняются в процессе укрупнения. Поэтому калибровочные соотношения для них имеют вид:

(¡(О = ю3(1), (16)

Ю7(!) =ю7(1). (17)

Доказательство. Оба элемента представляют собой параболические цилиндры:

Юз (t) = (х - х ' - у + у') • (х - х ' - у + у' - 2)/8, С~7 (1) = (х - х ' - у + у') • (х - х ' - у + у' + 2)/8 ,

Раскладывая со3 и со7 по формуле (7), убеждаемся, что имеют место соотношения (16) и (17). □

Лемма 4. Для базисного элемента укрупненной триангуляции со5, определенного на обоих треугольниках Т\ и Тг, калибровочное соотношение имеет вид

со5(0 =ю5(0 + (3 •ю^) + юп(0 + ш12+ 3 •ю^))/4 .

(18)

Доказательство. На каждом треугольнике Т^ и элемент Зламала со5 представляет собой седловую поверхность:

"-(7-У)-(х-х'-4)/4, 1е ТГЬ

- (х - х') -(у- у' - 4)/4 , Ье%.

с5 ) =-

Раскладывая со5 по общей формуле (7), получаем требуемое калибровочное соотношение (18). □ Результаты доказанных лемм объединяются следующим образом.

Теорема 1. Пусть триангуляция X была укрупнена первым способом, как указано в (8),

так что новая триангуляция есть Тогда матрица перехода к укрупненного триангуляции есть

^ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1/8 ^

1 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3/8 -1/8 -1/8

2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0

5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3/4 1/4 1/4 3/4

6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/2 0 0

7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1/2 0

9 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1/8 -1/8 -1/8 3/8 /

Доказательство. Достаточно сослаться на результаты лемм 1, 2, 3 и 4. Собирая вместе коэффициенты из калибровочных соотношений (10)—(18), получаем матрицу фь

Теорема 2. Пусть триангуляция X была укрупнена вторым способом, как указано в (9), так что новая трнангуляцня есть %2- Тогда матрица перехода к укрупненной триангуляции есть

\

1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1/8 3/8 -1/8 -1/8

4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0

5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/4 3/4 3/4 1/4

6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1/2

7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1/8 -1/8 3/8 -1/8

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/2

9 \ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Доказательство. Вполне аналогично доказательству теоремы 1. В частности, для укрупненной триангуляции справедливы результаты, аналогичные полученным в леммах 1,2, 3 и 4 для 11. □

Литература

1. Демьянович Ю.К., Зимин А.В. Аппроксимации курантова типа и их вейвлетное разложение // Проблемы математического анализа, 2008. Вып. 37. С. 3-22.

2. Лебединская Н.А., Лебединский Д.М. Кратномасштабное разложение для аппроксимации Зла-мала // Вестник Санкт-Петербургского университета, 2009. Сер. 1. Вып. 1. С. 18-22.

3. Арсентьева Е.П., Демьянович Ю.К. Адаптивные сплайн-вэйвлетные разложения двумерных потоков числовой информации // Проблемы математического анализа, 2011. Вып. 56. С. 3-22.

4. Демьянович Ю.К., Романовский Л.М. Локальное укрупнение триангуляции и двумерные сплайн-вейвлеты / Труды конф. СПИС0К-2012. С. 177-182.

ALGORITHM OF CONSTRUCTING THE ZLAMAL-TYPE APPROXIMATION UPON THE LOCAL TRIANGULATION ENLARGEMENT

Abstract

Zlamal-type approximation for representation of a function defined upon a two-dimensional area is considered. Basic elements of the approximation are derived from the approximation relations. For the triangulation of a special kind, the calibration relations are presented, which provide a convenient way of the basis transformation upon the local triangulation enlargement.

Keywords: approximation, splines, wavelets.

(g) Наши авторы, 2014. Our authors, 2014.

Герасимов Иван Владимирович, старший инженер-программист, «ORACLE», аспирант математико-механического факультета СПбГУ, ivan. v.gerasimov@gmail. com