Схема принятия управленческих решений с использованием опционного подхода Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

_I

СХЕМА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПЦИОННОГО ПОДХОДА

УДК 519.816

Сергей Витальевич Федосеев

к.т.н., доцент, зав. каф. Математического обеспечения информационных систем и инноватики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Тел.: (495) 442-80-98 Эл.почта: SFedoseev@mesi.ru

Александр Валерьевич Астафьев

аспирант, кафедра Математического обеспечения информационных систем и инноватики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Тел.: (909) 694-91-70 Эл.почта: astaflev-av@yandex.ru

В статье рассматривается возможность применения методов принятия решений в области управления реальными опционами предприятия. Обосновывается многокритериальность задачи выбора оптимального реального опциона. Предлагается подход к адаптации методов принятия решений, учитывающий специфические особенности реальных опционов.

Ключевые слова: методы принятия решений, реальные опционы, многокритериальные задачи, показатели реальных опционов, метод линейной свёртки критериев

Sergey V. Fedoseev

PhD in Technical Sciences, associate professor, the head of the chair of Mathematical support of information systems and innovatics Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI)

Tel.: (495) 442-80-98 E-mail: SFedoseev@mesi.ru

Alexander V. Astafiev

graduate student, the chair of Mathematical support of information systems and innovatics Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI) Tel.: (909) 694-91-70 E-mail: astaflev-av@yandex.ru

SCHEME OF MANAGERIAL DECISION-MAKING WITH USING OF OPTION APPROACH

In article possibility of application of methods of decision-making in the field of management of real options of the enterprise is considered. The multicriteriality of a problem of a choice of an optimum real option is proved. Approach to adaptation of methods of the decision-making, considering specific features of real options is offered. Keywords: decision-making methods, real options, multicriteria tasks, indicators of real options, method of linear convolution of criteria

1. Введение

На практике задача принятия решений по выбору наилучшего варианта действий имеет специфические отличия в различных предметных областях. Так, например, в управлении предприятием, и, особенно, в управлении инновациями, часто решается проблема использования реальных опционов. Это делает целесообразной разработку специальной процедуры принятия решений, связанной с указанной проблемой. Под реальным опционом в данной статье понимается «любая возможность, право или шанс получения какого-либо блага в будущем, для создания которых в настоящем нужно совершить какое-либо действие» [1].

В настоящее время, как правило, реальные опционы используются в инвестиционной деятельности предприятия, прежде всего, при реализации и оценке инновационных проектов. Реальные опционы особенно целесообразны при оценке проектов по созданию инновационных продуктов. Причина в том, что такие проекты при использовании традиционной системы оценки инвестиций оцениваются неадекватно и часто признаются недостаточно эффективными.

Кроме инвестиционной деятельности существуют и другие области применения реальных опционов. В качестве примера можно привести использование предприятием реальных опционов в процессе ценообразования на свои услуги [2].

Важно отметить, что на практике лицо, принимающее решение (ЛИР), может применять реальные опционы неосознанно. В этих случаях можно идентифицировать действия ЛИР как создание механизмов для снижения рисков и (или) увеличения управленческой гибкости [3]. Такая ситуация приводит к отсутствию системности в оценке реальных опционов и использованию ЛИР интуитивного подхода к принятию решений по реальным опционам.

В настоящее время распространено использование реальных опционов только как экономического инструмента. Другими словами, при использовании реальных опционов (как схемы принятия решений) учитываются только те показатели, которые измеряются в денежной шкале, а показатели, измеряющиеся в других единицах, если и используются ЛИР, то в большинстве случаев интуитивно. Следовательно, существует необходимость в развитии текущей распространённой концепции реальных опционов.

2. Развитие концепции реальных опционов

Для того чтобы показать универсальный характер реальных опционов, вначале рассмотрим более употребляемый на практике опцион - финансовый.

Финансовый опцион представляет собой договор, по которому покупатель получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу актива (ценной бумаги) по заранее оговорённой цене в определённый срок в будущем, при этом продавец опциона имеет обязательство совершить покупку или продажу актива в зависимости от типа проданного им опциона [4]. В более узком смысле под финансовым опционом понимается непосредственно само право, вытекающее из опционного контракта.

Пример 1. Покупатель опциона платит продавцу 5 рублей и становится владельцем финансового опциона. Ио этому опциону покупатель имеет право, но не обязательство, в течение 2 месяцев купить у продавца 1 акцию некоторого предприятия по цене 100 руб. Текущая рыночная цена 1 акции составляет также 100 рублей. Покупатель решает приобрести опцион, так как считает, что в будущем рыночная цена акции вырастет и что вероятность этого события довольно высока. Продавец, в свою очередь, считает, что рыночная цена акции будет снижаться и покупатель откажется от исполнения опциона. В таком случае продавец зафиксирует прибыль в размере цены опциона. Через 1,5 месяца текущая рыночная цена составила 125 руб., и владелец опциона решает его исполнить. Он покупает акцию у продавца опциона за 100 руб., продаёт её на рынке за 125 руб. и фиксирует прибыль, равную 125 - 100 - 5 = 20 руб. В случае, если текущая цена составила бы, например, 90 руб. за акцию, покупатель опциона отказался бы от исполнения опциона и зафиксировал бы убыток, равный цене неиспользованного опциона, то есть 5 руб.

Далее рассмотрим реальный опцион.

Реальные опционы иногда описываются как встречающиеся в практике реального инвестирования ситуации, аналогичные по постановке задачи покупке (продаже) финансового опциона на какой-либо базисный актив [5]. Далее рассмотрим пример такой ситуации.

Пример 2. На предприятии принято решение о покупке модульного оборудования, которое стоило дороже обычного на 15 млн. руб. Эту разницу в цене будем идентифицировать как цену покупки реального опциона. Отличительной особенностью приобретённого оборудования является возможность при необходимости расширить производственные мощности путём покупки дополнительного модуля. Такую возможность следует классифицировать как реальный опцион. Необходимость в расширении производства может возникнуть в случае роста спроса на создаваемую на этом оборудовании продукцию, и вероятность такой рыночной ситуации была оценена руководством предприятия довольно высоко. В случае, если спрос достигнет 240 000 единиц продукции в год, предприятие сможет, вложив ещё 20 млн. руб. в покупку нового модуля, получить дополнительную дисконтированную прибыль в объёме 80 млн. руб. за весь период эксплуатации оборудования. В данном случае прибыль предприятия от опциона составит 80 - 20 - 15 = 45 млн. руб. Если же в процессе эксплуатации основного оборудования не возникнет необходимости в новых мощностях, то предприятия зафиксирует убыток от реального опциона в размере его цены, то есть 15 млн. руб.

Выделим некоторые ключевые характеристики опционов с точки зрения их потенциальных владельцев:

создание опциона - вложение 5 руб. в покупку опциона или переплата 15 млн. руб. за возможность расширения производства в финансовом и реальном опционах соответственно;

исполнение опциона - вложение 100 руб. в покупку акции по опциону или дополнительные инвестиции в расширение производства 20 млн. руб.;

событие, влияющее на решение об исполнении опциона, - повышение текущей рыночной цены акции до 125 руб. или повышение спроса выпускаемую продукцию до 240 000 единиц в год;

вероятность наступления события - субъективно оцениваемая владельцем опциона вероятность повышения цены или объёма спроса;

получение ресурсов в результате исполнения опциона в случае наступления события - получение валового дохода в размере 125 руб. или 80 млн. руб.

Далее, используя метод индукции, перейдём от примеров финансового и реального опционов к общему случаю реального опциона. Приведём значения ключевых характеристик опциона для реального опциона в обобщённом виде:

создание и исполнение опциона -затраты ресурсов (где I = 1, 2, ..., п), принадлежащих к набору расходуемых ресурсов X;

событие, влияющее на решение об исполнении опциона, - совокупность событий ск (где к = 1, 2, ..., 5);

вероятность наступления события - соответствующая вероятность Р(ск) (где к = 1, 2, ..., 5);

получение ресурсов в результате исполнения опциона в случае наступления события - получение ресурсов у (гдеу = 1, 2, ..., т), принадлежащих к набору получаемых ресурсов У.

Схематично результаты обобщения реального опциона приведены ниже (Табл. 1.).

Следовательно, задача принятия решения о целесообразности создания реального опциона определяется в общем виде как задача оценки целесообразности затрат ресурсов (где i = 1, 2, ..., п), принадлежащих к набору расходуемых ресурсов X, с целью со-

здания возможности (но не обязательства) получения в будущем ресурсов у (где у = 1, 2, ., т), принадлежащих к набору получаемых ресурсов У, при наступлении совокупности событий ск (где к = 1, 2, ..., 5) с соответствующей вероятностью Р(ск) (где к = 1, 2, ..., 5).

На основании изложенного выше, реальные опционы, могут рассматриваться как универсальный инструмент в тех случаях, когда нужно принимать решения в условиях неопределённости.

3. Многопоказательный подход к оценке реальных опционов

В различных сферах человеческой деятельности применение реальных опционов связано с получением и затратами совершенно различных видов ресурсов. Реальный опцион в одной сфере (например, управление инновационным проектом) может содержать несколько ресурсов, измеряемых в единицах и шкалах, отличающихся друг от друга.

Очевидно, что необходима разработка системы частных показателей реальных опционов, без которой для ЛПР сложно идентифицировать имеющиеся альтернативы и сделать правильный выбор.

Для решения этой проблемы предлагается использование расширенного списка частных показателей реальных опционов. В формате данной статьи нет возможности привести разработанный список в полном объёме, но следует представить классификацию, по которой частные показатели могут быть отнесены к той или иной однородной группе (Табл. 2.).

Таблица 1. Общение реального опциона

Элементы опциона Финансовый опцион Реальный опцион Реальный опцион (общий случай)

Приобретение опциона и исполнение опциона Вложение 5 руб. в покупку опциона и 100 руб. в исполнение опциона Вложение 15 млн. руб. в покупку опциона и 20 млн. руб. в исполнение опциона Затраты ресурсов х (где 1 = 1, 2, п), принадлежащих к набору расходуемых ресурсов X

Событие Повышение текущей цены акции до 110 руб. Повышение спроса на продукцию до 240 000 единиц/год Совокупность событий ск (где k = 1, 2, 5)

Вероятность события Вероятность повышения цены Вероятность повышения спроса Вероятность РО (где k = 1, 2, 5)

Получение ресурсов в результате исполнения опциона в случае наступления события Получение 125 руб. валового дохода вследствие исполнения опциона Получение 80 млн. руб. валового дохода вследствие исполнения опциона Получение ресурсов у (где ] = 1, 2, т), принадлежащих к набору получаемых ресурсов У

№6 (2), 2012

82

Таблица 2. Группы частных показателей реальных опционов

№ п/п Группа показателей

1 денежные средства

2 знания

3 конкурентоспособность

4 лояльность органов власти

5 материальные ресурсы

6 показатели времени

7 результаты реального опциона

8 репутация

9 скорость операций на предприятии

10 соответствие корпоративным стандартам/политике/стратегии

11 соотношения между элементами реального опциона

12 социальный эффект

13 техническая сложность

14 трудовые ресурсы

15 управленческая гибкость

16 экологический эффект

17 эстетическая ценность создаваемых объектов/товаров/услуг

18 эффективность реального опциона

Таблица 3. Набор показателей группы «Знания»

№ п/п Название показателя Возможные единицы измерения

1 знания о потребностях клиентов оценочные единицы

2 знания о конкурентах оценочные единицы

3 знания о технологиях оценочные единицы

4 знания о реализации проекта (получение нового опыта) оценочные единицы

5 знания прочие оценочные единицы

6 знания совокупные оценочные единицы

Каждая группа включается набор конкретных показателей реального опциона. Пример состава одной из групп разработанного списка приведён в Табл. 3.

В процессе принятия решений и моделирования проблемной ситуации ЛПР важно отобрать из бесконечного числа свойств альтернатив только те свойства, которые действительно существенны для дальнейшего анализа.

Конкретный набор показателей при выборе оптимального реального опциона всегда зависит от конкретных предпочтений ЛПР и условий принятия решений. Поэтому такой набор в принципе не может быть универсальным. Но использование расширенного списка частных показателей реальных опционов, безусловно, облегчит для ЛПР процесс моделирования реальных опционов с целью определения оптимального варианта.

Вместе с тем, рассмотрение реального опциона в предлагаемом обобщённом виде приводит к новым проблемам в принятии решений.

К числу таких проблем следует отнести отсутствие возможности

специфические особенности реальных опционов при поиске оптимального реального опциона.

4. Адаптация методов принятия решений для реальных опционов

Одним из наиболее известных и распространённых методов принятия решений с учётом многопоказатель-ности альтернатив является метод линейной свёртки критериев, также называемый методом обобщённого показателя. На основании [7],[8],[9] можно записать выражение для определения оптимальной альтернативы в следующем виде:

а*:шахX У ) =

= шах„

Е 1 (У )-Е в/(X)

1 =

прямого сравнения между собой частных показателей вектора ресурсов, затрачиваемых на приобретение опциона, и вектора ресурсов, получаемых в результате исполнения опциона. Причина в том, что они измеряются в различных шкалах и единицах.

В тоже время, если рассматривать существующую методологию оценивания реальных опционов, то можно выделить два наиболее распространённых метода: метод анализа бинарного дерева решений [6] и метод, основанный на применении модели Блэка-Шоулза [5]. Использование этих методов предполагает учёт показателей реальных опционов, измеряемых в денежных единицах, что соответствует практике рассмотрения реальных опционов как экономического инструмента.

Анализ приведённого выше противоречия приводит к необходимости использования нового подхода к оценке реальных опционов, учитывающего многопоказательность задачи их оценки. Этот подход должен быть основан на методах теории принятия решений и одновременно учитывать

где а* - оптимальная альтернатива с точки зрения предпочтений ЛПР, принадлежащая к множеству А;

А - множество альтернатив, рассматриваемых ЛПР;

Ф (х, у) - функция агрегирования; ви I = 1, ■■■, п, - коэффициенты относительной важности частных показателей значения, которых должны быть минимизированы;

Уг, ] = 1, ■.., т, - коэффициенты относительной важности частных показателей значения, которых должны быть максимизированы;

Ххг), г = 1, ■, п, - нормированные значения целевых функций (локальных критериев оптимальности), которые должны быть минимизированы;

§Ку}),] = 1, ■.., т, - нормированные значения целевых функций, которые должны требуется максимизировать.

Метод обобщённого показателя является универсальным и может быть использован для выбора оптимальной альтернативы в различных предметных областях, в том числе среди реальных опционов. Однако реальные опционы обладают рядом свойств, которые должны учитываться при использовании методов принятия решений. Прежде всего, к таким свойствам относится временной лаг между моментом создания опциона и моментом получения каких-либо ресурсов, связанных с исполнением опциона, которое происходит позднее первого события. Соответственно, длительность такого промежутка времени варьируется от одной альтернативы к другой, и это должно учитываться при принятии решения.

Необходимость учёта фактора времени обусловлена принятием принципа неравноценности значений

показателей ресурсов, получение или расходование которых относятся к разным моментам времени.

На основе проведённого анализа традиционных методов оценки реальных опционов, которые оперируют только показателями, выражающимися в денежных средствах, и в которых для учёта фактора времени используется дисконтирование, были определены пути адаптации методов принятия решений.

Предлагается применять для выбора оптимального реального опциона многопоказательный подход, используя «многопоказательное дисконтирование» - механизм снижения значения частного показателя в зависимости от времени, которое разделяет момент принятия решения и момент получения (или расходования) ресурсов по реальному опциону. Важно отметить, что под получаемыми и расходуемыми ресурсами понимаются не только денежные средства, но и другие показатели, значения которых, по мнению ЛПР, с течением времени обесцениваются.

Выражение для определения оптимальной альтернативы по методу обобщённого показателя с учётом приведённого выше предложения выглядит следующим образом:

«*:таХX У ) =

Таблица 4. Варианты использования множителя многопоказательного дисконтирования

( У] )-

]=1

-± Р,/(х)

Вариант Формула множителя многопоказательного дисконтирования Условия принятия решений, характеризующиеся принимаемыми допущениями

1 т(г, Г) = (1 + гГ)-1 Принимается Допущение №1: интенсивность снижения значения показателя за единицу времени (г) является одинаковой во всех временных отрезках составляющих совокупный период времени t

2 у(г, Г) = (1 + г)- Принимаются Допущение №1 и Допущение №2: существует возможность альтернативного вложения затрачиваемых по опциону ресурсов с реинвестированием получаемых от него доходов с интенсивностью г и с периодичностью, соответствующей г

3 т(г, Г) = е-п Принимаются Допущение №1 и Допущение №3: существует возможность альтернативного вложения затрачиваемых по опциону ресурсов с постоянным реинвестированием получаемых от него доходов с интенсивностью г

4 т(г, Г) = Ь, где Ь е [0; 1] Допущения №№1-3 не принимаются

где т(г, Г) - функция, характеризующая интенсивность снижения значения показателя с течением времени, или множитель многопоказательного дисконтирования; Г - время между моментом получения или расходования ресурсов и моментом, к которому приводятся потоки ресурсов; г - переменная, характеризующая интенсивность снижения значения показателя за единицу времени.

Конкретное выражение для определения V изменяется в зависимости от условий принятия решений.

Для различных условий принятия решений предлагается четыре варианта формулы множителя многопоказательного дисконтирования (Табл. 4.).

Варианты с первого по третий составлены на основе выражений, указанных в [10] и использующихся в настоящее время для дисконтирования для денежных потоков при простых,

сложных и непрерывных процентах соответственно.

Рассмотрим подробнее четвёртый вариант формулы множителя многопоказательного дисконтирования. ЛПР субъективно, исходя из своих предпочтений, снижает значение показателя с учётом времени, которое должно произойти между моментом вложения ресурсов и момента получения ресурса, характеризуемого этим показателем. Значение множителя Ь должно находиться в интервале [0;1], и оно отражает долю от первичной оценки ресурса, которая принимается во внимание в дальнейших расчётах.

Пример 3. Пусть ЛПР требуется сделать выбор между двумя реальными опционами. По этим опционам в составе получаемых ресурсов присутствует показатель «новые знания для предприятия». В оценке альтернатив используется вербально-числовая шкала Харрингтона [11]. По обоим опционам значения этого показателя по шкале Харрингтона равны 0,85 («очень высокие»). В то же время, по первому варианту предприятия получит новые знания через 1 год, а по второму - через 4 года. В случае если ЛПР соглашается с тем, что новые знания нужно получить максимально быстро, то появляется необходимость в учёте фактора времени. В таких ситуациях для корректного сравнения предлагается приводить значения показателей к одному моменту времени, например, моменту вложения ресурсов. Следуя такой логике, ЛПР изменяет значения показателя по первому опциону до 0,75 («высокое»), по второму - до 0,63

(«среднее»), и первый реальный опцион становится для ЛПР предпочтительнее второго по показателю «новые знания для предприятия».

Следует отметить, что значения не всех показателей обесцениваются с течением времени. Существует ряд показателей, значения которых с течением времени увеличиваются или остаются без изменений. Поэтому решение о необходимости дисконтирования должно приниматься ЛПР.

Использование множителя дисконтирования также распространяется и на затрачиваемые ресурсы, значения которых могут приводиться к моменту принятия решений или к моменту начала расходования ресурсов.

При применении множителя дисконтирования важно учитывать, что для корректного сравнения показателей их значения требуется приводить к одному и тому же моменту времени.

5. Заключение

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Первое. В общем виде реальные опционы являются универсальным инструментом принятия решений. Это даёт возможность применять реальные опционы не только в управлении экономическими системами, но и системами во всех сферах, где требуется принимать решения в условиях неопределённости.

Второе. Для более корректного анализа при рассмотрении реальных опционов не следует ограничиваться только денежными оценками их эффективности. Важно также

=1

№6 (2), 2012

84

_

учитывать многопоказательность реальных опционов. Упрощению задачи многопоказательного анализа опционов способствует формирование расширенного списка их частных показателей. Разработанный и частично приведённый в этой статье подобный список является одним из вариантов решения поставленной задачи.

Третье. Представление реального опциона в обобщённом виде как альтернативы с множеством показателей позволяет применять хорошо разработанные методы и технологии теории принятия решений для оценки и выбора оптимальных реальных опционов.

Четвёртое. Адаптация методов принятия решений путём использования предложенного множителя многопоказательного дисконтирования помогает учитывать специфические особенности реальных опционов. Использование предложенного множителя также будет полезно во всех задачах принятия решений, где принимается принцип неравноценности значений показателей ресурсов, получение или расходование которых относятся к разным моментам времени.

Литература

1. Астафьев А.В. Концепция реальных опционов // Научно-технические ведомости СПбГПУ - 2011. - № 3(121). - С. 259-262.

2. Copeland T., Antikarov V. Real Options: A Practitioner's Guide. - New York: TEXERE, 2003. - 370 p.

3. Федосеев С.В., Астафьев А.В. Процедура принятия решений при реализации инновационного проекта с использованием опционного подхода // Материалы Международной научно-практической конференции «Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий». - Сочи, 2012. - С. 462-466.

4. Рынок ценных бумаг: учебник / под ред. Иванова В.В. и Шевцовой С.Г. - М.: КНОРУС, 2008. - 288 с.

5. Лимитовский М.А. Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках: Учебно-практическое пособие. - М.: Издательство Юрайт, 2011. - 486 с.

6. Зиятдинов А.Ш. Метод реальных опционов для оценки инвестиционных проектов // Экономические науки. -

2010. - №3(64). - С. 144-148.

7. Балдин К.В., Воробьёв С.Н., Уткин В.Б. Управленческие решения: Учебник. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. -496 с.

8. Зак Ю.А. Принятие многокритериальных решений. - М.: Экономика,

2011. - 236 с.

9. Козлов В.Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие. - М.: Проспект, 2013. - 176 с.

10. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учебное пособие / под ред. Половникова В.А. и Пили-пенко А.И. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 360 с.

11. Литвак Б.Г. Управленческие решения: учебник. - М.: Московская финансово-промышленная академия,

2012. - 512 с.

12. Микрюков А.А., Князев А.А. Об одном методе решения задачи многокритериального выбора. Сборник трудов II Международной научно-практической конференции "Информационные технологии в образовании, науке и производстве», г. Серпухов, 2009, стр. 241-243.

References

1. Astafiev A.V Coroept of real options // ^^hm-teh^^es^ vedomosti SPbGPU. - 2011 . - № 3(121). - P. 259262.

2. Copeland T. Antikarov V. Real Options: A Practitioner's Guide. - New York: TEXERE, 2003. - 370 p.

3. Fedoseev S.V., Astafiev A.V. Decision-making procedure at implementation of the innovative project with using of option approach // Materials of International scientific and practical conference «Innovations based on of Information and Communication Technologies». - Sochi, 2012. - P. 462-466.

4. Securities market: the textbook / under the editorship of Ivanov V. V. and Shevtsova S.G. - M: KNORUS, 2008. -288 p.

5. Limitovsky M.A. Investment projects and real options in emerging markets: Educational and practical guide. - M: Izdatel'stvo Jurajt, 2011. - 486 p.

6. Ziyatdinov A.SH. Method of real options for an assessment of investment projects // Ekonomicheskie nauki. - 2010.

- № 3(64). - P. 144-148.

7. Baldin K.V Vorobyyov S. N., Utkin V. B. Managerial decisions: Textbook.

- M: Izdatel'sko-torgovaja korporacija «Dashkov i K°», 2012. - 496 p.

8. Zak Yu.A. Adoption of multicriteria decisions. - M: Ekonomika, 2011. - 236 p.

9. Kozlov V.N. System analysis, optimization and decision-making: study guide. - M: Prospekt, 2013. - 176 p.

10. Financial mathematics: Mathematical modeling of financial operations: study guide / under the editorship of Polovnikov V.A. and Pilipenko A.I. - M: Vuzovskij uchebnik, 2007. - 360 p.

11. Litvak B. G. Managerial decisions: textbook. - M: Moskovskaja finansovo-promyshlennaj a akademij a, 2012. - 512 p.

12. Mikryukov A.A., Knyazev A.A. On a method of solving the multicrite-ria choice problem. Proceedings of the II International scientific conference «Information technologies in education, science and industry», Serpukhov, 2009, p. 241-243.