СХЕМА ФАЛЬКА ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ З ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СХЕМА ФАЛЬКА ТА II ВИКОРИСТАННЯ

ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАНН1 ЗАДАЧ З ЕЛЕКТРОТЕХН1КИ

В. А. Гроза,

кандидат фiз.-мат .наук, доцент, О.Л.Лещинський, кандидат фiз.-мат. наук, доцент,

В.В. Тихонова, викладач,

Промислово-економiчний коледж,

О. П. Томащук, кандидат педагог. наук, доцент, Мiжрегiональна Академiя управлтня персоналом,

м.Киш, УКРА1НА

Розглядаеться методика введения матричного вирахування з використанням схеми Фалька та тюструеться використання отриманих знанъ при розв 'язуванш задач електротехшки.

Розвиток обчислювальжй техтки зробив доступтшим використання матричного числення як прикладного апарату в рiзних галузях науки, техтки та економжи. У зв'язку з важливим значениям матричного числення постае питання методики викладання теори матриць в курсах "Вища математика" i "ЛЫйна алгебра та анаттична геоме^я" для комп'ютерно-орiеиговних спещальностей вищих навчальних закладiв 1-П рiвнiв акредитаци. На нашу думку, початковi теми теори матриць i матричного числення можна викласти без використан-ня поняття визначника i властивостей визначниюв. Це збереже "чистоту" i "ед-нiсть" матерiалу. При розглядi поняття до-бутку матриць доцiльно ознайомити сту-дентiв iз так званою схемою Фалька. Вона е зручною у використант, причому не

лише у випадку обчислення добутку двох матриць, але й добутку бiльшоi кшькосп матриць. Крiм того, при й використаннi можна здiйснювати контроль над правиль-нiстю виконання множення матриць. А це е надзвичайно важливим. Адже, як пщ-тверджуе досвщ, виконуючи операцiю множення матриць, студенти досить часто роблять помилки.

Схема Фалька для множення двох матриць утворюеться так: матрищ-спiвмножиики а = , в = ||а,.|| 1 добу-

тхп

ток а ■ в = с =1

тхп пхр тхр ким чином, щоб елемент

"tу

в = h\\ nX p

розташовують та-

C

.у матриць

добутку C знаходився на перетинi i-го рядка матрицi A i у-го стовпчика матрицi B:

Матриця А * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * *

* * * * СУ

* * * * * * * *

Матриця В

Матриця

С=АВ

Приклад 1. Знайти добуток А В, якщо

A =

& 1 01

$ 1 3 0 0> 1 -1

, в =

% 0 - 3 1 2" $$0 1

%0 1,

Розв язання. Використаемо схему Фалька.

1 0

3

-3

0 1

0 2

^СТОИ||.(А )_1

0

В

1 1

0 0

0 -1 1 1

4

-3

-3 6

1

С=А В

8

Вгдповгдь: АВ=

& 4 - 3# 3 6

Контроль обчислень при викорис-танш схеми Фалька здшснюеться за допомогою перевiрки сум елементсв рядкiв (стовпчиюв). Розглянемо, нап-риклад, як здiйснюеться перевiрка сум елеменпв стовпчикiв.

1. Елементи матриц А додаються по стовпчиках i вектор стовпчикових сум Естовп.(А) записуеться тд матрицею А. У наведеному приклада Естовп(А) = (1; 0; 1; 2).

2. Розглядаються скалярш добутки вектора стовпчикових сум £стовп.(А) на кожен вектор-стовпчик матрицi В. Результати скалярних добутюв запи-суються пiд вiдповiдними стовпчиками матрицi С. Таким чином, тд матрицею-добутком С=А В з'являеться вектор-рядок

У наведеному прикладi: £=(1;3).

3. Додаються вс елементи кожного стовпчика матрицi С. У результатi одержують вектор-рядок 2стовп.(С). У наведеному приклад^ Естовп.(С)=(1;3).

При правильному виконаннi мно-ження матрицi А на матрицю В повинна мати мiсце рiвнiсть £ = Естовп.(С).

Аналогiчно здшснюеться перевiр-ки сум елементiв рядюв. Тiльки тут вiдповiднi операцп виконуються над

елементами рядюв матриць.

Схема Фалька зручна при множены декшькох матриць. Наприклад, iз застосу-ванням стовпчикових сум, вона мае такий вигляд:

в С Б

А А В А В С А В С Б

^стовп.(А) $АВ 8АВС 8авсб

Приклад 2. Знайти добуток АВ С,

якщо

& 1 1 0 0, А = I |, В =

% 0 -111

& 1 0 - 3 1 # - 2 3 0 - 5

5

11

0

% 1 -4 2 2 "

(

С =

\

13 1 -1 -2 1 01

Розв 'язання. Використаемо схему Фалька.

В С

1 0 -3 1 1 3

-2 3 0 -5 1 -1

5 1 1 0 -2 1

1 -4 2 2 0 1

1 1 0 0 -1 3 -3 -4 8 -13

А А В А В С

0 -1 1 1 8 -6 3 7 -4 40

^стовп.(А) 1 0 1 1 7 -3 0 3 4 27

Вгдповгдь: А В■ С=

& 8 -13# - 4 40

Наведет приклади показують, що схема Фалька е досить зручною для вико-ристання. Вона добре сприймаеться студентами i тому з устхом може бути вико-

ристана при викладанш теорii матриць i матричного числення у вищих навчальних закладах 1-11 рiвнiв акредитаци.

При проведены занять з матричного числення доцшьно буде ознайомити сту-дентiв iз iсторiею виникнення поняття матрицi та застосуванням матриць в

@

електротехтчних розрахунках. Зокрема, можна зазначити, що в 1850 р. англшський математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) вперше ввiв поняття "матри-ця" для позначення прямокутного впоряд-кування чисел. Сильвестр вiдомий тим, що надавав математичним об'ектам фантас-тичнi назви. Матрицею повинно назива-тися мiсце, в якому щось розвиваеться чи виникае. В 1942 рощ Фельдткайлер Вико-ристав матричне числення в електротех-нiцi для розрахунку електричних кш.

Застосування матриць в електротех-нiцi доцшьно проiлюструвати на такому прикладi. Розрахунок електричних кш грунтуеться на використант лЫйно'1' залежиостi мiж напругою i силою струму (закон Ома). Нетшйш елементи кола наближено замiнюють лЫйними (лше-аризують). Ц лiнiйнi залежносп описують системами лiнiйних рiвнянь, при складант i розв'язуваннi яких можуть знайти застосування матрицi.

Доведено, що при наявносп в розгалуженому електричному колi п вузлiв i т гшок завжди виникае т-п+1 незалежних коитурiв. Рiвняння, що описують розгалужене електричне коло, складають на основi законiв Кiрхгофа. Спiввiдношення мiж силами струмiв у гшках i силами струмiв, що циркулюють у контурах, а також мiж електрорушшними силами i падiннями напруг, задають матрицями зв'язку. Спiввiдношення мж силами сгрумiв, що проходять через опори, i падiнням напруг на цих опорах визначають за законом Ома. Послщовтсть дiй при розрахунку розгалужених електричних кiл у лiтературi називають методом циркуляцп.

Алгоритм методу циркуляцп

1. Нумерують контури i вказують у кожному з них напрями струмiв Д.

2. У кожному з т - п +1 незалежних контурiв обирають напрям вщповщ-ного циркулюючого струму X. .

3. Утворюють дiагональну матри-цю Я, елементи головно'1' дiагоналi яко'1' дорiвнюють Як.

4. За допомогою матриц зв'язку V встановлюють лшшш спiввiдношення мiж 1к i х.. Кiлькiсть рядкiв матрицi V дорiвнюе кiлькостi гiлок, кiлькiсть стовпчиюв - кiлькостi незалежних кон-турiв. Елементи ща матрицi можуть

набувати три значення: 0, 1, -1. Якщо Д не впливае на формування х. , то ^=0; якщо 1к вносить позитивний внесок у х., тобто напрями 1к i х. зб^аються, то %=1; якщо 1к вносить негативний внесок у х., тобто напрями 1к i х. протилежиi, то -1. Таким чином одержують систему т лiнiйних рiвнянь 1=У.Х,, де I- вектор сил струмiв у гшках, Х - вектор сил струмiв, якi циркулюють у контурах.

5. Нехай и - вектор падань напруг. За законом Ома и = Я1. Пхдставивши в цей

вираз I = VX , одержимо и = RVX.

6. Вводять вектор Е електрорушiйиих сил, що дiютъ у контурах. Зпдно iз законом

Крхгофа мае м1сце рiвиiсть е = VTU, де VT - матриця, транспонована до матрицi V. Звщси, враховуючи, що и = ЯУХ, маемо

Е = VTRVX.

7. Таким чином, задача зводиться до розв'язування матричного рiвняння Е = V7,Я VX вщносно Х При цьому поIрiбно спочатку обчислити добуток vTRV = А, а поим розв'язати систему AX = Е .

8. Сили струмв у г1лках i падiння нап-руг на опорах обчислюють за формулами: I = VX, и = RVX.

Прошюструемо застосування методу циркуляц1'1' на приклада.

Приклад 3. Для розгалуженого елек-тричного кола (рис.1) знайти сили струмв, що циркулюють у контурах, сили струмв у гшках, пащння напруг на опорах Яь Я2, Я3, Я 4, якщо Я1=1 Ом, Я2=3 Ом, Яз=1 Ом, Я=2 Ом, Е1=4 В, Е=2 В.

Розв 'язання.

1. Розгалужене електричне коло, зображене на рис.1, мае два незалежш контури. У кожному з цих коитурiв виберемо напрями струмiв: 11, 12, 13, 14.

2. У кожному з контурiв напрями циркулюючих струмiв х1 i х2 виберемо за годинниковою стршкою.

3. Запишемо матрицю опорiв Я: & Я1 0 0 0 # &1 0 0 0#

R =

4.

R2 0

0

R3

0 0 0 Запишемо

0 0

R4

00! 1 0

0,2" зв язку

V.

матрицю

Оскшьки кiлькiсть г1лок у заданому розгалуженому електричному тш дорiвнюе чотирьом, а кiлькiсть незалежних коитурiв

- двом, то матриця V мае розмiрнiсть 4x2.

иь I

и3, /3

Ег

Е7

Рис.1

Знайдемо елементи матриц V. у11=1, оскiльки напрями струмiв 11 i х1 збiгаються;

у12=0, оскiльки 11 не впливае на формування х2;

у21=1, оскiльки напрями струмiв 12 i х1 збшаються;

у22=-1, оскiльки напрями струмiв 12 i х2 протилежнi;

у31=0, оскшьки 13 не впливае на формування х1;

у32=1, оскiльки напрями струмiв 13 i х2 збiгаються;

у41=0, оскiльки 14 не впливае на формування х1;

у42=1, оскiльки напрями струмiв 14 i х2 збiгаються. Отже,

& 1 0 #

и4, /4

уг= &1

1 0 0#

%0 -1 1 1"

6. Запишемо вектор Е електрору-шiйних сил, що дшть у контурах:

& - Ех #

Е

% Е2 "

& - 4 # 2 ,

Значения Е1 взято iз

V =

1 -1 01 01

5. Запишемо матрицю V

знаком "-", оскiльки при обраному напрямi обходу у коитурi (за годинниковою стршкою) перехщ через джерело струму здшснюеться вiд позитивного до негативного полюсу.

7. За законом Крхгофа: Е = VTU=

(оскшьки и = ШХ ).

8. Для знаходження вектора Х сил струмiв, що циркулюють у двох незалежних контурах, розв'яжемо систему

Т

Е = V Я VX . Для цього спочатку знай-

Т

демо матрицю А = V RV . Для знаходження матрищ А використаемо схему Фалька.

я V

1 0 0 0 1 0

0 3 0 0 1 -1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 2 0 1

V1 1 1 0 0 1 3 0 0 4 -3

0 -1 1 1 0 -3 1 2 -3 6

^стовп. 1 0 1 1 1 0 1 2 1 3

Отже,

А=

4

- 3

6

Тодi

Е = АХ, тобто I-4" = & 4 -3

Х1

, )4xi - 3x2 = -4; „ або \ Розв язавши цю

'- 3xi + 6 x2 = 2.

6

систему, одержимо: x = —, ^ =__

5

4_ 15

Отже,

X =

& _ 6 # 5 4

% 15"

9. Вектор сил crpyMiB, що проходять у плках, знайдемо за формулою I = V X. Використаемо схему Фалька.

........-6/5.......... ¡15

1 0 -6/5

V 1 -1 -14/15 I

0 1 4/15

0 1 —1715

"стовп 2 1 -40/15

Отже,

' _6/5 # _14/15 _ 4/15

%_4/15"

10. Вектор падшня напруг на опорах знайдемо за формулою U=R1. Для цього також використаемо схему Фалька.

/

-6/5

-14/15

-4/15

-4/15

R 1 0 0 0 -6/5 и

0 3 0 0 ^2/5

0 0 1 0 -4/15

0 0 0 2 -8/15

—'CTOIJb 1 3 1 2 -66/15

U =

& _ 6/5 # Отже, _ 42/5 _ 4/15 %-8/15^

Знак "-" у значеннях сил струмпв, падшня напруг вказуе на те, що справжш нап-

рями стpyмiв, що циркулюють у контурах, сгрумпв у плках i падшня напруг, е протилежними до напрямав, вказаних на рис. 1.

В1дпов1дь: 1) сили стpyмiв, що циркулюють у незалежних контурах:

х1

A,

5

х2 = — A' 2) сили стpyмiв у 2 15 '

12 = 14 A,

15

гшках: т = _ a 11 = 5 A' 4 4

1з = — A, 14 = — A;

3 15 4 15 3) падiння напруг на опорах:

и = 6 в,

1 5 4

42

u2 = — в, 2 15

8

u3 = — в, 14 = — в.

15

15

Ознайомлення студентiв 1з наведе-ним вище матер1алом розвивае у них розу-мшня щей 1 метод1в матричного числення, 1люструе безпосередне використання мат-риць при розв'язуванш професшно-спря-мованих задачах, готуе до сприйняття ф1зи-ки, електротехшки, радюелектрошки та шших спещальних дисципшн, а також формуе свгтогляд в напрямку едносгi теори 1 практики.

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1976.

2. Белман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1967.

4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. -М.: Наука, 1971.

5. Ланка стер П. Теория матриц. -М.: Наука, 1978.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1970.

7. Фадегв Д.К., Фадеева Н.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963.

Резюме. Гроза В.А., Лещинский О.Л., Тихонова В.В., Томащук О.П. СХЕМА ФАЛЬКА И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ. В статье рассматривается методика введения матричного исчисления с использованием схемы Фалька и иллюстрируется использование полученных знаний при решении задач электротехники.

Summary. Groza V., Leshchinsky O., Tihonova V., Tomashchuk О. FALC SCHEMA AND ITS IMPLEMENTATION IN SOLVING OF ELECTRICAL ENGINEERING PROBLEMS. The article deals with the methodic of introduction of matrix calculations Falc's scheme and gained knowledge under using doing the calculating tasks of electro technique.

Надшшла до редакцп 10.11.2005р.