CC BY
168
УДК 621.332.3: 621.315.66
О. М. ПОЛЯХ (ДПТ)
ЗАСТОСУВАННЯ МАТРИЦЬ ТА ГРАФ1В ДО РОЗРАХУНК1В СИСТЕМ ЕЛЕКТРОПОСТАЧАННЯ
Викладаеться метод розрахунку електропостачання складно-замкнутих електричних мереж. Ма-тематичний опис системи базуеться на застосуванш графiв та матриць.
Ключовi слова: метод розрахунку, електричш мереж1, система застосування графiв i матриць, струм, на-пруга
Вступ
З усього обсягу електроенерги перероблено! в Укра!ни тяговими шдстанщями, близько 40 % реал1зовано для живлення нетягових спожива-ч1в, це е суттево в робот електрифшованих за-л1зниць.
При вибор1 метод1в розрахунку систем елек-тропостачання приходиться знаходити компро-мю м1ж точшстю та трудомютюстю розрахун-юв. Перше обмежуеться похибкою математич-но! модел1 або методу розрахунку та похибкою вхщних даних. Якщо похибка методу буде на порядок нижчою за похибку вхщних даних, то-д1 вона практично не впливае на точнють результата. В свою чергу низька точнють вхщ-них даних на стади проектування обумовлена великою похибкою прогнозу обсягу та складу перевезень.
В процес експлуатаци параметри режим1в уточнюються, перев1ряються за необхщносп розв'язуються задач1 оптим1заци параметр1в схем. При цьому точнють розрахункових мето-д1в повинна бути в кшька раз1в вищою, шж за проектування.
Будь-яко! електроенергетично! системи И стан описуеться в усталеному режим1 складни-ми комплексними р1вняннями, у перехщному диференцшними. Електричш мереж1 (живляч1, розподшьч1) мають складну конф1гуращю, ви-сокий р1вень розгалуження. Для опису стану таких мереж за допомогою р1внянь Юрхгофа, методами контурних струм1в чи вузлових поте-нщал1в гром1здка задача. Застосування теори граф1в та положень алгебри матриць дозволяе розв'язувати таю задач1 такого високого порядку складносп [1-6].
Матричш р1вняння р1вноваги системи вира-жають кшьюсш сшввщношення м1ж !! змшни-ми, а тополопя схеми шдказуе на фундамента-льш зв'язки в систем! та дозволяе виконати ряд спрощень екв1валентно! схеми.
З теори граф1в розр1зняють два види граф1в:
- графи поширення сигналу;
- лшшш або структурш графи [7,8].
Розробити загальш формальш методи отри-мання р1внянь енергетично! системи дозволяе теор1я лшшних граф1в не залежно вщ !! складность А застосування матричних р1внянь дозволяе розв'язання !х як для лшшних, так { не-лшшних систем. За допомогою 1терацшних ме-тод1в розв'язуються нелшшш матричш р1внян-ня [1].
Основна частина
Тягова система електропостачання (СЕП) представляе собою багатом1рну стохастичну нелшшну систему. Для розрахунку !! парамет-р1в можна використати розрахунки кш в усталеному режим1 [3] .
Найбшьш точш математичш модел1 системи електротяги створюються при спшьному роз-гляду СЕП та електрорухомого складу (ЕРС). Схема замщення ЕРС у цьому випадку буде у вигляд1 проти-ЕРС 1з послщовно вв1мкненими опорами та паралельно вв1мкненими ировщно-стями яю характеризують потужносп втрат, пропорцшш квадрату струму чи напруги, вщ-повщно. Аналопчно замщуються тягов1 шд-станци. При такому шдход1 зручним методом розрахунку виявляеться метод вузлових потен-щал1в.
Заступну схему ЕРС подаемо у вигляд1 дже-рела живлення струму. Така складна система електрично! тяги розраховуеться у два етапи: -режим ЕРС з наближеним урахуванням параме-тр1в СЕП; - режими СЕП при заданих струмах параметрах ЕРС.
Якщо навантаження СЕП задаш у вигщщ джерела струм1в, то зручним методом розрахунку виявляеться метод контурних струм1в.
Стан будь-якого електричного кола опису-еться р1вняннями Юрхгофа, що в матричнш форм1 мають вигляд:
[м\1в ]=0
[ N ][ив ] = 0
(1)
© О. М. Полях, 2012
де: [М] - матриця iнциденцiй (з'еднань) вуз-
лiв; [ N ] - матриця шциденцш контурiв; [в ] - вектор-стовпець шуканих струмiв усiх пв вь ток; [ив ] - вектор-стовпець напруг вiток.
Кожна вiтка може складатися iз трьох паси-вних елементiв: резистора Я, iндуктивностi Ь та емносп С.
Рiвняння такого кола можна записати у ви-глядi:
и) = и Я) + иы + и{у + е), (2) де: е) - ЕРС)- 1 вiтки.
Розташувавши напруги в^ок у стовпець, на основi виразу ( 2.2 ) запишемо:
[ив ] = [ Яв ][/в ]+[ Ьв ]
+
С
(3)
}[/в ]Сг+[иСв (0)]+[ев ]
де
[ Яв ] =
^0000 оЯ2ооо 00 Я300
00000Я
пв
[ Ьв ] =
1пв
Ь21' Ь22'....Ь2Пв
Ьпв1' Ьпв2'....ЬПвПв
-0000
Св
Св1
0 1 000 Св2
0000
С
пв
С
В цих матрицях Я1,...,Япв - опори вггок;
11 ...
- зворотнi емносп вiток;
Сп
вiток. Операци диференщювання та штегру-вання до кожного елемента вектора [в ] .
Прямий розв'язок системи (3) можна зам> нити розв'язком меншо! розмiрностi з наступ-ною операцiею множення матрицi на вектор.
В методi контурних струмiв розв'язуеться система
[ N ]-[ив ] = 0. (4)
Як незалежнi змiннi приймаються контурнi
струми, вектор яких
к
зв язаний з вектором
[/в ] контурним перетворенням [/в ]=[ N 1
(5)
1ндекс « Т » визначае операцiю транспону-вання. Пiдставляючи вирази (4) i (5) в систему (3), отримаемо
[Я] к +[Ь]
сИ
к
сСг
+
1
С
к
&+
(6)
=0,
[N ]-[исв (°) + ев
де: [ Я ] = ^ ][Яв ][N ]т [Ь ] = [N ][Ы ][N ]т;
1
С
= [ N ]
1
Св
[ N1
(7)
Справедливють контурного перетворення витшае з фундаментального спiввiдношення
[М ]•[ N ] т = 0, (8)
у якому використовуються матрицi [ М ] i
[ N ] одного й того ж кола. Обчислення матрищ
суттево спрощуеться, якщо складати матрищ в блочному виглядi [3]. Приймемо наступний порядок нумераци в^ок (шдексацп блокiв): 1) хорди - розрахунковi вiтки СЕП; 2) хорди -в^ки навантаження; 3) в^ки дерева - решта в> ток СЕП. За тако! шдексацп контуру матриця
[ N ] набуде вигляду:
[N ]■
Е11' Оц' Л^13
О21' Е22' N23
(9)
де:
~Е ' О ]
_ пт _ [ пт ]
одиничнi та нульовi мат-
в1 пв
Ьц....^ - власш та взаемнi iндуктивностi
рищ, розмiрностi яких визначенi iндексами. Тодi подамо матрицю опорiв вiток у блочному вигщщ
[ RB ]'
[ R ]:
Rii' O12' Oi3 O2i' R22'O23 °3i'°32' ^33
Rii,Ri2 R2i' R22
Maтpиця oпopiв кoнтypiв нa ocнoвi пеpшoгo виpaзy (7) зaпишетьcя
Rii + Ni3R33 NTi3' Ni3 N23R33 NT23' R22 + N23R33 NT23
(iO)
Анaлoгiчнo виpaзи oтpимaeмo для блoкiв мaтpицi [X] , якщс ïï вггки мaгнiтнo poзв'язaнi. Для
мaгнiтнo зв язaниx вiтoк з ypaxyвaнням ^ийнято! iндекcaцil зaпишемo
X
L
= ю
L
ii
Ni3L3i
( Li3Ni3L33) NT 13'( Li3
Ni3Li3) NT 23
N L 23 3i
N
23
'L33NT13' L22
-N L N 23 33 T23
.(ii)
Знaйденi мaтpицi [R11 ], [R12 ], [X11 ], [X12 ]
не зaлежaть вiд пapaметpiв нaвaнтaженнЯ' a ви-знaчaютьcя лише пapaметpaми вiтoк СЕП.
Рoзв'язaння piвнянь cxемИ' гpaф якoï шве-дений m pиc. i викoнaнo мaтpичним метсдсм. Рoзглянyтa cxемa paйoнy елекфичних меpеж зaлiзничнoгo вyзлa. Зб тpaнcфopмaтopниx шд-
cтaнцiï живлятьcя нaпpyгoю 6...10°кВ табель-
ними i пoвiтpяними лшями, cтвopюючи cклaд-нo-зaмкненy cиcтемy електpoпocтaчaння.
3a вiдoмими нaвaнтaженнями пiдcтaнцiй i мapкaми пpoвoдiв тa кaбелiв лшш електponеpе-дaчi визнaченi кoмплекcнi oпopи лiнiй' щс pa-зсм з пoтyжнocтями живлячих центpiв (тягoвa пiдcтaнцiЯ' лiнiя мicькoï меpежi) пpийнятi в якее!! вxiдниx дaниx де poзpaxyнкy меpежi.
Рoзглянyтiй меpежi вiдпoвiдae cxемa opie^ тoвaний гpaф' зoбpaжений m pиc. 1. Biн craa-дaeтьcя з 42 вiтoк тa 37 вyзлiв. Вузли 0 (тягoвa пiдcтaнцiя) тa Зб (мicькa меpежa) - живлячь Нaвaнтaження тpaнcфopмaтopниx пiдcтaнцiй пoзнaченi як Ik, де k - нoмеp вyзлa.
Maтpичними piвняннями зa методам вyзлo-вих пoтенцiaлiв виpiшyeтьcя зaдaчa знaxoджен-ня нaпpyг y вyзлax електpичнoï меpежi пpи зa-дaниx нaвaнтaженняx мae единий poзв'язoк y тому випaдкy' кoли в oднoмy з вyзлiв нaпpyгa вiдoмa. 3a тaкий бaзиcний' a6o бaлaнcyючий' вyзoл пpиймaють зaлежний вyзoЛ' для ятого не cклaдaютьcя piвняння I зaкoнy Кipxгoфa. Ha-пpyгa в ньoмy пoзнaчaeтьcя U0. Haпpyгa pешти вyзлiв визнaчaeтьcя вiднocнo бaзиcнoгO' як cпaд нaпpyги вiд кoжнoгo з незaлежниx вyзлiв дo 6a-зиcнoгo
[ид] = [U] -_U0[1]' (12)
де [1] - oдиничнa мaтpиця-cтoвпець.
Maтpичне piвняння зa метoдoм вyзлoвиx no-тенцiaлiв (нanpyг) мae вигляд
Ш [ид] = [J]' (13)
де [Y] - мaтpиця вyзлoвиx пpoвiднocтей; [ид] -
вектop cnaдy rnnpyra вiд кoжнoгo незaлежнoгo вyзлa дo бaзиcнoгo; [J] - вектop зaдaючиx cтpyмiв.
Maтpицю вyзлoвиx npoвiднocтей oтpимaeмo cклaвши дiaгoнaльнy мaтpицю onopiв в^к (зa вiдoмими onopaми лiнiй)' визнaчимo мaтpицю npoвiднocтей (дiaгoнaльнy)
[Yb] = [Zb]-1. Пеpеxiд дo мaтpицi вyзлoвиx npoBi-днocтей викoнyeмo зa фopмyлoю
Y = [M] [Zb]-1 [M]t ' де [M] - nеpшa мaтpиця iнциденцiй (з'eднaнь y вyзлax); [M]T - тpaнcnoнoвaнa мaтpиця [M].
Алгopитм poзв'язaння piвняння (13) меpежi cклaднoгo електpичнoгo кoлa iз зacтocyвaнням мaтpиць дo метoдy вyзлoвиx нaпpyг npono^-eтьcя нacтynним чинoм:
- пpoнyмеpyeмo вiтки тa вузли, ^м бaлaнcyю-чoгo. 3aдaмo noзитивний нaпpямoк вiткaм;
- cклaдемo nеpшy мaтpицю iнциденцiй [M];
- cклaдемo мaтpицю кoмnлекcниx onopiB вiтoк [Zb];
- визнaчимo мaтpицю вyзлoвиx npoвiднocтей
[Y]=[M] [Zb]-1 [M]t=[M] [Yb] [M]t;
- знaйдемo oбеpненy мaтpицю вyзлoвиx npoB^-нocтей (мaтpицю вyзлoвиx onopiB)
Y -1 = [Zy];
- cклaдемo cтoвnцевy мaтpицю (вектop) зaдaю-чих cтpyмiв [J];
- знaйдемo вектop cnaдy нanpyги вiд кoжнoгo з
незaлежниx вyзлiв cxеми дo бaзиcнoгo [ид]= [Y] -1 [J];
- визнaчимo вектop cnaдy нanpyги y вигах кoлa
[Ub] = [M]t [ид];
- знaйдемo вектop cтpyмiв y вiткax
[I = [Zb]-1 [M]t [ид];
- визнaчимo втpaти noтyжнocтi в лiнiяx
AP,=R,I,2 ,
AP = ¿ 2, 1
де n - кшькють вiток в мережi
Рис. 1. Граф електрично!' мереж
Висновки
1. Ефективним методом розрахунку склад-но-замкнених електричних мереж е матричний метод.
2. Для знаходження струмiв у лшях елект-рично! мережi найбiльш рацiональним слiд вважати метод вузлових напруг, який дозволяе знаходити, крiм струмiв у вiткаX' також i на-пруги в ушх вузлах.
3. Розроблений алгоритм матричного розрахунку складно-замкнено! мережi дозволяе ви-значити струми у вггках мережi' напругу у вузлах, а також втрати потужностей у лшях.
4. При шдвищенш рiвню напруги району електричних мереж з 6 кВ до 10 кВ втрати еле-ктроенергп зменшаться майже втричi [9,10].
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Караев, Р. И. Электрические сети и энергосистемы [Текст] / Р. И. Караев, С. Д. Волобринский, И. Н. Ковалев. - М. : Транспорт, 1988. - 326 с.
2. Лыкин, А. В. Электрические системы и сети: Учебн. пособие [Текст] / А. В. Лыкин. - М. : Университетская книга; Логос, 2006. - 254 с.
3. Почаевец Э. С. Обобщенные методы анализа режимов системы тягового электроснабжения : Учебн. пособие [Текст] / Э. С. Почаевец . - Д., ДИИТ, 1981. - 55 с.
4. Максимович, Н. Г. Теория графов и электрические цепи [Текст] / Н. Г. Максимович. - Львов, Вища шк., 1987. - 215 с.
5. Ильинский, Н. Ф. Приложение теории графов к задачам электромеханики [Текст] / Н. Ф. Ильинский, В. К. Цаценкин. - М. : Энергия, 1968. -201 с.
6. Мельников, Н. А. Матричный метод анализа электрических цепей [Текст] / Н. А. Мельников. - М.-Л. : Энергия, 1966. - 216 с.
7. Зевеке Г. В. Основы теории цепей [Текст] : учеб. для вузов / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин,
A. В. Нетушил, С. В. Страхов. - М. : Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.
8. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники [Текст] / Л. А. Бессонов. - М. : Высш. шк., 1978. - 750 с.
9. Карпенко, С. Я. Опыт работы Укрзализныци по модернизации коммерческого учета электроэнергии. Стимулирование потребителей на оптовом рынке электроэнергии к модер-низации учета и регулирования собственного графика потребления [Текст] / С. Я. Карпенко // В1сник Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад.
B.Лазаряна - 2006. - Вип. 13. - Д. : Вид-во ДНУЗТ, 2006. - С.28-32.
10. Бондар, О. I. Оцшка впливу компенсаци реактивно! потужносп на втрати електроенергп [Текст] / О. I. Бондар, I. Л. Бондар // В1сник Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна - 2009. - Вип. 27. - Д. : Вид-во ДНУЗТ, 2009. - С.51-55.
Надшшла до редколегп 05.11.2012. Прийнята до друку 23.11.2012.
А. Н. ПОЛЯХ
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ И ГРАФОВ В РАСЧЕТАХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Излагается метод расчета электроснабжения сложно-замкнутых электрических сетей. Математическое описание системы базируется на применении графов и матриц.
Ключевые слова: метод расчета, электрические сети, система применения графов и матриц, ток, напряжение
O. M. POLYAH
USE MATRICES AND COUNTS IN CALCULATIONS OF ELECTRICAL SYSTEMS
Describes the method for calculating in complicated closed electrical networks. Mathematical description of the system is based on the use of graphs and matrices.
Keywords: method of calculation, electrical network, the system of graphs and matrices, current, voltage
