CC BY
352. Залесский А.Е., Михалев A.B. Групповые кольца // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1973. 5-118.
Поступила в редакцию 07.09.2015
УДК 517; 514; 519.2
ШАР, СФЕРА И ВСЁ-ВСЁ-ВСЁ В. А. Зорич1
Памяти
Андрея Александровича Гончара
Описана связь многомерной геометрии со статистической термодинамикой и законами больших чисел.
Ключевые слова: многомерная геометрия, статистическая термодинамика, законы больших чисел.
We describe the relationship of multidimensional geometry with statistical thermodynamics and with laws of large numbers.
Key words: multidimensional geometry, statistical thermodynamics, laws of large numbers.
Механико-математическому факультету МГУ в 2013 г. исполнилось 80 лет, как и его кафедре математического анализа, где мне довелось пересечься и работать с Андреем Александровичем Гончаром.
У кафедры с момента ее образования в 1933 г. были последовательно четыре заведующих: Михаил Алексеевич Лаврентьев, Александр Осипович Гельфонд, Александр Яковлевич Хинчин, Николай Владимирович Ефимов, которых, к сожалению, уже нет в живых, но которые не ушли из нашей памяти. Сейчас кафедрой заведует Виктор Антонович Садовничий. При Николае Владимировиче я, например, только пришел на кафедру и впервые читал курс математического анализа математикам. Александра Яковлевича я застал, будучи студентом; он нам читал курс анализа, причем это было его последнее чтение (дочитывал нам этот курс Сергей Борисович Стечкин). Александр Осипович читал нам комплексный анализ. Михаила Алексеевича я в МГУ не застал, но судьба сложилась так, что, когда он уже командовал не кафедрой, а наукой в Сибири, я решил одну его задачу, и по его приглашению наша первая научная встреча состоялась в Новосибирском академгородке в Институте гидродинамики.
Когда я пришел на кафедру, Андрей Александрович (который позже перешел в Математический институт и на кафедру теории функций) уже вовсю читал лекции по анализу существовавшему тогда на мехмате инженерному потоку, а лектор и докладчик он был прекрасный, о чем уже писали многие. Его коронный прием и тогда, и много лет спустя состоял, как мне кажется, в том, что он находил простейшую ситуацию и давал идеальную постановку задачи, в которой суть вопроса обнажалась полностью, не будучи обремененной случайными обстоятельствам и отвлекающими деталями. Многие обобщения после этого уже представлялись упражнениями.
Но первое знакомство с Андреем Александровичем произошло много раньше, когда он пришел к нам в студенческую группу первого или второго курса в качестве аспиранта-куратора группы. Потом был научный семинар Алексея Ивановича Маркушевича, на котором не раз выступал Гончар. Перескакивая через очень многое, замечу, что, хотя я сам не занимался непосредственно тематикой Андрея Александровича, помню что один из первых публичных докладов в Москве о решении задачи М.А. Лаврентьева был сделан как раз на семинаре A.A. Гончара в отделе комплексного анализа Математического института Стеклова. И тогда, и до самого конца на семинаре А. А. Гончара могла присутствовать разная тематика.
1 Зорич Владимир Антонович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vzorQmccme.ru.
Минуя опять очень многое, замечу, что иногда судьба людей, каких-то работ или книг могла бы быть совсем иной, они могли просто не состояться или не появиться без чьей-то профессиональной поддержки и импульса. Например, учебник анализа, который я написал и которым в разных изданиях и переводах уже успели воспользоваться студенты университетов и у нас, и за рубежом, начинался с того, что Николай Владимирович Ефимов и Андрей Александрович Гончар инициировали ротапринтное издание моих лекций на мехмате. Потом из издательства "Наука" позвонила Анна Петровна Баева, студенческая одногруппница Андрея Александровича по мехмату, с предложением написать полноценный университетский учебник для студентов естественно-математического профиля. Потом были ободряющие отзывы Андрея Николаевича Колмогорова и Владимира Игоревича Арнольда. Без этих людей ничего этого бы не было. А это уже касается не только автора, но и всех, кому та или иная книга оказалась нужной и полезной. Книги, как дети, потом уже живут своей жизнью.
Кое-что из изложенного ниже несколько раз рассказывалось в Математическом институте на семинаре, одним из бессменных участников и руководителей которого был Андрей Александрович Гончар, любивший и математику, и шутку. Он же все последние годы был главным редактором "Математического сборника" — старейшего математического журнала России, которому в 2016 г. исполняется 150 лет.
Не погружаясь в технические детали, которые при желании читатель сможет найти в работах, указанных в списке литературы, мы опишем здесь в доступной широкому кругу математиков форме явление концентрации меры для областей евклидова пространства очень большой размерности. Человеку, привыкшему к трехмерному пространству, это явление может показаться неожиданным, поскольку оно не наблюдается в маломерном случае. Но оно играет ключевую роль, например, в статистической физике, теории вероятностей, теории передачи информации, хотя в каждой из этих теорий оно имеет свой не всегда одинаково узнаваемый облик.
Чтобы уложиться в рамки приемлемого для журнала объема статьи, мы проведем изложение в виде ряда последовательных наблюдений. Каждое из них легко и полезно проверить самостоятельно, а вместе они уже составят достаточно цельную картину.
1. Многомерный шар и многомерная сфера. В шаре, на вид самой простой пространственной фигуре, оказывается, содержится столько всего, что невольно приходят на ум слова Парменида из Элей: "Бог — неподвижен, конечен и имеет форму шара".
(a) Концентрация объема шара,. С тысячемерного арбуза, имеющего форму шара радиуса один метр, сняли корку толщиной один сантиметр. Осталось меньше тысячной доли исходного арбуза! (Проверьте.)
Почти весь объем многомерной области содержится в окрестности ее границы. Достаточно общую теорему на этот счет можно найти в [I]2, но нам сейчас хватит шара и сферы.
(b) Концентра,ция площади сферы. Если мы знаем, что почти весь объем многомерного шара находится в малой окрестности граничной сферы, то, рассмотрев проекцию полусферы на шар ее же размерности, получаемый в сечении исходного шара гиперплоскостью, проходящей через центр шара, можно заключить, что почти вся площадь многомерной сферы сосредоточена в малой окрестности ее экватора (который секущая гиперплоскость высекает на сфере).
Проделав выкладки, можно показать [2-4], что
где Ргга[—5, — доля площади всей единичной сферы ¿>га-1 С Кга, которая заключена в слое между двумя параллельными гиперплоскостями, отстоящими от центра на расстоянии 5 € (0,1). Обозначение Рг мотивировано тем, что это оценка вероятности найти случайную точку сферы в указанной области сферы.
Из этой оценки, в частности, вытекает, что если в Мга взять случайно и независимо пару единичных векторов г>1,г>2, т0 ПРИ и > 1 с большой вероятностью они окажутся почти ортогональными, т.е. их скалярное произведение < г>1,г>2 > будет близко к нулю, а именно
2 Статья [1] содержит развитие ряда вопросов, которые будут обсуждаться ниже. Она была написана позже, но опубликована раньше.
(1)
(2)
Оценки (1) и (2) показывают, что при п 1 типичные значения случайной величины | < г>1,г>2 > | будут порядка . В случае сферы радиуса л/п и векторов У\, Уг длины л/п стандартное отклонение величины <^1,^2 > от ее среднего значения (нуля) будет порядка 1.
(с) Проекция шара па прямую. Хорошо известно, что объем шара Вп(г) С Мга выражается
п
формулой *ГП. Воспользовавшись формулой Стирлинга, отсюда можно получить асимптотику _2 1 2 >
гп ~ л/1^ Для радиуса шара единичного объема при п 1. Этот характерный размер г л/п появится ниже и из физических соображений.
Если посмотреть, как распределяется единичная масса однородного шара единичного объема в проекции этого шара на прямую, то в пределе при п —> оо на прямой возникнет нормальное распределение.
В случае, если рассмотреть вероятностную меру, равномерно распределенную в шаре радиуса г = (Т\/п, то при указанном проектировании на прямой возникнет распределение с плотностью 1
. е 2^2. Для шара это простая выкладка.
V 27Г а
(ё) Проекция сферы па прямую. Мы уже знаем, что при п 1 почти весь объем шара сосредоточен в малой окрестности граничной сферы. Значит, если мы будем иметь вероятностную меру на сфере ¿>га-1(г) радиуса г = сгл/п, то при проектировании на прямую мы получим то же распределение, что и в случае шара. (Это можно проверить и прямой, хотя и более громоздкой выкладкой.)
(е) Центральная предельная теорема и распределение Максвелла. Если считать, что мы проектировали, например, на первую координатную ось, то с вероятностной точки зрения мы нашли закон распределения вероятностей значений первой координаты случайной точки сферы 5,га_1((ту/п), когда п 1. При этом мы получили и некоторую форму центральной предельной теоремы теории вероятностей. В самом деле, ведь, по существу, доказано, что скалярное произведение < е, х > = любого фиксированного единичного вектора е € Кга и случайного вектора х € &а~1((Тл/п) в пределе при п —> оо распределено нормально. В частности, если взять е = ^(1, •••)!)) а с2 трактовать как дисперсию, то получим классический вид центральной предельной теоремы.
Здесь же спрятан и закон распределения молекул по скоростям и энергиям. Рассмотрим однородный газ в какой-то покоящейся емкости. Пусть ы,...,ьп — трехмерные векторы скорости молекул. В стандартных условиях естественно считать, что совокупная кинетическая энергия Еп = молекул пропорциональна их количеству п, т.е. Еп = Еп и = "-п. Последнее соот-
ношение определяет сферу радиуса ^^п в пространстве М3га. Мы получаем закон распределения вероятностей значений каждой компоненты (координаты) скорости молекулы газа — вариант закона Максвелла (который, разумеется, еще следует довести до физически значимого вида, включающего температуру).
2. Стабилизация значений функций очень многих переменных. Любая более или менее регулярная (пусть липшицева) функция на многомерной сфере постоянна с точки зрения наблюдателя, измеряющего ее значения в случайных точках.
Это явление может показаться невероятным, но именно оно лежит в основе постоянства таких привычных параметров среды нашего обитания, как температура и давление, которые являются функциями огромного числа равноправных переменных (молекул). Это нелинейный аналог хорошо известного в теории вероятностей закона больших чисел. Объясним его.
(a) Изопериметринеское неравенство. Договоримся расстояние между точками сферы Бт С Мт+1 понимать в смысле ее геодезической метрики д. Через А§ обозначим ¿-окрестность в Бт множества А С Б171. Нормируем стандартную меру сферы, заменив ее равномерно распределенной вероятностной мерой ¡л, т.е. ц(8т) = 1. Справедливо следующее утверждение, доказанное Полем Леви [2, 3] и именуемое обычно изопериметрическим неравенством Леей.
Для любых 0<а<1и5>0 существует тт{//(у!г) : А С Зт,/лА = а} и он достигается на сферической шапочке А° меры а.
При а = 1/2, т.е. когда А° — полусфера, вспоминая оценку (1), получаем следствие:
Если подмножество А С ¿>га+1 таково, что ¡л(А) ^ 1/2, то ¡л{А^) ^ 1 — \рк]%е~^п12.
(b) Нелинейный закон больших чисел. Теперь обозначим через М/ такое число, для которого ц{х € Бт : /(х) ^ Mf} ^ 1/2 и ц{х € Бт : /(х) ^ М/} ^ 1/2. Его-то и называют медианой или средним, в смысле Леви значением функции / : Б"1 —> М. (Если /-уровень функции / на сфере
имеет нулевую меру, то мера каждого из указанных двух множеств будет в точности равна половине /л-площади сферы Sm.)
Следующее утверждение, смысл которого разъяснен выше, называется леммой Леви. Если / € C{Sn+l) и А = {хе Sn+1 : /(ж) = Mf], то ц{Аё) ^ 1 - ^/2е~рп/2. Пусть Wf(5) = sup{|/(ж) — f(y)I : д(х,у) ^ — модуль непрерывности функции /. Значения функции / на множестве As близки к Mf. Точнее, если U)f(5) ^ е, то |/(ж) — Mf \ ^ е на As- Таким образом, лемма Леви показывает, что "хорошие" функции почти постоянны на почти всей области определения — единичной сфере Sm, когда ее размерность m очень велика. Точнее, из леммы Леви при m = п + 1 получаем оценку Рг{|/(ж) — М/| > ujf(ö)} < л/тт/2e~&2n¡2.
Например, если / € Lip(S,ra+1,R) и L — константа Липшица для функции /, то Рг{|/(ж) — Mf I > 5/L} < \/тГ/2е~&2'а/2, или в иной записи Рг{|/(ж) — М/| > е} < ■\/тг/2е~(£/ь"> п!2. При этом стандартное отклонение величины |/(ж) — Mf | от нуля, если п 1, будет порядка L/y/ñ.
В случае, когда функция / определена не на единичной сфере, а на сфере радиуса г, величина г войдет в проведенные оценки. Например, e/L заменится на e/rL, а стандартное отклонение значений функции от Mf, естественно, возрастет пропорционально г.
Если / — гладкая функция, то константой Липшица L для нее, очевидно, может служить максимум модуля ее градиента. Так, для линейной функции Sn = ^(ж1+.. .+жга) имеем L = Ln =
3. Заключительный комментарий. Мы опустили много деталей. Мы даже не коснулись теории передачи информации по каналу связи при наличии помех, где тоже ключевую роль играет то обстоятельство, что относительный объем пересечения двух одинаковых многомерных шаров очень мал даже тогда, когда центры шаров близки. Более подробное изложение и обсуждение некоторых из затронутых вопросов можно найти в одноименной статье на сайте http://matan.math.msu.su/vzor и в цитруемой ниже литературе, в частности во второй главе книги [5]3.
Мы говорили только об одной геометрической фигуре (шаре), форму которой Парменид (не без некоторых оснований) обожествил. Но об одном и том же разные, даже очень умные люди могут иметь разные, порой контрастирующие суждения. Так, Протагору из Абдеры приписывают следующее высказывание (кажется, приведшее впоследствии к уничтожению его книг): "О богах невозможно знать ни того, что они есть, ни того, что их нет, ни того, каковы они по виду; а причина тому: неясность вопроса и краткость человеческой жизни".
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 14-01-00709-а) и одной книги А. А. Милна в переводе Б. Заходера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зорин В.А. Многомерная геометрия, функции очень многих переменных и вероятность // Теор. вероятн. и ее примен. 2014. 59, № 3. 436-451.
2. Lévy P. Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle. Paris: Gautier-Villars, 1951.
3. Milman V., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimensional normed spaces. (With an Appendix by M. Gromov.) // Lect. Notes Math. Vol. 1200. Berlin: Springer-Verlag, 1986. (Appendix I: Gromov M. Isoperi-metric inequality in Riemannian manifolds. 114-129.)
4. Ball K. An elementary introduction to modern convex geometry // Flavors of Geometry / Ed. by S. Lévy. Cambridge: Univ. Press, 1997. 1-58 (Berkeley: Math Sei. Res. Inst. Publ. Vol. 31).
5. Zorich V. Mathematical analysis of problems in the natural sciences. Berlin: Springer, 2011 (Дополненный пер. на англ.: Зорин В.А. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2008).
Поступила в редакцию 25.09.2015
3В конце этой книги на английском языке помещен "Непредвиденный эпилог". Я хотел бы привести его здесь на русском языке.
"Английский перевод этой книги был почти завершен, когда скоропостижно скончался Владимир Игоревич Арнольд. Я не знаю, кто будет читать эту книгу, но книга и все мы, математики, потеряли самого яркого, тщательного и профессионального читателя, которому с дружеской улыбкой явно или неявно были адресованы отдельные места текста. Многое еще будет сказано и написано о В. И. Арнольде. Объективное время и следующие поколения оценят его заслуги. Но следующие поколения уже не будут его современниками. Им будет трудно понять, что потеря Арнольда для математики, по крайней мере в России, и особенно при нынешнем состоянии науки в стране, подобна потере среды обитания".
