Оценка расстояния между двумя телами внутри n-мерного единичного куба и шара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.17+514.174

ОЦЕНКА РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ТЕЛАМИ ВНУТРИ п-МЕРНОГО ЕДИНИЧНОГО КУБА И ШАРА

Ф. А. Ивлев1

Рассматривается задача об оценке расстояний между двумя телами объема е, расположенными внутри n-мерного тела В единичного объема, при п —)■ оо. В ряде случаев такие расстояния ограничены функцией от е, не зависящей от п. Исследуются случаи, когда В — шар или куб.

Ключевые слова: минимальная поверхность, многомерная выпуклая геометрия, центральные предельные теоремы.

The problem of estimation of the distance between two bodies of volume e located inside an n-dimensional body В of unit volume where n —> oo is considered. In some cases such distances are bounded by a function of e not dependent on n. The cases when В is a sphere or a cube are considered.

Key words: minimal surface, multidimensional convex geometry, central limit theorems.

1. Введение. Пусть Bn — тело единичного объема в n-мерном пространстве. При п —> оо диаметр Вп тоже стремится к бесконечности, так что внутри тела В можно найти далекие точки. Этим обстоятельством продиктованы трудности при переносе конечномерных результатов на бесконечномерные, в частности в функциональном анализе. Тем не менее в ряде случаев есть основания предполагать, что если взять два множества объема е, то расстояние между ними будет ограниченной функций от е вне зависимости от п. Это может оказаться полезным, в том числе и для переноса результатов на бесконечномерный случай. Интересно, что результаты затрагивают теорию минимальных поверхностей [1, 2].

Под расстоянием dist(A, В) между множествами A m В мы понимаем величину

D = distM, В) = inf distfX, Y),

где dist(X, Y) есть расстояние между точками X и Y.

Следующие две гипотезы были предложены H.A. Бобылёвым и А. Я. Канелем

Гипотеза 1 (случай куба). Пусть е — данное число в интервале (0,1), Кп — n-мерный куб единичного объема. Внутри Кп выбраны два множества А и В каждое объема е. Тогда расстояние между А и В не больше, чем некоторая константа D = D(e), и не зависит, от, размерности пространства п.

Гипотеза 2 (случай шара). Пусть е — данное число в интервале (0,1), Кп — n-мерный шар единичного объема. Внутри Кп выбраны два множества А и В каждое объема е. Тогда расстояние между А и В не больше, чем некоторая константа D = D(e), и не зависит, от, размерности пространства п.

Очевидно, что если е ^ 1/2, то обе гипотезы верны. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что е < 1/2.

В настоящей работе гипотеза 1 доказана в случае, когда множества A m В являются пересечениями полупространств с кубом, причем границы этих полупространств перпендикулярны главной диагонали куба. Гипотеза 2 доказана в случае, когда множества А и В выпуклы. В конце работы приведены общая идея о том, почему поставленная гипотеза скорее всего верна и для произвольных множеств, план доказательства гипотезы, постановки близких задач.

2. Выпуклые множества. Зачастую для удобства мы будем опускать индекс размерности у рассматриваемых тел и, например, обозначать п-мерный куб просто К.

2.1. Общий случай. Сделаем несколько общих замечаний, применимых к поставленной задаче для любой фигуры.

1 Ивлев Фёдор Алексеевич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivlevfyodorQgmail.com.

12 ВМУ, математика, механика, № 6

Вместо множеств А и В можно взять их замыкания А и В, и расстояние от этого между ними не изменится. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что множества А и В замкнуты и, следовательно, компактны.

Напомним следующий классический результат.

Лемма 1. Пусть А и В — выпуклые компактные не пересекающиеся подмножества Мга. Тогда существуют параллельные гиперплоскости ГЦ и Пд, которые разделяют множества А и В и расстояние между которыми равно расстоянию между множествами А и В.

Обозначим рассматриваемую фигуру единичного объема через Р. Рассмотрим часть Р, отсекаемую гиперплоскостью 11\ и содержащую множество А. Обозначим ее через А1. Аналогично определим В'. Тогда множества А1 и В1 имеют объем хотя бы е, потому что содержат одно из множеств А и В, а расстояние между ними такое же, как расстояние между А и В. Если заменить в гипотезе условие, что объемы множеств А и В равны е, на то, что объемы этих множеств не меньше е, мы получим гипотезу, очевидно равносильную исходной. Поэтому при работе с выпуклыми множествами мы сразу будем оперировать множествами вида А1 и В1 и называть их просто А и В соответственно.

2.2. Случай шара.

Теорема 1. Пусть задано число е € (0,1/2), ¿>га — п-мерный шар единичного объема. Каждое из выпуклых подмножеств А и В этого шара имеет объем, е. Тогда расстояние между А и В не превосходит некоторой константы И = И(е), не зависящей от, п.

Доказательство. Применим к множествам А и В лемму 1 и обозначим полученные гиперплоскости через 11\ и Ив- Тогда искомое расстояние, как следует из леммы 1, равно расстоянию между гиперплоскостями I I \ и II/;. Обозначим центр шара через О, а плоскость, проходящую через О и параллельную 11\. через П. Тогда расстояние между А и В равно удвоенному расстоянию от точки О до множества А или, что то же самое, удвоенному расстоянию между гиперплоскостями 1I \ и П. Обозначим это последнее расстояние через й.

Лемма 2. Объем части шара Б единичного объема, расположенной между гиперплоскостью П; проходящей через его центр, и, параллельной ей гиперплоскостью П'; отстоящей от первой на расстояние (1, при стремлении размерности п к бесконечности стремится к

fd

/ е~жех dx. /о

Доказательство. Очевидно, этот объем равен

cd

Г

V= S{x)dx, Jo

где S(x) — объем (n — 1)-мерного шара, являющегося результатом сечения исходного шара S гиперплоскостью 11 ,. параллельной П и находящейся от нее на расстоянии х. Его радиус по теореме Пифагора равен г = л/R2п — х2, где Rn — радиус п-мерного шара единичного объема. Объем этого

ж(п-1)/2

шара равен Сп—\ТП где Сп—\ = —, , —г. Из уравнения Cra_R™ — 1 находим формулу для Rn.

Г (~2 I" Ч

r(f+ 1)1/га

^ ~ тг1/2

Подставляя это выражение в формулу объема, получаем

fd rd

V = J S(x)dx = J Cn-1 ^д/E2 — x2^j dx =

Найдем, к чему стремится первый множитель последней формулы. Имеем

= / Г(| + 1)1/га \га-1 _ Г + Ла-г) + Г (2=1 + 1)'

Воспользуемся асимптотической формулой роста гамма-функции в следующем виде:

T(z + 1) = e~zzz+l/2{2тг)1/2(1 + 0(±)) при * -»■ оо. Получаем в нашем случае

Wh + I)1^ / п \§ +

V2 ; » (2tt)2^V Кп! = exp(i)(l + о(1)) при п —у оо.

Г(^ + 1) \n-lj 1 + <Э(±)

Нам осталось показать, что

га—1

Обозначим подынтегральное выражение в левой части через F(x,n). Начиная с некоторого п будем иметь Rn > d, и, следовательно, 0 ^ F(x,n) ^ 1 на всем отрезке [0,d]. Поэтому

/•d /-(i lim / F(x,n)dx = lim lim / F(x,n)dx.

n->oo Уд <5—>0+ га—>oo

r

n—>oo

„2„

Покажем, что последовательность ^(ж, п) равномерно по п на отрезке d] сходится к ехр(—х ire). Для этого представим F(x,n) в следующем виде:

п —1

«/^iö&T /7 1

Поскольку lim (1 — 1 /у)у = е-1, для любого а > 0 существует такое число Y > 1, что для любо-

у—>оо

го у > Y

(1 - 1 /у)у = e~1+ß, \ß\ < а.

Так как Rn —>■ оо при п —> оо, то начиная с некоторого N\ для всех п > N\ верно неравенство Rn > dY. Следовательно, для всех х € [6,d] имеем -й2/ж2 > Y, а значит,

1 \R"/x2 1-——) =e_1+ß[n\ R^/x2J

где |/3(и)| < ol для всех п> N\. Тогда для п> N\ выполняется соотношение

х2(п-1) 2

F(x,n) = = (^e(-i+ß(n))((n-i)/(2Rl))y

Пользуясь формулой для Rn, несложно заметить, что п — 1 п — 1 7Г е(п — 1)

2ЕЯ 2Г(е-га/2(!)(^(27г)1/2(1+0(1)))1/га/7г1/2у 2^(1+0(1))

= тге(1 + о(1)).

Следовательно, всегда можно подобрать такое число N, что при п > N функция F(x, п) равно-

2

мерно по п для всех х из отрезка d] приближает функцию е-7геж с наперед заданной точностью. Получаем

lim [ [ \ 1 - ^-г ] dx = [ е~жех2 dx,

Jo \ V RnJ Jo

что и требовалось. Лемма 2 доказана. 13 ВМУ, математика, механика, № 6

Для завершения доказательства теоремы осталось заметить, что, подбирая соответствующее число (I, мы сможем получить любой наперед заданный объем 1/2 — е € (0,1/2). Действительно, если, отступая от центра шара на расстояние d, мы набираем объем хотя бы 1/2 — е начиная с некоторой размерности, то расстояние от центра О до А не будет превышать с!. Следовательно, расстояние между А и В не будет превышать 2с! начиная с некоторой размерности, что и требуется доказать.

Покажем, что, действительно, отступая на расстояние d, мы можем получить любой наперед заданный объем из интервала (0,1/2). Существование необходимого для этого числа (I нам дает следующая цепочка равенств:

Теорема 1 доказана.

2.3. Случай куба,. Мы опять же ограничимся рассмотрением выпуклых множеств А и В. Поэтому можно считать, что эти множества суть пересечения некоторых полупространств с кубом, причем границы соответствующих полупространств — гиперплоскостей П^ и Пв соответственно — параллельны. Так как нас интересует наибольшее возможное расстояние, то мы считаем, что объемы А и В в точности равны е. Значит, по направлению нормали к разделяющим гиперплоскостям можно однозначно восстановить сами гиперплоскости, множества и расстояние между ними. Поэтому можно считать, что искомое расстояние есть функция на единичной (п — 1)-мерной сфере, которую можно рассматривать как функцию от координаты вектора нормали п. Обозначим эту функцию через /(п). Будем считать, что координаты всех вершин куба равны либо 0, либо 1. Тогда очевидно, что все квадранты для функции / равноправны, поэтому мы будем рассматривать только квадрант, где все координаты неотрицательны. Так как функция определена на компакте, то она достигает своего максимума на нем.

Если какая-то координата щ нормали п равна нулю, то соответствующая ей гиперплоскость перпендикулярна любой гиперплоскости вида Xi = const. Но тогда в сечении гиперплоскостью такого вида получится (п — 1)-мерный куб с множествами А1 и В1 (п — 1)-мерного объема е и таким же расстоянием между ними, как и между множествами A m В (сами множества A m В будут получаться из А1 и В' декартовым умножением на отрезок, соответствующий г-му базисному вектору). Поэтому все нулевые координаты можно исключить из рассмотрения, перейдя к меньшей размерности.

Наше доказательство будет опираться на следующий недоказанный факт.

Гипотеза 3. В точке достижения глобального максимума функции /(п) все ненулевые координаты, нормали п равны между собой.

По сути, этот факт нам говорит о том, что максимальное возможное расстояние между множествами для любого е достигается в некоторой размерности в случае, который задается нормалью, параллельной главной диагонали куба. То есть оба множества максимально "вжимаются" в противоположные углы куба. В предположении справедливости данной гипотезы докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть задано число е € (0,1/2), Кп — n-мерный куб единичного объема. Каждое из выпуклых подмножеств А и, В, находящихся, внутри куба Кп, имеет объем е. Тогда, расстояние между А и В не превосходит некоторой константы d = d(e), не зависящей от, п.

Доказательство. Будем считать, что координаты всех вершин куба равны либо 0, либо 1. Для каждого п рассмотрим гиперплоскость вида Х\ + Х2 + ■ ■ ■ + хп = а(п) и соответствующее ей множество Ап вида Х\ + Х2 + • • • + хп ^ а(п), Xi ^ 0, для всех г € {1,..., п}. При этом а(п) выбирается так, чтобы объем Ап был равен е. Тогда соответствующее множество Вп будет симметрично Ап относительно центра куба. Расстояние между множествами в этом случае будет равно расстоянию между проекциями указанных множеств на главную диагональ куба, соединяющую вершины (0, 0,... , 0) и (1,1,..., 1). Расстояние от начала координат вдоль этой диагонали пропорционально сумме координат точки с коэффициентом . Значит, расстояние между этими множествами

откуда видно, что искомое расстояние будет стремиться к такому числу D = D(e), что

будет равно

п ■ 1/л/п — 2 • а(п) ■ 1/л/п = л/п — 2а(п)/л/п.

Для того чтобы оценить это расстояние, введем п независимых в совокупности, равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных величин £1, ¿¡25 • • • 5 Тогда набор значений этих случайных величин будет задавать точку в нашем единичном кубе. Так как все величины независимы и равномерно распределены на [0,1], то распределение внутри куба будет однородное. В этом случае вероятность попадания точки в наше множество будет равна его объему, т.е. е. Через Р(Х) будем обозначать вероятность события X. Имеем

е = р (Х> ^ «и) а^ ~Ее^) =

= р( Ей ^ а{п) - М =р( ^ Ф) - М

Применим теорему Берри-Эссеена2 к нашим случайным величинам, тогда

Е& - Т,Щг / аН - _ Л (аН - , СН

^lV"- 12V'i J \ 12 V'1

где с(п) — некоторая ограниченная функция.

Заметим, что в левой части этого равенства стоит константа, а второе слагаемое в правой части стремится к нулю при стремлении п к бесконечности. Значит, первое слагаемое в правой части этого равенства стремится к е. А следовательно,

а(п) - \п х Ит 2 = Ф = Ъ.

го—

Откуда

12 vn

, л п 1 , Г- , Г-^

а\п) = 2 + ~\2 + °Ып)-Обозначим искомое расстояние через й(п) и подставим в него найденное значение а(п):

2(Ц + ^Ь^ + оЩ) 1, , 1

d(n) = -^^-^^ = --Ъ + о(1) = -- • Ф~1(е) + о(1).

у/П Ь о

Получаем, что искомое расстояние стремится к —1/6 • Ф_1(е) при п —> оо. Значит, расстояние d(n) ограничено некоторой константой, не зависящей от п, что и требовалось доказать.Теорема 2 доказана.

3. Общий случай. Выше мы рассмотрели случаи выпуклых множеств А и В и достаточно сильно пользовались спецификой выпуклости. В общем случае, когда А и В могут быть невыпуклыми, их уже нельзя будет разделить гиперплоскостями. Даже если это нам удастся, расстояние между этими гиперплоскостями может быть не равно расстоянию между множествами. По всей видимости, максимальное расстояние между множествами A m В достигается тогда, когда они оба выпуклые. Тем не менее мы приведем соображения, которые могут помочь решить поставленную задачу без предположения о выпуклости рассматриваемых тел.

Можно считать, что для множеств Am В определена их граница, а у границы определена площадь. Иначе A m В можно было бы приблизить множествами с указанными свойствами и, перейдя к пределу, получить то же самое расстояние между множествами в пределе. Определим площадь свободной поверхности множеств А и В как площадь той части их границы, которая не является границей объемлющей фигуры.

Идея доказательства в данном случае состоит в том, чтобы показать, что при сколь угодно малом, но ограниченном снизу объеме при достаточно большой размерности пространства площадь поверхности границы множества будет достаточно большой, а вместе с ней достаточно большой будет и площадь свободной поверхности. Тогда, пользуясь тем, что объем ¿-окрестности множества отличается от объема исходного множества примерно на произведение ó и площади свободной поверхности, мы получим, что объем d-окрестности множества А будет иметь объем хотя бы JQd S(x,e)dx. Здесь

Формулировка и доказательство теоремы приведены в [3]. 14 ВМУ, математика, механика, № 6

S(x,e) обозначает минимальную возможную площадь свободной поверхности среди всевозможных ж-окрестностей множеств объема е.

Если оценить S(x,e) снизу, то мы получим, что для некоторого фиксированного d = d(e) объем d-окрестности любого множества объема е будет равен хотя бы 1/2. Но тогда расстояние между множествами А и В будет не более 2d. Действительно, при взятии d-окрестности каждого из них мы получим множества, объем которых равен хотя бы половине всего объема объемлющей фигуры. Значит, они пересекаются и мы можем найти точки А и В на расстоянии не более чем d от этой точки пересечения.

Основной сложностью для приведенного плана решения является оценка площади свободной поверхности при заданном объеме внутри объемлющей фигуры. Так как нам нужна оценка снизу, то получается задача следующего вида: найти минимальную возможную площадь свободной поверхности множества заданного объема, расположенного внутри заданной фигуры (куба или шара). Здесь автором предполагается использование теории минимальных поверхностей.

4. Возможные обобщения. В работе рассмотрены случаи подмножеств куба и шара единичного объема. Можно обобщить утверждение гипотез 1 и 2 на случай произвольного тела. Задача перестает быть интересной, если разрешить телу быть "вытянутым" относительно ограниченного числа координат: если в качестве тела взять параллелепипед, вытянутый вдоль одной координаты и узкий относительно других3, то очевидно, что расстояние между двумя его подмножествами может быть не ограничено даже при фиксированной размерности пространства. Если разрешить телу быть невыпуклым, то существует контрпример в виде "ежа" — тело, вытянутое вдоль каждой оси координат. Представляется интересным рассмотреть следующую гипотезу.

Гипотеза 4. Пусть е — данное число в интервале (0,1), Кп — n-мерное выпуклое тело единичного объема, инвариантное относительно линейных преобразований пространства, индуцируемых произвольной перестановкой координат,. Внутри Кп выбраны два множества А и В каждое объемом е. Тогда расстояние между А и В не больше, чем некоторая константа D = D(e), и не зависит, от, размерности пространства п.

Рассмотренные куб и шар, очевидно, обладают приведенными свойствами. Помимо них можно еще рассмотреть, например, правильные многомерные многогранники — тетраэдр и октаэдр.

Автор признателен своим научным руководителям А. Я. Белову и А. В. Михалёву за постановку задач и внимание к работе. Также автор приносит благодарность рецензенту за полезные замечания.

Исследование поддержано грантом РФФИ № 14-01-00548.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fomenko А. Т. Variational problems in topology. The geometry of length, area and volume. N.Y.: Gordon and Breach Science Publishers, 1990.

2. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука, 1987.

3. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2007.

Поступила в редакцию 08.12.2014

3Например, со сторонами 0,5; 0,5;...; 0,5; 2" 1.