Сглаживающий фильтр геометрического среднего со степенными весами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Толстунов В. А. ©

К.т.н., доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики, Кемеровский государственный университет

СГЛАЖИВАЮЩИЙ ФИЛЬТР ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО СО СТЕПЕННЫМИ ВЕСАМИ

Аннотация

Предлагается алгоритм сглаживающего цифрового фильтра на основе операции геометрического усреднения с весовыми множителями. Данные множители зависят от значений входного сигнала и являются степенными функциями. Приведены результаты цифрового моделирования работы данного фильтра при обработке, как одномерных сигналов, так и черно-белых изображений.

Ключевые слова: сглаживающий алгоритм, цифровой фильтр, мешающий шум, цифровое моделирование.

Keywords: smoothing algorithm, digital filter, disturbing noise, digital modeling.

Задача восстановления полезных информационных сигналов, искаженных различными помехами, представляет интерес для широкого круга специалистов. Для решения этой задачи предложено много алгоритмов фильтрации, которые успешно работают как в пространственной, так и в частотной областях [1, 131, 228]. В настоящей работе для восстановления сигналов предлагается сглаживающий фильтр,

построенный с помощью обобщенного алгоритма геометрического среднего [2, 45].

Пусть I %2* ••• f - отсчеты входного одномерного сигнала, У1»Уг> — >Уп> ••• -отсчеты

выхода фильтра. Тогда, согласно обобщенному алгоритму геометрического среднего,

( ^к-Гт-е)/2

У к = <Р

-1

ехр у-

-1 }/2J______

,k+(m-U/2 /U.)

(1)

Li=k-(m-i)/2

где - некоторые однозначные, монотонные функции, т - размер апертуры фильтра.

Из (1) в частном случае, когда <рСх) = 1»/С0 = , t > 0 ? будем иметь

/ук+(.т-1)/2 1 . 2

I ^=к-(.т-С)/2^1пх1

У к = ехр

-

(2)

I yfe+(m-i)/2 _i_

\ ^г=^с-(т-1)/2г'гг

Рассмотрим свойства фильтра (2) в случае, когда = S, + ^ + T]t, где S, - значение полезного сигнала, - значение гауссовского шума, Vi - значение импульсного шума. Будем полагать, что гауссовский шум имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную о2. Импульсный шум может принимать значения О, А > 0 с вероятностями

p(jli = А) = р, р(т]( = 0) = q = 1 — р . Будем полагать также, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Тогда для

xi ^ \xk-(m-i)/2> xk+(m-i)/2\ будем иметь s, = sk и, следовательно, плотность вероятностей независимых, одинаково распределенных случайных отсчетов Xi имеет вид [3, 89]

-7kl”-exPi~!£z4?rL) + Ч'ехе(-^11

(3)

Вычисление математического ожидания случайной величины (2) по распределению (3) связано с большими математическими трудностями. Поэтому, найдем оценку математического ожидания м(уь) с помощью неравенства Иенсена [3, 48]. В нашем случае из (2) будем иметь

© Толстунов В. А., 2014 г.

(4)

Вычисляя математические ожидания в (4) при условии, что о « sk , в случае, когда

:о импульсный, мож

М(ук) >sk(l + j-)

мешающим шумом является только импульсным, можно наити

1

l+2(i+A)C

р\ skJ

Если мешающим шумом является только гауссовский шум, то

t+2+!(t+l)t(£)

M(yfc) > shexp\ —

<J J 2

(5)

(6)

Рассмотрим частные случаи неравенства (5).

1. Импульсного шума нет (р=0). Тогда М(ук) > sk.

2. Импульсным шумом искажаются все отсчеты входного сигнала (p = l,q = О, Л Ф 0). Тогда М(ук) >sk+А.

3. Импульсный шум присутствует, параметр нелинейности t очень большой (р Ф 1, р Ф 0, А Ф 0, t -» со). Тогда М(уЛ) -» sk.

Численное исследование (6) показало, что при удалении гауссовского шума лучшим

значением параметра t является t = 0. В этом случае М(у*:) > skexp(— ~(^) Из последнего

видно, что гауссовский шум из полезного сигнала полностью не удаляется и его величина зависит от отношения &/sk. При отсутствии гауссовского шума имеем М(ук) > sh. Таким образом, полученные результаты теоретического исследования фильтра (2) показывают, что он удаляет как импульсный, так и гауссовский шумы. В первом случае параметр нелинейности t должен быть большим, во втором случае - равным нулю.

Фильтр (2) был промоделирован численно. В качестве полезного сигнала был выбран прямоугольный импульс с высотой ступеньки 20. Результат фильтрации характеризовался погрешностью

R=j;I,?=1\si-yt\, (7)

где N - число отсчетов сигнала.

На рисунке 1 показана зависимость погрешности R при удалении импульсного шума от величины параметра 1. При этом было выбрано: кривая 1 (т = 3, N = 100, А = 30, р= 0.3, <7 = 0 ), кривая 2 (ш = 3, N = 100,Л = 30, р = 0.6, о = 0). Как видно из этого рисунка, для параметра t можно брать значения t > 8.

Рис. 1. Зависимость погрешности от параметра t

На рисунке 2 показана зависимость погрешности R при удалении импульсного шума от величины его появления р. Параметры моделирования: т = 3, N = 100,Л = 30, t = 8, а = 0. Кривая 1 показывает зашумление сигнала, рассчитываемое по формуле

N

i— 1

Кривая (3) показывает погрешность фильтра (2). Для сравнения, кривая (2) показывает погрешность классического медианного фильтра [1, 194].

Рис. 2. Зависимость погрешности от вероятности p

На рисунке 3 показана зависимость погрешности R при удалении гауссовского шума от дисперсии о2. Параметры моделирования: m = 3, N = 100, А = 0, р = 0, t = 0. Кривая (1)

показывает зашумление Яо сигнала. Кривая (2) показывает погрешность медианного фильтра. Кривая (3) показывает погрешность фильтра (2).

Рис. 3. Зависимость погрешности от дисперсии

На рисунках 4, 5, 6 показаны соответственно зашумленный полезный сигнал ( А = 30,р = 0.3, а = 0, R0 = 9.39), выход медианного фильтра (m = 3,R = 6.84) и выход фильтра (2) (т = 3, t = 8,R = 1.33). Как видно из этих рисунков, фильтр (2) существенно лучше медианного удаляет импульсный шум.

Фильтр (2) легко обобщается для обработки изображений. Если в этом случае размер апертуры равен т х п, то

Ум = ехр

,-к+(т-1)/2 „i+(n-l)/2 1 .

%1=к-(т-1)/2 ^ j=l-(n-l)/2^Tlnxij

_________________________*-/

vfc+(m-l)/2 yZ+(n-l)/2 l

(8)

Фильтр (8) был промоделирован численно. Результат фильтрации оценивался погрешностью где N2 - размер изображения. Результат зашумления характеризовался величиной

На рисунках 7, 8 показаны исходное изображение и изображение с наложенным импульсным шумом (Л = 100,р = 0A,Ro = 0.1570).

Рис. 7. Рис. 8.

На рисунке 9 показан выход медианного фильтра (т = п= 3 ,R = 0.1190). На рисунке 10 показан выход фильтра со степенным преобразованием (9) (ш = п= 3.t = 1 ,R = 0.1022) [4].

i

(ran

yfc+(m-l)/2 yZ+(n-l)/2 ~

Li=k-(m-1)/2 ^;=i-(n-i)/2^.

На рисунке 11 показан выход фильтра (8) (m = п = 3. t = 8,/? = 0.0346), сглаживающие свойства которого являются лучшими среди трех сравниваемых фильтров.

Рис. 9. Рис.10 Рис. 11

Таким образом, проведенные исследования нелинейного фильтра (2) показали, что он достаточно хорошо удаляет аддитивные гауссовский шум и импульсный шум большой амплитуды и высокой интенсивности.

Литература

1. Хуанг Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений /. Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г. Дж. Нуссбаумер и др.- М.: Радио и связь, 1984.- 224 с.

2. Толстунов В.А. Восстановление сигналов с помощью обобщенной пространственной фильтрации / В.А. Толстунов // Оралдын Былым жаршысы.- 2013.- №25(73).- с.45-49.

3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. - М.: Наука, 1982. - 255 с.

4. Толстунов В.А. Нелинейная фильтрация на основе степенного преобразования / В.А. Толстунов // Доклады ТУСУРа.-2012.-т.1(25).- с. 71-75.