Усредняющий фильтр с обобщенными показательными весовыми коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

практических задач.

Список использованной литературы:

1. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс. - М.: Техносфера, 2005. - 1072 с.

2. Толстунов В.А. Сглаживающие фильтры с гауссовским и показательно - степенным преобразованиями / В.А. Толстунов // Уфа: Символ науки. - 2016. -№2. - Часть 2. - С. 82 - 85.

3. Толстунов В.А. Усредняющие фильтры с весовыми коэффициентами/ В.А.Толстунов // Инновационная наука. - 2016. -Часть 2, - № 1. - С. 139 - 143.

© Толстунов В.А., 2018

УДК 004.67

Толстунов Владимир Андреевич

канд. техн. наук КемГУ, г. Кемерово, РФ E-mail: vat@bk.ru

УСРЕДНЯЮЩИЙ ФИЛЬТР С ОБОБЩЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫМИ ВЕСОВЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Аннотация

В статье предлагаются и исследуются алгоритмы цифрового сглаживающего фильтра, весовыми множителями которого являются показательные функции входного сигнала. Показано, что фильтры данного класса хорошо удаляют гауссовский шум и импульсный шум высокой интенсивности.

Ключевые слова

Сглаживающий фильтр, мешающий шум, погрешность фильтрации, цифровое моделирование.

Для восстановления информационных сигналов, искаженных различными помехами, широко используются различные усредняющие фильтры [1,2,3,4]. Исследования показали [4], что при удалении импульсного шума хорошие результаты показывают фильтры, весовые коэффициенты которых зависят от отсчетов входного сигнала. Рассмотрим общую структуру построения алгоритмов цифровых фильтров данного класса.

Пусть имеется цифровой фильтр со скользящим окном, длиной апертуры П , на вход которого поступает сигнал с отсчетами Xi = si + nt, i = 1,2,...,N, где si = s(ti) - отсчеты полезного

детерминированного сигнала, ni = n(ti) - отсчеты мешающего шума. По значениям входного сигнала из

апертуры {xk_(n_L)/2,..., xk,..., xk+(n1)/2} будем определять значение выхода фильтра ук,

соответствующего отсчету x . Полагаем, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала

практически одинаковы. Тогда xi = sk + ni, i = k _ (n _ 1)/2,...,k,...,k + (n _ 1)/2. Отличие yk от Xk будем характеризовать соотношением

Rk = L{f(Xk_(n_1)/ 2 f(Xk+(n_1)/2X f (yk )),

где f (x) - монотонная, однозначная, дифференцируемая функция, для которой f '(ук) Ф 0 , L -некоторая мера, определяющая различие между значениями f (Xi), f (yk ) в выражении для Rk . Если L дифференцируема по у k , то выход фильтра определяется решением уравнения

dL

f'(Ук ) = 0.

8L _

8Ук 8f (Л У

В силу условия f \yk ) ^ 0 предыдущее уравнение принимает вид

8L

f (yk)

= 0.

(1)

Пусть мера L является квадратичной и задана в виде

L(f (X

к—( n—1)/ 2 '

x-, f (xk+(„—1)/2).f (Ук ))=Sk

к+( n—1)/2 к—(n—1)/2

2

f (x.) — f(y, )

г к

V

g (x)

(2)

J

где ^(х) - некоторая однозначная, монотонная функция. Тогда из уравнения (1) для меры (2) находим

^¿+(и-1)/2 1

f (Ук) = ■

¿ш^г=к—(n—1)/2 2

g 2(Хг )

f (X )

i:

к+(n—1)/2

1

(3)

-к (n—1)/2 „2

g ЧХг )

Введем обозначение 1

g 2(Хг )

= ^(Хг ) .

В результате при сделанных предположениях выход фильтра определяется соотношением

Ук = f 1

(ук+(n—1)/2 )f(X )

¿—Н=к—(n—1)/2^v v гУ

i;

к+(n—1)/2

(4)

^ ■<—i/=k-(n-1)/2^(X' ) y

Алгоритм (4) позволяет построить целое семейство сглаживающих фильтров. В частности, если в (4) V/ (р(x) = Ai = const, f (Xi) = Xi, то получаем усредняющий фильтр с маской, задаваемой коэффициентами A^^А+(и_1)/2. Если еще V/ Аг- = 1, то (4) дает простейший фильтр выборочного среднего.

Пусть в (4) V/ (р(хг) = 1, f (Хг) = ln(Хг ) . Тогда из (4) находим

У к = exP I -1

V n г

1 V к+(n—1)/2

к—(n—1)/2

1П(X, )

= exp

1

I

к+ln-'>'2 (ln(X ))n

к—(n—1)/2

Пк+(и-1)/2

......_exp(in(x )n ) = nix,,

г=к-(и-1)/2

exp(1n( X.) n ) = ф

к-(и-!)^"' к+lи-1>/2

В результате в данном частном случае получаем классический фильтр геометрического среднего. Выберем меру Ь в виде

L(f (Хк—(n—1) /2 X", f (Хк +(n—1) / 2 X f (Ук )) = 1к=+к(-^/1)2/ Jf (Хг ) — f (Уг ^ .

(5)

Уравнение (1) для меры (5) не применимо. Поступим следующим образом. Перенумеруем слагаемые в (5) так, чтобы

Д**-(И-1)/2) ^ - ^ /(Хк ) ^ - ^ /(Хк+(„-1)/2) - (6)

Тогда (5) можно представить в виде

1

L = Z^-1)/ Jf (x) - f (У)+y=k+-1)/2l f (x) - f (У) +1/(**) - f to) •

Очевидно, что минимум данного соотношения по f (ук ) достигается при f (xk ) = f (yk ) и равен

yk+(n-1)/2f(x )-У'-1 f{x )

¿—ti=k+1 J v l' ¿—ti=k-(n-1)/2J v i'

Так как по предположению f (x) является монотонной, однозначной и, согласно (6) , возрастающей функцией, то в точке минимума меры (5) имеет место ук = Хк, причем, согласно (6)

Xk-(n-1)/2 — ••• — Xk ••• — Xk+(n-1)/2 •

То есть в данном случае мы приходим к широко известному в теории и практике медианному фильтру [1].

yk = mediXk-(n-1)/2 '•••Xk '•••' Xk+(n-1)/2 ) Данный фильтр хорошо удаляет гауссовский шум и импульсный шум небольшой интенсивности. Рассмотрим работу фильтра (4) в случае, когда f (x) = x, а в качестве весовых функций выбраны

показательные функции pl(x) = aß1C , ^(x) = «^2 , a = const > 0, Д = const > 0, ß2 = const < 0 . Пусть на вход фильтра с длиной апертуры Ш X n поступает сигнал с отсчетами Xj = s j + ^^ + щ , где sj -отсчеты полезного сигнала, ^ - отсчеты гауссовского шума и щ - отсчеты импульсного шума. Будем

2

полагать, что гауссовский шум имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную G . Пусть для импульсного шума A - величина импульса, p , q - соответственно вероятности появления

положительного и отрицательного импульсов. Обозначим уг, у2 - выходы фильтров с весовыми

функциями соответственно рх (x) , р2 (x) . Пусть еще У3 - выход традиционного медианного фильтра с которым будем сравнивать работу предыдущих фильтров. Результаты зашумления и фильтрации изображения размером M х N будем оценивать соответственно соотношениями

ъ =—У" yN

0 MN У=1 У=

s j - x i

(7)

_ 1 ^м I I

* = ш Е,.1— у,\• (8)

Пусть ^, - погрешности удаления наложенного шума, определенные по (8), соответственно фильтрами (9), (10).

к+(т—1)/2 /+(и—1)/2

X X

I=к—(т—1)/2 , =/—(и—1)/2

Ук/ =- к+(т—1)/2 /+(и—1)/2 „ , (9)

X X а"1'"

1=к—(т—1)/2 ,=/—(и—1)/2 к+(т—1)/2 /+(и—1)/2

ß X..

a1lJxi

Уы

У У

i=k-(ш-1)/2 J=l-(n-1)/2

ß x..

a 1J x,,

k+(m-1)/2 l+( n-1)/2 . (10)

- - aß2'iJ

X X

I =к—(т—1)/2 ,=/—(и—1)/2

Константа С > 0 в (10) введена для регулирования уровня яркости профильтрованного изображения.

Пусть еще Я3 - погрешность медианного фильтра.

В таблице 1 приведены погрешности Я0 при наложении на заданное изображение импульсного шума с заданной амплитудой А , вероятностями импульсов р = 0.8, q = 0. Приведены, так же, погрешности Я, Я2, Я при удалении этого шума фильтрами (9), (10) и медианным фильтром при т = П = 3, а = 0.000002, Д = 3, Д = —3 . В последней строке данной таблицы приведены значения регулирующей яркость изображения константы С .

Таблица 1

Погрешности фильтрации при изменении амплитуды А

Амплитуда А

60 90 120 150 180 210 240 270 300

Ro 0,188 0,282 0,377 0,470 0,565 0,659 0,753 0,847 0,941

R 0,222 0,337 0,452 0,567 0,683 0,798 0,914 1,029 1,143

0,053 0,068 0,083 0,088 0,084 0,084 0,085 0,085 0,086

R2 0,100 0,084 0,061 0,034 0,042 0,031 0,065 0,033 0,050

c 0,35 0,45 0,54 0,62 0,75 0,85 0,90 1,05 1,15

В таблице 2 приведены погрешности Я0 при наложении на заданное изображение импульсного шума с заданной вероятностью р при А = 80, q = 0 и погрешности при удалении этого шума фильтрами (9), (10) и медианным фильтром при т = П = 3, а = 0.000002, Д = 2, Д = —2. В последней строке данной таблицы приведены значения константы С .

Таблица 2

Погрешности фильтрации при изменении вероятности р

Вероятность р

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ro 0.031 0.063 0.094 0.126 0.157 0.188 0.220 0.251 0.282

R 0.011 0.020 0.045 0.093 0.158 0.223 0.272 0.298 0.309

Ri 0.024 0.024 0.023 0.023 0.023 0.025 0.033 0.059 0.128

R2 0.138 0.065 0.037 0.028 0.025 0.025 0.025 0.025 0.026

c 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33

Как следует из таблицы 1, увеличение амплитуды импульсного шума слабо влияет на погрешности фильтров (9), (10). При этом если амплитуда шума больше 120, то лучшие результаты показывает фильтр (10). Погрешности же медианного фильтра существенно выше. Из таблицы 2 видно, что для удаления импульсного шума с вероятностью появления р < 0.6 следует использовать алгоритм (9), а при р > 0.7

- алгоритм (10). Погрешности медианного фильтра при р > 0.3 существенно выше погрешностей фильтров (9), (10). Моделирование показало, так же, что при удалении отрицательного импульсного шума (р = 0, q > 0) значения погрешностей мало отличаются от приведенных в таблице 2. При этом в

алгоритме (10) следует использовать С < 0 . При удалении гауссовского шума для фильтров (9), (10) следует использовать значение параметра а = 0.999. При этом, погрешности всех трех сравниваемых фильтров практически одинаковы.

На рисунке 1 показаны: а - исходное изображение, б - результат его зашумления (А = 100, р = 0.2, q = 0.8, ^ = 0, Я = 0.392).

Рисунок 1 - Исходное изображение и результат его зашумления.

На рисунке 2 показаны: а - результат удаления шума медианным фильтром (т = и = 3, Я = 0.382 ), б - результат удаления шума фильтром (9)

(т = и = 3,а = °.00°002, Д = 2, Ях = °.!396), в - результат удаления шума фильтром (10) (т = и = 3,а = 0.000002, Д =—2, с = 0.43, Я2 = 0.038 ч

а б в

Рисунок 2 - Результаты фильтрации зашумленного изображения.

На рисунке 3 показаны: а - результат зашумления исходного изображения

(А = 80, р = 0.8, ^ = 0.2, а = 0, Я0 = 0.3137 ), б - результат удаления шума медианным фильтром (т = и = 3, Я = 0.3034).

Рисунок 3 - Результат зашумления исходного изображения и выход

медианного фильтра

На рисунке 4 показаны: а - результат удаления шума фильтром (9)

(т = п = 3, а = 0.000002, Рх = 3, Кх = 0.3228), б - результат удаления шума фильтром (10), (т = п = 3,а = 0.000002,02 =-3, с = 0.35, Я2 = 0.0367)

Рисунок 4 - Результаты удаления шума фильтрами (9) и (10)

Рисунки 1, 2, 3, 4 наглядно показывают хорошие свойства фильтра (10) при обработке очень сильно зашумленных изображений.

Рассмотренные в работе усредняющие фильтры с показательными весовыми коэффициентами хорошо удаляют аддитивный импульсный шум. При этом при относительно малом зашумлении лучшие результаты показывает алгоритм (9), при очень сильном зашумлении - алгоритм (10). Гауссовский шум данными фильтрами удаляется так же хорошо, как и традиционным медианным фильтром. Данные результаты позволяют рекомендовать усредняющие фильтры рассмотренного класса к использованию при решении практических задач.

Список использованной литературы

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера.2005.-1072 с.

2. Фисенко В.Т. Компьютерная обработка и распознавание изображений /Учеб. пособие.- СПб.: СПбГУИТМО. 2008.-192 с.

3. Jain A. K. Fundamentals of digital image processing. Prentice Hall. 1988. 569 p.

4.Толстунов В.А. Усредняющие фильтры с весовыми коэффициентами // Инновационная наука.- 2016.-Часть2.- №1.- С.139-143.

© Толстунов В.А., 2018

УДК 658.5

У. Ф. Федорова, магистрант Кафедра «Программное обеспечение» Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова

email: fedulka17@gmail.com

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ОЦЕНКИ РИСКОВ ПРОГРАММНЫХ ПРОЕКТОВ

НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

Аннотация

Статья посвящена методу количественной оценки уровня риска программных проектов, основанной на математическом методе Воронова и Максимова с применением нечеткой логики для выяснения экономической неопределенности. Данный метод может широко применяться для принятия