CC BY
132
нелинейный фильтр геометрического среднего
С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ ВЕСАМИ
Толстунов Владимир Андреевич
канд. техн. наук, доцент Кемеровского государственного университета,
РФ, г. Кемерово E-mail: vat@bk.ru
NONLINEAR FILTERING ON THE BASE OF GEOMETRICAL MEAN
WITH EXPONENTIAL SCALES
Tolstunov Vladimir
candidate of Technical Sciences, associate professor of Kemerovo State University,
Russia, Kemerovo
АННОТАЦИЯ
Предлагается алгоритм цифрового сглаживающего фильтра со скользящим окном, использующий геометрическое среднее с экспоненциальными весами входных значений сигнала. Приведены результаты цифрового моделирования работы данного фильтра в случае, когда мешающий шум является суммой гауссовских и импульсных помех.
ABSTRACT
It is offered algorithm digital smoothing filter with slithering window, using geometrical mean with exponential scales. The results of digital modeling of the given filter are shown, when disturbing noise is an amount of the normal end pulsed components.
Толстунов В.А. Нелинейный фильтр геометрического среднего с экспоненциальными весами // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 10 (11) .
URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/1665
Ключевые слова: фильтр, мешающий шум, погрешность фильтрации, цифровое моделирование.
Keywords: filter, disturbing noise, inaccuracy of filtering, digital modeling.
Задача восстановления полезных информационных сигналов, искаженных различными помехами, представляет интерес для широкого круга специалистов. Для решения этой задачи предложено много алгоритмов фильтрации, которые успешно работают как в пространственной,
так и в частотной областях [1, с. 131, 228]. В настоящей работе для восстановления сигналов предлагается сглаживающий фильтр, построенный с помощью обобщенного алгоритма геометрического среднего [3, с. 133].
Пусть xlfx2fxnf... — отсчеты входного одномерного сигнала,
У\,У2> ■■■ — отсчеты выхода фильтра. Тогда, согласно обобщенному
алгоритму геометрического среднего,
(1)
где: /00,<р(х) — некоторые однозначные, монотонные функции, m — размер апертуры фильтра.
Из (1) в частном случае, когда <р(_х) = 1, fix') = ехр(—ах), х > 0 , будем иметь
(2)
Рассмотрим свойства фильтра (2) в случае, когда xt = st -+ ^ где st — значение полезного сигнала, ^ — значение гауссовского шума, — значение импульсного шума. Будем полагать, что гауссовский шум имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную а2. Импульсный шум может
принимать
значения
с
вероятностями
pijji = A) = p, ip(j]i = 0) = q = 1 — p. Будем полагать также, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Тогда для xt Е ^й+Сш-О/а] будем иметь st = sk, и, следовательно,
плотность вероятностей независимых, одинаково распределенных случайных отсчетов xt имеет вид [2, с. 89]
(3)
Так как значения ук случайны, то для характеристики сглаживающих свойств фильтра представляет интерес математическое ожидание сигнала ук. Вычисление математического ожидания случайной величины (2) по распределению (3) связано с большими математическими трудностями.
В нашем случае удобно при ш » 1 воспользоваться законом больших чисел теории вероятностей [2, с. 63]. Тогда для математического ожидания выхода фильтра (2) можно использовать соотношение
ЛМ л ъ (м{.в-ахПъх$\ ...
и(.-^0 > (4)
Вычисляя математические ожидания в (4) с учетом распределения (3), можно получить следующие результаты.
1. Если во входном сигнале xt присутствует только импульсный шум (о=0), то
М(е~ахПпх^ = e-aS*(qlnSk+pe-aAln(_Sk+A)),
M(_e~aXi) — pe~a(-Sk+A^ -+- qe.
Тогда
(5)
Из (5) при р = 0 (jq = 1) имеем естественный результат ук ^ Sk. Из (5) следует также, что при а -> оо ук То есть при увеличении параметра
нелинейности а импульсный шум удаляется лучше.
2. Если во входном сигнале xi присутствует только гауссовский шум р = 0 (q = 1) и f - « 1, то
M{e~axi) = e~aShe *
Тогда
у к * exv ^ + ^+ 0=2 ^'1' ^
Из (6) следует, что чем меньше а, тем ближе yfc и 5Й. При а = 0 имеем
__£f_
Последнее показывает, что гауссовский шум при се = 0 существенно ослабляется, но не удаляется полностью.
Таким образом, полученные результаты теоретического исследования фильтра (2) показывают, что он удаляет как импульсный, так и гауссовский шумы. В первом случае параметр нелинейности се должен быть большим, во втором случае — равным нулю.
Фильтр (2) был промоделирован численно. В качестве полезного сигнала был выбран прямоугольный импульс с высотой ступеньки 20. Результат фильтрации характеризовался погрешностью
R =^l?=i\Si-yi\, (7)
где: N — число отсчетов сигнала.
На рисунке 1 показана зависимость погрешности R при удалении импульсного шума от величины параметра се. При этом было выбрано: кривая 1 (т = 3, А = 30, р = 0.4), кривая 2 (ш = 3, А = 30, р = 0.2). Как видно из этого рисунка, для параметра се можно брать значения се > 8 .
Рисунок 1. Зависимость погрешности от параметра а
На рисунке 2 показана зависимость погрешности R при удалении импульсного шума от величины вероятности его появления р. Параметры моделирования: т = 3, q = О, А = 30, а = 8. Кривая 1 показывает
зашумление сигнала, рассчитываемое по формуле
N
i= 1
Кривая (4) показывает погрешность фильтра (2). Для сравнения, кривая (2) показывает погрешность классического медианного фильтра [5, с. 194], кривая (3) показывает погрешность классического фильтра геометрического среднего.
Рисунок 2. Зависимость погрешности от вероятности p
На рисунке 3 показана зависимость погрешности R от амплитуды А импульсного шума. Параметры моделирования: т = 3,р = 0.4, q = 0,а = 8.
Кривая (1) показывает зашумление R0 сигнала. Кривая (2) показывает погрешность медианного фильтра. Кривая (3) показывает погрешность фильтра геометрического среднего.
Кривая (4) показывает погрешность фильтра (2).
Рисунок 3. Зависимость погрешности от амплитуды A
На рисунке 4 показана зависимость погрешности R от параметра о гауссовского шума. Параметры моделирования: т = 3,р = 0, q = 0,а = 8. Кривая (1) показывает зашумление R0 сигнала. Кривая (2) показывает погрешность фильтра геометрического среднего и исследуемого.
Кривая (3) показывает погрешность медианного фильтра
Рисунок 4. Зависимость погрешности от параметра о
На рисунке 5 показаны: а — зашумленный полезный сигнал
(А = 30,р = 0.3, <т = 0rRo = 6.9), б — выход медианного фильтра (т = 3, R = 4.4), в — выход фильтра геометрического среднего (т = 3,R = 5.22) и выход исследуемого фильтра (2) (т = 3,а = QfR = 0.82). Как видно из этих рисунков, фильтр (2) существенно лучше предыдущих фильтров удаляет импульсный шум.
а б
в г
Рисунок 5. Зашумленный сигнал и результаты удаления шума
Фильтр (2) легко обобщается для обработки изображений. Если в этом
случае размер апертуры равен m х n, то
(8)
Фильтр (8) был промоделирован численно. Результат фильтрации оценивался погрешностью
где: N2 -величиной
размер изображения. Результат зашумления характеризовался
На рисунке 6 показаны: а — исходное изображение, б — изображение с наложенным импульсным шумом (а = 0ГЛ = 100,р = 0.5, й0 = 0.1963), в — выход медианного фильтра (ш = п = 3,R = 0.1986), г — выход фильтра геометрического среднего (ш = п = 3,/? = 0.1696), д — выход фильтра геометрического среднего со степенными весами [4, с. 107] (т = п = 3,t = QfR = 0.0266), е — выход исследуемого фильтра (т = п= 3,а = Q.R = 0.0265).
г д е
Рисунок 6. Зашумление изображения и результаты удаления шума
Как видно из приведенных результатов, фильтры геометрического среднего со степенными весами и с экспоненциальными весами существенно лучше убрали наложенный импульсный шум.
Таким образом, проведенные исследования нелинейного фильтра (2) показали, что он достаточно хорошо удаляет аддитивные гауссовский шум и импульсный шум большой амплитуды и высокой интенсивности.
Список литературы:
1. Г онсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Г онсалес, Р. Вудс. —М.: Техносфера, 2005. — 1072 с.
2. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. — М.: Наука, 1982. — 255 с.
3. Толстунов В.А. Обобщенный алгоритм геометрического среднего / В.А. Толстунов //Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. — 2013. — № 12(59). — Ч. 1. — с. 133—135.
4. Толстунов В.А. Сглаживающий фильтр геометрического среднего со степенными весами / В.А. Толстунов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. — 2014. — № 4—1(63). — с. 107—112.
5. Хуанг Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений /. Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г. Дж. Нуссбаумер и др. — М.: Радио и связь, 1984. — 224 с.
