СЕТОЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ОБЩЕГО ВИДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и математическое моделирование. 2022. №2. С. 14-37.

DOI: 10.24108/mathm.0122.0000284

© Бештокова 3. В., Водахова В. А., 2022. ХДК 519.63

Математика к Математическое

моделирование

Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

Сеточный метод решения одной начально-краевой задачи для многомерного уравнения параболического типа общего вида

Бештокова 3. В.1' , Водахова В. А.2

1 Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, Россия 2Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия

* zarabaeva@yandex.ru

Исследуется начально-краевая задача для многомерного уравнения параболического типа общего вида. Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского с порядком аппроксимации O(h? + т). Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в L2 — норме со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения, проведены численные расчеты.

Ключевые слова: начально-краевая задача; априорная оценка; многомерное уравнение; уравнение параболического типа; локально-одномерная схема; устойчивость; сходимость.

Представлена в редакцию: 11.04.2022.

Введение

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа.

При решении параболических уравнений переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Сложность заключается в значительном увеличении объема вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач.

Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на каждом временном слое.

Настоящая работа посвящена построению локально-одномерной (экономичной) разностной схемы для приближенного решения уравнения параболического типа общего вида в многомерной области, основная идея которой состоит в сведении сложной задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры. При этом для каждой из промежуточный задач строится экономичная, безусловно устойчивая разностная схема. Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема A.A. Самарского с порядком аппроксимации O (h2 + т). Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения.

Изучению локально-одномернык разностный схем для численного решения различных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов посвящены работы [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9].

Так, в работе [1] исследуются экономичные (локально-одномерные) разностные схемы для многомерный квазилинейных гиперболических уравнений с неограниченной нелинейностью. Доказаны существование, единственность и сходимость решений рассматриваемых разностный схем к решению исходной дифференциальной задачи. В [2] в произвольной области G рассматривается локально-одномерная схема для решения линейнык и квазилинейных параболических уравнений. Доказана устойчивость разностной схемы по правой части, краевым и начальным данным, а также сходимость со скоростью O(h2 + т). В [3] рассматриваются локально-одномерные разностные схемы на произвольны« «неравномерных сетках» для линейнык и квазилинейнык уравнений параболического типа с «коэффициентом теплопроводности» ka = ka(x,t,u), зависящим от «температуры» u = u(x,t). Эти схемы сходятся на произвольных неравномерный сетках uh. В [4] изучены локально-одномерные разностные схемы для уравнений гиперболического типа в произвольной области G. Эти схемы сходятся на произвольный неравномерный сетках .

В [5, 6, 7] рассматриваются локально-одномерные разностные схемы для уравнения параболического типа в р-мерном прямоугольном параллелепипеде и для гиперболического уравнения при р = 2, 3 c краевыми условиями III рода.

В работа [8] изучается третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности в р-мерном параллелепипеде. Получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы, и доказана ее сходимость.

Работа [9] посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.

В монографии [10] дается единое освещение разностных схем с дробными шагами с точки зрения методов расщепления и приближенной факторизации разностных схем и операторов, приведены многочисленные примеры применения экономичных схем для решения задач гидродинамики, упругости, теории переноса и т.д.

Исследованию локальных и нелокальных краевых задач для многомерных уравнений параболического типа посвящены работы автора [11, 12, 13, 14]. Настоящая работа является непосредственным продолжением этой серии работ.

1. Постановка задачи и априорная оценка в дифференциальной форме

В цилиндре QT = С х [0 < £ < Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед С = {х = (х\, х2, ..., хр): 0 < ха < 1а, а = 1, 2, ..., р} с границей Г, С = С и Г, рассматривается задача

ди

— = Ьи + f(х,г), (х,г) е Qт, (1)

ди ди

ка(х, £)= 71 + в-аи - ^-а(х,г), ха = 0, 0 < £ < Т,

(2)

u(x, 0) = u0(x), x Е G, (3)

du du

-ka(x,t) dx = Y2 dt + P+»u - ß+a(x,t), xa = la, 0 < t < T,

где

j ^ д / du \ du

Lu Lau, Lau = д-( ka(x,t) д- ) + Ta(x,t) д--Qa (x,t)u,

a=l дxa V Uxa/ Oxa

0 < c0 < ka(x,t) < c\, 7i, Y2 = const > 0, lra(x,t)l, |kxa (x,t)l, | Г xa (x,t)l, | Qa (x,t)|, lß±a(x,t)| < C2, (4)

u(x,t) Е C4'3(Qt), ka(x,t) Е C3,1 (QT), ra(x,t), Qa(x,t), f(x,t) Е C2,1 (QT) ,

c0, c1s c2 — положительные постоянные, QT = G x (0 < t < T], а = 1,p.

Задачи такого рода возникают, например, в случае, когда на конце xa = 0 стержня помещена сосредоточенная теплоемкость C1 (например, тело с большой теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объему этого тела можно считать постоянной) и происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Тогда краевое условие при xa = 0 (выражающее уравнение теплового баланса) будет иметь вид [15, с. 189]:

Qu du

Ciwr = ö--h(u - uo),

dt QX

du

где u0 — температура внешней среды. Данное условие содержит — (или Lu + f (x,t), если

du

учесть само уравнение — = Lu + f (x,t)).

Далее через Ы^, г = 1, 2, ..., обозначаются положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи (1)-(3).

Допуская существование регулярного решения дифференциальной задачи (1)-(3) в цилиндре QT, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на и и получим энергетическое тождество:

/ ди \дt,

и) = ( £ ¿( ка(х,г) д£) ,и) + (5Га(м)

ди

и

-( 5 д^х^щ и] + (/(х,г),иУ (5)

. а=1

Будем пользоваться скалярным произведением и нормой

и

5

и

а=1

и

||2(о,га) = У и2(х,г)(1ха, (и,ь) = ! ш(х, ||и||2 = J о со

и2(х.

Справедлива следующая теорема [16, Теорема 6.5, с. 73]

Теорема 1. Пусть П — область с гладкой границей дП. Для элементов и(х) из (П) определены следы на областях Г гладких гиперповерхностей как элементы Ь2(Г), и они непрерывно меняются. Для них справедливы неравенства вида

J[u(x + /е1) — и(х)]2(в = Ци(х + 1в1) — и(х) ||2,г < с1 ! и2х (х, 0 < I < 5, г Я1(г)

и

1и(х)||2,г < с

5||и(х)| 2,д,(г) + 5||их(х)| (г)

где е1 — единичный вектор нормали к Г в точке х, а Ql (Г) — криволинейный цилиндр, образованный отрезками этих нормалей длины I (5 — наибольшая из тех длин I, при которых Ql(Г) С П), с — постоянная, не зависящая от функции и(х).

Для всех элементов у(х) из Ж21(П) с «кусочно-гладкой границей» справедливо

У V2 (в < ^У (|^|-|^х| + V2 ) (х < с1 У

£

-с1

С1

—V; + — + 1 V

4£

(х = J ^2 + ^2) (х, £> 0.

дП П П П

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (5), с учетом теоремы 1:

ди

(т,и

с

ди 1 д 2 и ((х — ~~ ~ ^^ П п,

дг 2 дг" ||0'

(6)

^ д {, , ^ ди\ \ * г, , ^, ди , * Г7 . ^.( ди\ 2 ^

^д^[ка(х,г) д^),и1 ка (х,г) ивхГ ка (х,Ч\ (7)

а=1 а а / а=1с/ а 0 а=1 с а

2

2

Далее, для оценки слагаемых в правой части, применим е-неравенство Коши:

Та(х,г) д^и, ^ < £ [та(х,г) , ^ < М^еЦихЩ + с(е)||и||2)

— £ Яа(х,$и, и) < С°||и|

. а=1

1„.„о 1

и(х,-),и) ||2 + -||и"2

о ~ о N "N0)

2"' 110 2

(8) (9) (10)

где

С' = {х' = (х1, х2, ..., ха-1, ха+1, ..., хр): 0 <хк <1к, к = 1, 2, ..., а — 1, а + 1, ... ,гр} , ¿х' = ¿х1ах2... ¿ха-1йха+1... ¿хр, с(е) = -—|—, е > 0.

¡а е

Учитывая преобразования (6)—(10), из (5) получаем неравенство

1 д о * г .

2 д- ||и||° + kа(x,

а=1 о

ди 2

х,г)\ —— ) ах < дха

р , < £ J ика (х,Ь)

ди

а=1

О'

дха

¿х' + е|их|2 + МоШиЩ + -

2. (11)

Первое слагаемое в правой части (11) с учетом (2) оценим следующим образом:

р [

£ / Пка(х,г)

а=1о'

ди

1а р

ах ^ ^ I | ка (1а, х иха (1а, х и(1а, х

0 а=1о'

дха

— ка(0,х',г) Пха (0,х',г) и(0,х',г)\ ах = £ / {^+а(1а,х',г) и(1а ,х',г) —

а=1о'

— в+а(1а,х' ,Ь) и2(1а,х' ,Ь) — ^2 щ(1а,х',-) и(1а,х',-) — — в-а(0,х'г) и2(0,х',г) — Ч1щ(0,х',г) и(0,х',г) + а(0,х',г) и(0,х',г)^ах' <

1 р г ( д д \

< 2 £.1 { (^а + А*) — Ъ д-г(и2(0,х'1)) — 72 ^(¡а ,х'-))) ¿х' +

а=1о'

р

а=1

+ £

о'

2 — в-0) и2(0,х'г) + — и2(1а,х'г)

ах'

2 -а 2

< еМз||их||° + М4(е)||и||2 + + 2 £/( {»-а + ^+а) — 71 д-. (и2(0,х'1)) — 72 3 (и2(1а,х'1))\¿х'. (12)

а=1

о'

и

о

Тогда из неравенства (11) с учетом (12) находим

1 д ,, и2 ^ Л , ,^ ди\2 ,

2тИ|2 + £/ ох~а) йх +

С

1 д р (

+ 2 (71«2(0,х'^) + ъи2(1а,х'г]) йх' <

а=1^/

1 Р 1 < ^ЫЮ + Мб(е)М0 + 2 ^ + ¡Аа) йх' + ^||/1|2. (13)

а=1^/

Проинтегрируем (13) по т от 0 до 7, тогда получим

г г г

1Н1о + / Н^Но йт < еМ7 ! йт + Ы8(е) ! ||и||2 йт + оо о

+ М9( / (||/ ||о + £ /^2_а + ^а) &А йт + М^ф) . (14)

^ о а=1с/ '

гДе = К(х)||£2(С) + ||адо(х)|^2(С)-

Выбирая е = -1-, из (14) находим

М7

г / г р \

ИЮ < Мк>1 ИЮ йт + М9 | (у ||2 + (У_а + ^ ^^ йт + |Ых)||^1(ё) . (15) о Ч а=1С/ '

На основании леммы Гронуолла [16, с. 152] из (15) получаем неравенство

М2 < М(Т)( / (||/||о + £ / (^2а + ^а) йт + ||«о(х)|^ ^ , (16)

^0 а=1С/ У )

где М(Т) зависит только от входных данных задачи (1)-(3).

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4). Тогда для решения задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка (16).

Из априорной оценки (16) следует единственность решения исходной задачи (1)-(3), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в Ь2-норме.

2. Построение локально-одномерной схемы

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Оха с шагом

ка = 1а/Ма, а =1, 2, ..., р:

йн = П йна , й>на = {х^ = гака: га = 1,...,Ма - 1, хао) =0, х1Ма) = Мака/2} =1

По аналогии с [17] на отрезке [0, Т] также введем равномерную сетку

йт = = jт, = 0, ]о}

с шагом т = T/j0. Каждый из отрезков [tj, tj+1] разобьем на p частей, введя точки tj+a/p = а

= tj + т—, а = 1, 2, ..., p — 1, и обозначим через Аа = (tj+a-i, tj+а] полуинтервал, где

p J+ p p

а = 1, 2, ..., p.

Уравнение (1) перепишем в виде

£u = -г--Lu — f = 0,

dt J

или

p 1 du £ £aU =0, £aU =1 dU — LaU — fa,

a=i pdt

где f a (x,t), а = 1, 2, ..., p, — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что

p

и f (x,t) и удовлетворяющие условию нормировки J2 f a = f.

a=1

На каждом полуинтервале Да, а = 1, 2, ..., p, будем последовательно решать задачи

1

£a =~ — Latf(a) — fa = 0, X E G, t E Да, а =1, 2, . . . , p, (17)

p dt

k a dT TT, + a) ^ —a (xi t), xa °

dxa p dt w

, ^ = Ъ Що) + (xt) x = J

™a о n. T y+au (a) И +alxi b i ^a la>

dxa p dt

полагая при этом [17, с. 522]

, 0) = uo(x), &(i)(x ,tj ) = ti(p)(x ,tj), j = 1,2, ..., jo - 1, $(a)(x,tj+a—i )= ti (a-!)(x,tj+ a-1), a = 2, 3,...,p, j = 0, 1, 2,..., jo - 1.

Аналогично [17, c. 401] получим для уравнения (17) номера a монотонную схему второго порядка аппроксимации по ha. Для этого рассмотрим последнее уравнение при фиксированном a с возмущенным оператором La:

1 dti(a) p dt

где

La # (a ) + f(a), t E До , а = 1, 2, . . . , p, (18)

La ti (a ) = Ka d^T (ka (x,t) -¡Tf^ + Ta (x,t) — Qa (x,t)ti(a)]

1 _ 0,5ha\ra\ „ (1 ) +

; Ra =-;--разностное числоРейнольдса; aa1a) = üa,ia+ú ra = r+ + ra;

1 + R a ka

r+ • h- = Г

k a k ra r

ra ra (x,t); da qa (x,t); ''a fa (x,t);

r+ = 0,5(ra + \ra\) > 0; r- = 0,5(ra — \ra\) < 0; b+ = rf-; b- = rf ; üa = ka{x(-°,5a), t) ;

X ) (x1, . . . , xa — 1, xa 0,5ha, xa+1, . . . , xp) , x (x1, x2, . . . , x'p) , t tj+1.

Аппроксимируем каждое уравнение (17) номера a неявной двухслойной схемой на полуинтервале \tj+ a—i, tj+a , тогда получим цепочку изp одномерных разностных уравнений

V p р J

j+a j+a—1 У ' P — У ' P ~ .,a j+a

У-У- = KaVj+p + , a =1, 2, . . . , p, xa E Uha , (19)

T

где

л а У = Ка(ааУха Р) Х + Ь+й^^ уХ а Р + «а уХ а Р - ¿аУ

р

К уравнению (19) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2):

.+р

(1а) . + Р _ 11 дУо Р , Д . + Р _ _ П

«а уха,о = д+ + в_ауо , ха = 0,

Р д7 (20) _ (Ма) .+Р = 72 дУ N аР + в .+Р _ = 1

«а уХ а ,Ма р д^ + в+ауМа к+а, ха 1а.

Условия (20) имеют порядок аппроксимации О(ка). Повысим порядок аппроксимации до О(ка) на решениях уравнения (17) при каком-либо а:

.+Р

Р

«а1а)^Х+1 = 11 + в_а^о+Р - к_а + О(ка),

а р дЬ

«а1а) = к1/2 = ко+ко у+ко' ка+о(ка),

л1 _ ло к

(а) - (а) = Л(а)ха,о = Л(а) + Л('а) к? + О(к?),

«а1. = к(а)л((а),о+(к(а)Л(а))' к?+О(ка), к(а)Л(а),о = аа1а)лХ+,? - 0,5ка(к(а)Л((а))' + О(ка) =

= аа1 а)лХ+,р - 0,5к^р - Гад^г + М(а) - + О(ка).

Итак,

«а1. - °Л( 1 ^ - Га^ + М(а) - /*)„ =

+ в_аЛо Р - + О(ка) + О(кат). (21)

.+Р

дло Р + в Р „ , п^

р дЬ

4 °(а) на У (а)

В (21) отбросим величины порядка малости О(к?) и О(кат), заменим Л(а) на у(а) = у.+ р .

Тогда (21) перепишется так:

(«а1а) + 0,5каГа°^уХаИ = 0,5ка" + 71 Р + В_аУо+Р - - 0,5ка/а,о, х? = 0,

или

РР

(0,5ка + 71) Уо-Уо- = К_а«а1а)УХ1р - в_аУо+Р + k_а, ха = 0

т а

. + Р _ . +-а -а

(0,5ка + Т2) —-^- = -Х+а«?^)УХ1ма - Д+аУ^Р + k+а, ха = >а,

где к_а = к_а + 0,5ка/а,о; к+а = к+а + 0,5ка/а,М—; к±а = к±а(7?); в_а = в_а + 0,5кайао);

в+а = в+а + 0,5ка^а); К_а = (1 + )_1, Т™ < 0; К+а = (1 + )_1,

^ ка ' ^ ка '

Г(Ма ) > 0 'а —

Таким образом, приходим к цепочке одномерных схем

.+а .+ а-1

¥ р - V р Л .+р . .+р

--— Л „г> Р + ^а Р

т

ЛаУР + ^а Р , а =1, 2, ...,р, ха Е йН—, (22)

(23)

Р У Р

(0,5ка + 71) —-У-- = Л_У(а) + к- а, ха = 0,

са I /1) лаУ 1 к~а, ха

т_

— .+——1 У Р — У Р

где

(0,5ка + 72) У-У- = Л+У(а) + к+а, ха = ¡а,

т

У(х, 0) = Ио(х), (24)

ЛаУ(а) = Ка(«аУХаа)+ ^^УЙ? + Ь^ХЦ - ^У^ Л_У(а) = К_а«а1а)уХ—)о - в_аУ(оа), х? = 0;

а — 1

1 -- .

Л+У(а) = -К+а«аМ—)УЙк - в+аУ^, ха = ¡а; 1 У^ = ^^

рт

3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность

г р = У р - и р , где и р — решение исходной задачи (1)-(3). Подставляя у р =

. + — . + — . + — = гр + ир в разностную задачу (22)-(24), получаем задачу для погрешности г р :

•+— •+ а;—!

* Р - * Р =ЛР + ф.+Р

т

—1

.+р г .+— .+р и р - и р где фа Р = Лаи.+р + ^а Р--

Обозначив через

/ (т + / 1 ди У+1/2

ФРа = (^ТаИ + /а - р д"^

^оI J а

р

Р о р .+ —

и замечая, что I] фа = 0, если ^ /а = /, представим погрешность в виде суммы фа р

а=1 а=1

Фа + ф* :

. + — .+ — И Р _ И Р 0 0 / ' — • 1 \

ф. Р = ЛаИ.+Р + ^а Р--+ фа - Фа = (Аа^^Р - +

т

—1

( .+р .+1) (и3+ар - и.+1 (диУ+1/2\ Р Р ,

+ (^а Р - /а 2) -т--р{т) )+ фа = фа + фа.

Очевидно,что

фа = О(ка+т), фа = О(1), £ фа+р = £ фа + е фа = О(|к|2+т).

а=1 а=1 а=1

Запишем граничное условие ха = 0 так:

(0,5к* + ц)

3 + Р 3+а-1

У о Р — У о т

Я-*^^аоо — в-аУо' Р + 0,5к*и*,о + »-а.

3+^ -тг 3+^

«У 1 Г) /О и Г)

з+а з+а з+а

Пусть г р = у3+ р — и3 р, где и — решение исходной дифференциальной задачи (1)—(3).

3+а 3+а 3+а

Подставляя у3 р = г3 р + и3 р, получаем

3+р 3+с-

(0,5к* + ъ) ^ — го

= К-аааа)гха,о в-а го Р +

3 + ^ ^ 3 + ^ рр

т

+ Х-ааО;а)ихаро — в-аЩ р — (0,5к* + ъ)-

3+^ 3+— рр

т

+ 0,5к а иа,о + » —а ■ (25)

К правой части полученного выражения (25) добавим и вычтем

0,5кафа = 0,5ка

д ди

дх*

ди

ка+ Та(х,-)

дх а)

ди 1 ди

"о Чаи + ,)а — ТТТ

дха р д-

3+1/2

ха=о

Тогда

ф-а = °,5к* ( и а ,о —

3 + р 3 + — рр

ио - ио

т

71 ЗЩо+ р О 3+р ПКЬ ,7 3+р

— Р-а ио — 0,5каа* ,оио + »-а —

+ к-а а{1) Щ+О —

- 0,5К

р дЬ

д ди ди 1 ди

( ка ) + Та(x, -) 0_аи + ,)а ТГГ

дх а \ дх а ) дха р д-

3+1/2

+ 0,ЬНафа

ха=о

3+а 3+— рр

0ЖЦа ,о — Щ--

3 + ^

+ а^К+Л + 0Жт(оК+1 — ^ 3 — Р-а 3+ ° —

р дЬ

— 0,Ька(1а,оио р + »-а — °,5к*

д ди

ка

г\ \ "

дха V дха

3+2

1 ди\3+2

— и — -рд-) +

+ 0,5к*да,оио+2 — 0,5каТ(о)их+^з + 0,5к*ф* + 0(к*т) =

3 + ^

_ (1а) 3+р , п ы ( о) 3+р - я 3+р - 7± дио р

= а* иха,о + °,5ката иха,о — р-*ио — р д-

+ »-а -

- 0,Ъкп

д ди к*

а

дха дха

3+2

— 05к*т^и3х+}о + 0,5к*ф* + 0(к*) + 0(к*т)

ди3+ р

к*—--1 °,5ка

дха

д ди к*

а

дха дха

3 +а о 3 + рр

3 р Ъ дио р Р щ3+р

— р-*ао —

о

р д-

- 0,5к*

д ди

ка

а

дха дха

3+2

+ »-* + 0,5к*ф* + 0(к*) + 0(к*Т)

=к

ди3+ р 71 ди,

3 + а р

3 + р р

— Р-*По р + »-*) + 0,5к*ф* + 0(к*) + 0(к*т).

дха р д- х =о

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в скобках равно нулю. Поэтому

ф_а = 0,5каф_а + ф_а, ф_а = О(к? + т) + О(к?т),

Следовательно,

.+р .+—^

у р _ У р ?'+ — __.+ — 0

(0,5ка + 71) --о- = К_а«а1—)УХа ,Р - в_аУо Р + 0,5к?ф_а + ф_а,

т

.+р —1

У р _ У р . + — _ . + — о

(0,5ка + 72) т = -К+а«аМ— . Я - в+а.аР + 0.5каф+а + ф+?.

Итак, задачу для погрешности г. р можно записать в виде

• + a • + a—1

T

Z p — Z p

- i a , ,

p + фа p , (26)

/6 ^ - /6 f / \

(0.5ha + Yi)-= Л-г(а) + ф_а, Ха = 0,

T

z p z p

(0.5ha + 72)- = Л+г(а) + ф+а, Ха = la,

T

z(x, 0) = 0,

где фа = фа +фа; фа = 0(1); ф*а = + T); ф_а = 0.5каф-а +Ф_а; Ф+а = 0.5каф+а + Ф+а;

ф±а = + T); ф±а = 0(1); £ ф±а = 0.

а=1

4. Устойчивость локально-одномерной схемы

Умножим уравнение (22) скалярно на У(а) = yj+ p :

(1 у(а\ У(а)^ = (ЛаУ(а), У(а))а + (^(а), У(а))а, (27)

где

Р Na-1

(u, v) = UvH, H = п Ьа, (u, п)а = e Uiaка,

а=1 ia = 1

Р Na

[u, v] = UvH, H = Яа, [u, v]a =53 Uia Via ^а,

xG^h а=1 ia =0

j+a j+a—I | h i — 12 N — 1-

1 (а) У p — У p I ""а 6 а -•-)

= T , Яа = S ка . n AT

P T [ Y, %а = 0, "а,

N

|У(а)!!2(а) = E У2Яа, НУ^Н^) = Е ^У(а) И2(а)Н/ка.

i a =0 ie =ia

Преобразуем каждое слагаемое тождества (27). Сначала преобразуем первое слагаемое в правой части (27)

ЛаУ(а),У(а)) = (ка(«аУ^а))ха, У(°°) +

аа

+ (Ь+«а+1а)УХа), У(а))а + {Ь-ОаУЁ, У(а))а — ^аУ(а), У(а)) (28)

Используя первую разностную формулу Грина [17, с. 99], из (29) находим

Л*у(а), У(а)

12

К ^ Ух а

+ &а*+1а)у(£, У(а))а + (Ка*у£, у(а)) —

— (а*У(а), У(а)) — (ааУ*, К-хУ(а)

0.5к*

р

Учитывая (29), из (27) получаем

(а) (а) °.5к.

У о )У(*о)

р

— Р-аУо — Р+*УМа —

У{МаУ^а + »-аУо* + »+*Ум! . (29)

(а) (а)

у\ ), У(а)

+

0.5к* + (а) (а) °.5к* + ^2 (а) (а)

р

Уо У1о +

р

(а) (а) У N-у1,И- +

+ (К 1aа, ух а

° У(*,У(а)) * + (Ь--а*У(£ ,У(а)) * —

— (а*у(а), у(а))* — к-Ху(а)

а (а)

— Р-ауо — Р +ау22а +

+ {»-* + 0.5к*и*,о)Уо* + {»+* + 0.5к*и*^а)у(*1 + &(а), У(а))а. (30)

Из (30) находим

1

1_р

(а) (а)

у\), У(а)

. 11 (а) (а) , 12 (а) (а) . ( _1 2

+ — Уо )у{о + — ук)У),,])а + [К ^ Ух а

а р р

(*) (а)

а*Уха , Кху( '

+ (Ь+а*+1а)у(х:),у(а))а + (Ъ-а*у£!, у(а))

а*у(а), у(*) — Р-*у* — Р+*у* +

х 2

¥(а), У(*)

+ »-* Уо* + »+* У{Иа. (31)

С помощью леммы 1 из [18] и формулы 2уу^ = (у2)1 + т(у1)2 находим оценки для слагаемых, входящих в правую часть (30):

1 (*) (а)

р

1 2р

) 2

2

Ь2(*)) I + 2р ^2 (*),

'А уоа)№+? =I ++^ <■ ■(*))2

р

р

2р

К-1aа, ух а

)

N-

М1

^ М1ЦУх а

\Ь2(а),

а У( ) , К У( ) а*уха , Кху

+

1 ) Ух

, У(аЛ + (ъ-а*уха ,у(а)) <

/ а V /а

< М4 еЦу-Ха]

+

1

— I |У(а

Ь2 (*) 4е

1^2 (*)

а, (у(а))2] < с^цу^ц

—Р-ау20 — Р+*у2Ма < С2(у20 + y2N) < Мз[ еЦуха] ^(* ) + с(е)ЦуЦ2ы*)

2,

Ь2(а), 2

( )

ч>(а\ У(а*

»2 »2 ( ) »- »+

< - И<0(а)циа) + 1 ИУ(а)&(*)>

2

1

»-*у(0*) + »+*у£ + Ч+* + 2

(уоа))2 + (у$)2

<

< ^(»2-а + »+*) + еЦу{£]\1(а) + сШ^Гы*),

где || • ЦЬ2(*) означает, что норма берется по переменной х * при фиксированных значениях

Л / ч 1 1

остальных переменных, е > 0, с(е) = -—+—.

(X

а

а

а

(X

а

а

а

а

а

2

а

а

2

Подставляя полученные оценки после суммирования по г в = га, в = 1, 2, тождество (31), находим

рв

2р( № +Р + М1|УХ— + Е

2рЧ ^ ¿в

5=(<Уоа))2),-+41ШУ+

2р

2р

11 ((У(а))2) + (У(а)

2р ) Л" + 2р

Н 1

Н < 2И^Щ^) + еМ4|УХаа)]Ц2(^) +

1 Н

+ М5(е)|У(а)||2(^) + 2 Е (к__а + к+а)

'•ф =

. (32)

ка

м1

Выбирая е < , из (32) находим

1

+ е £((уоа))^-+2р (йй))2) 1

2руУ+Р_ + ^ [2р^(Уо ) Л- +2р

Н

— <

ка

< М5|У(а)) + з(|

+ Е ук_а (7. )+ к+а (7. )) к"

¿в = — а

Н

(33)

Просуммируем (33) сначала по а =1, 2, ..., р:

¿(ыиО- + Е Е [2р(<У«а))2)- + |((у»2)-

а.—1 ¿в ^—

Р 1 Р / Н \

< М5 Е ||У(а)||!2(^) + 1 Е (||3Р Н^йь) + Е (к__а(7. )+ к+а (3 )) Н ):

а=1 2 а=1 4 =га ка У

Н

- <

ка

(34)

а затем, умножая обе (34) части на 2т и суммируя по j' от 0 до j, получаем:

¿в = -

■^И^) + Е Ы^1)2 + 72(УЙ1)1 к- < М^ т Е

ка

Н

3 Р

„3/+Р112

+

з/=о а=1

3 Р

+ М7 £ т£

./=о а=1

з/+Р| 12

М<-ь) + Е (к_а + к+а)Н/к^ +

¿в =г

о2

(35)

где ||УХ21(^) = |

Из (35) имеем

Л^ (йь) + 11 УХ 11 ¿2 (^).

■3'+1112- • • + Е

1^2 (йь)

¿в = -

71(Уо+1)2 + 72(УЙ1)2

3 Р

Н

Н < М6 £ т Е ||У3/+Р И^й) + М7Р3, (36) к

3/=о а=1

где

3 Р

р 3 = Е тЕ

3/=о а=1

3/+р| I2

¿2(шь) + Е (к__а + к+а) + ||У0ИW2l(шh).

¿в=

Покажем, что имеет место неравенство

• а 3_1 ^ а

ЖР |У3 +Р ^(й) < ^ Е т тО^ ||У3/ +Р 11 ¿2 (й) + ,

3/=о

где и2 — известные положительные постоянные.

С1

и

Перепишем неравенство (33) в следующем виде

3+Р |Ц(йк) + Е [т1 (Уо+р)2 + 12(У+р)2

¿в =®а

Н

— <

ко

"о

ко +

<|У3+- + е [^1 (уо+ р )2+72(у;: р )2

¿в =® —

+ 2тМ5 ||У3+Р |||2(йь) + т (||^/+Р И1Ш + Е (к__а + к+а) . (37)

Просуммируем (37) по а' от 1 до а, тогда получим

3+р ни*) + е [т1 (уо+р )2+72(у;: р )2

¿в

Н

- <

ко

"о

Н а /

< ||у3Ш^) + Е [71 (Уо)2 + 72(3)2] Г + 2тМ5 Е ||У3+' ||12(йь) +

¿в =г а ка а/=1

+ т !О (^/ + (йь) + Е (к__а/ + к+а/) < а/=Л ¿в =»'— ка/

< ||У3 Щ^) + Е [71 (Уо)2 + 72(Ук)2] Н + 2тМ5 Е 11У3+Р ^(йь) +

¿в =1 а а а=1

+ т Е (||^/+Р + Е(к__а + к+а) Н). (38)

а=1У ¿в =г — ка/

Не нарушая общности, можно считать, что

тех |У3+ - |12(йь) = ||У3+Р ||12(йь),

в противном случае (37) будем суммировать до такого а, при котором ||у3 р ||£з (^ достигает максимального значения при фиксированном j. Тогда (38) можно переписать в виде

Н

ко

тах |У3+р|||2(йь) < |У3||12(йь) + Е [71 (Уо)2 + 72(Ук)2

¿в =¿ а

Р / Н\

+ 2ртМ5 тах ||у3+Р Ц^ + т Е /+Р ) + Е (к__о + к+о) £). (39)

О—1 ¿в =— ¿ а О

Так как из (36) следует, что

11У3||^2(йЛ) + Е [71 (Уо)2 + 72(3)2] Н < М6 Е т тах ||у3/+р Ц^) + М7р3, (40)

¿в =¿ а О 3 /=о

то из (39) с учетом (40) имеем

3-1

а — 2ртЩ тах Ь3+-р Ш2Ш < Мв£ т тах Цу3 + -р Шш + М8Р3

3 '=о

Выбирая т < то = —1—, из последнего находим

4рМ5

• а 3-1 ■' а

тахР ^3+р < у1£ т тахР ^3'+р ^ ^+^.

3 '=о

Введя обозначение д^+1 = тах ||у3+р ||| (ш ), последнее соотношение можно переписать

1<а<р 2(

в виде

д3+1 < V1£ тдк + У2Р3, (41)

к=1

где v1, у2 — известные положительные постоянные.

Применяя к (41) лемму 4 [19, стр. 171], из (36) получаем априорную оценку

3+ЧЪш < М

Л^) + £ т £ У'+рй2ш +

3'=о а=1

3 Р —

+ £ т £ £ (»--а (0,х',-3 ')+ »+*(1*,х',-3 ') —

3 '=о а=1 =га П*.

(42)

х (x1, x2, . . . , xа—1, xа+1, . . . , хр).

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4). Тогда локально-одномерная схема (22)—(24) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения схемы (22)—(24) при т < то справедлива оценка (42).

5. Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [17, стр. 528] представим решение задачи (26) в виде суммы г* = = и(*) + П(*), г(*) = г р, где П(*) определяется условиями

Ща) — 'П(а-1) = фа, х е шНа + 1Ка, а =1, 2, ..., р, (43)

т

п(х, 0) = 0.

где ,

фа, х* е шна;

фа = { Ф-а, х* = 0;

ф+а, ха ¡а.

Из (43) следует, что п3+1 = П(Р) = П3 + т {фр1 + ф2 + ... + фР) = П3 = ... = П = °, так как По = 0.

Тогда для П(О) имеем

П(о) = т(ф! + ф2 + ... + фо) = -т(фо+1 + ... + фР) = О(т). Функция и(О) определяется условиями

и(о) и(о = лЛои(о) + ф/;а, фа = ЛаП(а) + ф*, х Е йН—, (44)

Г

(0,5ка + 71) —-и(а 1) = Л_и(а) + фд_а, ф_а = Л_ П(а) + ф_а, х? = 0, (45)

Т

(0,5ка + 72) —-и(а_1) = Л+и(а) + ф+а, ф+а = Л+П(а) + ф+а, х? = ¡а, (46)

Г

и(х, 0) = 0. (47)

Если существуют непрерывные в замкнутой области производные

д2и д4и д3и д3кО д2кО д2гО дгО д2да ддО д2/ д/ д72' дхО дх2' дхО д7' дхО дх2' дхО дЬ' дх2 ' д7 ' дх2 ' д7 ' дх2' д7 '

где 1 < а, в < р, а = в, то

ЛоП(а) = -тЛ^фа+1 + ... + фР) = О(т), Л±П(а) = О(т). Решение задачи (44)-(47) оценим с помощью теоремы 3:

ц^И!^) < М(Т)

Р 3/+р,

ЕтЕ ||ф° +р ||!2(йь) +

1_3/=о о=1

3Р

3 Р Н + Е т Е Е фЛ_о(0,Х',73 /)+ фЛ+о(1о,х',73 /) Н

п' — П О=1 ^ ' ко

3/=о о=1 ¿в=¿,

(48)

Так как п3 = 0, П(О) = О(т), ||у3 || < ||и31|, из оценки (48) вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в решение и(х, 7), которое имеет непрерывные в производные

д2и д4и д3и д3кО д2кО д2гО дгО д2дО ддО д2/ д/ д72' дхО дх2' дхО д7' дхО дх2' дхО д7' дх2 ' д7 ' дх2 ' д7 ' дх2' д7 '

где 1 < а, в < р, а = в, и выполнены условия (4). Тогда локально-одномерная схема (22)-(24) сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью О(|к|2 + т), так что при достаточно малом т имеет место оценка

Ю - и^1!^) < М(|к|2 + т), 0 < т < то,

где |к|2 = к2 + к2 + ... + кР.

6. Алгоритм численного решения

Перепишем начально-краевую задачу (1)-(3) при 0 < хО < ¡О, а = 2, р = 2, тогда

получим

ди

д

dt dxi

дм \ д / дм \ дм

fcl(Xi,X2,í) "^J + ду ^2(X1,X2 ,t) "^J + ri(Xi ,X2,t) ^ +

j2

дм

+r2(xi,x2,t)---qi(xi,x2,t)u - q2(xi,X2,t)u + f (xi,x2,t); (49)

дХ2

ki(x, t)

дм Yi дм

---—+ e-iм — k-i(x,t), xi = 0, 0 < t < T;

дх p дt дм y2 дм

—ki(x,t)— = + ^м — k+i(x,t), xi = li, 0 < t < T;

дм Yi дм

k2(x,t)

дх

—Mx,t)

--?ГТ + в-2м — k-2(x, t), X2 = 0, 0 < t < T;

p дt

дх =-p2 "дм + в+2м — k+2(x,t), X2 = /2, 0 < t < T;

м

м(x1,x2, 0) = м0(хьх2).

(50)

(51)

Рассмотрим сетку х

(»a )

iaha, a =1, 2, tj = jT, где ¿a

0, 1, ..., Na,

/a/Na,

j = 0, 1, ..., т, т = Т/т. Вводится один дробный шаг 73+- = 73 + 0,5т. Обозначим

3 + — ' —

y¿1 ¿р = у3+р = у(г1 к1, г2к2, (j + 0.5а)т), а = 1, 2, сеточную функцию. Напишем локально-одномерную схему

yj +2 — y1

7j+i — yj+ 2

Г

Л iyj+1 + ^i,

= Л 2yj+i + ^2,

y0++22 = Kii (i2h2, t 1 + kii (i2h2, 11+ 1 )

1+2

>,»2 1+2

»2 1 + 2

yNi,2Í2 = Ki2(i2h2, tj+ 1 Wi —i,¿2 + ki2(i2h2,ti+1 ),

= K2i(iihi,t1+i)y1+ii + k2 i(i i h i, tj+i) , , У1^^ = K22(iih i,t1+ii + ^22(i ih i,t1+i), y°L,i2 = мо(г ih i, ¿2^2),

Л a У

1 + a\ 1+a 1+a -a

K^aaУх a + b+aa+i)yxa p + Ь-йаУхг a ? — ^a^p ,

^a = " f (xi,x2,tj+0,5a), a =1, 2, ИЛИ <£i = 0, ^2 = f (xi ,x2,tj+i).

2

Приведем расчетные формулы для решения разностной задачи при р = 2.

1+2

На первом этапе находим решение y¿1 ¿2. Для этого при каждом г2 = 1, 2

N2 - 1

решаем следующую задачу:

i+2

i+2

i+2

1+2

л J i 2 2 i D -' 2 _ 77,с/ 2

Ai(»1 ,»2)yíi —1,»2 — Ci(il,i2)yil,¿2 + Bi(»1,Í2 )У»1 + М2 = — Fi(ii,i2),

^ У0++22 = Kii (i2h2, tl+1 )У1++22 + kii(¿2h2,ti+1),

0 < ¿i < Ni,

1+2

yNi

,»2 1+2

(52)

Ki2(i2h2, t1+1 Wi — i,»2 + Mi2(¿2h2,t1+ 2 ),

a

где

(к1)Ч,12 (а1)гг,г2 (Ъ- )ч,12 (а1)гг,г2 в = (к1)г1,г2 (а1)г1+1,г2 . (Ъ+)Ч,12 (а1)г\ + 1,г2

к2 к1 , В1(г1,г2) = к2 + к1

1 ^ .3 +1 _1 ,3

С1(г1,г2) = А1(ч,г2) + В1(г1,г2) + т + р №^2 , ^1+1,2 = ^1*2 + ^1^1*2),

(к-1а\)1

г2

К11 (г2к2,13+ 2) = {к-1а1)1,г2 , 2 , 0,5Ы + Ъ ,

Ы + 1,22 + Т

(к+1а1)^.

г2

к12(г2к2,-3+1) Ы

3+1 (к+1а1)^,г2 , д3+2 , о,51ц+12 ¡1 + Р+122 + 1

»11^2,-3+1)

»-1 (^2к2, Ь3+1) + -Т-Уо,%2

Т

»12^2,-3+1) =

3+1 (к-1а1 )1,г2 , Ъ3+2 0,5^1 + '

¡1 + + Т

-(■!,, ч , 0,5^1 + ^2 3

»+1(г2к2,-3+ 1 ) + -Т-

2Т

3+2 (к+1а{)^,г2 I Ъ3+2 , 0,5^1 + ^2

¡1 + Р+122 + Т

На втором этапе находим решение . Для этого, как и в первом случае, при каждом

значении 11 = 1, М1 — 1 решается задача

А2(г1,г2) У1+2-1 — С2(г1,г2)У1+1 + В 2(4^1+2 + 1 = —F2(ílг2), 0 < ^ < ^,

УЦ+о = К21 (Чк1, -3+1Ы+ + »21 (Чк1, tj+l), (53)

3+1 и и + \„3+1

где

Уь,12 = К22(Чк1,31)у3ъ12-1 + »22(i1к1,tj+l),

(к2)г1,г2 (а2)г1,г2 (Ъ2)гl,г2 (а2)г1,г2 в (к2)г1,г2 (а2)г1,г2+1 . (Ъ+)г1,г2 (а2)г1,г2+1

А2(г1,г2) = Ц Н2 , В2(г1,г2) = Ц + к2

С2(г1,г2) = А2(г1,г2) + В2(г1,г2) + ^ + ^^г^ , Щ+1,г2) = ^у3+Л + V2(гъг■

(К-2а2)г1,1

ъЛчК31) = (к-2а2)п,1 , X , 0.5Ы2 + 71 ,

¡1 + р-2,г1 + Т

(к+2а2)г1^2

к22(г1к1,-3+1) = -г--,

¡2 + ^ + 2

1

тбл.1

тбл.2

0,5^2 + 71 3

^-2(^1,^+1) + --Зо

^^ ^ = (К-202)»1,1 , ,3+1 , 0,5^2 + 71 ,

+ Р-2,п + "

^2

0,5^2 + 7^ з

к22(«1^1,^з+1) = ( п )-.

(к+2п2)гь№з , ,3+1 , 0,5^2+72

Н2 + /,+2,^1 + ^

Каждая из задач (52), (53) решается методом прогонки [17].

7. Тестовая задача и численные результаты

Коэффициенты уравнения и граничных условий исходной дифференциальной задачи (1)-(3) подбираются таким образом, чтобы точным решением при р = 2 была функция:

и(х, £) = ¿3(ж4 + х2).

В табл. 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности (г = у — и) и вычислительный порядок сходимости (ПС) в нормах || ■ ) и || ■ ||с), где ||у||с) = тах |у|, когда к = к = к2 = у/т. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации О (к2 + ^у/т )2).

Таблица 1

Изменение погрешности по норме || ■ ||ь2(гй^т) при уменьшении размера сетки на £ = 1 в случае к = = к2 = \рт

к Максимальная погрешность ВПС

1/20 0,076995332

1/40 0,019516410 1,9801

1/80 0,004822500 2,0168

1/160 0,001165481 2,0489

Таблица 2

Изменение погрешности в норме || ■ Нс^^) при уменьшении размера сетки на £ =1, когда к = = к2 = у/т

к Максимальная погрешность ВПС

1/20 0,181679582

1/40 0,046630478 1,9621

1/80 0,011586243 2,0089

1/160 0,002810486 2,0435

Вычислительный порядок сходимости определяется по следующей формуле:

ВПС = /У12 Й = 1о§2 Й,

||22|| ||22||

где г — погрешность, соответствующая

Заключение

В работе исследуется начально-краевая задача для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида. Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема A.A. Самарского с порядком аппроксимации O(h2 + т). Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения и проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в данной работе теоретические выкладки.

Список литературы

1. Абрашин В.Н., Асмолик В.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18, №7. C. 1107-1117.

2. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2, № 5. С. 787-811.

3. Самарский A.A. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3, №3. С. 431466.

4. Самарский A.A. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4, №4. С. 638-643.

5. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4, № 6. С. 1106-1112.

6. Фрязинов И.В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уравнения параболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, №6. С. 1316-1326.

7. Фрязинов И.В. Экономичные схемы для уравнения теплопроводности с краевым условием III рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12, №3. С. 612-626.

8. Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода /// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, №7. С. 1223-1231.

9. Шхануков-Лафишев М.Х., Лафишева M.M., Нахушева Ф.М., Мамбетова А.Б. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью // Владикавказский математический журнал. 2013. Т. 15, №4. С. 58-64.

10. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 196 с.

11. Бештокова З.В., Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, №9. С. 1531— 1542. DOI: 10.31857/S004446690002531-5

12. Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, №3. С. 366-379. DOI: 10.1134/S0374064120030085

13. Бештокова З.В. К нелокальным краевым задачам для многомерного параболического уравнения с переменными коэффициентами //Вестник Тверского гос. ун-та. Сер.: Прикладная математика. 2019. Вып. 2. С. 107-122. DOI: 10.26456/vtpmk535

14. Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // Современные проблемы науки и образования. 2015. №2. Ч. 1. С. 763.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб. пособие. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 с.

16. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики: учеб. пособие. М.: Наука, 1973. 407 с.

17. Самарский A.A. Теория разностных схем: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Наука, 1983. 616 с.

18. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8, №6. С. 1218-1231.

19. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.

Mathematics and Mathematical Modeling, 2022, no. 2, pp. 14-37.

DOI: 10.24108/mathm.0122.0000284

© Beshtokova Z. V, Vodakhova V A., 2022.

Mathematics & Mathematical Modelling

http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

Grid Method for Solving an Initial-Boundary-value Problem for a General Multidimensional Equation of Parabolic Type

Beshtokova Z. V.1*, Vodakhova V. A.2

1 Institute of Applied Mathematics and Automation, KBSC RAS, Nalchik, Russia 2Kabardino-Balkarian state university, Russia

* zarabaeva@yandex.ru

Keywords: initial boundary value problem, a priori estimate, multidimensional equation, parabolic type equation, locally one-dimensional scheme, stability, convergence

Received: 11.04.2022.

The problems concerning the physical process studies that lead to mathematical models based on a parabolic type equation are of great practical importance.

When solving the parabolic equation, a transition from the one-dimensional equation to the multidimensional one gives a rise to some difficulties. The trouble is that amount of computations significantly increases in the transition from the one-dimensional problems to the multidimensional ones In this regard a task to build the economical difference schemes for a numerical solution of multidimensional problems is a challenge.

A difference scheme that approximates the problem over time is economical, if it is unconditionally stable and the desirable number of arithmetic operations in the transition from layer to layer is proportional to the number of nodes in each time layer.

The paper dwells on the construction of a locally one-dimensional (economical) difference scheme for the approximate solution of a parabolic type equation of a general form in a multidimensional domain, the main idea of which is to reduce a complex problem to a sequential solution of boundary value problems of a simpler structure. At the same time, there is a construction of the economical, unconditionally stable difference scheme for each of the intermediate problems. To have a numerical solution of the problem, there is a construction of the locally one-dimensional difference scheme of A.A. Samarsky. Using a method of energy inequalities allows us to obtain a priori estimates in the differential and difference interpretations, whence it follow that there are the uniqueness, stability, as well as the convergence of the solution of the locally one-dimensional dif-

ference scheme to the solution of the original differential problem. For a bi-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.

References

1. Abrashin V.N., Asmolik V.A. Locally one-dimensional difference schemes for multidimensional quasilinear hyperbolic equations. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1982, vol. 18, no. 7, pp. 1107-1117 (in Russian).

2. Samarskii A.A. On an economical difference method for the solution of a multidimensional parabolic equation in an arbitrary region. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 2, no. 5, pp. 894-926. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90504-4

3. Samarskii A.A. Local one-dimensional difference schemes on non-uniform nets. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol.3, no. 3, pp. 572-619. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90290-8

4. Local one-dimensional difference schemes for multi-dimensional hyperbolic equations in an arbitrary region. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, vol. 4, no. 4, pp. 21-35. DOI: 10.1016/0041-5553(64)90002-3

5. Fryazinov I.V. Difference approximation of the boundary conditions for the third boundary value problem. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, vol.4, no. 6, pp. 180-188. DOI: 10.1016/0041-5553(64)90090-4

6. Fryazinov I.V. Economic schemes for increasing the order of accuracy when solving multidimensional parabolic equations. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1969, vol. 9, no. 6, pp. 104-117. DOI: 10.1016/0041-5553(69)90128-1

7. Fryazinov I.V. Economic schemes for the equation of heat conduction with a boundary condition of the third kind. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1972, vol. 12, no. 3, pp. 53-70. DOI: 10.1016/0041-5553(72)90034-1

8. Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Locally one-dimensional scheme for a loaded heat equation with Robin boundary conditions. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, vol. 49, no. 7, pp. 1167-1174. DOI: 10.1134/S0965542509070094

9. Shkhanukov-Lafishev M.Kh., Lafisheva M.M., Nakhusheva F.M., Mambetova A.B. The locally-one-dimensional scheme for the equation of heat conductivity with the concentrated thermal capacity. Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladicaucasian Mathematical J.], 2013, vol. 15, no. 4, pp. 58-64 (in Russian).

10. Yanenko N.N. Metoddrobnykh shagov resheniia mnogomernykh zadach matematicheskojfiziki [Method of fractional steps for solving multidimensional problems of mathematical physics]. Novosibirsk: NaukaPubl., 1967. 196 p. (in Russian).

11. Beshtokova Z.V., Lafisheva M.M., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Locally one-dimensional difference schemes for parabolic equations in media possessing memory. Computational

Mathematics and Mathematical Physics, 2018, vol.58, no. 9, pp. 1477-1488. DOI: 10.1134/S096554251809004X

12. Beshtokova Z.V. Locally one-dimensional difference scheme for a nonlocal boundary value problem for a parabolic equation in a multidimensional domain. Differential Equations, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 354-368. DOI: 10.1134/S0012266120030088

13. Beshtokova Z.V. To nonlocal boundary value problems for a multidimensional parabolic equation with variable coefficients. Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Prikladnaia matematika [Herald of Tver State Univ. Ser. Applied Mathematics], 2019, no. 2, pp. 107-122 (in Russian).

14. Nakhusheva F.M., Vodakhova V.A., Kudaeva F.Kh., Abaeva Z.V. Locally one-dimensional difference schemes for the fractional order diffusion equation with a concentrated heat capacity. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniia [Modern Problems of Science and Education], 2015, no. 2, pt. 1, p. 763 (in Russian).

15. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniia matematicheskojfiziki [Equations of mathematical physics]: a textbook. 5th ed. Moscow: NaukaPubl., 1977. 735 p. (in Russian).

16. Ladyzhenskaiia O.A. Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]: a textbook. Moscow: Nauka Publ., 1973. 407 p. (in Russian).

17. Samarskii A.A. Teoriia raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]: a textbook. 2nd ed. Moscow: NaukaPubl., 1983. 616 p. (inRussian).

18. Andreev V.B. On the convergence of difference schemes approximating the second and third boundary value problems for elliptic equations. USSR Computational Mathematics andMath-ematicalPhysics, 1968, vol. 8, no. 6, pp. 44-62. DOI: 10.1016/0041-5553(68)90092-X

19. Samarskii A.A., Gulin A.V. Ustojchivost' raznostnykh skhem [Stability of difference schemes]. Moscow: NaukaPubl., 1973. 415 p. (inRussian).