Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах с граничными условиями первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 3-13

УДК 519.633

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА

А. К. Баззаев

В работе рассматриваются локально-одномерные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах с граничными условиями первого рода. С помощью принципа максимума получена априорная оценка для решения разностной задачи в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость построенных локально-одномерных схем.

Ключевые слова: локально-одномерная схема, уравнение диффузии дробного порядка, дробная производная Капуто, граничные условия первого рода, принцип максимума, априорная оценка, устойчивость, сходимость.

1. Введение

Дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений во многих областях физики, механики, прикладной математики, математической биологии и т. д. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для получения динамических моделей, в которых интегро-дифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред и процессов [1, 2].

Дифференциальные уравнения дробного порядка возникают также в задачах классической механики (обратные задачи), гидродинамики (движение тела в вязкой жидкости), теплопроводности (динамика тепловых потоков), диффузии (электрохимический анализ поверхностей электродов), при изучении физических процессов стохастического переноса [3], при использовании концепции фрактала в физике конденсированных сред [4] и т. д. Многие проблемы фильтрации жидкости в сильно пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [5]. Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции. Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной» памятью, занимающие промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой [6].

Данная работа посвящена рассмотрению локально-одномерной схемы (ЛОС) для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной в младших членах с граничными условиями первого рода. ЛОС для уравнения диффузии дробного порядка

© 2014 Баззаев А. К.

с краевыми условиями первого и третьего рода исследованы в работах [7] и [8] соответственно. В [9] построены ЛОС для уравнения диффузии дробного порядка с конвективным членом. Для рассмотренных разностных схем в указанных работах получены априорные оценки в равномерной метрике, доказаны их устойчивость и равномерная сходимость.

2. Постановка задачи

В цилиндре Qт = О х [0 < Ь ^ Т], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед О = {х = (х\, х2,..., хр) : 0 < хв < ¿в, в = 1, 2, ... ,р} с границей Г рассматривается первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной и порядка у (0 < V < 1) по пространственной переменной хв (в = 1, 2,... ,р) в младших членах:

д^и = Ьи + f (х,Ь), (х,Ь) е Qт, (1)

и|г = Мх,Ь), t ^ 0, (2)

и(х, 0) = по (ж), ж £ С, (3)

где

p д ( du \

Lu = ^Lf3u, Lf3u = — [kf3(x,t)—\ +rf3(x,t)dQXi}u-qf3(x,t)u, в 1

0 <Co ^ ke < ci, re < 0, |re | < C2, qe ^ 9* > dotu = r(i-a) I (t-ijy* ^V ~ дробная производная Капуто по времени порядка а, 0 <

Xfj

а < 1, й = du/dt, d?iXfju = щ^у / i,|,^+1,...,xp,t) ^ Q < ^ < 1 _ дробная

- Г(1 —Л (хр-

производная Капуто по пространственной переменной хв, в = 1, 2,... , р, порядка V, 0 < V < 1, и' = ди/дх, Со, С1, С2 — положительные постоянные.

Заметим, что кв (х,Ь), дв(х,Ь), f (х, Ь) _ заданные функции х и Ь такие, что

^(М) еС^Ш- ^(^^/(ж.^С2-1^), (3 = 1,2,... ,р,

где = б х [0 ^ I ^ Т], б = б и Г, — класс функций, непрерывных вместе

со своими частными производными порядка т по х и порядка п по Ь. Такие несколько завышенные условия гладкости потребуются при построении разностной схемы второго порядка аппроксимации.

2. Локально-одномерная разностная схема

В замкнутой области Qт зададим равномерную сетку. Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Охв с шагом Нв = ¿в/^з, в = 1, 2,... :

= {жа'3) = : «/з = 0,1,..., Л^з, /3 = 1,2,... а^ =

в=1

При этом будем обозначать о^ — множество всех внутренних узлов сетки

На отрезке 0 ^ t ^ Т также введем равномерную сетку

ш'т = {0,^+в/р = (3 + в/р) т, 3 =0,1,..., ¿с - 1; в = 1, 2,... ,р},

содержащую наряду с узлами tj = ¿т, так называемые фиктивные узлы tj+в/p, в = 1, 2,... ,р — 1, г = Т/^'о- Будем обозначать — множество узлов сетки для которых t > 0.

Перейдем теперь к построению локально-одномерных схем для уравнения (1). Для этого по аналогии с [10, с. 481] уравнение (1) перепишем в виде

Ри = - Ъп - / = 0,

или

р 1

в=1 р

На каждом полуинтервале Ав = {tj+(в-l)/p, tj+p/p], в = 1,2,... ,р, будем последовательно решать задачи

¿>(/3) = ^ ^(/3) - Ь/зг>(/з) -//3 = 0, ¿ед^, /3 = 1,2,...,р, (4)

Ь(в) = ^(ж^), ж е г в, (5)

^(1) (ж, 0) = пс(ж),

«(в) (ж,^-+(в-1)/р) = «(в—1)(ж,^-+в/р), в = 2,3,...,р, (6)

«(1)(ж,tj) = «(р)(жЛ)> 3 = 12>... 3с - 1,

где Гв — множество граничных точек по направлению ж^ /в (ж,^, в = 1,2, ...,р — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и /(ж^), удовлетворяющие условию нормировки

Е /в = /.

в=1

В [7] найден дискретный аналог дробной производной:

1 С и{ж,,) ^

Г(1 - а) У (tj+в/p - п)а

с (7)

1 V* + -иф ~ ц("1)/Р

- г(2 - а) ^ ъз+{р-з)/р)иг + % - т/р '

Дробную производную порядка V (0 < V < 1) по пространственной переменной аппроксимируем по аналогии с [11]:

1 'в

= рС2 _ г/) Е -"г/з+1 ~ + °(М>

^ ' тв=1 (8)

итв итв — 1

и^1),т1) = 7 •

в

чисто неявной разностной схемой и, присоединяя граничные и начальные условия, получим разностный аналог задачи (1)-(3):

A0ij+e/py = + x G uh, в = 1,2,... (9)

1 iß

Лу = (aßyxß)xß + rßV(2-v) ^ ~ ЦТ-"»*.) - dßy,

yj+e/p|7h e = j =0,1,..., jo - 1, (10)

У(x, 0) = uo(x), x G Whe, (11)

где коэффициенты a^ — сеточные функции, которые выбираются из условий второго порядка аппроксимации на равномерной сетке. Можно использовать, например, следующую аппроксимацию коэффициентов kg (x,t):

aß = kß(xi,.. .,Xß-i,Xß - 0.5hß,Xß+\,... ,xp,t), t = tj+1/2,

да _ 1 V (fl-a _fl-a \ s/p s/n V ~ Vy

^j+ß/vy ~ г(2 - a) ^ V i+(ßs+i)/p lj+(ßs)/p yt ' У!

5=1

— множество граничных по направлению хв узлов, в = 1, 2,...

3. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

Перейдем теперь к изучению погрешности аппроксимации локально-одномерной схе-

в

рует уравнение (1), но сумма погрешностей аппроксимации

ф = ф + ф + ... + Фр

стремится к нулю при т ^ 0 и |Н| ^ 0.

Пусть и = и(х,Ь) — решение задачи (1)-(3), а в = 1,2,...,р — решение

разностной задачи (9)-(11).

Промежуточные значения у^+в/р будем сравнивать с и+в/р = и(х, полагая

= — и+в/р. Подставляя = + и+в/р в разностное уравнение

(9), получим

. . га+в

^ ^ ^ л ' 1—а _а

где

1 1 pj+в

= + ^ - I * £ - »f ■ (И)

s=1

Обозначив через

1 \ j+1/2

^ß=[Lßu + fß--d:tu) (14)

и заметив, что

рр

в = 0, если]Т/в = /,

в=1 в=1

представим фв = Фв+в/Р в виДе

О *

фв = фв + фв.

Тогда

Фв+в/р = Лви'+в/р + *£+в/р - А^, и + ^ - Фв = (Лви^+в/р - ¿ви^+1/2) + (<^+в/р - /в+1/2)

-А

в

1 1 /<Л О * О

где

^ = (л^* - Ь^) + - 1/2) - - 1 (ад^2) .

* О

Очевидно, что Фв = 0(Лд + т), Фв = 0(1), т. е. каждая го гаем (9)-(11) номера в аппроксимирует в обычном смысле соответствующую задачу (4)-(5). Таким образом, схема (9)-(11) обладает суммарной аппроксимацией

А А о * р *

ф = Ефв = Е(фв + фвНЕфв = 0 (|Л| +т), N = Лв. в=1 в=1 в=1

а

4. Устойчивость локально-одномерной схемы

Для получения априорных оценок будем пользоваться принципом максимума для решения сеточного уравнения общего вида (см. [12, с. 339]):

а(Р)у(р) = Е в(р,д)у(д) + р(р),

деШ '(р )

где Р, ф — узлы сетки, Ш'(Р) — окрестность узла Р, не содержащего самого узла. Коэффициенты А(Р),В(Р, ф) > 0 удовлетворяют условиям

А(Р) > 0, В(Р,ф) > 0, Р(Р) = А(Р) - ^ В(Р,ф) ^ 0. (15)

деШ '(р )

Разностную задачу (9)—(11) перепишем в виде: р^'+в

1 1 [Л-а _+!-<* \ „3/Р - (п Л+Р/А

рГ(2 -а) ^ \ з+(13-8+1)/р Ъ]+{13-З)/Р)Щ -\аРУхр ),

'в

_И_ V (г1-" -г1-" ) ?/+/3/р - с1Я1Р+13/Р + оУ+/3/р

- и) V Ч~т1з+1 1>ф—т1з) Ух^т/з иРУ ^ >

^ ' тв=1

в

yj+e/pLe = j = 0,1,...,j0 - 1, (17)

y(x, 0) = По (ж), x€ÜJhß. (18)

Решение задачи (16)—(18) представим в виде суммы

* о

У = У + У,

*

где У — решение однородных уравнений (16) с неоднородными краевыми условиями (17) и однородными начальными условиями:

1 Pj+f f 1 t \ * s/p ( * j+e/p\

^ х ^ / ,1—а .1—а \ I \

Г(2 - а) ^ Y3+(ß-s+i)/p tlj+(ß-s)/pJyt -[ußV-xp j^

+ Г/3Г(2 - v) E -«,3+1 ~ xiß-mß J ^^ ~ ^ '

^ ' mß=1

(19)

* j+e/p

У

= ^'+в/р, 3 = 0,1,...,3о - 1, (20)

1ъ,в

У (ж, 0) = 0, (21)

О

а У — решение неоднородных уравнений (16) с однородными краевыми условиями и неоднородными начальными условиями (18):

1 1_q ч о s/p / oi+/?/p\

(/¿+03-*+1)/р ~tj+{ßs)/p) yt = [aßyxß ) о—1 v / :

Г(2 -«) s=i ' v -в

V ' me=1

(22)

О^'+в/р .

У |7ьв =0, 3 =0,1,...,3с - 1, (23)

У (ж, 0) = ио(ж). (24)

В [7] доказана

Лемма 1. Пусть £ = рэ + в - 1 ^ 1- Тогда имеет место неравенство

-1—а/Р + 2t1—(в—1)/р -11—(в—2)/р > 0 3 = 0,1,...,эс -1; в = 2,3,...,р.

Приводя (19)—(21) к каноническому виду и используя лемму 1, получаем, что коэффициенты уравнения (19) и краевые условия (20) удовлетворяют условиям (15) и

ДжвЛ+в/р) = ^ ^ 9* > 0, Я(0,^-+в/р) = 1 > 0, £(£в,^-+в/р) = 1 > 0.

*

Таким образом, на основании теоремы 3 (см. [12, с. 344-345]) для решения У задачи (19)—(21) получаем оценку:

*^+1 , , I \

\\У Ус < тах (у^—в(ж,t/)\\с7 + \Кв(ж,0\\с7) , (25)

0<г ^т

в

где

|с = тах |у|, ||у||с7 = тах |у|.

Для оценки функции У применим оценку на слое (см. [12, с. 346]). Уравнение (22) перепишем в виде

1

1

р Г(2 — а)

, о^+в/р о^+в/р

(•т/р)1~аут =Агзу

+^в/р,

(26)

где

*в+в/р

1

1

^ рГ(2-а)

р^+в-1 Е

5=1

^1 —а

^ + (в-5 + 1)/р

1-а

Уравнение (26) приведем к каноническому виду:

р1—„ г(2 — а) т

1 1 а/3,г,9+1 + а13,гр

+

ав,<

Н2 Нв

Гв

гв

1

Г(2 — V) Н

+ ^

о^+в/р У

Гв

Г(2 — V) Н

в

Нв Г(2 — V)

о^+в/р

—х1—^ + 2х1—^ — х1—^ п^ ^«х»о 1

3(в) 2(в) 1(в)

о^+в/р У»в—1

х1—V — х1—п У0

¿в+1

»в

1 1 1 \ о^+в/р

+ I—х!в—Т1 +2х1в—^ — хЫ У1

1 1 1 \ о^+в/р

+ ... + (—х^Гв) + 2х3Гв)— х2"вП У»в—2

+ ф(pj+в/p),

где

ф(Р(^+в/р)) = —¿+в/р

р1—а Г(2 — а) та

(2 — 21—а)

о^+(в— 1)/р

У.

%в

+ 4>гз

;^+в/р

^'+в/р

+

Г(2 - а) т V 2/р

1 / , ! N оЖв — 2)/р

1

1

т Г(2 - а)

р^+в-2 Е

5=1

ь1—а _Ь1—а

Ь^+(в— 5 + 1) /р ^ + (в— 5)/р

о5/р о (5 — 1)/р

V- — У-

у»в ¿в

Проверим выполнимость условий теоремы 4 ([12, гл. 5, §2, (25)—(27)]), используя вышеуказанную лемму 1:

Р(в) = Р ОМя-в/р^

А(Р(в))

1 1 1 аР,1р +1 + «/З,^

р1 а Г(2 - а) та

Н2 Нв

Гв

1

Г(2 — V) Н

+ ^

> 0,

в(Р(в) ,Q)

«8,»,3+1

Ч 5

аР,г/з _ Гр

Щ, Г(2 - г/)

—т1—^ + 2т1—и — т1—и

3(в)

2(в)

1(в)

р1 а Г(2 - а) т

■(2 — 21—а);

11

т Г(2 - а)

ь1—а _Ь1—а

^+в/р ^+(в—1)/р

, / _#1—а I г)|1—а

Л „ + 2Ь„-

+ 2 — Ь1—а ^ ¿+в/р + 2 "Жв—1)/р ^+(в—2)/р/

1

в

1

1

1

1

1

1

1

1

_#1—а I of1—а _fl—а \ . . i _fl —а i оJ-1—а _ #1—а

J+C3-l)/p + 2)/p 3)/W ' ••• ' l C3/p + 2t2/p 4/p

__

Г(2 - г/) hp

xi3+l УЧ +l + ¿в — 11' • ••• •

> 0,

—x1—v + 2x1—v — x1—v ХЛ ~P 2Хо xo

4(в) 3(в) 2(в)

D\P(P)) = А(Р(0)) - E =

qeni e (p ) ^ v '

для всех Q G Ш1; Q G Ш

Qeni^

1 ^ (2 — 21—а) 1

B[P{ii),Q) = 1 + р1_аТ(2 — о)та ^ 1 + 'pl~aT(2 — а)та ^ h (2?)

где

щв _ множество узлов ф = ) е Ш/(Р (ж^в)),

Ш//—1 — множество узлов ф = О е Ш/(Р (ж,tв—1)).

На основании теоремы 4 (см. [12, гл. 5]) и в силу (27) получаем оценку:

◦ j+e/p ! ,•+«/„ (2 — 21—а) о j+e/p

||У ||С <Р1-аГ(2-а)га|К^||с+ 1+pLr(2- а)т» ||У (2§)

Оценим ||^+/3/Р||с, где

11 +-

т Г(2 — а)

_ , 1 1 (л-а A-A tf+Wr

Vp -Vp + Г(2 -а)т V2/r ~ tl/P ) у pj+в—1 / 1 1 V (tl~a -tl~a )v--J+P/p

~pY(2 — a) ^ \lj+tf-s+i)/p lj+(l3-s)/p) yt -Vp

s=1

1 1 \ о0 / N о1/p

>1—а _ >1—а \ у i I _+1—а _i_ 9/1—® _ >1—а \ у

j+e/p rj+(e—1)/^ + V rj+e/p + j+(e—1)/p rj+(e—2)/pJy / , , , \ ◦ j + (e —2)/p

+ ••• + (— ^ + 2*2/pQ — С) у

(29)

Так как выражения, стоящие в круглых скобках положительны, в силу вышеуказанной леммы из [7], то из (29) получаем оценку

21—а _ 1 ◦ j+s/p

\\P+Vp\\с < \\<р>+р/р\\с + !_а агГ9-.max || у ||с. (30)

e p1 ата 1(2 — а) o^s^e—2

С помощью (30) из (28) находим

oj+s/p 21-а - 1 оj+s/p

max \\У Не ^-;--гт- max IIУ ||<7

о<а</з " 11 1 + р1~атаТ(2 - a)df3 o<s</3-i 11 11

PX~araГ(2 - a) j+p,p , ,

Н--г-----— max с (31)

< max ||yj+S/P|b + р1-атаГ(2 - a) max ||^в+в/р||С•

Суммируем (31) сначала по в = 1, 2,... а затем по j' = 0,1, • • • , j. Тогда получим j+1 0 j p

0 ■■ "о ■■ ii„j'+s/P|

||У Ус < ||У Ус + p1-QT(2 - «)£ tmax ||<^ +s/p||c. (32)

j'=n в=1

Таким образом из оценок (25) и (32) следует окончательная оценка

l|yj+1||c < ||yn|c + max М')||с7 + (x,t')||с

JL •/ ; (^3)

max I

+ p1-aГ(2 - a) £ t^max ||<j+s/p||c

j'=0 в=1 Итак, справедлива

Теорема 1. Локально-одномерная схема (9)-(11) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (9)-(11) справедлива оценка (33).

Замечание 2. Теорема 1 остается справедливой и при qe(x,t) ^ 0.

5. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы

Представим решение задачи для погрешности в виде суммы Z(e) = V(e) + П(в) > Z(e) = Где ^(в) определяется условиями

1 1 Pj+e / x , ◦

1 1 X > / . 1 _ . 1 _ \ s/p

pY(2-ct) \ j+(ßs+i)/p o+(ßs)/p) Н

х е шь + 7ь,в, в = 1,...,р, п(х,0) = 0.

Также, как и в [7] доказывается, что П(в+в/р = О(та), в = 1, 2,...,р ] =0,1, 2,..., — 1. Функция г^) определяется условиями:

A^tj+e/p v(e) = Лв v(e) + > (34)

= -П(в), хв = 0, (35)

v(x, 0)=0, (36)

* *

где фв = ЛвП(в) + Фв' Фв = 0(Лв + т)•

Аналогично [7] доказывается, что Лв П(в) = 0(та), в = 1, 2,...,р, если существуют непрерывные в замкнутой области производные

сРи дАи д2+аи к/зтукр р ± у

дЬ2' дх2^дх2' дх2рд1а' ' ^ ' ^

Для оценки решения задачи (34)-(36) воспользуемся теоремой 1. Тогда получим Ц^Цс < м(-Д +Г2«"1) , |Л| = шах V

Отсюда получаем

|Ь < |Ь + У+1 |Ь < М (-М- + т2а~1

Т1—а

Итак, справедлива

Теорема 2. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в С}т решение п(х, ¿) ж существуют непрерывные в (¿т производные

д2и д4и д2+аи х<^у<гр

д£2 ' дхв дх2' дхв д£а' дхв' ^ ' ^ '

Тогда решение разностной задачи (9)-(11) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью

Д+^Л \h\=o(r^),l

Литература

1. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка.— М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011.—568 с.

2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа.—1995.—301 с.

3. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ.—1995.—Т. 108, вып. 5(11).—С. 1875-1884.

4. Олемский А. Н., Флат А. Я.Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // Успехи физ. наук.—1993. Т. 163, № 12.—С. 1-50.

5. Кобелев В. Л., Кобелев Я. Л., Романов Е. 17. Недебаевская релаксация диффузия во фрактальном пространстве // Докл. РАН.—1998.—Т. 361, № 6.—С. 755-758.

6. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и матем. физика.—1992,—Т. 90, № З.-С. 354-368.

7. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. X. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка // ЖВМ и МФ—2008—Т. 48—№ 10—С. 1878-1887.

8. Баззаев А.К., Шхануков М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // ЖВМ и МФ.—2010.—Т. 50, № 7.—С. 1200-1208.

9. Баззаев А. К. Третья краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Вести. ВГУ. Сер. Физика. Математика.— 2010.—№ 2.-С. 5-14.

10. Самарский А. А. Теория разностных схем. 3-е изд., испр.—М.: Наука, 1989.—616 с.

11. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М. X. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // ЖВМ и МФ.—2006.—Т. 46, № 10.—С. 18711881.

12. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.

Статья поступила 22 октября 2013 г.

Баззаев Александр Казвекович

НОУ ВПО «Владикавказский институт управления»,

старший преподаватель кафедры информационных технологий

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Бородинская, 14

E-mail: alexander .bazzaevOgmail. com

LOCALLY ONE DIMENSIONAL SCHEME OF THE DIRICHLET BOUNDARY VALUE PROBLEM

FOR FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION WITH SPACE CAPUTO FRACTIONAL DERIVATIVE

Bazzaev A. K.

Locally one-dimensional difference schemes for the fractional diffusion equation with space Caputo fractional derivative in multidimensional domains are considered. Stability and convergence of locally one-dimensional schemes for this equation are proved.

Key words: Caputo fractional derivative, stability and convergence of difference schemes, slow diffusion equation, locally one-dimensional difference scheme.