Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 11-16.

УДК 519.63

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ

А.К. БАЗЗАЕВ

Аннотация. Рассматриваются разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области с краевыми условиями третьего рода. Доказываются устойчивость и сходимость разностных схем для рассматриваемой задачи.

Ключевые слова: разностные схемы, уравнение диффузии дробного порядка, априорная оценка, принцип максимума, третья краевая задача, устойчивость и сходимость разностной схемы.

Введение

Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают при описании физических процессов стохастического переноса [1], при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде [2]. Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции. Такие системы могут быть классифицированы как системы с "остаточной" памятью, занимающие промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой [3].

Работа посвящена рассмотрению разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области. В работе [4] рассмотрены разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка. Локально-одномерные схемы для дифференциальных уравнений диффузии дробного порядка с краевыми условиями первого рода рассмотрены в работе [5], локально-одномерные схемы для третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка (в работе [6]).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В цилиндре Qt = G х [0 < t ^ T], основанием которого является р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {x = (x\,x2,... , xp) : 0 < x@ < (в, в = 1, 2, ... , р} с границей

Г, G = G U Г, рассматривается третья начально-краевая задача:

d0> = Lu + f (x,t), (x,t) e Qt, (1)

{du

ke(x,t) -— = к-e(x,t)u - ^-e(x,t), xe = 0, 0 ^ t ^ T,

dU (2)

-kp(x,t) = к+в(x,t)u - ^+e(x,t), xe = (в, 0 ^ t ^ T,

A.K. Bazzaev, Finite-differenoe schemes for diffusion equation of fractional order with third type boundary conditions in multidimensional domain.

© Баззаев А.К. 2013.

Поступила 10 ноября 2011 г.

р д / ди \

1и = £ Ь„и, Ь„и = дхв [к,(х,0

и(х, 0) = ио(х), х Е С,

где

^ (кв(х,Ъ)дХ-

в=1 V дхв,

0 < со ^ кв ^ с1, к±в ^ к* > 0,

1 г ?и(х п) д°*и = Г(1 -

— J ——— дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1 [7],

ди _ _

и = —, с0, с1 — положительные постоянные, в =1, 2, ... , р, Qт = С х [0 ^ Ъ ^ Т].

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) — (3) облада-

ют таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения и(х,Ъ) в цилиндре Qт.

2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Ох@ с шагом кв = £в/N в, в = 1, ^ ..., Р:

йн = {xi = (*1^1,..., грНр) Е С, %в = 0,1,...,Ыв, кв = £$/N0, в = 1, 2, ..., р}.

На отрезке [0, Т] также введем равномерную сетку с шагом т = Т/3о:

йт = {Ъз = jт, 3 = 0, 3о}.

В работе [4] предложен дискретный аналог дробной производной Капуто порядка а,

0 < а < 1.

3

1 [ и(х,п)

тл/л \ I / \~^п = Ла и + О (т/р), (4)

Г(1 — а) ] (Ьз — п)а з

о

где

1 ж 3 -у / и^^1

1 ' 1-а ,1 -а\ „й/р ° и

Л°*зи = Г(2 _ а)Т1 (3-^+1 — Ъ

,8

ии

8

Г(2 — а) ^ '■ 3-8+1 ьз-8) т

Перейдем теперь к построению разностной схемы для дифференциальной задачи (1)-(3). Уравнению (1) поставим в соответствие разностное уравнение

Лт]+1 и = ЛУ + (5)

р

лу = J2Aвy, лву = Ы^)хв, в = 1,2,...,р.

0=1

К уравнению (5) присоединим граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2):

а(1в)Ух13,о = к_вУо — р-0, х$ = 0,

—а(Мв^ухр,И/з = к+вУир — Р+в, хв = £0.

(6)

V, = к "У" — ^ ^

Условия (6) имеют порядок аппроксимации О(к$). Применяя известный прием повышения порядка аппроксимации до О(к0) на решениях уравнения (1) при каком-либо в, получим разностный аналог краевых условий

Лог3+1 У

(а{4) Ухе ,о — к-в Уо) + Р-в

хв=о

0.5кв 0.5кв ’

Д;

0^+1 У

(а(Ив ')ухв ,и в + к+в У Ир) + ^+в

X в=И в

0.5кв

0.5кв

где

^-в — ^-в + 0.5кв! в,0, V+в — V+в + 0.5кв1 в,Ив. Итак, разностный аналог задачи (1) — (3) имеет вид:

ДОі^ у — Лу3+1 + Ф_

у(х, 0) — и0(х), х Є С,

где

Ау

Лу (авухв )хв , хв Є иН,

в=1

д_ а(1в)ухв,0 - к-вуо

л у —---------------------------, хв — 0,

0.5к

л+у — -

а(Ив ]ухв,м в + К+в у Ив 0.5кв

'/?

<р, хв Є ин,

ф — { V-в, хв — 0,

KV+в, хв £в,

Ц^-в — V-в + 0.5квfв,о, V+в — V+в + 0.5кв/в,

И,

13-

3. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА

Получим априорную оценку в сеточной норме С для решения разностной задачи (7), выражающую устойчивость разностной схемы по начальным данным, по правой части и по граничным данным. Исследование устойчивости разностной схемы (7) будем проводить на основании принципа максимума ([8], с. 226), для чего разностную задачу (7) перепишем в виде

р

Д°.,-+1 у — 2^(авухв)хв + ,Ax,t), в — 1,2,...,p, =1

Д<^і^+1 у0

(а(1в)ухв,о - К-ву0) V-в

+

Д

0^+1 уив

05кв 0.5кв

(а(Ив')ухв,Ив + К+вуив) . ~Р+в

х — 0,

0.5кв

+ 0Ж? хв — Єв’

10)

у(х, 0) = щ(х). (11)

В ([8], с. 226) доказан принцип максимума и получены априорные оценки для решения сеточного уравнения общего вида

А(Р)у(Р)= £ в (Р,С)у(С) + Р (Р),

<зеш'(р)

где

А(Р) > 0, В(Р,0) > 0, Б(Р) — А(Р) -

£

<Зєш'(р )

где Р^ — узлы сетки ин, Ш'(Р) — окрестность узла Р, не содержащего самого узла Р.

Обозначим через Р(х, ї'), где х Є ин, ї Є и'т узел (р + 1)-мерной сетки О — ин х и^, через Б — границу О, состоящую из узлов Р(х, 0) при х Є ин и узлов Р(х, при tj+1 Є и'т и х Є тнв для всех в — 1, 2,... ,р; і — 0,1,... , ^

Чтобы получить априорную оценку для решении разностной задачи (8)—(11), представим ее решение в виде суммы

О *

У = у + у,

О

где У — решение однородных уравнений (8) с неоднородными краевыми условиями (9)*

(10) и однородными начальными условиями (11), а У — решение неоднородных уравнений (8) с однородными краевыми условиями (9)—(10) и неоднородными начальными условиями

(11).

ОО

Оценим для начала У. Для этого запишем уравнение для У в канонической форме

1

1

Г(2 — а) тс

ав,гр+1 +

гв

в=1

ь2 ьв

о 3+1 _ ^

У*/з = I Ь2 ^+1

в=Л ьв

ав ,гв+1 °>3+1

У Гп + 1 +

+с, I +

Ь2 ""43 -ь

22

1—а

о 3

У+

Г(2 — а)та гв

+-

11

т Г(2 — а)

О о о 1

3 — 3) Уг, + (— 3 + 3 — 3?)У<„+

+... + (—г 1 -а + 2г 1 -а — г 1 -а) у.

3-11

г

12)

К каноническому виду следует привести и граничные условия. В точке Р = Р(хг,гз+1)

имеем:

Г(2 — а) т

0.5Ь2

0.5Ьв

О 3 + 1

У о

(1 ) О3+1

Уо +

22

1—а

3

о.ььу0

Г(2 — а)т(

-Уо+

1

+-

1

т Г(2 — а)

(г

1—а — г1-^ Уо + ( — г1—а + 2^— — г1—а) Уо +

+ ... + (—г1- + 2г12-а — г1-а

О 3— 1 Уо

+

о.ъья

В точке Р = Р(хмв ,гз+1) имеем:

1 1 а(м) к+в

+ тт^т + +в

Г(2 — а) та 0.5Ьв 0.5Ьв

О3+1 а(1в) О3+1 2 — 21-а О3

^ = 0.5Ь2в Уив + Г(2 — а)та Уив

;13)

1

+ -

1

т Г(2 — а)

(г

1-а — г}~а) у м, + И-а+3 — 3-а) у +

+ ... + (—г\-а + 2г\-а — г1-а) у

3-1

Мв

+

V+в 0.5Ьв

:14)

Проверим, учитывая положительность выражений, стоящих в круглых скобках (согласно лемме из [5]), выполнимость условий теоремы 3 ([9], гл. V. Дополнение, §2, ф. (16)).

В точке Р = Р(хгр ,г3+1) имеем:

А(Р) > 0, В(Р,С) > 0, Б(Р) = 0,

в точке Р = Р(хо,г3+1) имеем:

К /Я К*

А(Р) > °, в(Р,С) > о, о(Р) = 0-ве > 0шы > 0

в точке Р — Р(хив ,tj+1) имеем:

А(Р> > 0В(Р^ >0 °(Р) — ш-в * 0^ > 0

Таким образом, выполнены все условия 3 ([9], гл. V. Дополнение, §2, ф. (16)) и

к* к*

о(хв,Ь+1) — 0 п(0,Ь+1) — 05^ > 0 D(^в, tj+l) — 05^ > 0.

. в . в

о

На основании вышеуказанной теоремы 3 получаем оценку для у:

◦j+1 1 / \

Iу іста* (^-в(х,ї)І + ^+в(х,о0, к±в*к*>0. (15)

к* хе^н, гвшт и и

**

Переходим теперь к оценке функции у. Уравнение для у перепишем в виде

1 1 ав,і в+1 + ав,І в

Г(2 — а) та + Е h2

l ( * j+j * j+j \

/ , h) ^в,ів+lyie+1 + °/в,івyie-lj + ®(Pj+l), (16)

* j+j У yІ в

где

в=1 в

2- 21-а * j l l ( N * j-1

HPj+') = Г(2 — а)таУ'в + W-аТ) т (І2-а —

l l j—^ ( 1 1 \ (*s *s-1

т Г(2 — а) s=1

j f >k s >k s—1\

Е (j^+l— jyів— yip J + ^3+l.

j-s+1 j s

Проверим выполнимость условий теоремы 4 (см. [9], стр.З47

D(P(j+l)) = A(P(j+l)) — Е B(Pj+l)Q = П2_ QWа > 0■

QeШj+l(p(j+l)) ( )

A(P(j+1)) > 0, B(P(j+1),Q) > 0,P(j+1) = P(x,tj+1) для всех Q Є Ш", Q Є Ш^+1 на основании леммы (см. [9], стр.З4Т)

EB(Pj+1^=^2—^ > 0

<5ЄШ" V 1

1 Е B(P(j+l),Q)=l, (1Т)

<5ЄШ"

D'(P(j+l)) где

ш(р (х*+1»='+ш Щ+1 — множество узлов Q = Q(C,tj+i) е Ш(р(X,tj+1)),

ш" — множество узлов Q = Q(£,tj) е Ш(р(xt.)).

На основании упомянутой теоремы 4 (см. [9], стр.347) и в силу (17) получаем оценку

* j+1 *0 > ' ^

\\У \\с ^ \\у \\с + г(2 — а)У та max ||^s||. (18)

j=о

Из оценок (15) и (18) следует окончательная оценка

l

0^s^j,

"3+Чс ^ \\у°\\о + К* ота*т(^\р-в(x,t')\ + \^+в(x,t')\) +

(І9)

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Разностная схема (7) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (7) справедлива оценка (19).

1. Чyкбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // Ж. эксперим. и теор. физ.

ном пространстве // Докл. РАН 1998. Т.361. № 6. C. 755-758.

3. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и матем. физика. 1992. Т. 90. № 3.

4. Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С.1871-1881.

5. Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 10. С.1878-1887.

6. Баззаев А.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010.

Equations // ELSEVIER. 2006. № 6. С.1106—1111. 523 p.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

9. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. Александр Казбекович Баззаев,

Северо-осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, ул. Ватутина, 44-46,

362025, г. Владикавказ, Россия E-mail: alexander.bazzaev@gmail .com

4. Сходимость разностной схемы Для погрешности г = у — и справедлива оценка

(20)

Так как ф = O(\h\2 + т), \h\2 = hj + h2, + ... + h), то из (20) следует

При а ^ l, как ив [4], получаем известный результат

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1995. Т. 108. Вып. 5(11). С. 1875-1884.

2. Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л., Романов Е.П. Недебаевская релаксация и диффузия в фракталь-

Т. 50. №7. С. 1200-1208.

7. A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo Theory and Applications of Fractional Differential