РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Научная статья УДК 519.63

doi: 10.18522/1026-2237-2022-2-4-14

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

ТРЕТЬЕГО РОДА

Зарьяна Владимировна Бештокова

Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской

академии наук, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия

[email protected]

Аннотация. Исследуется начально-краевая задача для многомерного уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Для численного решения многомерной задачи построена локально-одномерная разностная схема. Показано, что погрешность аппроксимации схемы равна 0(|h|2 + т), где |h|2 = hi + hi+... +Щ,. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в L2-норме, откуда следуют единственность, устойчивость по правой части и начальным данным, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной погрешности аппроксимации. Проведены численные расчеты на тестовом примере, иллюстрирующие полученные в данной работе теоретические выкладки.

Ключевые слова: краевая задача, граничное условие третьего рода, локально-одномерная схема, априорная оценка, разностная схема, уравнение конвекции-диффузии

Для цитирования: Бештокова З.В. Разностные методы решения интегро-дифференциального уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями третьего рода // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 2. С. 4-14.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Original article

DIFFERENCE METHODS FOR SOLVING THE INTEGRO-DIFFERENTIAL CONVECTION-DIFFUSION EQUATION WITH BOUNDARY CONDITIONS

OF THE THIRD KIND

Zaryana V. Beshtokova

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Nalchik, Kabardino-Balkarian Republic, Russia [email protected]

Abstract. An initial-boundary value problem for a multidimensional integro-differential convection-diffusion equation with variable coefficients and boundary conditions of the third kind is investigated. For the numerical solution of the multidimensional problem, a locally one-dimensional difference scheme is constructed. It is shown

© Бештокова З.В., 2022

that the approximation error of the scheme is 0(|h|2 + т), where |h|2 = hf + hf+... +h2. Using the method of energy inequalities, we obtain an a priori estimate in the L2 - norm, which implies uniqueness, stability with respect to the right-hand side and initial data, and convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem at a rate equal to the approximation error. Numerical calculations are carried out on a test example, illustrating the theoretical calculations obtained in this work.

Keywords: boundary value problem, boundary condition of the third kind, locally one-dimensional scheme, a priori estimate, difference scheme, convection-diffusion equation

For citation: Beshtokova Z.V. Difference Methods for Solving the Integra-Differential Convection-Diffusion Equation with Boundary Conditions of the Third Kind. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(2):4-14. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа.

С точки зрения численной реализации в отличие от одномерных задач при изучении

многомерных задач возникает сложность, заключающаяся в значительном увеличении объёма

вычислений. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных

разностных схем для численного решения многомерных задач, обладающих возможностью

достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требующих при переходе со

слоя на слой затраты числа арифметических операций Q, пропорционального числу узлов сетки,

так что Q = О (г1-), где h; = min h;; p - размерность пространства; h; - шаг сетки по

1<(<р

направлению Xj.

Целью и новизной настоящей работы является построение локально-одномерной (экономичной) разностной схемы (ЛОРС) для численного решения начально-краевой задачи для многомерного интегро-дифференциального уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Основная идея построения ЛОРС состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из промежуточных задач может не аппроксимировать исходную дифференциальную задачу, а в совокупности и в специальных нормах имеет место такая аппроксимация. Указанные методы названы методами расщепления, которые были развиты в работах J. Douglas, D.W. Peaceman, H.H. ИаЛАэМ [1, 2], Н.Н. Яненко [3], А.А. Самарского [4-6], Г.И. Марчука [7], Е.Г. Дьяконова [8, 9] и др.

Построению локально-одномерных схем для численного решения многомерных параболических уравнений посвящены работы [4-10].

Для уравнения параболического типа в p-мерном прямоугольном параллелепипеде и для гиперболического уравнения при p = 2,3 c краевыми условиями III рода в работе [11] исследуется разностная аппроксимация граничных условий, а в [12] - ЛОРС.

Настоящая работа является продолжением серии работ автора [13, 14], посвященных изучению локальных и нелокальных краевых задач для многомерных параболических уравнений.

Постановка задачи

В замкнутой области QT = G X [0 < t < Т], основанием которой является p-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = (х1, Xf,..., хр): 0 <xa<la, а = 1,2,..., р}, с границей Г, G = G U Г, рассматривается задача

d-U = Lu + f(x,t), (x,t)EQT, (1)

\ka(x, t)-^u = ß-au - ß-a(x, t), xa = 0, 0<t< T,

du (2) -ka(x, t)— = ß+aU - V+a(x, t), xa = la,0 <t <T,

u(x, 0) = u0(x), x e G, (3)

гДе Lu = IPa=! LaU Lau = ^ {ka(x, 0 + V^- 4a(x OU - Pa(x, i)udxa,

0<Co<ka(x,t)<C1; ^a^OL lkXa(x,t)l, lrXa(x,t)l, x,01 lpa(x,t)l lß±a(x,t)l<C2; u(x,t) e C4,2(Qt), ka(x,t) e C3,1(Qt) ; Va(x,t), qa(x,t), fa(x,t),Pa(x,t) e C2,1(Qt); Co,Ci,C2 -положительные постоянные; Qt = G X (0 < t < T].

Далее через Mi, i = 1,2,... обозначаются положительные постоянные, зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

Построение локально-одномерной схемы

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Oxa с шагом ha = ir,a=1,2,...,p:

^h = П1=1 ^h* ^ha = {xa = ¡aha-ia = 0,1 ...,Na,a= X^,...,p} fha, i a = 1,2,..., N- - 1,

По аналогии с [15] на отрезке [0, Г] также введём равномерную сетку шт = = ]т, ] = 0,1,... ,у0} с шагом т = Т /}0. Каждый из отрезков [^, Ь;+1] разобьем на р частей, введя точки

а

= + , а = 1,2,... ,р — 1. Обозначим через Аа = (I. полуинтервал, где

1 р р р 1 р

а = 1,2,..., р.

Уравнение (1) перепишем в виде Т.р=1£аи = 0, £аи = — Ьаи — /а, где /а(х,Ь)-произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и /(х, V), удовлетворяющие условию нормировки Т1'а=1 /а =

На каждом полуинтервале Аа, а = 1,2,... ,р, будем последовательно решать задачи

£а$а = — ^(а) —/а = 0, х Е С, I Е Аа, а = 1,2.....р, (4)

| ка-77Г1 = Р-ад(а) — И-а(Х *),ха = 0,

-М- - - (5)

ка дХа = Р+а^(а) — №+а(х, О, ха = Iа,

полагая при этом [15, с. 522] ^{^(хЛ^а-г) = ^^-^(хЛ^а-г), а = 2,3,.. .р, } = 1,2, ...,}0,

д[1)(X= ^(Ы;),] = 2.....]0, ^(х.О) = ио(х), #0а)(х,0) = ио(х).

Аналогично [15, с. 401] получим для уравнения (4) номера а монотонную схему второго порядка аппроксимации по к а. Для этого рассмотрим последнее уравнение при фиксированном а с возмущенным оператором Ьа:

= Ща) + /(а), ^ Е Аа, а = 1,2.....р, (6)

- (1 , .4 -^(а)\ . .4 -^(а) , .4 „ гХа .ч , 1

гДе ï-ati(a) =Xa-^ ^ai^ 0 + t) - Rai^ - S0" Pai^ t)udxa, Xa =

0 5h It I

Ra = ' ь " - разностное число Рейнольдса; r+ = 0,5(ra + Ы > 0; г- = 0,5(ra - Ы < 0;

+ —

К = r-q b- = ^ г- = г- + г-; = щ+; г- = Ta(xia, t); ри = Pa(xia, t);

" a j+a

_ v

% ^a(xia-1/2, L) ^a(x1,..., xia-1, xa 0,5ha, xia+1,..., xp

F - ¿S

aa = ka(xia-1/2,t) = ka(x1,... ,xia-1,xa 0,5ha, xia+1,..., xp,t); da = 4a(xia,^); VaV=fa(x,^); t = tj+l

a

Аппроксимируем каждое уравнение (6) номера а неявной двухслойной схемой на

полуинтервале ( t. a-i, tj+a], тогда получим цепочку из р одномерных разностных уравнений:

] v 1 v

.а . a-1 a

j+pj+— _ j+a i+a

y-f-= AayJ p + (pav, а = 1,2.....р, xaE œha, (7)

a a a a

ЛаУ = Ха(ааУХа р)Ха + Ь+а(а а'уХа р + Ь-аау-а р - йау р- !.£а=о РаУьР^а. Запишем теперь разностный аналог для граничных условий (2)

■ а ■ 4_а

(1а) ]+р 0 ]+р п

аа )Уха0р = Р~аУо - И-а, ха = °

,+а ,+а (о)

~аа "УХ.а,Ыа = Р+ау]^а - И+а, ха = Iа■

Условия (8) имеют порядок аппроксимации 0(ка). Повысим его до О(к^) на решениях уравнения (4) при каком-либо а:

к(а)$\а),0 = а(аа)^Ха0 - 05ка(к(а)д\а)У + 0(к2а) = а^д^ -

¿+а

- га^0У + Чад(а) + Рад(а)йха - /'а)о + 0(к^).

Итак,

а%аК]> - 0,^4 ~Р-Гад-^У+ Ча^(а) + ^0 Ра^а - Га)о =

= Р-ад0 Р-^-а + 0(к2а) + О(каТ). (9)

а

? ) +— В (9) отбросим величины порядка малости О (ка) и О (кат), заменим д(а) на У(ау = у р, тогда

.а . а-1

у]+а-у]+— ]+а - ]+а _

(9) перепишется так: 0,5ка~-^-= Я-ааа УХаРр - Р-аУ0 р + V-а,ха = 0,

.а . а-1

]+Р_ ,+~Р~ ¡+а _ ¡+а

0,5ка~^ ~~ = -Х+аа(аМа)Ух:аРра - Р+аУи+ - 0,5ка 0 РаУ^^а + V+а, ха = ^

где И-а = И-а + 0,5ка[а0 И+а = И+а + 0,5ка[а^а; И±а = И±а(^У; -а = Р-а + О^кай^;

Р+а = Р+а + 0,5кай(У ; Х-а = —^ ; Г^ < 0; Х+а = —^ЩаТ, ; ^ * 0.

1+ к(о,5) ^ к(Ма-05)

Ка ка

Таким образом, приходим к цепочке одномерных схем

,а ... а-1 а

= ЛаУ' 'р + Рар, а = 1,2.....р,ХаЕ ШНр, (10)

yi+v-yi+— j+a _ j+a f-У-= ^aY "

a a-1

0,5hayJ V У V = Л-у(а + Ц-а, Xa = 0,

a a-1 J+a .J+-

(11)

,0,5hay P y P = Л+аУ(а) + V+a, Xa = la,

t a ■ +a'

y(x,0) = u0(x), (12)

где %ay(a) = Xa&ayx^xa + К^^У^ + Ъ-dayif - day(a) - Yl(^a=o Pay(^ha ;

a . a-i

Л-y(a) = x a(1a)y(a) - g y(a) ■ x =0 - 1y(a) = У' V •

l^ay n-aaa yxa,0 g-ay0 ; xa 0 ; vyt

xa,0

Л+ayW = -X+aa^yXaX-P+ayi? - 0,^^=0 Pay^K, Xa = la.

Задачу (10)-(12) перепишем в операторном виде

.a ■.a-i

t

y] V У - = ЛaУ(a) + Фa+a, а = 1,2.....P,x E ûha, y(x,0) = щ(х); (13)

t

где

лay(a), xa E Uha, (Pa, xa E ^,

ЛaУ(a) = 0ckA~ay(a), xa = 0, = \ a, xa = 0,

^аУ^^ Ха = ^а, {05ГаИ+а, Ха = 1а.

Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность

а а а а а а

}+- }+- }+- }+- « /14 /-1Ч Т-, }+- 1 +_ ,

г р = у р - и р, где и р - решение исходной задачи (1)-(3). Подставляя у р = г р +

a a-i

a

■, a ■ , a Î+a ■ , a i+-a

H— H— z V —z V ~ H— V

+u v в задачу (10)—(12), получим задачу для погрешности z р: ---= Aaz р + 'a v,

j+V-j J+V^J+V

a a-i

xa E Mha, где 'a V = AaU v + Pa

t t-:

U+f-pit] и V~^0 + ra

■ .a „ ■ . a •■ ■a ■■a-i

Обозначив через 'a = (laU + fa- _ и замечая, что j»=_ 'a = 0, если j»=_ fa = f

j+a

представим погрешность в виде фa v = 'a + Фа:

№ = AaU+î + Pja+~a - ul+—f V +Ф0-Ф0 = (A-aU+'v - LaU+l ) +

a a-i

a a a-i

'+Р

Очевидно, что Га = 0(к2а + т), ф0 = 0(1), ^=1 Г р = ^1=1 ф0 + ^1=1 Га = 0(Щ2 + т).

Запишем граничное условие Ха = 0 так:

а а-1

у1 + Р-у1+~ Г1 , }+Р - }+Р

0,5ка~ у-= Х-аа^Ух^ - Р-аУо * + 0,^а,0 + И-а.

]+Р у+Р у+Р

Пусть г р = у р - и р, где и - решение исходной дифференциальной задачи (1)-(3).

а а-1

¡+Р ¡+Р ¡+Р п ^ 1+Р - ]+Р Подставляя у р = г р+и р,получим 0,5ка —-^-= х-аа(аа) г р - Р _аг0 р +

а а-1

(1 л 1+Р - ¡+Р и]^-и]+~р~ +х-аауа а)иХар - Р-аи0 р - 0,5ка ——--+ 0,5ка^,0 + и-а. К правой части полученного

выражения добавим и вычтем

0,5h a'a = 0,5ha У^ (ka fj) + ra(x %au - S^ Paudxa + fa- ■

a a a x =0

a a-i

] ]+^^ ■, a ■ , a ■ , a

un v—un v . (_„) J+a _ J+a _ . i+-

dxa dxa ' aK ' } dxa Ha J0 1 Ja p dt Xa=0

a a-i

J+V—U^ (1, j+a (0) j+a j+a j+a

=0,5ha(fa,0 ---f-) + aa UxJ0 + 0,5ha4 )uxa0 - P—aU0 ' - 0,5hada,0U0 ' + V—a

a a-i

-0,5ha[-£~a(ka^J)]j+-2 - 0,5ha(f^0~2 - -) + 0^4404 2 - 0,5haT^0)U+0 +

0,5ha'0 +

duJ+v „ j+a

a

a

+0(кат:) = (ка-^- р-аи0 р + И-а)ха=0 + 0,5каГ<° + 0(к^) + 0(ка

д Ха

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в скобках, есть ноль. Поэтому Г-а = 0,5каГ°а + Г-а, Г-а = 0(к2а + т) + 0(каТ).

Имеем

.a . a-1

Z0 Z0 _ ,. Л1a)' V n „ V, пси w,0 i ,/,*

0,5ha^-f-= x-aa^ajzxa00o - P-aZo V + 05КГоа + Г-

.a .,a-1

0,5haZNa-lNa = -X+aa^^* - P+JJ - 05hatÎ:=o Va*\„ '^a + O.^^a + Г+а.

Итак, задачу для погрешности zJ+V запишем в виде

,a ., a-1

V

ZJ+P-ZJ+— ~ j+a .}+■

-= Лa*

т a

a a-1 a a-1

= AaZJ V+^aV,*aE ^ha, (14)

г,+Р-г1+ Р _ г \ г,+Р-г1+ Р л. г л

0,5ка---= Лаг(а) + ф-а, ха = 0, 0,5ка---= Л+г(а) + ф+а, ха = 1а,

г(х, 0) = 0,

где фа = ф00 + Га; ф00 = 0(1); Га = 0(к2а + т); ф-а = 0,5каф°а + Г-а ; ф+а = 0,5каф% + Ф+а; Ф±а = 0№ + т) ; ф±а = 0(1); Юа=1 Ф±а = 0.

Устойчивость локально-одномерной схемы

Умножим уравнение (13) скалярно на у(а) = у р:

[1у(а),У(а)]а — \АаУ(а),У(а)]а = [Ф(а), У (а)]а, (15)

где [и,К] = ^ХЕС0Н и^Н; Н = иРа=1 йа; [и,К]а = и1ар1айа; II У(а) И12(а) = ^=0 У^

II у(рр> и^Г I у(рр> 111(а) Н/Ьа.

Преобразуем каждое слагаемое тождества (15):

[1У(а),У(а)]а = ар(и У(а) и^а)* + а-р и у И^ау (16)

где И-Иь2(а) означает, что норма берется по переменной ха при фиксированных значениях остальных переменных.

\АаУ(а'),У(а')]а = (ЛоруЮ.У^р + Л-у(р')У^р) + Л+аУ^у^ =

= (Яа(^аУ^а^^Ха, У(а^а + (Ь^^У^а + (Ь-аауХа\у(а))а —

— (<1ау(а\у(а))а — &\аа=0 раУ^ЬаУ^а + (Я-а0^а),уХ^—Т-аУ^У^ —

(т. п(^а\.(а) л,(а) \ ■\,(а) л,(а) р, YWа „ Ла) р. /17\

— (Х+ааа уха,Ма + Р+аУМа ) УМа — УМа Паиа=0 рау1а йа. (17)

_

1+а"а уХа,Ыа+ р+ауМа ) уМа уМа Ьа ^а=0

Используя первую разностную формулу Грина [15, с. 99], выражение (17) перепишем в виде

\АаУ(а),У(а)]а = —(я-1аа,у1а]а + (Ь^1^^)- + + (Ь-aауХ:p\у(а))а — (йау(а),у(а))а — раУ^^Х —

— (ааУХ:),ЩУ(а)]а — р-аУа — р+аУ^ (18)

[Ф(а),У(а)]а = (^У^а+Р-аУ^Ьа+^+аУ^йа =

= ((р(а),у(а))а + (Р-а + 0,5ка/а,0)ау0а)йа + (р+а + 0,5ка/а,Ма)у^Па =

= [<Р(а\у(а)]а + Р-РУ0Р) + Р+аУ$. (19)

Оценивая с помощью леммы 1 из [16] слагаемые, входящие в правую часть (18), получим — (х-1аа,уаа]а < —М1 И УХа]112(а),

-(aay^a),X-y(a)]a + (.Ka(a1a)yxa,y(a))a + (b^y^y^a < <м2(е Uy^lw+lnyW Wlal

-(d,(y(a))2)a<C2 II y(a Uî2(ay

[Jaa=0 Payfaha,y(a)]a < [_, (y(a))2]a + [\, (Pa=0 Payftha)2]a < 2 « У^ "l(a) + +C2lil!£=0 hajaa=0 yf'aba < _ « У^ «^a) +C^1^I!--=0 yfra < M3 « y(a) U^y

—»у0 + P+ayNa <(1 + 0,5ha)C2(y0 + y!) < M3(£ « y^l^a) + Ф) U y \\l2(a)), [P(a),y(a)]a < _ « P(a) «l2(a)+ _ « y(a «l2(a),

И—аУ^ + МОР + ^ + _ [(y(a))1 + (yP)2] < _ (Via + Via) +

+Z «y^a)]l2l2(a)+C(£) W У(»>> «lia), _ . _ l- £.

где £ > 0, с(е) = - + -.

1а £

Подставляя полученные оценки после суммирования по ФЬа,р = 1,2, ...,р в тождество (15), находим

^ У1+Р + М1 И У,а]И2^) < а И <Р(а) \\12^) +

+ СМА \\уХ(а)]112(*н) + М5(£) И У(а П^+а^а (И-а+И+а)^ (20)

мл

Выбирая £ < —, из (20) находим

М4

2Ц(\\ У+'Р < М5 И \\1(^)+а2(\\ Р^ \\ь2Ш+^а {£аЬ)+ДаЬ))£). (21) Просуммируем (21) сначала по а = 1,2, ...,р

ЬМу^ш)** (22)

(а

\\ Р}+Р \\ь2(с,п)+ Ърфр (И-а(^) + а затем, умножая обе части (22) на 2т и суммируя по ]' от 0 до }, получаем

нР '

-¡'=0 " ^а = 1 \ у р \Ч2(Шц) 'М7\\'у \Ч2(

\\Уi+_\\l2&h)<MèJ]l=oTJa=_ «y -'«l^+^iWy0«^^

+ 1р=0 *Иа=1 (ll <РР+Р \\12Ш+Яр*а &2-a+ria)H/ha)j. (23)

Из (23) имеем

. . а

ll yJ+1 П12Ш< М6Т]ра=0 ^1=1 ll yJ р Hl^+M^i, (24)

Fj = l],=0 т%ра=1 (ll pJПЪШ+ (V2-a + +ll у0 ll2^).

Р Р

J +__2 ^ ] — 1 j ' о '

Покажем, что имеет место неравенство max lly р ll2 (7^,)<v1Yj]]l=nT: max lly p ll2 (t^.)+v2.F],

1<а<р 2K nj ] 0 1<a<p nJ

где v1,V2 — известные положительные постоянные. Перепишем неравенство (21) в виде

. а . a-i . а

И у1 р "U^11 у] ~ ИЪш+ Иу ~v ИЪш+

+т (И рР+р И12(рп)+ (V2-a + fio)H/ha) (25)

Просуммируем (25) по а' от 1 до а, тогда получим

«У ¿«l^yl «l^+^Ja^ «У7 v «1^) + ■ , a'

"■a I и ,„J'+~ il 2 _i_ v i.,2 _i_.,2

+ТЛ», = _ («pJ v «1^)+ Jip*ia, №—a> + V2+a')H/ha> ) < (26)

<ll У1 И1ш+ 2*M5 lPa=1 H yJ+V lll(coh)+T 11=1 (ll РР+Р ИЪ^ (p2-a + fia)H/ha).

■ .a' ■ . a J +--2 J +— 2

Не нарушая общности, можно считать, что max И у р ll^((^h) = ll У р ll^(o^h), в противном

a

] +— 2

случае (25) будем суммировать до такого а, при котором lly р ll^^h) достигает максимального значения при фиксированном j. Тогда (26) перепишем в виде

max H y7 V yi Il22(*h)+ ZprMsmax И y7 V

+*ï.pa=i (}I<Pj'J+aiIî2(S>h)+I.iP*ia (P2-a+tâa)H/ha). (27)

Так как из (24) следует, что

И yj ИЪш< '

то из (27) с учетом (28) имеем

a

» У]' \\l2i*h)< М6 » y]'+~v »l{Bh)+ (28)

a a

(1 - ^M)™™ И У]+* Wl2(*h)< M6 ijj-lo т™* И У]'+* Ul2(*h)+ M*FJ. 1

Выбирая т <т0 = , из последнего находим

ma* II у7 Р \\l(_*h)< vi Zjto И У' Р ^.

a

J +— 2

Введя обозначение g,-+1 = max \\у p \\i (Ш.), последнее соотношение можно переписать в виде

1<a<p hJ

9j+i < v1 Zk=1 т9к + v2p]. (29)

Применяя к (29) лемму 4 [17, стр. 171], получаем априорную оценку

. . a

И У741 \\l2(*h)< M[\\ У0 ^^О P = 1 11 <PJ Р \\l2(*h) +

+ Y!j,=0 T^Va=1 2iß*i a (P-a(0,x',tjf)+rta(la,x',tjf))H/ha], (30)

где M = const >0 не зависит от ha и т; x' = (x1, x2,..., xa-1, xa+1,...,, xp). Итак, справедлива следующая

Теорема 1. Локально-одномерная схема (10)-(12) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (10)-(12) при т < То справедлива оценка (30).

Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [15, с. 528] представим решение задачи (14) в виде суммы Z(a) = V(a) + j(a),

Z(a) = z p, где Г(а) определяется условиями

V(a-D = ^a, xeMha + yh,a, a = 1,2,...,p, (31)

(pa, xa e Mha,

Г (x, 0) = 0, ^a = \ Xp-a, xa = 0,

уФ+a, xa = Ia.

Из (31) следует r^1 = Г(Р) = Г + т(ф1 + X2 + —+Xp) = Г = = Л0 = 0, так как л0 = 0. Тогда для j(a) имеем j(p) = + Xi+... +xpa) = -т(Фа+1+... +Xp) = O(z). Функция Vp определяется условиями:

V(a) VT(a-1) = haV(a) + Xpa, Xpa = АрГ(а) + X*a, xe Шha, (32)

0,5haV(a) "(a-1) = A-V(p) + Xp-p, Xp-p = Л-Г(а) + X-a, xp = 0, (33)

0,5hpV(a) "(a-1) = A+V(p) + Xp+a, Xp+a = A+j(a) + X+a, xp = lp, (34)

v(x,0) = 0. (35)

Если существуют непрерывные в замкнутой области QT производные

d2u d4u d3u d3ka d2ka д2гa dra d2qa dqa д2Pa dpa d2f д£ < _ <

dt2 ' dx2dx2ß' dx^dt' dxadxß' dxadt' dx2ß' dt' dx2ß ' dt ' dx^ ' dt ' dx2ß' dt' — > И —

а ф ß, то АрГ(а) = -тАр('фа+1 + - + pp) = O(T), Apr (a) = o(t). Решение задачи (32)-(35) оценим с помощью теоремы 1.

■ a

\\ VJ+1 Ul2(7öh)< M(T)[Yjj,=0 т2Ра=1 \\ € Р И12^) +

+ 2),=о Т 2Р=1 2iß*ia (4>2-а(0, x', tp) + ^(Ip, x', tjf))H/hp. (36)

Так как r] = 0, j(P) = O(r), И z] KW V1 из оценки (36) следует

Теорема 2. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в QT решение u(x,t) и

— д2и д4и д3и д3ка д2ка д2га дга

существуют непрерывные в qt производные ixâft, дх~щ, даатг, на,

д2аа даа д2ра дра д2 f df „ _ „ _ _

Т"2а, a, ~ГТ, я, Т2, я,1 — а, Р — Р,а Ф р, тогда локально-одномерная схема (10)—(12)

дХр дХ дХа дХ дхр дХ

сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью O(|h|2 + т), так что при достаточно малом т имеет место оценка

п ^ "" ^ "" 1 u |2 _ + П2+. . . +Пр.

» У1+1 - U+1 M(\h\2 + т), 0<т< То, где \h\2 = h2 + h\+... +h2.

Тестовая задача и численные результаты

Коэффициенты уравнения и граничных условий исходной дифференциальной задачи (1)-(3) подбираются таким образом, чтобы точным решением при р = 2 была функция u(x,t) = t3(x4 + x%).

Ниже в таблице при уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности (z = у — u) и вычислительный порядок сходимости (ПС) в нормах \\'\\L2(hhT) и

II ' \\с(шк ), где \\ у \\с(шн )= max \У\, когда h = hi = h2 = Погрешность уменьшается в т т (xi,tj)eo)hT

соответствии с порядком аппроксимации 0(h2 + (—г)2). Вычислительный порядок сходимости

определяется по следующей формуле: ВПС = lognг т^Ц = log2 j1-1!!, где Zj — это погрешность,

h \ \-2 \\ \\-2\\ _ h2

соответствующая h j.

Изменение погрешности в нормах \\'\\L2(<hhT) и \\ \\с(й>Лт) при уменьшении размера сетки, когда h = h± = h2 = —г / Change in the error in the norms \\'\\L2(a>hT) and \\'Hc(«ftT) with decreasing grid size, when h = h± = h2 = -г

h omaxn »zl "L2(^) ВПС в \V\\L2{s>hT) » Z »C(cöhr) ВПС в »■»«»*)

1/10 1,934821933е-1 6,228274668е-1

1/20 7,203223443е-2 1,425486234 1,709484326е-1 1,865271373

1/40 1,8209049049е-2 1,983987076 4,375086560е-2 1,966177729

1/80 4,518370384е-3 2,010781138 1,085730492е-2 2,010645529

1/160 1,106091456е-3 2,030331858 2,630157765е-3 2,045444786

1/320 2,715281849е-4 2,026296814 6,130428447е-4 2,101089528

Заключение

В работе рассматривается многомерное (по пространственным переменным) интегро -дифференциальное уравнение конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и граничными условиями третьего рода. Для численного решения поставленной многомерной задачи построена эффективная в плане экономичности, устойчивости и сходимости ЛОРС с порядком аппроксимации 0(\h\2 + т). С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки решения в ¿2-норме, откуда следуют единственность и устойчивость решения, а также сходимость решения ЛОРС к решению исходной дифференциальной задачи в 12-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Проведены численные расчеты на тестовом примере, иллюстрирующие полученные в данной работе теоретические выкладки.

Список источников

1. Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 82, № 2. P. 421-439.

2. Peaceman D. W., RachfordH.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Industr. Math. Soc. 1955. Vol. 3, № 1. P. 28-41.

3. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967. 196 c.

4. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3, № 2. С. 266-298.

5. Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, № 5. С. 787-811.

6. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа произвольной области // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 4. С. 638-643.

7. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 264 с.

8. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, № 1. С. 29-32.

9. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, № 4. С. 549-568.

10.Абрашин В.Н., Асмолик В.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 7. С. 1107-1117.

11. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 6. С. 1106-1112.

12. Фрязинов И.В. Экономичные схемы для уравнения теплопроводности с краевым условием III рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. Т. 12, № 3. С. 612-626.

13. Бештокова З.В., Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 9. С. 1531-1542.

14. Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области // Диф. уравнения. 2020. Т. 56, № 3. C. 366379.

15. СамарскийА.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 614 с.

16.Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1968. Т. 8, № 6. С. 1218-1231.

17. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.

References

1. Douglas J., Rachford H.H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. Trans. Amer. Math. Soc. 1956;82(2):421-439.

2. Peaceman D.W., Rасhfоrd H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. J. Industr. Math. Soc. 1955;3(1):28-41.

3. Yanenko N.N. Method offractional steps for solving multidimensional problems of mathematical physics. Novosibirsk: Nauka Publ., Siberian Branch; 1967. 196 p. (In Russ.).

4. Samarskii A.A. Homogeneous difference schemes on non-uniform nets for equations of parabolic type. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1963;3(2):351-393.

5. Samarskii A.A. On an economical difference method for the solution of a multidimensional parabolic equation in an arbitrary region. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1963;2(5):894-926.

6. Samarskii A.A. Local one-dimensional difference schemes for multi-dimensional hyperbolic equations in an arbitrary region. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1964;4(4):21-35.

7. Marchuk G.I. Splitting methods. Moscow: Nauka Publ.; 1988. 264 p. (In Russ.).

8. D'yakonov E.G. Difference schemes with a splitting operator for nonstationary equations. Dokl. Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1962;144(1):29-32. (In Russ.).

9. D'yakonov E.G. Difference schemes with splitting operator for multidimensional nonstationary problems. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1963;2(4):581-607.

10. Abrashin V.N., Asmolik V.A. Locally one-dimensional difference schemes for multidimensional quasilinear hyperbolic equations. Diff. uravneniya = Differential Equations. 1982;18(7):1107-1117. (In Russ.).

11. Fryazinov I.V. Difference approximation of the boundary conditions for the third boundary value problem. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1964;4(6):180-188.

12. Fryazinov I.V. Economical schemes for the heat equation with a boundary condition of the third kind. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1972;12(3):612-626.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.2

13. Beshtokova Z.V., Lafisheva M.M., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Locally one-dimensional difference schemes for parabolic equations in media possessing memory. Comput. Math. Math. Phys. 2018;58(9):1477-1488.

14. Beshtokova Z.V. Locally one-dimensional difference scheme for a nonlocal boundary value problem for a parabolic equation in a multidimensional domain. Differential Equations. 2020;56(3):354-368.

15. Samarskiy A.A. Theory of difference schemes. Moscow: Nauka Publ.; 1989. 614 p. (In Russ.).

16. Andreev V.B. The convergence of difference schemes which approximate the second and third boundary value problems for elliptic equations. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1968;8(6):44-62.

17. Samarskii A.A., Gulin A.V. Stability of difference schemes. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 415 p. (In Russ.).

Информация об авторе

З.В. Бештокова - младший научный сотрудник, отдел вычислительных методов. Information about the author

Z.V. Beshtokova - Junior Researcher, Department of Computational Methods.

Статья поступила в редакцию 27.02.2022; одобрена после рецензирования 18.04.2022; принята к публикации 16.05.2022. The article was submitted 27.02.2022; approved after reviewing 18.04.2022; accepted for publication 16.05.2022.