Разностные схемы для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

 УДК 519.633

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

А.К. БАЗЗАЕВ, И.Д. ЦОПАНОВ

Аннотация. В настоящее время для описания физических систем, обладающих такими свойствами, как степенная пел окал вноств, долговременная памяти и фракталъ-ноств, возникает дробно-дифференциалвное уравнение. При этом порядок дробной производной определяется размерноствю фрактала. Дробное математическое исчисление в теории фракталов и физических систем, которвіе обладают памятвю и нелокалв-ноствю, приобретает такое же важное значение, как классический анализ в механике СПЛОШНВІХ сред.

В данной работе рассматриваются разностнвіе схемы поввпненного порядка аппроксимации для дифференциалвнвіх уравнений с дробной производной по времени и по пространственной переменной. С помощвю принципа максимума полученві априорнвіе оценки, доказанві устойчивости и равномерная сходимости разностнвіх схем.

Ключевые слова: началвно-краевая задача, дифференциалвнвю уравнения дробного порядка, дробная производная Капуто, производная дробного порядка, уравнение медленной диффузии, разностная схема, принцип максимума, устойчивости разностной схемы, равномерная сходимости, априорная оценка, сосредоточенная теплоемкости на границе.

Mathematics Subject Classification: 65М12

Введение

Интегралы и производные нецелого порядка и дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной математике. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для описания физических систем, которые обладают памятью и нелокальное! ыо. Многие процессы в сложных системах обладают нелокальное'! ыо и характеризуются долгосрочной памятью. Дробные интегральные и дробные дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих характеристик. Использование дробного математического анализа может быть полезным для получения динамических моделей, в которых интегро-дифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальноеть сложных сред И процессов [1].

Наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как отражение особого свойства описываемого процесса — памяти, или в случае стохастического процесса — немарковоети. Дробная производная по координатам обычно отражает самоподобную неоднородность структуры или среды, в которой развивается процесс. Такие

А.К. Bazzaev, I.D. Tsopanov, Difference schemes for partial differential equations of

FRACTIONAL ORDER.

© Баззаев A.K., ЦопАНОВ И.Д. 2019.

Поступила 31 мая 2018 г.

структуры называют фракталами. При этом порядок дробной производной определяется размерностью фрактала. Простые формулы, связывающие размерность фрактала df с порядком дробной производной, получены в работе [2]. В настоящее время в качестве математических моделей физических процессов рассматривают дифференциальные уравнения в частных производных дробных порядков по времени и по пространству [3] [6].

Для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов (см, [7]—[11]) - Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы и т.д. В случае когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникновении континуумами, для описания фильтрации однородной жидкости обычно используется модель Баренблатта-Желтова (см. [12]). В случае когда пространство представляет собой фрактал с размерностью Хауедорфа-Безиковича df, погруженный в сплошную среду с размерностью d (d > df, d = 2,3), для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка (см, [13]), Дробнодифференциальное уравнение возникает также при изучении физических процессов стохастического переноса (см, [8]),

Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка возникают также при изучении многих физических процессов [14] [15], при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде [16],

Перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источников, приводит к иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией. Эти малые концентрации или «далекие хвосты распределений» при дробной производной подчинены степенному закону убывания, что заставляет пересмотреть существующие представления о безопасности, базирующиеся на представлениях об экспоненциальной скорости затухания (см, [17], [18]), Как отмечено в [19], дробное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в механике сплошных сред.

Существуют достаточно много подтверждений тому, что для диффузионного процесса характерно нелинейное нарастание среднего квадратичного отклонения [20], Нарушения проявляются во многих ситуациях, в том числе при движении частиц в плазме [21], турбулентной диффузии частиц [22], В качестве математических моделей подобных процессов рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных дробных порядков по пространству и времени [3] [5]. В работе [6] для численного моделирования аномальной диффузии в многомерной области применяется метод приближенной факторизации, Для первой начально-краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробных порядков по пространству и времени изучена чисто неявная схема на основе метода приближенной факторизации, доказана устойчивость схемы для рассматриваемого класса задач,

В работе [23] рассматривается специальная полудиекретная схема на основе метода Га-леркина, а также полностью дискретная схема, основанная на методе Крайка Николсона для первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения параболического типа с дробной производной Римана-Лиубилля порядка а Є (1,2) по пространственной переменной:

Ut — = f, X Є D = (0,1), 0 < t ^ T,

u(0,t) = u(1,t) = 0, 0 < t ^ T, u(x, 0) = V, X Є D.

Получены оценки для погрешности в нормах L2(D) а Нa/2(D) для полудискретной схемы и в норме L2(D) для полностью дискретной схемы.

Вариационная формулировка типа Петрова-Галеркина для одномерных краевых задач с дробной производной Римана-Лиувилля порядка а Є (|, 2) рассматривается в работе [24], В работе [25] рассматривается уравнение е производной дробного порядка по времени е граничными условиями первого рода

90.tu — Аи = f, X Є Q, 0 < t ^ T, 0 < а < 1, м|г = 0, 0 < t ^ Т, Q + Г = Q, и(х, 0) = V, X Є Q.

Здесь получен дискретный аналог дробной производной по времени порядка аппроксимации 0(т2-а). Доказана сходимость построенной схемы в норме L2(Q).

В работах [26] и [27] были рассмотрены локально-одномерные схемы (ЛОС) для уравнения диффузии дробного порядка в р-мерном параллелепипеде с краевыми условиями первого и третьего рода соответственно, а в [28] для уравнения теплопроводности дробного порядка е сосредоточенной теплоемкостью, В этих работах была доказана сходимость ЛОС в равномерной метрике при 1/2 < а ^ 1,В работе [29] построены многомерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка и доказана сходимость разностных схем при всех а, 0 < а ^ 1, Работа [30] посвящена рассмотрению локальноодномерных разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами в области сложной формы. Доказаны устойчивость и равномерная сходимость локально-одномерных схем для рассматриваемой задачи,

В [31] показано, что для получения априорных оценок при численном решении уравнения диффузии дробного порядка можно применять метод энергетических неравенств,

В работе [32] предложен алгоритм экстраполяционного типа для численного решения дифференциальных уравнений дробного порядка, основанный на том, что последовательность приближенных решений обладает асимптотическим разложением по отношению к размеру шагу.

Работа [33] посвящена исследованию существования, единственности и устойчивости решения нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка по времени,

В работах [34] [35] рассматриваются дифференциальные уравнения теплопроводности дробного порядка с краевыми условиями третьего рода.

Работа [36] посвящена численному методу второго порядка точности решения дробного дифференциального уравнения диффузии. Алгоритм численного решения, предложенный в данной работе, основан на классическом методе Кранка-Николсона, Доказывается сходимость предложенного метода.

Принцип максимума для дифференциальной задачи в случае, когда рассматривается уравнение диффузии с дробной производной по времени, установлен в работах Ю, Лучко [37] [40]. Результаты этих работ использованы в работах [41], [42] для доказательства принципа максимума для дифференциального уравнения дробного (multi-term) порядка, В работе [43] построены разностные схемы для дифференциальных уравнений в частных производных дробных порядков по времени и по пространству в одномерном и многомерном случаях, В многомерном случае для рассматриваемых задач строятся локальноодномерные схемы, С помощью принципа максимума получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость разностных схем.

В работе [44] был предложен дискретный аналог дробной производной Капуто д0.tu, а Є (0,1), а также показано, что если функция u(t) Є C2[0,t], то имеет место равенство

У+, “

Ам,+, “ + 0(т).

где

д£и

І ґл ( , ^)v ~ дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1,

Г(1 - а) о ( - V) и = du/dt,

^otj+1u ~ дискретный аналог дробной производной Капуто порядка а, а Є (0,1)

,S+1 _ n,s

AS. .и = ^—г£ (t}:?+ı - t’:?)ч' = -----------------------------

3+1 Г(2 -a)^

4 ' s=1

Позднее в работе [45] была доказана Лемма 1. Если u(t) Є С*3[0,Т], mo

т

doti+ıu = А" и + 0(т2 “) , а Є (0,1)

(1)

Данная работа посвящена рассмотрению разностных схем повышенного порядка аппроксимации для дифференциальных уравнений дробного порядка.

1. Уравнение диффузии дробного порядка с дробной производной

В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ

В работе [28] для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области рассматриваются многомерные чисто неявные схемы и локально-одномерные схемы (ЛОС), С помощью принципа максимума для рассматриваемой задачи доказаны устойчивость и равномерная сходимость ЛОС для 1/2 < а ^ 1, а - порядок дробной производной по времени, В работе [46] для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах также строятся локально-одномерные схемы, С помощью принципа максимума для рассматриваемой задачи также доказываются устойчивость и равномерная сходимость ЛОС при 1/2 < а ^ 1,

1.1. Постановка задачи. В прямоугольнике QT = {0 ^ х ^ І, 0 < t ^ Т} рассматривается третья начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной д0^хи то пространственной переменной х порядка г (0 < и < 1) в младших членах:

д

9S,u = дхС<х-о аХ:

( ди\

1к(х, t) —j + г(х, і)д^хи — q(x, t)u + f(x, t), (х, t) Є Qt

(2)

{к(х, t) —к(х, t)

du

дх

ou

дх

A_ (х, t)u — ц_ (х, t), х = 0, 0 ^t^T,

- Х+(х, t)u — ^+(х, t), х = І, 0 ^t^T,

и(х, 0) = щ(х), х Є G,

(3)

(4)

где

0 < со ^ к ^ с1, г ^ 0, |г| ^ с2, q > 0, A± > A* > 0,

d0tU =

Г и(х,у)

J 71 drn

Г(1 - а) ° (t — rj)

дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1,

û = du/dt, д0хи

1

х и'(С t)

d£, 0 < ft < 1 — дробная производная Капуто поряд-

г(1 - ft) о (Х - &

ка ft, 0 < ft < 1, по перемен ной хда' = ди/дх, с°, с1, с2 — положительные постоянные Qt = {0 ^ х ^ I, 0 ^ t ^ Т}.

1.2. Разностная схема. В замкнутой области Qt зададим равномерную сетку. Пространственную сетку выберем равномерной с шагом h = l/N:

uh = {хі = ih : і = 0,1,... ,N, h = l/N}.

При этом будем обозначать ıxh — множество всех внутренних узлов сетки ıxh. На отрезке 0 ^ t ^ Т введем равномерную сетку

й'т = {0, tj+1 = (j + 1) T, j = 0, 1, ...,j° — 1}.

Будем обозначать шт — множество узлов сетки шг, для которых t > 0.

Аналогично ([47], етр. 401) получим для уравнения (2) монотонную схему второго порядка аппроксимации по h, для которой справедлив принцип максимума при

любых т

д

и h.

Для

ди\

этого

рассмотрим ди

— 3 £ ди\ ди

L = к— ( k(x, t) — ) + r(x, t) -q(x, t)u:

ox \ 3x J ox

уравнение (2) e возмущенным оператором

3°^tu = Lu + f = 0,

(5)

где к = 1/(1 + R), R = 0.5h|r|/fc — разностное число Рейнольдса.

Аппроксимируем оператор L при фиксированном t = t = ft+1/2 разностными оператором

Ли = к (аих)х + b+a(+l\ıx + b-aux — du,

где

а = А[к(х + ih, t)], d = F[q(x + ih, t)],

a(+1) = a(x + ih,t), b± = F[r±(x + ih,t)],

r± = , r+ = 0.5(r + |r|) > 0, r = 0.5(r — И) ^ 0,

к

А и F — шаблонные функционалы, используемые для вычисления коэффициентов a, d и и обеспечивающие второй порядок аппроксимации. Например, можно положить Ь± = г±/к.

Дифференциальной задаче (2)—(4) поставим в соответствие чисто неявную разностную схему

Доtj+1 У = V+1 + Фі+1,

у(х, 0) = и°(х),

Лу

Лу =

< Л-у

Л+у --

\

, І

(аУх)х + Г(2 — ft) 5(ЖІ—+1 — Х*~* )Ух’3

а(1)Ух,° — А_

У°

0.5h _

a{N ’Ух,м + Кум ' 0.5h

X = 0,

+ 0,5hrNKXN-1 У, x

dy, X Є Uh,

l,

Ф =

Р, X Є шн

Ў-

, X = 0,

где

0.5 h

^+ ж = і

U.5h, Ж 1

(1) (1) 0.5h2 & (N) (N) 0.5h2 ^

â(1) = а(1) + —-------— r0, â(N) = a(N) -

rN,

Ло^_і У

_ Г(2 - ft) 0’ _ Г(2 - ft)

A_ = A_ + 0.5hd(0), A+ = A+ + 0.5hd(w),

~Ц_ = ц_ + 0.5hfo, Д+ = Д+ + 0.5hfN,

1 ^ ^ „ - ys+1 - ys

Л^+і у = Г(2 - а)52 W-“+1 - t]-s) y8t, yst

s=0 N-1

1-3 1-3

( 1-У 1-М - У s-1

x0xN-1 У = г(2 - ft) / у (ЖЛ--«+1 XN-sj Vx,s, Ух

При условии достаточной гладкости решения и входных данных задачи (2)—(4), согласно лемме 1, разностная схема (6) имеет порядок аппроксимации 0(h2-13 + т2-а),

1.3. Устойчивость и равномерная сходимость разностной схемы. Справедлива следующая

Теорема 1. Разностная схема (6) устойчива по начальным данным и правой части, так что для, решения задачи (6) справедлива априорная, оценка

ıiîZ+’ıic < и/ис+

з

+ т* max + !д+ (щС)!) +г(2 - та\\Д' ||с

А* 0<t%jr

(7)

j'=0

из которой следует сходим,ость схемы (6) в равномерной метрике со скоростью 0(h2-13 + т2-“).

Доказательство. Разностную задачу (6) перепишем в виде:

Л0Г,+і Уг

Ы+1) жг + гЛІ^1 - d„УІ+1 + Д+1, г = 1,..., N - 1

Л« а(Г)ух,0 - Х-У0 t У- п

Л0Д+1У0 = -------—--------- + ^-, Ж = 0

л:

Otj+ı УМ

_ 0.5h

d(N )yx,N + X+yN

0.5h

(8)

(9)

+ 0, 5krNЛЦХм-ıу +

У+

05h

, X = і,

(10)

(11)

0.5h

у(х, 0) = щ(х), X Є шн.

Априорную оценку для задачи (8)—(11) получим е помощью принципа максимума, доказанного в ([48], е. 339) для сеточного уравнения общего вида:

А(Р)= £ в(Р,<ЭМ<Э) + ғ(р),

Q ЩИ '(Р)

где

А(Р) > 0, В(P,Q) > 0,

D(P) = А(Р) - ^ B(P,Q)y(Q) 5 0,

деш '(р)

Р, Q - узлы сетки '(Р) - окрестность узла Р, не содержащая самого узла Р.

Обозначим через Р(х, і'), где х Є t Є ш'т - узел (р + 1)-мерной сетки 0 = х шг, через 5 - границу П, состоящую ИЗ узлов Р(х, 0) при Х Є и узлоВ Р(x,tj+1) при tj+1 Є ш'т и ж Є 7^ j = 0,1,..., jo.

Решение задачи (8) — (11) представим в виде суммы

* О

У = у + у,

*

где У — решение однородных уравнений (8) с неоднородными краевыми (11) и однородными начальными условиями (11):

Д07+1У г

* / *З+Л

Уг = [аУх

i+l\ а * 3+1 * 3 + 1

+ ггД1.Д - УіУі ,і = 1 ,...,N - 1,

X f 1 ' 0Х,І

х.і

(13)

/ 1 \ * -- *

д« * = )УхА - \-Уо

д0и+л Уо = —

+ , X = 0,

Д07+1 Ух = -

0tj+^0 0.5h 1 0.5h’ ~

а^УхД + А+У N

0.5h

+ 0,5hrNд^хм_ 1У + , ж = і,

(14)

(15)

(16) О

а У — решение неоднородных уравнений (8) с однородными краевыми (11) и неоднородными начальными условиями (11):

0.5h

У(х, 0) = 0,

Д"

Д0і]+Д *

о / оİ+l\

У І = [ау^ j

dİ+1 oİ+1

X j 1 ' 1L

x.i

о О j і ^ *J I ^ Ос/І^ 4_Ll

+ ГіДохі У - diyi - diyi + = 1,...,N - 1, (17)

д у = а(1)Уx>0 - A-%0 r = 0 До^+іУ0 = Ш , ж = 0,

Д0*,+1 Ух = -

P(N ^Ух,м + ^+У N

0.5h

О

У(х, 0) = щ(х).

+ 0, 5hrNД1ХМ_1 У, X = і,

1 1 + Рі+1 + Ц

Г(2 - а) г

Г* 1

-------------+ di

h2 Г(2 - /3) h?

1-

С+1

Уг

а±+1 *j+1 + \ъ_ р(2 -21-13)! *3+1_

h2 " *+1 + г, 2 TV о а\ив У г-1

h2 Г(2 -р)ЬР _

г-2

Гг \ л ( 1—р 0 1-у 1-у \

2^ +1 + 2xi-s - Xi-s-1)

Г(2 -Р)h ^

*3+1

i-s+1 1 2^i-s ^i-s-1 I У s

Г(2 -р)h

3+1 (2 - 21-а) * з

Х1 У - XL f) У 0 + ^У г. +

—a i oj-1—& 4-1—

' г

Г(2 - а)та

3-1

1 g

eh°+2+21-д - да у, +

г(2 - а)т Д

(18)

(19)

(20)

Задачу (13)—(16) запишем в канонической форме: в точке Р(хі, tj+1), і = 1,..., N - 1:

Г(2 -а)т(з+3 tj а)Уг.

В точке Р(х0, tj+1), j = 1,2,...-.

1

ı(1) ^ 1 *3+1 а(1) *3+1 2 — 2

1—а

*3

+ —гх +

Г(2 - а)та 0.5h2 0.5h

У0

0.5h2

У0 +

Г(2 - а)т'

-У0+

г

г

0

Г(2 — а)т

^ 2 *S+1

Y {~—'lj_^+1 + 2^]_“— ^]_“_0 у о +

s=0 1

*0

+ Г(2 — а)т (**+“ ^ а^0 + 0.5h'

В точке Р(xN,tj+1), j = 1,2,

1 1 â(N) A+ 1 * J+1 а

+ + yN = ^л +

+ *-- U(N) 0.5hfN (21_^ — 1)

Г(2 — a) ra 0.5h 0.5h

(2 — 21_") * i 1

+ ^7x-----У N +

0.5h Г(2 — fi )h?

* 3 + 1

yN-1 +

j_ 1

Г(2 — a)ra N Г(2 — a)r

Y (—^і_“+ 2 + 2^-“+1 — tf—s) У N +

5=1

Г(2 — а)т (tj+1 tj )yN

Tn

N-2

Г(2 — fi)h tn

Y (—Xl_s+1 + 2xi—s — Xi—s-1) »s

*3+1

Уя —

Г(2 — fi)h

f 1—3 1—£ \ ,* ^^1

yxN Xn—1j У о .

*

Таким образом A(P) > 0,B(P,Q) > 0,D(P) > 0, а значит, для решения У задачи (13)-(16) на основании принципа максимума при малых h справедлива оценка

* ^+1 1 , ,

№ IIе ^ Т7nmax (^-(x,t)l + ^+foOQ.

Л* о<t'3jT

О

Переходим к оценке функции у. Уравнение (17) перепишем в виде

оЗ оЗ + 1

гД—Дт 1—=Л0 + ^

(21)

(22)

где

чр+1 = ^р+1

1

£ ((£+, — t)—) V,.

Г(2 — а) *-

к 1 s=0

Уравнение (21) приведем к каноническому виду:

П 1

1 1 + &і+1 + &і

Г(2 — а) та

О-г+1

h2

Г(2 — fi) Р3

+ di

о 3 + 1

Уг

oİ+1

üi

У г+1 + ~ —

Гі(2 — 21—У)] о3+1

h2 '^г+1 ' |_h2 Г(2 — fi)h^_

і-2

У г-1 +

оІ+1

Y ( — Xl—s+1 + 2x\-s — Xl—s—1) У s —

Г(2 — fi)h ^

—гфзж (xl43—xl—) °u0+’ + ф'ж

где

(2 - 21—") О з

ф^+1 = -(---------L у. + 17Р+1

Г(2 — о)та 1 + * ,

¥"■ = А+' + (*2—° —у,——

1 1

т Г(2 — а)

Г(2 — а) т

3 — 1

У (*.

s=0

1 -< \ f О S О s— іД

1—?+1 — гУ) (у< — у. ) ■

1

0

г

І

Проверим теперь выполнимость условий теоремы 4 ([48], гл, V, Дополнение, §2, ф, (25)-(27)):

В точке Р/+1 = Р(Хг ,tj+ı) :

А(рД)

1 1 + Рг+1 +

Г(2 — а) г

h2

Г* 1

+ di

Г(2 — /3) h

> 0,

г 1 г

Г(2 — p)h

Гі( 2 — 21-) Г(2 — р)№

(—х\-%+1 + 2х1— — Xі—-1) , s =1,...,i — 2; —

»(^".«)= (^: ( hi

);

Г(2 — р )h

(г,1 $ — r,-f) ;

D' (РД) = А(РД) — £ В (P’+1,Q) =

QelU '(Р/+1)

для веех Q є Ш”, Q є Ш',

^ B(P3+1,Q) = г(2 — а)то

1 + Г(2 — a)radi Г(2 — о)та

> 0,

> 0,

Qe Шл

D'(P1+1)

E B(pi+1.Q)

где

QelU '■

Ш(

1 + Г(2 — a)radi

С 1,

(23)

У(I.İJ+1)) = МП?,

Ш' — множество узлов Q = Q(Ç,t) є Ш(Р(x.t.)),

Ш" — множество узлов Q = Q(Ç,tj) є Ш(Р(x>t )).

На основании упомянутой теоремы 4 ([48], гл, V, Дополнение) и в силу (23) получаем

оценку:

oİ+1

Нс С

2- 21-

оЗ

1 + Г(2 — a)radi

Нс + Г(2 — а)т °Цтр>+1\\с.

(24)

Оценим Ц^+Де, где

3-2

Д+1 = Д+1 +

о5+1

Г(2 — а)т

E НС+1 + 2«]Д — ЕТ-О V +

s=0

+

1

О о

Г(2 _ а)г «« — С“) *■

Из (25) получаем оценку

21-а — 1 о*

\w+l\\c С w+l\\c + ----7 max \\у Цс.

т"Г(2 — а) осзСз-2

(25)

(26)

Следовательно, для у получаем оценку:

оІ+1

\\v Нс С \\V Це + г(2 — «)Е Т“Ц./ІІС.

j' =0

Таким образом, из оценок (21) и (27) следует окончательная оценка (7),

(27)

□

Г

г

г

г

1

1

1

1.4. Уравнение диффузии дробного порядка с конвекцией. При повышении порядка аппроксимации краевых условий третьего рода до 0(h2-13 + т2-а) получили разностную схему с нелокальным по пространственной переменной х граничным условием, чего не наблюдается в случае, сели рассмотреть в задаче (2) — (4) вместо (2) уравнение

где

Q ( ди\ ди

д0и = — (k(x,t) — j + r(x,t)— q(x,t)u + f(x,t), 0 ^ x ^ l, (28)

0 < cı ^ k(x,t) ^ c2, 0 < q(x,t) ^ c3, r(0,t) > 0, r(l,t) ^ 0, lr(x,t)l ^ c4, A± > A* > 0,

Со, c1 — положительные постоянные.

Разностная схема для задачи (28), (3), (4) имеет вид:

Лод.+1 У = Лу2+1 + Ф2+1, у(х, 0) = ио(х),

где

где

Ау

Ау = к (аух)х + Ь+а(+1)ух + b аух — dy, х Є шн, а(Г)ух,о — Х-уо п

У _ 0.5h ’

A+v = _a(NW + Х+Ук r = о

Л V 0.5h , X =l

V, X Є wh, ~p_

Ф = <Ш’Х = 0'

^+ X = l 10.5^ * l

(29)

a(1) = а(ґ) + 0.5)hr0, a(N) = a(N^ — 0.5hrN,

X- = A_ + 0.5hd(0), X+ = \+ + 0.5hd(N),

~fi_ = у- + 0.5hf0, y+ = y+ + 0.5hfN.

При условии достаточной гладкости решения и входных данных задачи (28), (3), (4), разностная схема (29) имеет порядок аппроксимации 0(h2 + т2-").

2. Уравнение теплопроводности дробного порядка

С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ

Для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины, ставится, например, при х = 0 краевое условие вида

ди ди

с0— = k—, с0 = const > 0. dt дх

Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело е большой теплопроводностью ([49], е. 186), при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [50].

Похожие задачи возникают также в случае регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды е поверхности затопленного на некоторое время участка ([51], е. 233). Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе следует задать условие

h

дс

dt

OX

і

где с — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности [51].

Прежде чем перейти к постановке задачи, приведем пример [28], где возникает производная дробного порядка на границе без использования концепции фрактала.

На полубесконечной полосе х > 0, 0 < t <Т, рассмотрим задачу:

ut = (ких)х, (30)

kıux(0,t) = Şı(t)u(0,t) - Ці(ї), (31)

и(х, 0) = 0, lu(x, t) | ^ M, 0 < X < ж, 0 ^ t ^ T, (32)

k(x) =

k]_, X ^ x1, k2, X > x1.

В точке разрыва k(x) выполнены условия непрерывности температуры и теплового потока

[и]х=Х1 = u(xı + 0, t) - u(xı - 0, t) = 0,

du

кл

0.

J X=X1

Решение задачи (30)-(32) и = u+ в облає ти х1 > 0, t > 0 имеет вид

(33)

u+(x,t) = -

1

_____ f ”(г)

л/крп J Vt - т

exp

f (x - ж1)^\ A

гm-))dT-

V (t) = k2u+(x1,t)

Отсюда при X = х1 получаем

и+(х1 + 0, t) = -

л/кдк

k2U+(x1 + 0, т) л/t - т

dr.

На основании (33) из последнего находим

n ^ 1 [ hux(X1 - 0,r)

и (x1 - 0,t) =---и— / -------/ ----dr,

л/кўк

Vt-

(34)

где и (x, t) — решение задачи (30)-(32) в области 0 < х < х1, 0 <t ^ Т. Обращая интегральное уравнение Абеля (34), получаем

- М-fa - 0,т)=!d j dr.

0

(35)

Таким образом, при вычислении температурного поля в области 0 < х < х1, t > 0 влияние полубесконечной области х > х1, t > 0 можно учесть, постав ив при х = х1 нелокальное условие (35) с дробной производной порядка а = 2,

Перейдем теперь к рассмотрению разностной схемы для дифференциального уравнения дробного порядка в случае, когда на границе области задано условие е сосредоточенной теплоемкостью дробного порядка вида

ди

с0Оыи = к—, с0 = const > 0, ох

где d/tu — дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1.

t

1

t

2.1. Постановка задачи. В прямоугольнике Qt = {0 ^ х ^ l, 0 <t ^ Т} рассматривается начально-краевая задача:

Я / Яу \

d0fU = ~dx (k(x,t)ğfi) + f(x,t^ (x,t) є QT,

i . du

k(x,t) —

u

Sİ

k-8q.tu + fi-(x,t)u — y-(x,t), X = 0,

- K+dQtu + fi+(x,t)u — y+(x,t), X = l, u(x, 0) = uo(x),

(36)

(37)

(38)

где

0 < Со ^ k ^ C1, fi±a > fi* > 0, K± = const > 0,

dfitu =

1

I

Û(x, T))

u

Г(1 — Я о (t — V)c du/dt.

dq

дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1,

2.2. Разностная схема. Пространственную сетку выберем равномерной е шагом h = l/N,uh = {хг = ih : і = 0,1,..., N}, На отрез ке [0, Т ] введем равномерную сетку

Я = {0,tj = jт, j = 0, 1,... ,jо},

шт — множество узлов сетки ш'т, для которых t > 0.

Используя дискретный аналог (1) регуляризованной дробной производной Капуто порядка а, 0 < а < 1, уравнение (36) аппроксимируем чисто неявной разностной схемой. Тогда получим разностное уравнение:

Г(2 — а)

Y, (ТД - *1-?) vt = Лг/+1 + <C+l,x € ш„,

(39)

s=О

где

ЛУ = (аУх)х,У^

ys+1 — ys

T

К уравнению (39) надо присоединить граничные и начальные условия, что будет сделано несколько позже.

Запишем разностный аналог для граничных условий (37):

а{1)У3х+о1 = K-Aotj+1 У0+1 + Y-(^,t)yJo+1 — h-(x,t), X = 0,

{

—а

(N’rf+J = к+д!)і,+1 м0+1 + fi+(x, tWo+' — ^+(х, І), X = l.

(40)

Условия (40) имеют порядок аппроксимации 0(h). Повысим порядок аппроксимации до 0(h2 + т2-а) на решениях уравнения (36). Так как

du

= а(1'>и3Х+01 — 0.5 h^dfitU — f J'+^ + 0(h2)

то

«(1>«Х+о1 — 0.5h(Aot,+iu — Y3+\ = K-Aotj+i«o + fi-U30+1 — y- + 0(h,2) + 0(hr2 “). (41)

Отбросив в (41) величины порядка малости 0(h2) и 0(hr2-a), после замены и на у,

получим

Aot,+i У

у-

а(1'>уХх+1 — fi-rnЯ

к_ + 0.5h

+ у-, X = 0,

У-

к_ + 0.5h'

у_ = у- + 0.5hf0.

1

Аналогично при х = I.

Ла ’иК + P+v’A' , _ „

до*і+і У =-----у—тлт----------+ й+ , ж = 1>

ц+

к+ + 0.5h

ц+ = д+ + 0.5hfN.

к+ + 0.5h

Итак, разностный аналог задачи (36)-(38) имеет вид

Лод+і У = ЛД+1 + Ф+',

где

Ay = <

у(х, 0) = и°(х),

Ау (0,Ух)х , Т Є ^Xh,

,- a(VA - P_v° ,,

Л у = !— , X = 0,

(42)

Л+yj+1 = -

к_ + 0.5h ’

a(N)yx,N + (З+Ум

ц_

ц+ =

к+ + 0.5h

Р, X Є шн,

Ф = ^ д_, X = 0,

д+, X = I,

й-

X = I,

к_ + 0.5h’ й+

к+ + 0.5h,

ц_ = й_ + 0.5h/0, й+ = й+ + 0-5hfa,N.

2.3. Устойчивость и равномерная сходимость разностной схемы. Справедлива

Теорема 2. Разностная схема (42) устойчива по начальным данным и правой части, так что для, решения задачи (42) справедлива оценка

1

\\у3+111с ^ \\у°\\с + max — (\p_(x,t')\ + \ц+(хД)\) + г(2 - а)^2 т“ II ^ 11с, (43)

°<t'Ajr р* z—'

j'=°

из которой следует сходимость схемы (42) в равномерной метрике со скоростью

0(h2 + т 2_“).

Доказательство. В дальнейшем опять же будем пользоваться принципом максимума для решения сеточного уравнения общего вида.

Приведем разностное уравнение и граничные условия (42) к каноническому виду

1 1 + Щ+1 + Щ

У\

j+1 _ аг+1 дJ+1 , аС,І+1

2 - 21-

h2 "^+' + h2Уг_' + Г(2 - а)Д

УІ +

Г(2 — а) та h2

- *}_“) У° + + 2t]_a - і}_Д) у} + ... +

1 1

т Г(2 - а)

+ (-tl_a + 2t2_“ - *1_а) уГ1

+ <^+',

1 1

+

а}

+

Р_

Г(2 - а) та (0.5h + K_)h 0.5h + к_

j+1

У°

аі 3+1, (2 - 21-") j ,

-Уі + ^Уо+

1 1

т Г(2 — а)

(0.5 h + x-)h Г(2 — а)тс

йд—t}-“) уі+(—і'-г+2і‘—в-) *0 +... +

Отсюда

+ (—tl~a + 2tl~a — t\~a) У0-1 D(P (x,tj+1)) = 0,

P-

+ y_.

D(P (0,ti+1))

Аналогично, при х = I имеем

D(P (e.t,+1))

0.5h + k-

P+

0.5h + k-

Чтобы получить оценку для решения задачи (42), представим опять решение у в виде суммы

* О

У = у + У.

о *

где У — решение задачи при Д_ = ~Ц+ = 0, а У — решение задачи при щ(х) = 0. р(х. t) = 0,

На основании теоремы 3 (см, [48], с, 344) для у получаем оценку

*j+1

IIе ç nmax ~б~ (ІУ-(х.і')І +^+OMOQ

о<t%jr /3*

О

Так как D(P(x.tj+1)) = 0, то для оценки у уравнение (44) перепишем в виде

(45)

1 1 + а+1 + аг

Г(2 — а) г

h2

У.

i+l ai+1 о İ+1 аі о І+1 (2 — 21 ") о і

h2 ~yi+1 + уі-1 +

у і + ад+о.

где

Ф(Р) = ipj+1 + 1 1

т Г(2 — а)

Г(2 — о)т°

оО о 1

ДД — Т“) V, + (—t)-? + 2«Д — tj-t) V, + ... +

/1 1 1 \ Оі-1

+ — + 2t\~a — t\Уг

Проверим выполнимость условий теоремы 4 (см, [48], с, 347):

1

D\P)

> 0. Р = Р(X.tj+1).

Г(2 — о)т°

А(Р) > 0. В((Р).Q) > 0

для всех Q є Ш'■. Q є Ш',

2__21-а

E B(P.Q) = ^-—------— > 0.

фЄШ "

Г(2 — а)тс

1

D ' (Р)

B(P.Q) = 2 — 21-“ ç 1.

дєш'!

На основании теоремы 4 (см, [48], с, 347) для у справедлива оценка

о İ+1 о О

\\v Вс « \\v Вс + Г(2 - Ы) Y, та\|Л \|с.

з'=О

Из оценок (45) и (46) следует окончательная оценка (43),

(46)

О

Замечание 1. Если вместо чисто неявной схемы рассматривать более общее разностное уравнение с весами, Л(ayj+1 + (1 — o)yj) в правой части, (39), то возникнет условие на, шаг г:

(2 — 21—)h2

т ------------------

2с1Г(2 — V )(1 — а)’

которое при V ^ 1 переходит в известное условие

0 ^ а ^ 1,

h2

2cı(1 — а),

0 ^ а ^ 1.

Похожие ограничения на шаг т возникнут также и в ранее рассмотренных задачах в предыдущих пунктах статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро - дифференцированием дробного порядка. М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.

2. Шогенов В.Х., Ахкубеков А.А., Ахкубеков Р.А. Метод дробного дифференцирования в т,еории броуновского движения // Изв. вузов. Сев.-Кав. Регион. 2004. Vs 1. С. 46-49.

3. F. Mainardi, Y. Luchko, G. Pagnini The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation // Fract. Calc. Appl. Anal. 2002. Vol. 4. № 2. P. 153-192.

4. E. Scalas, R. Gorenflo, F. Mainardi Uncoupled continuous-time random walks: solution and limiting behaviour of the master equation // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69. P.011107/1-8.

5. Y. Zhang, D.A. Benson, M.M. Meerschaert, H.P. Scheffler On using random walks to solve the space fractional advectiona-dispersion equations // J. Stst. Phys. 2006. Vol. 123. Vs 1. P. 89-110.

6. Абрашина-Жадаева Н.Г., Тимошенко И.А. Конечно-разностмые схемы для, уравнения с производными дробных порядков в многомерной области // Дифференц. ур-ния. 2013. Т. 49. Vs 7. С. 819-825.

7. Динариев О.Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1990. Vs 5. С. 66-70.

8. Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л., Романов Е.П. Недебаевская релаксация и диффузия, во фрактальном пространстве j j Докл. АН. 1998. Т. 361. Vs 6. С. 755-758.

9. Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л., Романов Е.П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Докл. АН. 1999. Т. 369. № 3. С. 332-333.

10. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка, // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. С. 660—670.

11. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и, дробные производные // Докл. АМАН. 1996. Т. 2. Vs 1. С. 43—45.

12. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации жидкости, в трещиноватых породах j) Докл. АН СССР. I960. Т. 132. Vs 3. С. 545—548

13. Нигматулин Р.Р. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solid!. B. 1986. V. 133. P. 425—430.

14. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // Ж. эксперим. и теор. физ. 1995. Т. 108. Выл. 5 № 11. С. 1875-1884.

15. Головизнин В.М., Короткий И.А. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производным,и // Дифференц. ур-ния. 2006. Т. 42. Vs 7. С. 907-913.

16. Нигматулин Р.Р. Особенности релаксации системы с остаточной памятью // Физ. твердого тела. 1985. Т.27. № 5. С. 1583-1585.

17. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А. Численные методы решения уравнения диффузии с дробной производной в одномерном случае: Препринт IBRAE -2003-12. М.: ИБРАЭ РАН, 2003. 35 с.

18. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.П. Прямые задачи классического переноса радионуклидов в геологических формациях // Изв. РАН. Энергетика. 2004. N8 4. С. 121-130.

19. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. V.: Физматгиз, 2003 г.

20. Учайкин В.В. К т,еории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // Теорет. и мат. физ. 1998. Т. 115. № 1. С. 154-160.

21. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви / / Жури, экспер. и теорет. физ. 2002. Т. 121. Вып. 2. С. 299-307.

22. J. Klafter, M.F. Shlesinger, G. Zumofen Beyond Brownian Motion // Phys. Today. 1996. V. 49. № 2. P. 33-39.

23. Bangti Jin, Raytcho Lazarov, Zhi Zhou A Petrov-Galerkin finite element method for fractional convection-diffusion equations j j SIAM J. Nummer. Anal. 2014. Vol. 54. № 1. P. 481-503.

24. Bangti Jin, Raytcho Lazarov, Josef Pasciak, Zhi Zhou Error analysis of a finite element method for the space-fractional parabolic equation j j SIAM J. Nummer. Anal. 2016. Vol. 52. № 5. P. 2272-2294.

25. B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou An analysis of the L\ scheme for the subdiffusion equation with nonsmoothdata // IMA J. Numer. Anal. 2015. 33. P. 691-698.

26. Лафишева M.M., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для, уравнения диффузии дробного порядка j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. Vs 10. С. 1878-1887.

27. Баззаев А.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схем,а для, уравнения диффузии дробного порядка, с краевым,и, условиями III рода, j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. 50:7. С. 1200-1208.

28. Баззаев А.К., Мамбетова А.Б., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схем,а, для, уравнения теплопроводности дробного порядка, с сосредоточенной теплоемкостью //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Том 52. № 9. С. 1656-1665.

29. Баззаев А.К. Разностные схемы для, уравнения диффузии дробного порядка, с краевыми условиями третьего рода, в многомерной области // Уфимский матем. журнал. 2013. Том 5. Vs 1. С. 11-16.

30. Баззаев А.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерные схемы для, уравнения диффузии с дробной производной, по времени в области произвольной формы j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. 56:1. С. 113-123.

31. A.A. Alikhanov Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings j j Appl. Math. Comput. 2012. 219. P. 3938-3946.

32. K. Diethelm, G. Walz Numerical solution of fractional, order differential equations by extrapolation // Numer. Algorithms. 1997. 16. P. 231-253.

33. K. Diethelm, N.J. Ford Analysis of fractional differential equations / / J. Math. Anal. Appl. 2002. 265. P. 229-248.

34. Yu. Povstenko Axisymmetric Solutions to Fractional Diffusion-Wave Equation in a Cylinder Under Robin Boundary Condition // Eur. Phys. J.-Spec. 2013. Top. 222:8. R 1767-1777.

35. Yu. Povstenko Time-Fractional Heat Conduction in an Infinite Medium, with a Spherical Hole Under Robin Boundary Condition // Fract. Calc. Appl. Anal. 16:2. 2013. P. 354-369.

36. Ch. Tadjeran, M. Meerschaert, H. Scheffler A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation j j J. of Comput. Phys. (2006). Vs 213. P. 205-213.

37. Yu. Luchko Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation j j I- Math. Anal. Appl. (2009). 351. R 218-223.

38. Yu. Luchko Boundary Value Problems For The Generalized Time-Fractional Diffusion Equation Of Distributed Order // Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 12. 2009. № 4. 409-422.

39. Yu. Luchko Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations // Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. Vol. 14. № 1. P. 409-422.

40. Yu. Luchko Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equatio // Comput. and Math, with Applicat. 2010. 59. P. 1766-1772.

41. Juan J. Nieto Maximum principles for fractional differential equations derived from Mittag Leffler functions j) Applied Mathematics Letters. 2010. 23. P. 1248-1251.

42. H. Ye, F. Liu, V. Anh, I. Turner Maximum principle and numerical method for the multi-term time-space Riesz-Caputo fractional differential equations // Appl. Math. Comput. 2014. 227. P. 531-540.

43. Баззаев А.К., Шхануков-Лафишев М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений дробного порядка с краевым,и условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:1 (2017), 122-132; Comput. Math. Math. Phys., 57:1 (2017), 133-144

44. Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач для, дифференциальных уравнений дробного порядка, // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С.1871-1881.

45. Алиханов А.А. Уст,ой,чи,вост,ь и сходим,ост,ь разностных схем для кра,евы,х задач, уравнения диффузии дробного порядка, // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:4 (2016), 572-586; Comput. Math. Math. Phys., 56:4 (2016), 561-575

46. Баззаев А.К. Трет,ья, краевая задача, для, обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной, по времени в многомерной области // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. № 2, С. 5-14.

47. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977. 656 с.

48. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973. 415 с.

49. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1996. 724 с.

50. Самарский А.А. Об одной, краевой задаче распространения тепла // Избр. тр. А.А. Самарского. М.: МАКС Пресс, 2003. С 1-22.

51. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго- и массообмен в системе pa cm ение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 358 с.

Александр Казбекович Баззаев,

1) Северо-Осетинский гое. университет имени К.Л. Хетагурова, ул, Ватутина, 44- 46,

362025, г. Владикавказ, Россия

2) Владикавказский институт управления, ул. Бородинская, 14,

362025, г. Владикавказ, Россия E-mail: al. bazzaev@gmail. ru

Игорь Дзаетемирович Цопанов,

Владикавказский институт управления, ул. Бородинская, 14,

362025, г. Владикавказ, Россия E-mail: 55tsopanovig@gmail.com