ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО НАГРУЖЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА С УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

З. В. Бештокова, Численный метод решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с условиями третьего рода, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022, том 26, номер 1, 7-35

001: https://doi.org/10.14498/vsgtu1908

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки: IP: 94.29.25.84 7 июля 2022 г., 11:14:25

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26, № 1. С. 7—35

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1908

Дифференциальные уравнения и математическая физика

УДК 519.633

Численный метод решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с условиями третьего рода

З. В. Бештокова1,2

1 Северо-Кавказский центр математических исследований, Северо-Кавказский федеральный университет, Россия, 355017, Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

2 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Аннотация

Исследуется начально-краевая задача для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с краевыми условиями третьего рода. Для численного решения строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации 0(h? +т). Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения и проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в данной работе теоретические выкладки.

Ключевые слова: параболическое уравнение, нагруженное уравнение, разностные схемы, локально-одномерная схема, априорная оценка, устойчивость, сходимость, многомерная задача.

Получение: 11 февраля 2022 г. / Исправление: 18 марта 2022 г. / Принятие: 21 марта 2022 г. / Публикация онлайн: 31 марта 2022 г.

Научная статья

© Коллектив авторов, 2022 © СамГТУ, 2022 (составление, дизайн, макет)

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Бештокова З. В. Численный метод решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с условиями третьего рода // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 1. С. 7-35. EDN: BIBCLS. https://doi.org/10.14498/vsgtu1908. Сведения об авторе

Зарьяна Владимировна Бештокова & https://orcid.org/0000-0001-8020-4406 научный сотрудник; отд. вычислительных методов1; аспирант2; e-mail: zarabaeva@yandex. ru

Введение. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие функции от решения на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции [1]. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при изучении движения подземных вод в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из п источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, при построении математической модели переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи. Сложность заключается в значительном увеличении объема вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требующих при переходе со слоя на слой затраты числа арифметических операций Q, пропорционального числу узлов сетки, так что Q = 0(h-p), где h = min hi, р — размерность области, h — шаг сетки по направлению Xi.

1 ^г^р

Настоящая работа посвящена построению локально-одномерных (экономичных) разностных схем для численного решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с краевыми условиями третьего рода, суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из вспомогательных задач может не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место [2-4].

В разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений большой вклад внесли идеи работ [5, 6]. Отметим также, что в обзорных работах A. M. Нахушева на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований нагруженных дифференциальных уравнений. Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A. M. Нахушевым метод редукции интегро-дифференциальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В его работе [1] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа Бицадзе— Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентно редуцированы к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи. В цилиндре QT = G х [0 ^ t ^ Т], основанием которого является р -мерный прямоугольный параллелепипед

G = [х = (х\,х2,... ,хр) : 0 ^ ха ^ 1а, а = 1, 2,.. .,р}

с границей Г, G = G U Г, рассматривается задача

Qu

— = Lu + f (x,t), (x,t) e Qt, (1)

( ди

ка(х, г)-—= Р-аи - ^-а(х, г), ха = о, о ^ г ^ т,

дх,

а

(2)

и(х, 0) = ио(х), х е С, (3)

д и

-ка(х, Ь) д- = Р+аи - ^+а{х, Ь), ха = 1а, 0 ^ £ ^ Т,

д ха

где

ЕР т т д /, , . ди \ , . ди

Ьаи, Ьаи = дх^[ка(х, ^ д^) + Га(х, ^ —

а=1 а а

а а а

т

^ ^ Чза Ъ^)и(х1, . . . , ха-1, ха, ха+1, . . . , хp, ^,

3 а

3=1

ка(х, I) еС3,1Ш; Га(х, I), Яза(х, I), ¡(х, I) еС2,1Ш;

о < Со ^ ка(х, г) ^ С1;

1 rа(х, ^ 1 кха (х, ^ 1 ГХа (х, ^ 1 Яза (х, ^ \p±а(х, ^ \ < С2;

ха —фиксированная точка интервала (0,1а), в = 1, 2,...,т; с0, с1; с2 — положительные постоянные; Qт = С х (0 < Ь ^ Т]; ц.±а(х, Ь) — непрерывные функции.

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения и граничных условий из задачи (1)—(3) удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям, обеспечивающим нужную гладкость решения и(х, Ь) в цилиндре Qт.

С помощью выбора коэффициентов д3а (х, ¿) можно регулировать интенсивность источников (стоков) в точках ха.

Далее через М^, г = 1,2,..., будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи (1)-(3).

Допуская существование регулярного решения задачи (1)-(3) в цилиндре Qт, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на и и получим энергетическое тождество:

(= (£ дха Ых, $ дк И + ф;а(х, ъ £ ,и)-

, р т ч

- ( ^ (х,1 )и(х1, . .., ха-1, х3а, ха+1, . . ., хр, Ь),и) + (¡(х, Ь),и). (4)

^а=1я=1 '

Воспользуемся скалярным произведением и нормой:

р г1а

иХ = ^и1а, \\и\\12{0,1а) = U2(X, t)dха,

а=1

(и,,) = 1игйх, (и, и) = 1М8, И,,«2 ЛЛх,

■Ю -Ю

Справедлива следующая [7]

Теорема 1. Пусть О —область с гладкой границей дО. Для элементов и(х) из Ш2,(О) определены следы на областях Г гладких гиперповерхностей как элементы Ь2(Г), и они непрерывно меняются. Для них справедливы неравенства вида

/ [и(х + 1 е1) — и(х)]2йв = ||и(х + 1 е1) — и(х)||2 г ^ с1 / и*йх, 0 ^ I ^ 5,

■>Г ' Г)

и 1

||и(х)|||г < сИи(х)\22,д6(Г) + 5\\их(х)112,д6(Г)

где е1 — единичный вектор нормали к Г в точке х, а ( (Г) — криволинейный цилиндр, образованный отрезками этих нормалей длины I (5 — наибольшая из тех длин I, при которых (г(Г) С О), с — постоянная, не зависящая от функции и(х).

Для всех элементов у(х) из с «кусочно-гладкой границей» спра-

ведлива оценка

'дО

у2йв ^ сп (М • I+ V2) йх ^ с\

^ * + {тг +1]У

йх =

(I + 0'

= {£Ьх + сеу2) йх, £ > 0.

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (4), с учетом теоремы 1:

/ди \ 1 д

д

, и

1 д

2Ы

||и||0

(5)

(£ -¿г Ых,г) дх-а Ь)

ч —=1 7 р

и=

У] / к—(х, г)и

д и

дх—

о

'— Е¡ск—(х,Ч-¡т)2(1х. (6)

йх' —

Далее для оценки слагаемых в правой части применим е-неравенство Коши:

(у£г—(х, I) ди,и) < >Т (г—(х, I) -и,и) 11 и* |2 + М1(£)Ци\\2, (7) ^—=1 — ' —=1 —

( р т \

Е Е^«(х,г)и(х1,...,х—-1,х—,х—+1,...,хр,г),и) =

—=1 =1

р т

= —^^2и(х1,.. .,х—-1,х—,х—+1,.. .,хр, г)( д3а (х, г),и) ^

—=18=1

О

О

1 р т

^ о Е Е(и2(х 1, ■ ■ ■

, ха— 1, ха, ха+1■ ■ , хр,> t) + ((х, t),и) ) ^

a=1S=1

р т 1 s-^ s-^ / ,, ,,2

^ 2 Е Е(е"ихУ2 + Ф)УиУ2 + М2( 1,и2)) < емауилу2 + ^4(е)НиН2, (8)

а=1s=1

(/(х,t),u) < 1Ц/ЦО + 2N10, (9)

где С = {х' = (х1, х2, ■ ■ ■, ха-1, х^ь ■ ■ ■, хр) : 0 < хк < 1к ,к = 1, 2, ■ ■ ■ ,а — 1, а + 1, ■ ■ ■ ,р}, йх' = йх1йх2 ■ ■ ■ йха-1йха+1 ■ ■ ■ йхр, с(е) = 1/la + 1/s, £ > 0. Учитывая преобразования (5)—(9), из (4) получаем неравенство

2-INI0 + Е 1к«(х, Ч dta х ^

Р Г в I 1

V/ ика(х, + еМ5ЦихЦ20 + Мб(е)Ы2 + -Ц/Щ (10)

/ I v

2 и„ .и0 ,„ 2 2'

Первое слагаемое в правой части (10) с учетом (2) оценим следующим обра-

зом:

la

V [ ика (х, dх' = V [ (ка(1а,х', Ь)иха (1а, х', Ь)и(1а, х', Ь)-

0а=1]с' дха 0 аа=1]с'

- ка(0, х', 1)иХа(0, х', {)и(0, х, t))dх' =

V / (^+а(1а,х', Ь)и(1 а ,х', Ь)-[3+а( 1а, х', 1)и2(1а,х', Ь)-

0а=1]с'

- Р-а(0, хЧ)и2(0, х, 1) + ^-а(0, х, ^и(0, х, t))dX. (11) Из (11), пользуясь теоремой 1 и е-неравенством Коши, получим оценку

ика (х, t)

- и

Y,Ja,uk - -вх

йх' ^

2

1 р Г

< еМ71|txII0 + М8(е)Ци112 + - ^ /_ (^ + ^2+а)с1х'■ (12)

а=1

Тогда из неравенства (10) с учетом (12) находим

1 д р f t ди \ 2

■■ "2 + Е 1к»(х,Ч-¿)йх<

2dt" "2 ^Ja

1 р 1 < £М9ЦихЦ2о + Мю(е)Ци\\20 + ^Т, (l-a + n\aW + -||/||0■ (13)

2 / , I \i~-a + l+a)йх +2 II/ МО -

а=1

a

Проинтегрируем (13) по т от 0 до t, тогда получим

N10 +/ \Ы\1<1т < еМц ( \\ux\\ldT + М\2(е) í \Н|20dr+

Jo Jo Jo

+ Mi3( jf4 (\\/\\0 + + dr + \M^)\\2). (14)

Выбирая e = 1/M11, из (14) находим

NI2 < M14 íVil2dr +

o

+ Mi (\\f \\0 + jG/(V-a + dr + \\«o(®)\2) . (15)

На основании леммы Гронуолла [7] из (15) получаем неравенство

\М12 < M^f (у/\\0 + + vla)dx') + \Ы^)\\2), (16)

где М зависит только от входных данных задачи (1)—(3).

Из априорной оценки (16) следует единственность решения исходной задачи (1)—(3), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в ¿2-норме.

2. Построение локально-одномерной разностной схемы (ЛОС).

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Оха с шагом ha = la/Na, а = 1, 2,... ,р:

иь = П , шьа = {х^а) = гапа : га = 0, !,..., Ма, а = 1,2,.. .,р},

а=1

п =( К, га = 1,2,...,ыа — 1, а \ Па/2, га = 0,Ыа.

По аналогии с [8] на отрезке [0, Т] также введем равномерную сетку

йт = [Ъ] = зт, 3 =0,1,...,Ы

с шагом т = Т/з0. Каждый из отрезков [Ь], ^+1] разобьем на р частей, введя точки 1]+а/р = + та/р, а = 1,2,...,р — 1, и обозначим через Да = = (1]+(а-1)/р, полуинтервал, где а = 1, 2,...,р.

Уравнение (1) перепишем в виде

£и = ^ — Ьи — I' = 0,

сЯ '

или

Е£аи — 0, £аи — ~ LaU fa, р

а=1

где ¡а(х, ¿), а = 1,2,...,р, — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и ¡(х, Ь), удовлетворяющие условию нормировки '^Ра=11а = ¡.

На каждом полуинтервале Да, а = 1,2,... ,р, будем последовательно решать задачи

1 д$(а) , ,

£а$а =--ТТа - Ьа$(а) - Iа = 0, х €С, Да, а = 1, 2,...,р, (17)

д

д$(а)

ка— (а) ^—а(х, ^, ха — 0,

дха (18)

ка дх — Р+а"$(а) ^+а(х, ^, ха — Iа, полагая при этом [8, с. 522]

'&(1)(х, 0) = и0 (х), ^(а) tj+(а-1)/р) = '&(а-1)(х, tj+(а-1)/р), а = 2, ..Р,

V(1)(х, Ь) =í&(р)(х, tj), .] =0, ,]0.

Аналогично [8, с. 401] получим для уравнения (17) номера а монотонную схему второго порядка аппроксимации по На. Для этого рассмотрим последнее уравнение при фиксированном а с возмущенным оператором Ьа:

1 д$(а) ~

Рр т =Ьа§(а)+ На), ^ Да, а = 1, 2,...,р, (19)

где

7 Ч д Л ^ д$(а) \ , ^ д$(а)

ЪаУ(а) = Ка дх^[ка(х, ) + Га(х,

а а

т

^ ^ Я_ва а) (х1, . . . , ха-1, ха, ха+1, . . . , хр, ^,

3=1

1 1 ^а\Га\ ^

ка = 1 + Д , = 2—к--разностное число Рейнольдса,

1 1 Т+ V

Г+ = 1( Га + \ Та\) > 0, Т~а =-( Та -\ Га\) < 0, Ъ+ = , Ъ,- = ,

2 2 ка ка

Га = Г+ + Г-, а(1а) =а^ + ь йа = ка(хía-1/2,t), ^а+а/р = fа(х,t),

=к,*, £ ==0:кг"'-1 ='"-(х-л <Н1/2-

Аппроксимируем каждое уравнение (18), (19) номера а двухслойной неявной схемой на полуинтервале (tj+(а-1)/р, р], тогда получим цепочку из р одномерных разностных уравнений:

1р+а/р _ 7р+(а-1)/р . .

У У - =А-а^+а/Р + <р3а+а/р, а = 1, 2, . . . ,р, ха € ШНа, (20)

Ли- К (а yj+a/p) + h+ni+^yi+a/p + b-a J+»/P _ ЛаУ — ка(ааУха )ха + uaaa Уха + иаиаУха

т

Е(y{iJsx-as + yLl+ixias

s=1

(ias +1) _ xs xs _ x(ias ) _x+ — x» xa x(i<*a ) <xS <x(+1).

ha las h

a.s ' a

a

К уравнению (20) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2):

аа Уха 0 — ß—aУп ß—a? xa — 0,

(21)

_rl(Na)1P+a/P — ß qp+a/P _ ,, x — j aa Уха, Na — ß+ayNa ß+a, xa — la.

Условия (21) имеют порядок аппроксимации 0(ha). Повысим порядок аппроксимации до 0(hl) на решениях уравнения (17) при каком-либо а:

aa ^хаР — ß—ad0 / — ß—a +0(ha),

mi1a) — к1% — ко + k0 ^ + к» f + 0(hl), -1 — -0 h

— ^,0 — ^a) + Y + Oha),

aaMZT — k(a4, a),0 + (k(a)4 a))' Y + O(hl),

k(a)V{a),0 — ai1aHIT - 1 ha(k(a)V{a))' + 0(hl)

' 1 ddj+a/pp дд 2'a\p ~dt

— a(1«)tf+a/P_ 1 h (1 r дд^ +

— aa дх«'0 2haVp dt a dxa

+ E (lsad(a)(x11 . . . ч xa—11 xa 1 xa+1 ч ... 1 xp i t) - fa) +0(h2a).

Итак,

,(1a)d3+a/p _ 1 h (\d3+a/p _ r д +

la дха,0 2 'a{vdt +

+ E (lsad(a)(x 1? ... 1 xa— 11 xa 1 xa+11 ... 1 xp1 ) - a

т

— ß—ad0 ^ ^ Qsa d(a) (x11 ... 1 xa—11 xa 1 xa+11 ... 1 xp1 ty ß—a +

s=1

a

+ 0(hl) + 0(haT). (22)

x

s

В (22) отбросим величины порядка малости О(Ь0) и 0(Нат), заменим "9(а) на У(а) = У3+'/р, тогда (22) перепишется так:

(а(1а) + 1 и г(0)\1р+а/Р _ 1 ]}а1р+а/р = ["■а + 2 Па'а )Уха,0 2 р ^ =

= р-аУ0 ' + 2иа4а(у\'0хга0 + у1'0+1х+а0 ) - Ц—' - ЦЬ,а$а,0, ха = 0,

или

1 j+а/р j+(а—1) /р

1 и У 0 - У 0_ = К п(1а)1р+а/р _ а „р+а/р _

2 ' т = К—'аа Уха,0 а—а У0

т

иа Е 4<з0! (У^ + У('1+1х+ая )+

=1

,р+а/Р _ р+(а—1)/Р

1 и = К ак«)пр+а/р а пР+а/р

2т = К+ааа Уха,Ма -Р+'Ума -

т

- 1 иа Е (Уг(£х—ав + У(')+1х+ав ) + Ц+с 2 =1

2и' 4за (у1 +1х^3'

где

Ц—а — Ц—а + 2 U'аfа,0, Ц+а — Ц+а + 2 1а,№а , Ц±а — );

К = (1 + 1 и'\^^ —1 г(0) < 0. К+ = (1 + 1 и'\г'Ма)\)-1 г(ма) > 0 К—а =\1 + 2 к(1/2) ) , Га < 0; К+а = V + 2 к.(*а—1/2) ) , Га > 0.

ка ка

Таким образом, приходим к цепочке одномерных схем с нелокальными граничными условиями при каждом а = 1, 2, . . . , р:

Vр+а/р _ Vр+(а—1)/р _ .

-У-- —АаУ3+'/Р + <р'а+'/Р, а = 1, 2, . . . ,р, ха € ШНа , (23)

1 у :)+а/р - у:)+(а—1)/р _

2 иа--- = Л— У(а) + ~Р—а, ха = °

(24)

у(х, 0)=и0(х), (25)

1 %,:+'/Р _ %,:+(' — 1)/Р

2 Ьа--^- =Л+у(' + -Ц+а, ха = 1

где

Лау(а) = Ка(аау(х'))ха + Ь+а'+1«)у^ + Ь-ааУ£ -

т

Е (У^хгав + У^ав+1х+1е У;

3=1

А-ц(а) = к п(1а)11(а) _ р 11(а) _ ЛаУ = к-аЛа Уха,0 р-аУо

1 т

— 1 ^ (У^2Хгае + уЦ+1 Х+ав ), Ха = 0;

«=1

\+ц(а) = _^ Лма)Аа) _ р Ла) ЛаУ = к+аЛа Ух:а,Иа Р+аУм

а

т

1Ъ Ма)(и(а)г- + ь(а) т+ ) х = / ■

2 Ъа 2_^аза (Угаахгаа + Угаа +1Хгаа ), Ха = 1а■

в=1

1 (а) у3+а/р — у]+(а-1)/р Задачу (23)-(25) перепишем в операторном виде

У--У--=АаУ(а) +Ф0+а/р, а = 1,2,... ,р, х е йНа, (26)

у(х, 0) = ио(х),

где

Л а У(а), Ха ешка, ( фа, Ха & Шь,

•а '

Лау( ) = Л 0.5ьа Л— У(а), Ха = 0, Фа = Л 0.5ка^-а, Ха = 0, I 0.5Ьа Л+У(а) Ха = Iа, I 0.5ка №+а, Ха = 1а:.

3. Погрешность аппроксимации ЛОС. Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность х3+а/р = у3+а/р — — из+а/р, где и3+а/р — решение исходной задачи (1)-(3). Подставляя у3+а/р = = хз+а/р+и]+а/р в разностную задачу (23)-(25), получим задачу для погрешности г з+а/р:

1* —I— /Л/ /<Г1 1* —I— ( Г\1_ 1 /г*

= каХз+а/р + ф3а+а/р, (27)

х3+а/р _ хЗ+(а-1)/р

^а

• , / „ , • , / 1,з+а/р _ 1,3 + (а-1)/р

где ф3а+а/р = Ки3+а/р + ^а+а/р — ----.

Обозначив через

I (т , * 1°и

■фа = Ьа и + /а--

V п от

1ди \ 3+1/2

р (И )

и замечая, что ^Ра=1 фа = 0, если ^Ра=1 }а = I, представим погрешность в (27) в виде суммы ■ф3а+а/р = фа + Ф0а:

ц3+а/р _ „,]+(а-1)/р

ф3а+а/р = Л а и3+а/р + <ра+а/р--+фа —фа =

= (Киз+а/р — Ьаиз+1/2) + (<#а+а/р — ¡а+1/2) — "и?+а/р — и3+(а-1)/р 1 /ди \ 3+1/2 \

(-г--Д т) ) + а = а +фа

Очевидно, что 16

Ф** =0(к'а +Т), фа =0(1), = £фа + £ф*а = 0(Щ2 + т).

а=1 а=1 а=1

Запишем граничное условие ха = 0 так:

1 и Ш_-10_= К п(1о;)г,?+а/р _ а 1р+а/р

2 ' т = К—'аа Уха,0 р—' У0

т

1 ( а) ( а) 1

(У£]хгав + У(<С!+1х+а„ ) + 1 к'^а0 + -—с =1 2

Пусть х:+'/р = у:+'/р -и?+а/'р, где и — решение исходной дифференциальной задачи (1)-(3). Подставляя у:+'/р = х:+'/р + иР+а/р, получим

1 ¿+а/р _ ^+(а—1)/Р

1 Л ^0_^0_ = К а 1^)^+а/Р_а ^+а/Р_

2 ' = К—'аа ¿ха,0 р—' ¿0

1 т

2 ^ (4с1хгав + 4с1+1х+ав Н

=1

+ К—аааа^иха,0)Р - Р—'и0 - 2 Ъ' '] хгае + Ь'га'^ + 1х^+а,, )-

3=1

1 ир+а/Р ир+(а—1)/Р 1

1 Л и0 -и0__, 1 Л ; + Ц

- „ Ла--г -Ла/ а,0 + Ц—с

2 Т 2

К правой части полученного выражения добавим и вычтем д л ди \ , , ди

1 о 1

2 Лафа — ^ Ъа

д д и д и

я—\к'я— + г'(х, ЧЪ— дха\ оха) дха

Л V Л I 1 ' о

дха ^ дха' дха

т 1ди л:+1/2

22 Яз^Ъ . . . , х', ... , хр, $ + /а - р — =1 р д

ха=0

Тогда

-1 :+'/Р :+('—1)/Р

1 , / „ ип — ип

ф =1 Л п и_и0_К п(1о)ир+а/Р Р ир+а/Р

ф—а = 2Ъау1а,0----) + К—аа' иха,0 - Р—аи0 -

Л' ^¿^За1 (и\с1хгаз +и((с1+1х+аз )+Ц — а 2 Ъ' дх (к'дх ) + Га(х, ^

2 За \~iagiag 1 "íаs • I--' 2

=1

Язаи(х1, . . . , х', . . . , хр, ^ + Iа р ди =1 р д

:+'/Р :+('—1)/Р -I

1, ( .. ип — ип\ 11 1 :+С/Р 1

д / ди \ . . ди Я-( ка^ + Га(х, г) —

дха \ дха' дха

1 д и

3+1/2 1 0

+ 2 Ъа фа =

ха=0 2

= 1Ъ ( / __\+а(1а)иР+а/Р + 1 Л г(0)иР+а/Р-

= 2 п'у ',0 )+аа и'ха,0 +2'''' иха,0

1 т

- Р—'и0 Р - - Ла^243а(и,сехгае +игсв+1х+ае ) + Ц—а -

1

и а

3=1

2

— 2 Ъа

д / ди \

1дХа V "дХа )

3+1/2 1 / 1ди \ 3+1/2

— 2 Н и,о— - -ш) + 1

+ 2 Чзаи(Х1, ...,Х3а,...,Хр, ^ — - На^ и^2 + - Нафа + 0(НаТ) =

2 =1

= Л 1а)„ 3+а/р + 1 Ъ г(°)ь3+а/р_а „ 3+а/р = Ла аха,0 +о па! а аха,0 р-а^0

+ Р-а —

— 2 На

д

ЮХаУ адХа'

3+1/2 1

— 2Нага(x, г) дХа

ди?+1/2 1

дь?+а/р 1

+ 0(Н2а) + 0(НаТ) = К—- + - Ъа

ОХа 2

д л ди \

дХа V а дХа )

+ ^Нафа+

3+а/р_р 3+а/р

р—а ип 0 0

— 2 Ъа

д л ди

ка

-дх.

( ди3+а/р ■+ I \

= ка—о--Р-аu0+а|P + р-а) + ^ На фа + О(На) + 0(НаТ).

V ОХа / х

дха

3+1/2 1 ф 2

+ р-а + ^ Ъафа + О (На) + 0(НаТ) =

1

<•-а I I 0 "-а I

х„=0 2

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в скобках, есть ноль. Поэтому

1 о

ф-а = 2 НаФ-а + Ф-а, Ф-а = 0(На + т) + 0(НаТ),

имеем

1 „3+а/р _ гуЗ+(а-1)/р

±и £о_£о_

пНа

ж п(1")г3+а/р - Р г3+а/р -

К-аЛа ¿ха,0 р-а ¿0

1 т 1

На Е <№ (+ *£]+!<. ) + 2Наф-а + ф-а

8=1

.,з+а/р _ з+(а-1)/р

1Н гма = _ К Ша) 3+а/р _ р 3+а/р

2На т = К+аЛа *ха,Иа р+а^Ыа

т

Ь ^ а) - , (а) 1

На^ ^ (С>-.. + €!+1х13 ) + 1 Наф+а + ф+а.

8=1

Итак, задачу для погрешности х3+а/р запишем в виде

х3+а/р _ х3+(а-1)/р

= Л аХ'

, Ха е Шьа ,

1 х3+а/р — х3+(а-1)/р

ъНа — Ла ^ + ■ф—а, Ха — ^

2

1 73+а/р _ 7]+(а-1)/р

-Н -_-_ = Л +г(а) + фи X = /

пНа — Ла/0 + ф+а, ^а — ^а,

2

х(х, 0) = 0,

а

2

где

Фа =Фра +Ф', Фра = 0(1), ф' = О^ +т), ^фа = 0

а=1

1 о 1 о

ф—а = ^Нагр—а + ф—', ф+а = ^ Н'Гр+а + 'р*^

р

ф±а = 0(Л?а +т), ф±а =0(1), ^ ф±а = 0.

а=1

4. Устойчивость локально-одномерной схемы. Умножим уравнение (26) скалярно на у(' = у:+'/р:

1 (а) (а)

-у\), У(а)

- [Л'У('\ у(а)]а =[ф(а), у(а)]с

(29)

где

хеши.

а=1

ía=0

[и,У ] = ^ иьН, Н = Л Па, Ма = ^ Ща У^ Па,

ма

Е У2Па,

П I Ла, %а — 1, 2, ... , "а - 1, ||,,.(а)\\2

П' = \Ла/2, га =0,"', ^ ^'Г

\\У(С)\\1Ш = Е \\У(С)\\1(а)Н/Па.

íp= íа

Преобразуем каждое слагаемое тождества (29):

" 1.„(а) (а)

ía=0

Уг

1 2р

- Пи '(С)\\ Ы'))г + 2~р\\Шй^

(30)

где \\ ■ \\ь2(а) означает, что норма берется по переменной ха при фиксированных значениях остальных переменных.

\ЛаУ(С), У(а)]' = (Л'У(а), У(с)) ' + Л—У ^ + Л+У(а) У(' =

= Ы°аУх')ха , У(С))а + 0+'+1а) У(х',У(а))а + КасУ^^)'-

т

[ Е 4за ЫСЯ. + у\с1+1х+аа), У(а)] + (к—ааС) У{£0 - Р—аУ (а))у0а)-

=1

- (к+ааМV™ +Р+сУ('ЬУ™. (31)

Так как

1 0.5Л\Га\ , ^ 2ч

Ка = = 1--Т--+ 0(Н2),

1 + Кс

ка

ка заменим на 1 - Га]]. Тогда выражение (31) перепишем в виде

а

а

\ЛаУ(а), У(а)]а= — {х-1аа,у2ха I +(^а^ У^ , У^) а +

ЬаА а т

+ (Ь-ааУ^У^а — [£<- (»&-,. + У^+^э Ъ У(а)

=1

— (аау£! , Х-Ху(а)] а — Р-аУ% — Р+аУ%а , (32)

[*(а), У(а)]а = (ф^, У(а))а + Р-а У^ + Р+аУМ]

( а)

((р(а\ У(а))а + (р-а + 2На/а,0^ У0а)йа + [р+а + ^На/а,М^) У^Ъ

= [Р( а),У (а)]а +Р-а у02) (33)

С помощью леммы 1 из [9] находим оценки для слагаемых, входящих в правую часть (32):

— {к-1аа, У2ха] а < —МЛУ-а^(ар

— (ааУх}, ЪУ(а)]а + (6.

+ ааа+1-)Уха , У(а))а + (Ь-ааУха , У(а))а <

<М^ Уха ]\2Ыа) + У У(а)\\1(а)) ,

(у+у^г, ъ у(а)

=1

<

а

т

< —(•у+ у£!+1<) , у(а)

< -(v(а)т- + и(а) г+ )2 + 1

'-8=1

т

<

,ГУ

( а)

=1

<

<

ММ \у-Ха ]\1(а) +Ф)||у(а)|Ц2(а)) ,

—р-а У1 —р+аУ2Ма < С2(у0 + у%) < \уха ]\12(а) + С&Ы^а)) ,

[ф(а), У(а)]а < 2\\<Р(а)\\иа) + 1! У(а)\11(а),

Р-аУ(0а) + Р+аУ(£ < ^- + ^ + 1 [(У(0а))2 + (У(£)2] < 1 (Р-а + Р+а) +

+ \У{£]\1,(а) +с(е)\\у(а\\ 2Ша),

где е > 0, с(е) = 1/ 1а + 1/е.

Подставляя (30), (33) и все полученные оценки после суммирования по ър = ъа, Р = 1, 2,... ,р, в тождество (29), находим

а

а

2

а

1

2р( \ \ У3+а/Р \ \ + М1\\Уха ]\ЪШ

<

<

М \ \ уха ]\1(ши) +М5(е)\\у(а)\\1Ш +

+ 1 (\ \ ^ \ \ 1(ши) + Е (Ц—а + Ц+а)Н/Па) .

Выбирая е < , из последнего находим

2р {\\У]+'/Р \ \ + МТ\\уШЪШ < Мб\\У(а)\\1фн) + 1

+ Ц \ \ <Р(С) \ \ + Е (-—)+-+'(Ь ))Н/Па) . (34)

Просуммируем (34) сначала по а = 1, 2, . . . , :

21 \\У3+1 \\ 12(шк) - 21 \\У3\\ 12(шк) + М Е \\ух+а/р}\ь2(шн) <

а=1

р 1 р

<М6 £ \\у(а)\\1Ш + 1 Ц \№+а/р\\1Ш + £ (Ц—С + Ц2+а)Н/Па) ,

а=1 а=1 í|=í„

(35)

а затем, умножая обе части на 2т и суммируя по от 0 до ], получаем

р р

\ \ у3+1 \\ + е\ \ уса/Р]\1фи) <М^г£\\у3'+'/р\\1ш +

3'=0 а=1 3'=0 а=1

+ М8( £ Т±( №'+а/р\\12Ш + Е (Ц—а +Ц+а )Н/Па) + \\У0\\12) . (36

3'=0 а=Л í|з =а ' '

Из (36) имеем

р

'/+1 \\ 1(ши) <М^Г^\\У3'+'/р\\12Ш + , (37)

=0 а=1

3 р / \

Р1 = ЕТЕ( №+'/Р\\1фн) + Е (Ц—а +Ц+а)Н/Па) + \\У0\^нУ

3'=0 а=1 í| = а

Покажем,что имеет место неравенство

та* \ \У3+а/р\\и*ъ) < "1 Жр \\У3'+а/Р\\+

1 а р =0 1 а р

где ь*1, 1*2 — известные положительные постоянные. Перепишем неравенство (35) в следующем виде:

\ \ У3+а/р \ \ 2^) < \ \ У3+(а-1)/Р\\2Ь2Ш +

+ 2тМ6Цу3+а/р\\2Ь2Ш +Т (\№+а/р\\2Ь2Ш + £ (р-а +Р+а)Н/Па\ . (38)

г/ = га

Просуммируем (38) по а' от 1 до а, тогда получим

+

\ \ у3+а/р\\Ъш < \\У3\\Ъш + 2^М6 £ \\у3+а//р\Ъы +

а =1

£ (\ \ ф3+а'/р \\ 2^) + £ (Р-а' )Н/Па) <

а'=Л гз =г'а У

<\ \ У3 \ \ 22 (с-,) +2ТМ6 £\\У3+а/р\2 ^) +

а=1

р

+ Т £( \ \ ф3+а/р \ \ 2Ь2Ш + £ (Р-а +Р+а)Н/Ьа) . (39)

а=1 га = г„

Не нарушая общности, можно считать, что

та ^ \ у3+а'/р \ \ 2Ь2Ш = \ \ у3+а/р \ \ 2^

в противном случае (38) будем суммировать до такого а, при котором \ \ уЗ+а/р\\достигает максимального значения при фиксированном ]. Тогда (39) перепишем в виде

т« !\ У3+а/р\\2Ь2Ш < \\У3\\2Ы*ъ) +^6^\У3+а/р\\2Ь2Ш +

р

+ т £( \ \ ф3+а/р \ \ * + V (Р2_а +Р+а)Н/Па ). (40)

-¿( \ \ ф3+а/р \ \ МйО + £ (Р-а +Р2+а)Н/Па\ .

а=1 г3 = гг.

3=

Так как из (37) следует, что

\\У \\22(<-н) <М^ ж Цу3'+а/р\\и*н) + М8 , (41)

1<а<р 3'=0

из (40) с учетом (41) имеем (1 - 2ртЩ max IIУ3+а/р\\1ш < М7 £ т max W'+a/p\\l2Í,h) + М9Р.

ВыбиРая т < то = ,

из последнего находим

I IУ3+а/РI I Ы^) < Х> тах I I I I 12Ш +

Вводя обозначение = тах 11уЗ+а/Р 112 ( ,, последнее соотношение

можно переписать в виде

9з+1 т V1 дк + у2¥\ (42)

к=1

где щ, р2— известные положительные постоянные.

Применяя к (42) лемму 4 [10, с. 171], получаем априорную оценку

i I У3+1 i1< М I\У0\\ + Е-Е+а/р\\1ш +

j'=0 а=1

3 Р

2 (a Jf Ч i ,.2

+ ЕТЕ Е tj' )+^+a(la,x', tj' ))Н/П,

j'=0 a=1 ip=i a

, (43)

где М = const > 0 не зависит от ha и t, x' = (x:, x2,..., xa-1,xa+1,..., xp). Итак, справедлива

Теорема 2. Локально-одномерная схема (23)-(25) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения разностной задачи (23)-(25) при т ^ т0 справедлива оценка (43).

5. Сходимость локально-одномерной схемы. По аналогии с [8, с. 528]

представим решение задачи (28) в виде суммы Z(a) = V(a) + r¡(a), Z(a) = zi+a/p, где 'Ц(а) определяется условиями

Vía) — Vía-1) P , , „

-(-1 = Фра, x euha +iha, а = 1, 2,...,р, (44)

( x, 0) = 0,

где

фа, xa е Uha,

Фа = { Ф-а, xa = 0,

Ф+a, xa — la.

'11 . о о о . _

Из (44) следует т]3+1 = т](р) = г/3 +т(ф1 +ф2 +-----+фр) = V3 = ■■ ■ = ч = 0,

так как 0 = 0.

Тогда для а имеем

о о о о о

Я(а) = Т(ф1 +ф2 + ■■■ +фа) = —Т (фа+1 + ■■■ + фр) = 0(т). Функция Ь(а) определяется условиями

(а (а-1 = ЛаЬ(а) + фа, фа = Ла'П(а) + ф*а, х е ШНа, (45)

2На У(а) ^(а-1) = Л-У(а) + ф-а, ф-а = Л-\а) + ф-а, = ° (46)

1 н- У(а) ^(а ^ = Л+У(а) + ф+а, ф+а = Л+\а) + ф+а, Ха = ^ (47)

ь(х, 0) = 0. (48) Если существуют непрерывные в замкнутой области Qт производные д2и д4и д3и д3к д2к д2г

(49)

дЪ21 Эх—Охр' дх—д^ дхадхр' дхад^ дхр'

дг д^и дси с2[_ д£ 1 < ^ < ^ = сЯ' дх2' сМ ' дх2' сЯ' ' ' '

то ЛаГ](а) = —ТЛ—(фа+1 + ■■■ + фр) = 0(т), Л±Г}— = 0(т). Решение задачи (45)-(48) оценим с помощью теоремы 2:

^+1Ц2Ь2Ш < М(Т) Г ± Ш +а/р\?Ь2Ш +

=0 а=1 3 р

+ £ {ф2-а(0,х', 13' )+ф2+а(1а,х', 13' ))Н/П—

3=0 а=1 г/=га

Так как ц3 = 0, = 0(т), Цг3! < \\у3\\, из оценки (49) следует

Теорема 3. Пусть задача (1)-(3) имеет единственное непрерывное в Qт 'решение и(х, Ь) и существуют непрерывные в QT производные

д2и д4и д3и д3к д2к д2г

сЯ2' Эх—Охр' дх2а(Я' дхадх2р дхасЯ' дх2'

дг д2 а8 да8 д2? д?

—, — , — , , 1 < а, Р < Р, а = Р,

сЯ' дх2' дЪ ' дхр' дЬ'

тогда локально-одномерная схема (23)-(25) сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью 0(\Н\2 + т), так что при достаточно малом имеет место оценка

\\У3+1 — и3+1\\ь2{-к) < М (\Н\2 + т), 0 <т < т, где \Н\2 = Н2 + Н2 +-----+ Н2

6. Алгоритм численного решения задачи. Для решения сеточных уравнений, получающихся при разностной аппроксимации нагруженных уравнений, удобно использовать метод параметрической прогонки (см. [11, с. 131]). Перепишем задачу (1)-(3) при 0 < ха < 1а, а = 2, р = 2, 5 = 1, 2:

ди д dt дх\

/ ди \ д / ди \

(Ы^ъ, t)—) + дх2кк2{Х1 ,х2,t] дХ-J +

ди ди

+ Г\(х\,Х2, t)--(Х1,Х2, t) + Г2{х\,Х2, t)~-(Х\,Х2, t) —

дх\ дХ2

— q\1(х\,х2,1)и(х\, х2, t) — q\2(х\,х2,1)и(х\, х2, t) —

— Q2l (х\,х2, г)и(хг,х2, t) — q22 (х\,х2, ^и(х\,х2, t) + f(х\,х2, t), (50)

д и

к\(х, t) —— = 0-iu — \(х, t), х\ = 0, 0 ^ t ^ Т, дх\

д и

—к\(х, t) ——= 0+\и — р+\(х, t), х\ = 11, 0 ^ t ^ Т, д и

к2(х, t)-— = 0-2и — 2(х, t), х2 = 0, 0 ^ t ^ Т, д х2--

д и

—к2(х, t)-- = 0+2U — Р+2(х, t), Х2 = 12, 0 ^ t ^ Т,

д х2

(51)

и(х\,х2,0) = и0(х\,х2). Для решения задачи (50)-(52) рассмотрим сетку

(52)

= iaha, а = 1, 2, tj = jТ,

где г а = 0,1,..., Na, ha = la/Na, j = 0,1,...,m, т = Т/m. Вводится один дробный шаг tj+i/2 = tj + т/2. Обозначим сеточную функцию:

= yj+a/p = у(iihi, i2h2, (j + а/2)т), а = 1,2.

Напишем локально-одномерную схему

vj+i/2 _ vj

у—= Л iyj+l/2 +

yj + 1 — yj+1/2

= Л 2yj+1 + <f2,

^0%1/2 = ЖИ(12^ Ь+1/2)+ К11х (1Ь+1/2)УпХ +

+ КП2 (г2h2, 1/2)<+ (г2h2, ^+1/2)у^^22 + + к212(г2h2, ^+1/2)У^2 +^11(гtj+l/2), У^ъп = К12 (^2Н2, ^+1/2)У^1 %2 + к121 (г2h2, ^+1/2+ + (г2h2, ^+1/2)у^21/2 + к2т (г2h2, Ъ+1/2)у!^ + + к222 (г2h2, Ъ+1/2)тА+Цъ + ^12(^ tj+1/2), (54)

У^р2 = к21(г Фи tj+l) + к111 (г 1 Ни ^+1) у^ +

+ к212 (г 1НЪ Ь+1)У1+22 + к211 (г 1 Ь+1)У3г+11+1 +

+ кК212Ь+1)уС,122+1 +^21(гtj+l),

У3г+,к = К22(г^ ^+1)у3,+12-1 + ^ Ь+1)У+

+ ^22 (11НЪ Ь+1)у1+22 + К221 ( г 1НЪ ^+1)У^+1 + + к222 ^ 1НЪ ^+1)Уг+22+1 +^22(гtj+l),

У0ъг2 =ио(гФъ %2,Н2), (55)

Л У = к (а 1/+а/р) + ъ+Л+^.р+а/р + ь-(1 пР+а/Р _

ЛаУ = ка(ааУха )ха + иааа Уха + иа(аУха

т

(УгааХ-ав + У^а+1Х1аа ),

з=1

1

Ра = 2$(Х1,Х2, ij+а/2) ИЛИ ф1 = 0, ф2 = /(Х1,Х2, ^+1), а = 1, 2.

Приведем расчетные формулы для решения задачи (53)-(55).

На первом этапе находим решение у*^^ Для этого при каждом значении

%2 = 1,Ы2 — 1 решается следующая задача:

Л «¿+1/2 Г Л+1/2 + Д ,?+1/2

Л1(г 1,12) Уг1-1,%2 — Г1(г 1М) У гъ12 + Д1(г 1,п) У%1+М2 — 2

— Е^ь^ьх-Ха +У{1а +1Х+ ) = 0 < 11 <Ми (56)

=1

У071'2 = К11({2^ Ь+1/2)У3+'2 + КП1 (г2h2, Ъ+1/2)у'УХ +

+ к112 (г2Н2, ^+1/2)У4+1/2 + к2111 (г2Н2, ^+1/2)У'г+Ц^ +

+ К\12 (г 2Н2, 1/2) У3^1/2^ +№ 1 (г 2Н2, tj+l/2),

Ут^ = К12(*2^ Ь+1/2)^N^2 + К121 (^2Н2, з+//2)У^^ +

+ к222 (г2Н2, ^+1/2)у^1/2 + к221 (г2Н2, ^+1/2)у'^^+Ц,,2 +

+ к222 (г2Н2, ^+1/2)уС222^ + №2 (г2Н2, ^+1/2),

где

л (К0 ¿1 , »2 ( а1) 1 , г2 (Ь1 )г1, г2 ( а1) 1 , г2

Л1(г1'г2) = Н2 Н1 ,

О _ (к1)Ч ,%2 (а1)4+1,%2 . (Ь+)г1,%2 ( а1)%1+1,г2

П1(г1'г2) = Н2 + Н1 ,

С1(г 1,ъ) = 1,%2) + В1(г^ + , = + ф1(г 1,г2).

(х-1а1)1^2

Ж11(г2Н2, 13 + 1/2) = («-1агК,, , Р+1/2 , 0.5^ >

Ь1 +Р-1, %2 + т (к+1а1)м1 ,г2

К12( г2Н2,13+1/2) = (я+1а1)Щп Ь3+1/2 0.5Н1 ,

Ь1 + Р+1, %2 + т

КП3 (г2Н2, ^+1/2) =

2 Н1<1,81 хг\в (к-1а1)1^2 , о3+1/2 , 0.5Ь1 ,

+ Р3+1/2 +

Ь1 + Р- 1,г 2 + т

1 1 Н1<81 1 Хг1

*12'(2Н2, *3+1/2) = (х+1а1)М1,2 , Р3+1/^> , 0.5Ь1

Ь1 + Р+1, г2 + т

_1 Нл<(0)г+

Кп3 (г 2Н2,13+1/2) =

(к-1а1)1,г2 + Р3+1/2 + 0.5Ь1 '

ь1 + Р- 1,г 2 + т _1 Н а(м1)г+

2 (■ и + Л _ 2Н1 а81 Хг1е

(г^ I 3+1/2) = (к+1а1)М1^2 3+1/2 0.5Н1 , ь1 + Р+1, г2 + т

(. Н . ) И- 1(г2Н2,13+1/2) + ^у30

Р11(12Н2, 3+1/2' = (к-1а1 . Р3+1/2 . 0.5Ь° >

Ь1 +Р-1, г2 + т

г , . , 2Н2, Ь+1/2) + ^УМ 1

Р (2Н2,13+1/2) = , Р+1/2 . '

Ь1 + Р+1, г2 + т Решение системы (56) будем искать в виде [11]:

Уг1,г2 = ®г1 + 1,г2 Уг1 + 1,г2 + Р1,г 1+1,г2 Угч + Р2,г 1+1,г2 Угч +1 + [Р3,г 1 + 1,г2 Уг12 +

+ Р4,г1+1,г2Уг12 +1 + $г1+1,г2 , Ч = 0, N1 — 1. (57)

Найдем теперь аг1,г2, Рк,г 1,г2, к = 1,2, 3, 4, г1 = Из (57) следует, что

г2 = К11, Р1,1,г2 = , Р2,1,г2 = Кщ , Рз,1, г2 = К112, Р4,1,г 2 = К112, $1,г 2 = Р11.

Подставляя

Уг1,г2 = ®г1 + 1,г2 Уг1 + 1,г2 + Р1, г 1+1,г2 Угч + Р2,г 1+1, г2 Уг^+1 +

+ Р3,г1+1,г2 Уг12 + Р4,г 1+1,г2 Уг12 +1 + 1 + 1,г2 , Уг1 — 1,г2 = &г1,г2 Уг1,г2 + Р1 , 1, 2 г11 + Р2 ,г 1 ,г 2 Угч +1 +

+ Рз , 1, 2 г12 + Р4 ,г 1,г2 У г12 +1 + ог1,г2

в (57), получим

=_В1(г 1,г2)_ л _ Р1(г 1 ,г2) + А1(г 1А2)$г1,г2

аг1 + 1, г2 = 2 I , "г1+1, г2

1 +1, 2

С1(г 1, г2) — А1( г 1, г2)аг1,г2 С1(г 1, г2) — А1(г 1, г2)аг1, г2

А1( г 1, г2 )Р1, г 1, г2 — а11( г 1, г2)х-,11

Р1,г 1+1, г2 =

С1(г1,г2) А1(г1,г2)аг1,г2

+

Р2, 1+1, 2 = Р3,г 1+1, г2 =

А1(г 1, г2)Р2, г 1, г2 а11(г 1,г 2)хг1-С1(г 1, г2) — А1(г 1, г2)аг1, г2

А1(г 1, г2 )Р3, г 1, г2 — а12( г 1, г2)х-,12

С1( г 1, г2) — А1(г 1,г2)аг1, г2

А1(г1,г2)Р4,г1,г2 а12 (г1,г2)х

Р4 , 1+1, 2 =

+ 12

С1(г1,г2) А1(г1,г2)аг1,г2

Выразим неизвестные угьг2, Ч = 0,^, через угч, у»12 , Угч+1, Уг12 +1 следующим образом:

Уг1 ,г2 = Н1,г 1,г2 Уг11 + Н2,г 1,г2 Угч + 1 + Н3,г 1,г2 Уг12 + Н4,г 1,г2 Уг12 +1 + фг 1,г2 . (58)

К12Р1,М1,г2 + К'г21 и К12Р2М1,г2 + К^21

Н1,М1,г2 = -:-, Н2,М1,г2 = —:-,

1 — К12ам1, г2 1 — К12ам1 ,г2

К12Р3,М1 ,г 2 + к122 и К12Р4,М1, г2 + К222

Нзм1,г2 = —1-, Н4М1,г2 = —-,

1 — К12ам1,г2 1 — К12ам1 ,г2

К12 5м1,г2 + Р12

фг1,М2 = -.

1 — К12ам1 ,г2

Найдем теперь Нк,г1,г2, к = 1, 2, 3, 4, Фг1г2. Тогда, подставляя (58) в (57), получим

Нк,г1,г2 &г1+1,г2Нк,г1 + 1,г2 + Рк,г1 + 1,г2 ,

Фг1,г2 = Яг1+1,г2 Фг1 + 1,г2 + ^+1,г2 , Ч = N1 — 1, 0. (59)

Выразим гцч , у^2, у^ +1, у^2+1 через Нк^^, к = 1, 2, 3, 4, Ф. Для этого рассмотрим систему уравнений

Уч1 ,г2 = Н1,Ч1 2 Уч1 + Н2,ч1 ,%2 Уч1 +1 +

+ Н3,щ,12Уг12 + Н4,,п1,12 Ущ +1 + Фч1,12 ,

У%12 ,%2 = Н1,г12 ,г2 Угч + Н2,112 ,%2 У%11 +1 +

+ Н3,п2,12Уг12 + Н4,г12 ,12 Ущ +1 + Ф%12,12 ,

Уч1+1,г2 = Н1

,г11+1,г2 Угч + Н2

+ Н3,111+1,12 У%12 + Н4,111+1,12 Уг12 +1 + Ф111+1,г2 ,

Уч2+1,г2 = Н1,г12+1,г2Уг11 + Н2,112+1,12Уг11 + 1 +

+ Н3,Ч2+1,г2 Уч2 + Н4,г12+1,г2 Ущ +1 + Фч2+1^2 ,

решая которую, находим значения следующих функций:

Уч1 ,г2 , Уч2 ,г2 , Уч1+1,г2 , Уч2+1,г2 .

Подставляя полученные значения в (58), с учетом (59) находим решение уг1,г2 системы (56).

На втором этапе находим решение Щ+ ^. Для этого, как и в первом случае, при каждом значении = 1,^ — 1 решается задача

Л „,3+1 п „,3 + 1 _1_ Д „,3 + 1 А2(г1,г2)У11,12-1 — Г2(г1,%2) У^ + в2(п^) Уг1,г2+1 —

3+1

,.3+1

— Е^2 (У^ + У%+1Х1 ) = —Р?+ 0 < %2 <N2, (60

8=1

у'+О = К21(гФъ ^+1)у¡+ + К211(г Фъ Ь+1)у1+21 + К212(г 1Ь+г)У^ + + Кщ (гФъ ^+1 )у^11+1 + ^212 (г Фъ Ь+{)у£12+1 +^21(гФъ tj+l),

У3+2 = К22(гФъ Ь+1)У3+2-1 + К221 (гФъ ^+1)у^ + к^2 (гФъ ^+1)У3^ + + к221 (г 1Н1, Ь+1)у1+21+1 + к222 (г 1Нъ Ь+1)уУ121 +^22(гФъ tj+l),

+1

+1 1

+1

2(г 1,г 2)

,г22+1

(к2) ч , г2 (а2) ч , г2 ( 2- ) 1 , г2 (а2) ч , г2

Н2

Н2

в.

2( 1, 2)

(к2)П, 12 (а2)П, 12 + 1 (Ь+) 11,12 ( а2)п, 12 + 1

Н2

+

ы

Г2( г 1, г 2) = А2(г 1,г 2) + В2(г иг 2) + 1, Ц+Щ) = \ Угъг 2 + ф2(г 1,г 2).

^21(1 Ф1, 1) =

Т J

(я-2а2)ч1 _^_

(к-2а2)г1,1 + пЗ+1 + 0.5Н2 , + У-2лл +

И2

2,4

Т

(к+2а2)ч,щ К22( г1Н1,13+1 ) = -(К^а)-, 1

+ Р3+1 + 0.512 12 + Р+2,г1 + т

1Н а(0)х-— 2Н2а82 Х-

К^2в (г^+1) =

1 С и 4- \ г2 К21 ( %1Н1,13+1) = -г-,

21^ 1 Ъ 3 + Ч (к-2а2)г1,1 + Р3+1 + 0512 12 + Р-2,г1 + т

—2 Н2сАМ2)х-з

(к+2а2)11,Щ + Р3 + 1 + 0.512 12 + Р+2,г1 + т

2 ,, , — 2Н2а^Х++2д

К21„ ^1Н1, tj+1) = (к-2а2)гц1 3+1 ,

12 + Р-2,г1 + т

2 (■ и , \ 2 Н2а82 Хг2в К22 (11Н1,13+1) = -г-

22^ 1 ^ 3 + 1) (к+2а2)г1 ,N2 + Р3 + 1 + 0.512 12 + Р+2,г1 + т

(к-2а2)г1, 1 + р3+1 + 0.512 12 + Р-2,г1 + т

+ , ¿+2^ 1Н1, Ь+1) + ^ УМ2 Р (1Н1, 3+1' = (к+2а2),1,щ, , Р3+1—+0М2, .

12 + Р+2,г1 + т Решение системы (60) будем искать в виде

Уг1,г2 = аг1,г2+1 Уг1,г2 + 1 + Р1,г1 ,г2+1 Уг^ + Р2,г1,г2+1 Уг2-, +1 + Р3,г1,г2 + 1Уг22 +

+ Р4,г1,г2+1 Уг22 +1 + 5г1,г2 + 1, к = 0, N2 — 1. (61)

Найдем теперь аг1,г2, Рк,г1,г2, к = 1,2,3,4, г2 = 1^2. Из (61) следует, что Ыг1,1 = К21, Р1,г1,1 = Х^, Р2,гъ1 = Кщ,

Р3,г1,1 = К^12 , Р4,г1,1 = К_12 , Ьг1,1 = Р21.

Подставляя

Уг1,г2 = аг1,г2+1 Уг1,г2 + 1 + Р1,г1 ,г2+1 Уг21 + Р2,г1,г2+1 Уг21 +1 +

+ Р3,г1 ,г2+1 Уг22 + Р4,г1,г2+1 Уг22 +1 + ^г^ + Ъ

Уг1,г2-1 — аг1,г2 Уг1,г2 + Р1 ,г1,г2 г21 + Р2 ,г1,г2 г21 +1 +

+ Р3,г1,г22 Уг22 + Р4,г1,г2 Уг22 +1 +

в (61), получим

= _В2(г1,г2)_ А _ р32(г1 М) + А2(г1,г2) $г1,г2

аг1,г2 + 1 = ;; " , Ог1,г2+1

С2(г1,г2) — А2(г1,г2)аг1,г2 , С2(г1,г2) — А2(г1,г2)аг1,г2

А

$2.

А2(г1,г2) 01,4^2 ¿21(г1,г2)х.

г2л

П,г2+1

П,г2+1

П,г2+1

Г2(п^2) — А2(г1,г2)ан^2

А2(п,12 )Р2,11,12 — Л21(г1,г2)х,

Г1(г1,г2) А2(11,12)а11,12

А2(г1,г2 )Рз,11,12 ^22(г1,г2)х.

122

Г2(г1,г2) — А2(11,12)аг1,г2

04

А2(п,12)Р4,%1^2 — ¿22 (г1,г2)х

П,г2 + 1

Г2(г1,г2) — А2(11,12)аг1,г2

Выразим неизвестные Уг1,г2 , %2 = 0, N2, через Уг21, ^ , Уг21 + 1, Уг22 +1 следующим образом:

Уч ¿2 = Н1,Ч,12 У%2Л + Н3,г1,г2Уг22 + Н2,п,12 Уг21 +1 + Н4,п,12 Уг22 +1 + ФпМ . (62)

Н

1,ч,т2

к2201,г1 ,N2 + к22-1 и к2202,г1,т2 + к%21

Н2,п,т2-

1 — К22а^,т2

1 — Х22а^,т2

Н

з,ч,т2

к22р3,Ь,т2 + к^22 тт к22р4,пт2 +

Н4,пт2 -

1 — К22аг1,т2

1 — К22аг1 ,т2

Ф

4^2

к22 §^,N2 + №22

1 — К22а11т2

Найдем теперь Нк,г1,г2, к = 1, 2, 3, 4, Фг1,г2. Тогда, подставляя (62) в (61), получим

Нк,11,12 ач^2 + 1Нк,П^2 + 1 + Рк,11,12 + 1,

Ф

4,12

аП,12 + 1Ф 11,12 + 1 + $11,12+1, Ь = N2 — 1,

(63)

Выразим У121, Уг22, Уг21+1, Уг22 +1 через Нк,^2, к = 1, 2, 3, 4, Ф^. Для этого рассмотрим систему уравнений

Уч,г21 = Н1,Ч,г21 Уъ21 + Н2,г1,г21 У%21 + 1 + Н3,г1,г21 Уг22 + + Н4,г1,%21 У^22 +1 + ФЧ,г21,

Уг1,г22 — Н1,11,122 Уг21 + Н2,г1,г22Уг21 + 1 + Н3,г1,г22 У%2 + Н4,п^2 У122 +1 + Ф

Уп

Уч

121 + 1

г22 + 1

2 22

2 е,^2 +1 • -11,122 , Н1,11,121 + 1 Уг21 + Н2,г1,г21 + 1 У%21 +1 + Н3,11,121+1 Уг22 +

+ Н4,11,121+1 У%22 + 1 + ФЪ1,г21 + 1,

Н1,г1,122 + 1 У%21 + Н2,11,122 + 1 У%21 +1 + Н3,г1,г22+1 Уг22 + 21

+ Н4,г1,г22+1Уг22 + 1 + Фч^22 + 1,

решая которую, находим значения следующих функций:

Уч,г21, Уч,г22 , Уч,г21+1, Уч,г22+1.

1

2

Подставляя полученные значения в (62), с учетом (63) находим решение yi1,i2 системы (60).

Каждая из задач (56), (60) решается, как видно, методом параметрической прогонки (см. [11, с. 131]).

7. Тестовая задача и численные результаты. Коэффициенты уравнения и граничных условий исходной дифференциальной задачи (1)—(3) подбираются таким образом, чтобы точным решением при р = 2 была функция и(х, t) = t2(x\ — l1x\)(x2 — l2x2).

Ниже в табл. 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности ( = — и) и вычислительный порядок сходимости (ПС) в н°рмах II ■ \\L2(WhT) и II ■ \\c(whT), где \\y\\c(whT) = max ^ когда

(Xi,tj )£.WhT

h = h\ = h2 = л/т. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации 0(h2 + (л/т)2).

Вычислительный порядок сходимости определяется по следующей формуле:

ВПС = \og -hl М = log2 11 ^

11 h2

I z21

| 2|

где Zi — погрешность, соответствующая hi.

Таблица 1

Изменение погрешности в норме \ ■ \\ь2(и>нт) при уменьшении размера сетки на t = 1, когда h = hi = h2 = у/т [The maximum value of the error (z = у — и) and the computational order of convergence (CO) in the norm \ ■ \\L2(whT) when the grid size is reduced by t = 1, if h = h1 = h2 = л/т]

h 0maxm \\zj \\L2(,hhT) CO in \\ • \\L2 )

1 /20 0.001858105

1 /40 0.000592952 1.6478

1 /80 0.000163636 1.8574

1/ 160 0.000044111 1.8913

Таблица 2

Изменение погрешности в норме \ ■ Hc(tshT) при уменьшении размера сетки на t = 1, когда h = h1 = h2 = л/т. [The maximum value of the error (z = у — и) and the computational order of convergence (CO) in the norm \ ■ \\c{whT) when the grid size is reduced by t = 1, if h = h1 = h2 = л/т]

h \\Z\\c(whT) CO in \\ • \\с(^)

1/20 0.007805524

1/40 0.002882977 1.4369

1/80 0.000857080 1.7501

1/160 0.000226344 1.9209

Конкурирующие интересы. В публикации статьи отсутствуют конкурирующие финансовые или нефинансовые интересы.

Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения// Диффер. уравн., 1983. Т. 19, №1. С. 86-94.

2. Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений // Докл. АН СССР, 1962. Т. 144, №1. С. 29-32.

3. Самарский А. А. paper Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 1962. Т. 2, №5. С. 787-811.

4. Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963. Т. 3, №3. С. 431-466.

5. Будак В. М., Искендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР, 1967. Т. 176, №1. С. 20-23.

6. Krall A. M. The development of general differential and general differential boundary systems// Rocky Mountain J. Math., 1975. vol.5, no. 4. pp. 493-542. https://doi.org/ 10.1216/RMJ-1975-5-4-493.

7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

8. Самарский A. A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

9. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968. Т. 8, №6. С. 1218-1231.

10. Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость 'разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.

11. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. 208 с.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 1, pp. 7-35_

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1908

MSC: 35K20, 65N06, 65N12

Numerical method for solving an initial-boundary value problem for a multidimensional loaded parabolic equation of a general form with conditions of the third kind

Z. V. Beshtokova1'2

1 North-Caucasus Center for Mathematical Research, North-Caucasus Federal University,

1, Pushkin str., Stavropol, 355017, Russian Federation.

2 Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, 173, Chernyshevsky str., Nalchik, 360004, Russian Federation.

Abstract

An initial-boundary value problem is studied for a multidimensional loaded parabolic equation of general form with boundary conditions of the third kind. For a numerical solution, a locally one-dimensional difference scheme by A.A. Samarskii with order of approximation 0(h2 + t) is constructed. Using the method of energy inequalities, we obtain a priori estimates in the differential and difference interpretations, which imply uniqueness, stability, and convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem in the L2 norm at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme. An algorithm for the computational solution is constructed and numerical calculations of test cases are carried out, illustrating the theoretical calculations obtained in this work.

Keywords: parabolic equation, loaded equation, difference schemes, locally one-dimensional scheme, a priori estimate, stability, convergence, multidimensional problem.

Received: 11th February, 2022 / Revised: 18th March, 2022 / Accepted: 21st March, 2022 / First online: 31st March, 2022

Competing interests. There are no financial or non-financial competing interests in the publication of the paper.

Authors' contributions and responsibilities. I take full responsibility for submit the final manuscript to print. I approved the final version of the manuscript. Funding. Not applicable.

Research Article

© Authors, 2022

© Samara State Technical University, 2022 (Compilation, Design, and Layout) 3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Beshtokova Z. V. Numerical method for solving an initial-boundary value problem for a multidimensional loaded parabolic equation of a general form with conditions of the third kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 1, pp. 7-35. https://doi.org/10.14498/vsgtu1908 (In Russian). Author's Details:

Zaryana V. Beshtokova A https://orcid.org/0000-0001-8020-4406 Researcher; Dept. of Computational Methods1; Postgraduate Student2; e-mail: zarabaeva@yandex. ru

34

References

1. Nakhushev A. M. Loaded equations and their applications, Differ. Uravn., 1983, vol. 19, no. 1, pp. 86-94 (In Russian).

2. Dyakonov E. G. Difference schemes with a splitting operator for nonstationary equations, Sov. Math., Dokl., 1962, vol.3, no. 1, pp. 645-648.

3. Samarskii A. A. On an economical difference method for the solution of a multidimensional parabolic equation in an arbitrary region, US'SR Comput. Math. Math. Phys., 1963, vol.2, no. 5, pp. 894-926. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90504-4.

4. Samarskii A. A. Local one dimensional difference schemes on non-uniform nets, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1963, vol.3, no. 3, pp. 572-619. https://doi.org/10.1016/ 0041-5553(63)90290-8.

5. Budak V. M., Iskenderov A. D. A class of inverse boundary value problems with unknown coefficients, Sov. Math., Dokl., 1967, vol.8, no. 1, pp. 1026-1030.

6. Krall A. M. The development of general differential and general differential boundary systems, Rocky Mountain J. Math., 1975, vol.5, no. 4, pp. 493-542. https://doi.org/ 10.1216/RMJ-1975-5-4-493.

7. Ladyzhenskaya O. A. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences, vol.49. New York, Springer, 1985, xxx+322 pp. https://doi.org/ 10.1007/978-1-4757-4317-3.

8. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem [Theory of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1983, 616 pp. (In Russian)

9. Andreev V. B. On the convergence of difference schemes approximating the second and third boundary value problems for elliptic equations, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1968, vol.8, no. 6, pp. 44-62. https://doi.org/10.1016/0041-5553(68)90092-X.

10. Samarskii A. A., Gulin A. B. Ustoichivost' raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1973, 415 pp. (In Russian)

11. Voevodin A. F., Shugrin S. M. Chislennye metody rascheta odnomernykh sistem [Numerical Methods for Calculating One-Dimensional Systems]. Novosibirsk, Nauka, 1981, 208 pp. (In Russian)