CC BY
6Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 100-111.
УДК 517.98
Ф. С. Стонякин
СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ВЕРСИЯ ТЕОРЕМЫ УЛА О ВЫПУКЛОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ОБРАЗА ВЕКТОРНЫХ МЕР
В работе развиваются исследования теории антикомпактных множеств (антикомпактов), введённых нами ранее. Описан класс банаховых пространств, в которых существуют антикомпакты. В таких пространствах введён новый секвенциальный тип замыкания множества — Т0-замыкание. Получен аналог теоремы Ула о выпуклости и компактности образа векторных мер, который утверждает выпуклость и относительную слабую компактность Т0-замыкания образа безатомной ограниченной векторной меры в пространстве, имеющем антикомпакт. Показано, что для счётно-порождённых а-алгебр дополнительные требования на класс пространств можно отбросить, если векторная мер имеет ограниченную вариацию. 1
Ключевые слова: антикомпакт, тотальное множество линейных непрерывных функционалов, безатомная векторная мера, теорема Ула, секвенциальное замыкание, То-замыкание, относительная слабая компактность.
Вступление
В конечномерных пространствах хорошо известна теорема А. А. Ляпунова о выпуклости образа безатомной векторной меры : £ —> Мга, заданной на а-алгебре подмножеств £ некоторого пространства О [1]. Этот результат имеет многочисленные приложения в оптимальном управлении, математической экономике, математической статистике, теории игр [2] — [7]. Ввиду этого известно множество модификаций и обобщений этого результата в конечномерных пространствах, в том числе и относительно современных [7] — [10].
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта АР Крым для молодых учёных Крыма 2014 года
Однако, как показывает множество примеров, теорема А.А. Ляпунова неверна для векторных мер со значениями в бесконечномерных пространствах [1, 5, 6]. При этом существует множество аналогов указанной теоремы Ляпунова для бесконечномерных банаховых пространств, которые используются, в частности, в работах [6, 7]. Наиболее известный подход заключается в выделении класса банаховых пространств E с так называемым свойством Ляпунова. В каждом таком пространстве E для любой счётно-аддитивной безатомной меры : £ —> E замыкание ~jí(£) множества ~jt(£) выпукло [5, 6]. Свойством Ляпунова обладают, например, пространства Со, lp (p € [1; 2) U(2; +гс>)) [6]. Но указанным свойством не обладает множество важнейших пространств, в т.ч. и сепарабельное гильбертово пространство ¿2. Также известна теорема Ула о выпуклости множества ~jí(£) в случае мер ограниченной вариации со значениями в пространствах со свойством Радона-Никодима [5]. Но, как свойство Ляпунова, так и свойство Радона-Никодима существенно ограничивают класс рассматриваемых пространств (ни тому, ни другому свойству не удовлетворяют, например, пространства L\[a; b] и C[a; b]). Отметим также известный результат о выпуклости и слабой компактности слабого замыкания множества ~jí(£) для любой векторной меры в любом банаховом пространстве [5].
В наших работах [11, 12] мы поставили задачу получить аналоги теоремы А.А. Ляпунова в бесконечномерном случае без столь существенных сужений на класс пространств, а также без использования слабого замыкания (которое, вообще говоря, не позволяет говорить о представлении точек замыкания множества как предельных точек последовательностей элементов множества [6]). В упомянутых работах для сепарабельных пространств Фреше получены теоремы о выпуклости и компактности замыкания множества значений безатомной векторной меры в пространствах, порождённых антикомпактами.
В настоящей работе мы предлагаем обратиться к результату о выпуклости и слабой компактности слабого замыкания множества значений векторной меры. Но при этом мы заменяем слабое замыкание на новый секвенциальный тип замыкания, что приводит к сужению класса подходящих векторных мер. Мы также используем систему антикомпактных множеств, введённую нами в предыдущих работах [11, 12]. Только теперь мы уже не замыкаемся на классе сепарабельных пространств, а доказываем, что антикомпакты существуют тогда и только тогда, когда банахово пространство линейно инъективно и непрерывно вложено в сепарабельное гильбертово пространство (теорема 1) или, что то же самое, когда банахово пространство имеет счётное тотальное подмножество линейных непрерывных функционалов То (следствие 1). Такие пространства могут и не быть сепарабельными (например, ). Для таких пространств введён новый тип сходимости — То-сходимость и соответствующий ему секвенциальный тип замыкания множества — То-замыкание. Для безатомных ограниченных векторных мер получен секвенциальный аналог теоремы Ула о
выпуклости и компактности образа векторной меры, заменяющий в хорошо известном результате [5] слабое замыкание на То-замыкание (теорема 2). Отмечено, что в пространствах со и lp (1 < p < +гс>) этот новый тип замыкания можно заменить на обычное слабое секвенциальное замыкание (теорема 4). Для счётно-порождённых ст-алгебр показано, что дополнительное условие на класс пространств можно отбросить, если мера ~jt имеет (сильно) ограниченную вариацию (теорема 5).
1. Понятие антикомпактного множества. Класс банаховых пространств, в которых существуют антикомпакты
Напомним понятие антикомпакта, предложенное нами в [11]. Обозначим через ^ас(E) набор всех замкнутых абсолютно выпуклых подмножеств банахова пространства Е.
Определение 1. Назовем множество C € Qac антикомпактным в E, если:
(i) p^(a) = 0 ^^ a = 0 в Е (или f| Л • C = {0});
А>0
(ii) любое ограниченное подмножество E содержится и предкомпактно в пространстве Ec = (span C, pc(•)). Здесь под pc(•) мы понимаем функционал Минковского абсолютно выпуклого множества C С E и считаем что Eс пополнено относительно нормы У • ||с = pc(•).
Примем обозначение: C(E) — набор антикомпактных подмножеств банахова пространства E.
В предыдущих работах [11, 12] построен пример системы антикомпактных множеств в сепарабельных гильбертовых и банаховых пространствах. Оказывается, что этот случай в каком-то смысле универсален, поскольку антикомпакты существуют только в банаховых пространствах, линейно инъективно и непрерывно вложенных в сепарабельное гильбертово пространство. Доказательством этого утверждения мы займёмся в первой части нашей работы.
Из определения вытекает, что если C € C(E), то существует линейный инъектив-ный компактный оператор A : E ^ Eс (Ax = x Ух € E). Покажем, что существование такого оператора не только необходимое, но и достаточное условие.
Предложение 1. Пусть существует линейный инъективный компактный оператор A : E ^ F где E и F — банаховы пространства. Тогда в пространстве E существует антикомпакт.
Доказательство. Положим C = {х € E | ||Ax||^ < ЦхЦс = ||Ax||^. Ввиду линейности и инъективности оператора А, мы имеем, что HxH^ = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Предкомпактность всякого ограниченного множества B С E, очевидно, вытекает из компактности оператора А. Итак, справедлива
Лемма 1. Банахово пространство Е имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда существует линейный инъективный компактный оператор А : Е ^ Е, где Е — некоторое банахово пространство.
Предыдущий результат позволяет получить уже более проверяемый критерий.
Теорема 1. Банахово пространство Е имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный инъективный оператор А : Е ^ 12.
Доказательство. 1). Необходимость. Пусть в Е существует антикомпактное множество. Тогда для некоторого банахова пространства Р существует линейный инъективный и компактный оператор А : Е ^ Е. Поэтому для всякое ограниченное множество В С Е предкомпактно в любом пространстве Ес, С € С(Е) (или множество А(В) С Е предкомпактно в Е). Поэтому образ А(Е) можно вложить в некоторое замкнутое сепарабельное подпространство Ео С Е. Итак, Е инъективно линейно и непрерывно вложено в сепарабельное пространство Ео. А поскольку всякое сепарабельное банахово пространство линейно инъективно и непрерывно вложено в 12 (см. [6], стр. 556), то существует линейный инъективный и непрерывный оператор А' : Е ^ 12.
2). Достаточность. Если же Е инъективно линейно и непрерывно вложено в £2, то можно воспользоваться леммой 1 из [11], которая утверждает наличие в 12 антикомпакта, т.е. £2 инъективно линейно и компактно вложено в 12. Следователь-но,существует линейный инъективный и компактный оператор А1 : Е ^ £2, откуда и вытекает существование антикомпакта в Е по лемме 1.
Покажем примеры практического использования полученного критерия. Так, хорошо известно, что всякое сепарабельное банахово пространство линейно инъективно и непрерывно вложено в 12. Покажем, что это возможно и в некоторых несепа-рабельных пространствах.
Пример 1. Пространство ограниченных числовых последовательностей линейно инъективно и непрерывно вложено в 12. Действительно, достаточно рассмотреть оператор А : ^ 12, задаваемый следующим образом Ах = (х\, Х2, , •••, П, •••) •
Дадим ещё одно достаточно простое описание класса банаховых пространств, имеющих антикомпакты. Как известно (см. [6], стр. 556), банахово пространство Е линейно инъективно и непрерывно вложено в сепарабельное гильбертово пространство тогда и только тогда, когда над Е существует счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов (счётное множество линейных непрерывных функционалов, разделяющих точки). Это приводит к таком уже достаточно хорошо проверяемому критерию наличия антикомпакта в банаховых пространствах.
Следствие 1. Банахово пространство Б имеет антикомпакт тогда и только тогда, когда над Б существует счётное тотальное подмножество линейных непрерывных функционалов.
На базе последнего следствия легко привести пример банахова пространства, которое ни один антикомпакт не имеет. При этом такое пространство гильбертово (несепарабельно) и поэтому рефлексивно.
Пример 2. Рассмотрим пространство 12([0; 1]) таких вещественных функций
/ : [0; 1] ^ М, что £ I/(£)|2 < то . Ясно, что всякая функция / € 12([0; 1]) имеет ¿€[0;1]
не более, чем счётное множество значений. Норма в этом пространстве имеет вид
а всякий линейный непрерывный функционал I на 12([0; 1]) представим в виде
где д — некоторый фиксированный элемент из 12([0; 1]).
Ясно, что какое бы счётное множество линейных непрерывных функционалов {£дпна 12([0; 1]) мы не выбрали, они все будут принимать нулевые значения на множестве функций из / € ¿2([0; 1]), которые обращаются в нуль в точках Ь € [0; 1], для которых дп(Ь) = 0 Ун € N. То есть всякое счётное множество линейных непрерывных функционалов на ¿2([0; 1]) принимает нулевые значения на ненулевых функциях и поэтому в пространстве 12([0; 1]) нет счётного тотального подмножества линейных непрерывных функционалов.
2. Секвенциальный аналог теоремы Ула в банаховых пространствах и
Теперь переходим к основным результатам работы — секвенциальному аналогу теоремы Ула и некоторым следствиям из этого результата. Напомним, что классическая теорема Ула утверждает выпуклость и компактность замыкания образа векторной меры (сильно) ограниченной вариации в пространствах со свойством Радона-Никодима. Также известно, что слабое замыкание образа векторной меры со значением в любом пространстве выпукло и слабо компактно. Нам в классе банаховых пространств, имеющих антикомпакты (такие пространства могут не иметь свойства Радона-Никодима), удалось выделить класс векторных мер, для которых слабое замыкание можно заменить на некоторый секвенциальный тип замыкания. Введём понятие То-сходимости последовательности, где То С Б * — счётное тотальное подмножество линейных непрерывных функционалов в Е.
1(/) = 1д(/)= Е I/(£)д(£)1,
ге [0;1]
некоторые следствия
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {xn}c^'=1 To-сходится к x € E, если lim l(xn) = l(x) УI € E*.
Предыдущее определение корректно (предел единственен) в силу того, что множество To тотально в Е (разделяет элементы из Е). В качестве наглядного примера такой сходимости можно привести пример покоординатной сходимости в пространствах числовых последовательностей со и lp (1 ^ p ^ то). Введём также понятие To-замыкания множества A С E.
Определение 3. Назовём To-замыканием множества A С E такое множество A С E, что Ух € A существует To-сходящаяся к x последовательность {xn}'^'=1 С A.
Оказывается, что можно получить аналог теоремы Ула для ограниченных векторных мер с использованием To-замыканий.
Теорема 2. Пусть E имеет счетное тотальное подмножество линейных непрерывных функционалов To С E*, ~jt : £ ^ E — безатомная ограниченная мера. Тогда слабое To-замыкание ~jt(£) выпукло и относительно слабо компактно в Е.
Перед доказательством этого результата приведём некоторые вспомогательные понятия и результат из [13, 14, 15]. Пусть £ — некоторая ст-алгебра подмножеств S (эти обозначения будем использовать далее). Напомним ([16], стр. 104), что полной вариацией векторной меры v : £ ^ E относительно некоторой непрерывной полунормы || • || в E называется отображение | v |: £ ^ [0;+то], которое определяется равенством
n
|v|(A) = sup^ ||v(Afc)|| У A € £, (1)
k=i
где супремум берётся по всем конечным наборам {Ai, A2,...,An} С £ таким, что
n
U Ak С A. Легко проверить, что отображение | v | — конечная счётно-аддитивная k=i
положительная мера на £ (см. [16], стр. 104). Обозначим через V(S,E) множество всех векторных мер v : £ ^ E (£ — ст-алгебра подмножеств S), которые имеют конечную полную вариацию | v | (S) < то относительно некоторой непрерывной полунормы || • || на E (см. (1)). Будем обозначать через EC = (span C, || • ||с) банаховы пространства с нормами || • ||с, равными функционалам Минковского абсолютно выпуклых компактов C € C (E). Эти пространства были введены и детально изучались И.В. Орловым (см., например [13, 14]).
Определение 4. Будем говорить, что v имеет (сильную) компактную вариацию на S, если существует компакт C € C(E) такой, что v : £ ^ Ec и v € V(S,Ec). Примем обозначения: v € Vk(S, E), | v ^ — полная вариация векторной меры v относительно нормы || • ||с.
Для того, чтобы сформулировать необходимый результат из [15], нам потребуется новая характеристика для мер V € У к (Б,Е), а именно — (сильная) компактная абсолютная непрерывность относительно конечной числовой меры ц на £. Обозначим через АС(Б,Е) множество всех векторных мер V € У(Б,Е), обладающих свойством обычной абсолютной непрерывности векторной меры относительно ц, то есть таких, что мера |V\ ^ ц (ц(А) =0 ^ |V|(А) = 0 или Уе > 0 > 0 : (ц(А) < 5) ^ IV|(А) < е).
Определение 5. Будем говорить, что векторная мера V € Ук(Б,Е) (сильно) компактно абсолютно непрерывна на Б относительно ц, если существует такой компакт С € С(Е), что V : £ — Ее и V € АС (Б, Ее). Примем обозначение: V € АС к (Б, Е). Приведём важный вспомогательный результат из [15].
Теорема 3. Если V € АСк(Б,Е), то найдётся такое интегрируемое по Бохнеру отображение : Б — Е, что У А € £ верно
V (А) = (Б) | f (г)йц(г).
А
(2)
Переходим к доказательству теоремы 2.
Доказательство. 1) Векторная мера ц имеет слабо ограниченную вариацию ввиду её ограниченности и того, что всякий ограниченный числовой заряд 1(ц)(•) (I € Е*) имеет ограниченную вариацию. Обозначим через ск = У (1к (— ))(Б) полные вариации зарядов ¿к (—ц), 1к € Т0. Выберем числовую последовательность Пк — так, чтобы последовательность | Пк | была ограниченной и рассмотрим множество
С = { х € Е 8Ир 1к (х) < 1
1 кем Пк
,
а также порождённое С банахово пространство Е^ = (^враи С,р^(р^(•) —
функционал Минковского, порождённый С), Е^ =
Не уменьшая общности рассуждений, будем полагать, что ||То||е* ^ 1. Пусть Б С Е — произвольное ограниченное множество. Покажем, что оно содержится и предкомпактно в Е^. В силу ик — ж существует Ь > 0 такое, что Пк ^ Ь и поэтому Ух € Б
1к (х)
8Ир к
ик
<к•ШЬ* •Уху,
т.е. Б С тельности 1
Е
с. Предкомпактность же Б в Е^ вытекает из того, последова-
П1
П2
Пк
равномерно по х € Б ограничены элементом
(га!, п2,Пк) € со (это обеспечивает предкомпактность множества в Итак,
С € С(Е).
2) Далее, ** имеет ограниченную вариацию в пространстве Е^. Действительно, У4 € £
\\* (4)\\ё = 8ПР к
I оо
1к а* (А))
Пк
^ 8ИР
к
Ск
Пк
^ К
в силу выбора {ПкВведём на £ такую числовую меру
(,4):=81ф И^М,
Пк
где \1к(*)|(-) — полная вариация числового зарядаIк). Ясно, что векторная мера ** абсолютно непрерывна относительно /^. Также мера \1к)\ безатомна ввиду безатомности **.
Тогда ** имеет компактную вариацию в Е^. Более того, если обозначить через \£(•) полную вариацию векторной меры ** в пространстве Е^, то несложно понять, что векторная мера ** абсолютно непрерывна относительно числовой меры \^(•). Следовательно, ** € 4Ск(£, Е^) и поэтому ** представима в виде в виде неопределённого интеграла Бохнера по теореме 3. Доказываемое утверждение теперь вытекает из выпуклости образа векторной меры, представимой в виде интеграла Бохнера (см. [5], стр. 266, доказательство теоремы 10).
3) Остаётся рассмотреть множество М(*/) = св~*(£) П (£)Е _ (со4 — выпуклая
оболочка множества 4, ЦЩ Е — замыкание множества *(£) в пространстве ). Это множество выпукло как пересечение выпуклых множеств и при этом содержит все То-пределы последовательностей из (£).
Относительная слабая компактность То-замыкания М(**) множества **(£) вытекает из известного результата относительной слабой компактности самого множества *(£) [5]. Теорема доказана.
Интересное следствие можно отметить, если рассмотреть пространства числовых последовательностей Со и 1Р (1 < р < то). Как известно [6], в таких пространствах слабая сходимость последовательности равносильна её ограниченности и покоординатной сходимости. Поэтому в этом классе пространств То-замыкание в теореме 2 можно заменить на стандартное секвенциальное слабое замыкание.
Теорема 4. Пусть Е = с0 или Е = £р, (1 < р < то) и безатомная мера ** : £ * Е ограничена. Тогда слабое секвенциальное замыкание **(£) выпукло и относительно слабо компактно в Е.
Возникает вопрос о том, можно ли в предыдущих результатах заменить ограничения на класс пространств Е какими-то условиями на сами меры? Если £ — счётно-порождённая ст-алгебра (например, такой будет ст-алгебра борелевских подмножеств вещественного отрезка), то на такой вопрос можно предложить ответ в виде следующего результата.
Теорема 5. Если £ — счётно-порождённая а-алгебра и безатомная векторная мера ~jt : £ j E имеет (сильно) ограниченную вариацию в некотором банаховом пространстве Е. Тогда множество ~jt(£) погружается в подпространство Eo С E, имеющее счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов To € E0 и Т0-замыкание ~jt(£) выпукло и относительно слабо компактно в Eo.
Доказательство. Обозначим через \~jt|(-) полную вариацию векторной меры j. Ясно, что \~jt\ — числовая мера на £. Ввиду счётно-порождённости £ существует счётная система множеств Ф С £ такая, что для любого A € £ существует последовательность множеств {AnС Ф такая, что A С An Ун € N и \~jt\(A) = lim \~jt\(An). Следовательно,
\\j (An) - j (A)|| = \\j (An\A)|| < \j\(An\A) = \j\(An) - \j\(A) j 0 при н j ж,
т.е. ~jt(Ф) — счётное плотное в ~jt(£) множество и поэтому ~jt(£) содержится в некотором сепарабельном подпространстве Eo С E. А в пространстве Eo уже существует счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов. Остаётся лишь применить теорему 2.
Отметим, что если а-алгебра £ не является счётно-порождённой, то вопрос существенности ограничения на класс пространств Е пока остаётся открытым.
Заключение
В настоящей работе мы с использованием системы антикомпактов, введённой ранее в [11] доказали аналог известного результата [5] о выпуклости и слабой компактности слабого замыкания множества значений векторной меры, заменив слабое замыкание множества значений меры на новый секвенциальный тип замыкания — To-замыкание этого множества. Как оказалось, это возможно при условии сужения рассматриваемого класса банаховых пространств (пространство должно иметь счётное тотальное множество линейных непрерывных функционалов). В некоторых случаях To-замыкание можно заменить на обычное секвенциальное слабое замыкание. Для счётно-порождённых а-алгебр показано, что дополнительное условие на класс банаховых пространств можно отбросить для мер (сильно) ограниченной вариации.
Список литературы
[1] Ляпунов А.А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Известия АН СССР. — 1940.
— Т. 4. — С. 465 — 478.
[2] Ляпунов А.Н. Теорема А.А. Ляпунова о выпуклости значений мер // Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения — Новосибирск: Акад. изд-во «Гео». — 2011.
— С. 257 — 261.
[3] Аркин В.И., Левин В.Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи // Успехи мат. наук. — 1972. — т. 27, вып. 3. — С. 21 — 77.
[4] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи // Успехи мат. наук. — 1968. — т. 23, вып. 6. — С. 51 — 116.
[5] Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures, Providence, Amer. Math. Soc., 1977, 320 p.
[6] Кадец В. М. Курс функционального анализа. — Х.: ХНУ им. В. Н. Каразина, 2006. — 615с.
[7] Neyman J. Un thfeor'em d'existence / J. Neyman // C.R. Acad. Sci. Paris. — Vol. 222. — 1946. — P.843 — 845.
[8] Chen Y. Truth, justice, and cake cutting / Yiling Chen, John Lai, David C. Parkes, and Ariel D. — Procaccia.Association for the Advancement of Artificial Intelligence. 2010.
[9] Fabio Maccheroni. How to cut a pizza fairly: fair division with decreasing marginal evaluations. Maccheroni Fabio, Marinacci Massimo // Social Choice and Welfare. -Springer-Verlag GmbH — 2003. — P. 457 - 465.
[10] Dai Peng, Feinberg Eugene A. Extension of Lyapunov's convexity Theorem to subranges / Peng Dai Mossel, Eugene A. Feinberg // arXiv:1102.2534v1 [math.PR] 12 Feb 2011.
[11] Стонякин Ф. С. Аналог теоремы Ула о выпуклости образа векторной меры /Ф. С. Стонякин // Динамические системы. — 2013. — т. 3(31), № 3-4. — С. 281 - 288.
[12] Стонякин Ф. С. Антикомпакты и их приложения к аналогам теорем Ляпунова и Лебега в пространствах Фреше / Ф. С. Стонякин // Современная математика. Фундаментальные направления. — В печати.
[13] Орлов И. В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы. / И. В. Орлов // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — т. 29. — С. 165 - 175.
[14] Orlov I. V., Stonyakin F. S. Limit form of Radon-Nikodym property is true in arbitrary Frechet space // Contemporary Math. Fundamental Directions. — 2010. — vol. 37. — P. 55 - 69.
[15] Стонякин Ф. С. Сильные компактные характеристики и предельная форма свойства Радона-Никодима для векторных зарядов со значениями в пространствах Фреше/ Ф. С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия «Физико-математические науки.» — 2010. — т. 23(62), № 1. — С. 131 - 149.
[16] Вахания Н. Н. Вероятностные распределения в банаховых пространствах / Н. Н. Ва-хания, В. И. Тариеладзе, С. А. Чобанян. — М.: Наука, 1985. — 368 с.
Секвенщальна верс1я теореми Ула про опукл1сть та компакт-шсть образу векторних м1р. У роботг розвиваються дослгдження тео-рт антикомпактних множин (антикомпактгв), якг введено нами ранг-ше. Описано клас банахових просторгв, у яких гснують антикомпакти. Для таких просторгв введено новий секвенщальний тип замкнення — Т0-замкнення множини. Одержано аналог теореми Ула про опуклгсть образу
векторних м1р, котрий стверджуе опуклсть та eidHOCHy слабку ком-пакттсть Т0-замкнення образу обмеженог безатомног векторног Mipu у простору який мае антикомпакт. Показано, що у випадку злгченно-породженог а-алгебр £ додатковг вимоги на клас просторгв можна не на-кладати, якщо векторна мгра мае сильно обмежену варгацт.
Ключов1 слова: антикомпакт, тотальна множина лшшних непервних функцю-нал1в, безатомна векторна м1ра, теорема Ула, То-замкнення, секвенщальне замкнен-ня, вщносна слабка компактшсть.
Sequential version of Uhl Theorem on convexity and compactness for vector measure range. There is the well-known Lyapunov Theorem about convexity for the range of a non-atomic vector measure ~jt : £ —> Rn, where £ is a а-algebra of subsets of some space Q [1]. But Lyapunov Theorem, in general, are not valid for vector measures taking values in infinite-dimensional Banach spaces [1, 5, 6]. There are different analogs of Lyapunov Theorem for infinite-dimensional Banach spaces. We mention that for each non-atomic vector measure ~p : £ — E (E — Banach space) a weak closure of the set ~jt (£) is a convex and weakly compact set [5]. In our paper we prove that a sequentially weak closure of the set ~jt(£) is convex and relatively weakly compact for all non-atomic measures ~p, : £ — E of bounded (strong) variation in special class of Banach spaces E. We use the system of anti-compact sets introduced by us in [11]. We start with the anti-compact set definition. Denote by Qac(E) the collection of all closed absolutely convex sets in Banach space Е.
Definition 1. C € Qac is anticompact set in E if:
(i) jc(a) = 0 ^^ a = 0 in Е (or, f| A • C = {0});
A>0
(ii) each bounded set A с E includes in some space Ec = (span C, Pc( )) and A is a precompact set in this space. Here Pc( ) is a Minkovskiy functional of absolutely convex set C с E. Also we suppose that Ec is complemented by the
norm II • Wo = Pc(0.
Denote by C(E) the collection of anti-compact subsets of Banach space E.
We describe the class of Banach space E with anti-compact sets.
Theorem 1. A Banach space E has an anti-compact set iff there is a linear injective and continuous operator A : E l2.
Corollary 1. A Banach space E has an anti-compact .set iff E has a countable set of total linear continuous functionals.
Anti-compact sets exist in each separable Banach space, spaces Ltt[a; b]. But there is no anti-compact set in the space l2([0; 1]) of real functions with the
norm \\f2 = ( E \f(í)|2 J •
Wo;i] J
And we pass to sequential analogs of Uhl's Theorem on convexity and compactness for vector measure range. We start with auxiliary definitions. Let T0 = {¿k C E* be a total set of linear continuous functionals on E.
Definition 2. Say, that a sequence {xn}'tt=1 T0-converges to x € E if W € T0 lim £(xn) = l(x).
Definition 3. If yx € A there is a sequence {x^ttL-t C A C E: lim l(xn) = l(x) yi € T0 then we say that A is s T0-closure of a set A C E.
Theorem 2. Let E be a Banach space with countable total set of linear continuous functionals T0 C E* and non-atomic bounded measure ~jt : £ ^ E. Then a T0-closure of ~jt(£) is a convex and relatively weakly compact set in E.
Theorem 3. For E = c0 or E = lp, (1 < p < to) and non-atomic bounded measure ~jt : £ ^ E a sequentially weak closure of ~jt(£) is a convex and relatively weak compact set in E.
Theorem 4. If £ is a countably-generated a-algebra and non-atomic measure ~jt : £ ^ E possesses (strong) bounded variation in Banach space E. Then a set ~jt(£) includes in a subspace E0 C E with a countable total set T0 € E** and a weak T0-closure of ~jt(£) is a convex and relatively weakly compact set in E0.
Keywords: anti-compact set, total set of linear continuous functionals, vector non-atomic measure, Uhl Theorem, To-closure, sequentially closure, relative weak compactness.
