CC BY
8Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 98-109.
УДК 517.98
Ф. С. Стонякин
О дифференцируемости по верхнему пределу неопределённого интеграла Петтиса
В данной работе исследуются две новые характеристики интегрируемых по Петтису отображений вещественного отрезка в пространства Фреше: почти всюду слабая интегральная ограниченность и а-компактная измеримость. Получено достаточное условие дифференцируемости неопределённых интегралов Петтиса в терминах почти всюду слабой интегральной ограниченности, а также необходимое условие — в терминах а-компактной измеримости.
Ключевые слова: интеграл Петтиса, сильно измеримое отображение, пространство Фреше, почти всюду слабая интегральная ограниченность, а-компактная измеримость, компактная субдифференцируемость.
Введение
Существует множество аналогов классического интеграла Лебега для отображений в бесконечномерные пространства Фреше. Наиболее известным и широко употребляемым является интеграл Бохнера, поскольку он сохраняет практически все свойства интеграла Лебега [1, 2, 3]. Однако класс интегрируемых по Бохнеру отображений не является достаточно широким для многих задачах функционального анализа и его приложений [2, 3, 4].
В связи с этим наряду с интегралом Бохнера активно изучаются и используются другие понятия интеграла для отображений в бесконечномерные пространства Фреше [2, 3, 4]. В частности, хорошо известна теория интеграла Петтиса [1] — [4], которая активно развивается и в современных исследованиях [5] — [8].
Класс интегрируемых по Петтису отображений существенно шире класса отображений, интегрируемых по Бохнеру. Но при этом интеграл Петтиса теряет множество существенных свойств интеграла Бохнера.
Так, например, всякий неопределённый интеграл Бохнера ^ : I = [а; Ь] ^ X
X
(X — пространство Фреше) ^(х) = (В) / /(а ^ х ^ Ь) сохраняет свойство
а
дифференцируемости почти всюду на [а; Ь]. Рассмотрим неопределённые интегралы Петтиса, то есть отображения ^ : I = [а; Ь] ^ X (X — пространство Фреше) вида
x
F (x) = (P) j f (t)dt, a < x < b, (1)
причём / предполагается сильно измеримым, а также интегрируемым по Петтису на любом измеримом подмножестве е С I. Как показано в ([9], замечание к теореме 1), для произвольного бесконечномерного банахова пространства X существует такое сильно измеримое и интегрируемое по Петтису отображение / : I ^ X, что
х+Н
1(Р) У /№
lim
h^ 0
= ^ (Vt G I).
откуда вытекает отсутствие дифференцируемости отображения F из (1) всюду на I. Это означает, что естественной и актуальной является задача поиска условий, при которых F из (1) будет дифференцируемым почти всюду на I.
С этой целью в первых двух пунктах настоящей работы мы вводим две новые характеристики интегрируемых по Петтису отображений — почти всюду слабую интегральную ограниченность (Bynt) и а-компактную измеримость (Cmes). На базе предложенных понятий в пункте 3 нами получено достаточное условие дифференцируемости отображений из (1) в терминах почти всюду слабой интегральной ограниченности (теорема 1), а также необходимое условие — в терминах а-компактной измеримости (теорема 3).
Будем обозначать через mes классическую меру Лебега на вещественной прямой, S — набор измеримых по Лебегу подмножеств R; X* — пространство линейных непрерывных функционалов над X, а через L(X; Y) — линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.
1. Интегральная ограниченность интегрируемых по Петтису
отображений
В данном пункте мы вводим одно новое свойство интегрируемых по Петтису отображений — почти всюду слабую интегральную ограниченность.
Определение 1. Будем называть отображение f : I = [a; b] ^ X из (1) слабо интегрально ограниченным в точке x G I (f G BWt(x)), если для любой системы интервалов In = (an; ßn), стягивающихся к x при n ^ ж
lim —( n Q—rn) = 0, где F имеет вид (1), (2)
n^œ mes(In)
где {En}^=i — произвольная система измеримых множеств, для которой
lim mes(IntП En) = 0. (3)
га^те mes(In)
Если A С I и f е Б'ПХх) для почти всех x е A, то будем называть отображение f почти всюду слабо интегрально ограниченным на A. Примем обозначение:
f е BfnM).
Непосредственно проверяются простейшие свойства класса Bfnt(I).
Предложение 1. (i) Класс Bfnt(A) является линейным; (и) f е BfntXA) ^ f е Bfnt(C) VC с A;
(iii) Пусть f : I ^ X f е Bfnt(I), A е L(X; Y). Тогда отображение Af : I ^ X принадлежит классу Bfnt(I).
Доказательство. Данное утверждение легко вытекает из соответствующих свойств интеграла Петтиса (см., например [1], стр. 91 - 92). Отметим лишь, что утверждение (ii) справедливо в силу предположения об интегрируемости по Петтису всякого отображения f из (1) на произвольном измеримом подмножестве A С I. □
Проверим два достаточных условия интегральной ограниченности. Будем говорить, что f локально ограничено в точке x е I, т.е.
sup ||f ((а; ,Ö)\A)|| =esssup ||f ((а; в))|| = C< ж для нек. (а; ß) D x. (4)
A: mes(A)=0
Предложение 2. (i) если f локально ограничено в т. x е I, то f е B'Wnt(x);
(ii) если f локально ограничено V x е A С I, то f е Bfnt(A)
int\
int(
Доказательство. Пусть {Еп— произвольная система измеримых множеств, удовлетворяющих (3). В силу (4) имеем
F (Inf] En)
mes(In)
(P) J f (t)dt
In П En
mes(In)
^ mes(Inf) En)
^ C • ---ггт-- —> 0 при n ^ ж,
mes(In)
откуда и вытекают доказываемые утверждения. □
Предложение 3. Пусть X — банахово пространство. Тогда всякое интегрируемое по Бохнеру отображение I : I = [а; Ь] ^ X удовлетворяет условию I е ВГп<(1).
Доказательство. Рассмотрим отображение Е : I = [а; Ь] ^ X:
X
Е(х) = (В) УI(Ь)сМ, а < х < Ь.
Пусть х — точка Лебега отображения Г. Тогда по следствию 2 из теоремы 3.8.5 [1], для произвольной системы интервалов 1п = (ап; вп), стягивающихся к х при п ^ те верно
lim -
n^œ ШввЦп)
II/(t) - / (x)IIdt = 0,
откуда вытекает, что для произвольной системы измеримых множеств (Еп}^=1, удовлетворяющих (3), верно (2). Действительно,
lim
n^-œ
F(Inf) En)
mes(In)
lim
n^-œ
F (Inf] En) - / (x) ^ mes(Inf) En)
mes(In)
mes (In)
<
^ lim
n^œ
mes(In)
(/(t) - /(x)) dt
In П En
^ lim
n^œ mes(In )
II/(t) - /(x)IIdt <
In П En
^ lim
1
n^œ mes(In)
II/(t) - /(x)IIdt = lim
1
n^œ mes(In)
II/(t) - /(x)IIdt = 0.
^и 1и
Остаётся лишь заметить то, что почти все точки I являются точками Лебега интегрируемого по Бохнеру отображения / (см. [1], теорема 3.8.5). □
Замечание 3. Из доказательства предыдущего утверждения следует, что если х — точка Лебега интегрируемого по Бохнеру отображения /, то / € Б^(х). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В качестве примера можно привести функцию Г : [-1; 1] ^ К
x
F (x) = J sign(t)dt, -1
-1 ^ x ^ 1,
(5)
где интеграл понимается в смысле Лебега (для вещественных функций интеграл Бохнера совпадает с интегралом Лебега), а sign(x) = 1 при x > 0, sign(x) = -1 при x < 0, sign(x) = 0 при x = 0.
Легко проверить, что x = 0 не является точкой Лебега отображения (5). Тем не менее, согласно предложению 2 / G B'Wnt(0) ввиду ограниченности /.
Замечание 4. Отметим, что отображения / G B'Wlt(I) могут быть не интегрируемыми по Бохнеру. Это подтверждает пример 1 ниже.
Замечание 5. Неопределённый интеграл Петтиса отображения / G B'Wt(I) может быть нигде не дифференцируемым на I, если / не является сильно измеримым. В качестве примера рассмотрим отображение / : I = [0; 1] ^ Lœ[0; 1]: /(t) = X[t;1] (•). В [5] (см. пример после теоремы 3.4, а также теорему 4.4) показано, что / интегрируемо по Петтису, причём ^(P) J /(t)dt^ (x) = mes (A P|[0; x]) Vx G I, VA G S,
1
1
откуда вытекает f е Bfnt(I) (множества In и En удовлетворяют (3), x е [0; 1]): (P) f f(t)dt
In П En
lim
n
mes(In)
= Нш в88 8Ир
п
mes(Inf) En f][0; x])
твв(1п
< lim mes(I^ En) =o.
п^ж mes(In)
При этом, в ([5], пример после теоремы 3.4) доказано, что неопределённый интеграл Петтиса отображения I нигде не имеет обычной производной.
2. ст-комплктнля измеримость интегрируемых по Петтису
отображений
Введём ещё одно новое свойство интегрируемых по Петтису отображений — ст-компактную измеримость.
Определение 2. Будем говорить, что отображение I : I = [а; Ь] ^ X из (1) а-компактно измеримо (I е С^ев^)), если существует такое разбиение I на измеримые по Лебегу подмножества {ем}оо=о, что
I(ем) С им, им — компакт в Е УМ е N (6)
оо
где I = и ем, тев(е0) = 0, ем1 С ем2 УМЬ М2 е N.
м=0
Непосредственно проверяются простейшие свойства класса Сте8 (I). Предложение 4. (1) Класс С^¡(^ является линейным;
(II) I е С^8(!) ^ I е С^(Г) VI' с I;
(III) Пусть I : I ^ X, I е С^^), А е Ь^; У). Тогда отображение АI : I ^ X принадлежит классу С^^).
Предложение 5. Всякое интегрируемое по Бохнеру отображение I : I = [а; Ь] ^ ^ X удовлетворяет условию I е С^¡¡^).
Доказательство. По теореме 2 из [10], для всякого интегрируемого по Бохнеру
отображения I : I ^ Е существует такой абсолютно выпуклый компакт С С Е, что
/III(Ь)||сЛЬ < ж, где || ■ Ус — функционал Минковского, порождённый множеством I
С. Если положить
ем := {Ь е [а; Ь] | Щ(Ь)Цс < N}, им = N ■ С УМ е N
то I будет удовлетворять условию (6). □
Возникает естественный вопрос: не является ли всякое интегрируемое по Петтису отображение I : I ^ X, удовлетворяющее условию I е С^ев^), интегрируемым по Бохнера? На этот вопрос можно дать отрицательный ответ даже в случае гильбертова пространства X. В качестве примера мы рассмотрим следующее отображение из работы ([11], пример 2.1).
Пример 1. Пусть X = £2 — вещественное сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство, |хп}^=1 — ортонормированный базис в Е. Рассмотрим отображение Г : [0; 1] ^ X:
Г (0) = 0 ; Г (п+1 )=£ (п €
к=1
Г линейно на сегментах
те
Г (1) = £ хк ; к=1
п— 1; п
п ' п+1
(п € М)
1). Ясно, что Г дифференцируемо п.в. на I. Покажем, что оно слабо абсолютно непрерывно. Для этого рассмотрим произвольный функционал £ € £2 = £2, а также функцию / = £[Г], / : [0; 1] ^ К. Поскольку £ € £2, то 3 а = (а1,а2,...) € £2:
£(в) = Е аквк V в = (в1,в2,...) € £2
к=1
Нужно показать, что ^ > 0 > 0 :
N
N
VN € М, твв[ У [ак; Ьк] < Л ^ | /(Ьк) - /(ак) |< е. (7
Чк=1
к=1
Заметим, что /(1) = £ ак. Этот ряд сходится, так как
к=1
Е
к=1
I к
<
\
Е |акI2
к=1
\
Е к2 <
к=1
ОО
по неравенству Коши-Буняковского.
те т
Выберем такое N0 € М, что £ ^ < |. Тогда V и [ак; Ьк] С
к=^+1 к=1
ведливо неравенство
т
Е I/(Ьк) - /(ак)| < к=1
N0 ; N0+1;
спра-
(8
Отрезок же
0;
N0 N0+1
разбивается на N0 отрезков, на каждом из которых функция / линейна. Следовательно, / абсолютно непрерывна на [0; NN+1 ], т.е. 3 5 > 0: 0;
V и [ак; Ьк] С к=1
N0+1
твв[ У [ак; Ьк] <5 ^ Е I/(Ьк) - /(ак)| <
чк=1
к=1
Из неравенств (8) и (9) вытекает неравенство (7).
1
2). Итак, отображение Р слабо абсолютно непрерывно и почти всюду дифференцируемо. Следовательно, Р — неопределённый интеграл Петтиса. Действительно,
(X \ X
/™'Л) =/аР'Уж € [0;11 У< € х*
0 / 0
X
откуда и вытекает, что Р(ж) = Р(0) + (Р) / РУж € [0; 1].
0
Если положить вд := [0; дт+х 1, то Р' будет удовлетворять условию (6) с компакту
тами им := У {хп}, т.е. Р' € ^^(1). Однако, как показано в ([11], пример 2.1), Р
га=1
не имеет сильной ограниченной вариации и поэтому не является неопределённым интегралом Бохнера.
3) Отметим также, что по предложению 2, Р' € Б^(1), так как Р' непрерывно (и, следовательно, локально огранично) п.в. на I в силу кусочной линейности Р.
3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ПЕТТИСА ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ в пространства ФрЕшЕ
В данном пункте работы мы докажем основные результаты работы — условия дифференцируемости почти всюду сильного интеграла Петтиса отображений в пространства Фреше (1):
X
Р(ж) = (Р) У /(г)^, а ^ ж ^ Ь (10)
а
в терминах предложенных в первых двух пунктах характеристик. Если интегральная ограниченность / приводит к достаточному условию дифференцируемости неопределённого интеграла Петтиса по верхнему пределу (теорема 1), то ст-компактная измеримость приводит к необходимому условию (теорема 3).
В доказательстве теоремы 1 существенно используется нами ранее понятие компактного субдифференциала (см. [11] — [13]), которое мы вначале напомним. Обозначим через и(0) произвольную замкнутую абсолютно выпуклую окрестность нуля в вещественном отделимом локально выпуклом пространстве (ЛВП) X.
Определение 3. Пусть {Бг}г>о — убывающая по вложениям при 5 ^ +0 система
замкнутых выпуклых подмножеств отделимого вещественного ЛВП X, Б С X.
Множество Б = П Бг называется К-пределом системы {Бг}г>0 при 5 ^ +0 : г^+о
Б = К - 11ш Бй , если: Уи = и(0) С X 35и > 0 : (0 < 5 < 5и) ^ (Бй С Б + и(0)) . г^+о
Из предыдущего определения вытекает замкнутость и выпуклость множества Б. Далее будем обозначать через I С М — некоторый отрезок, соА — выпуклую замкнутую оболочку множества А и рассматривать отображения Р : I ^ Е.
Определение 4. Пусть х е I, 5 > 0. Частный К-субдифференциал отображения К в точке хо, отвечающий данному 5 > 0, есть замкнутое выпуклое множество
дкF(хо, 5) = Cö{F+ h)h - FЫ
0 <| h l< 5
Определение 5. Отображение F : I ^ X называется компактно субдифференци-руемым или K-субдифференцируемым в точке х0 е I, если существует K-предел частных K-субдифференциалов дкF(х0) = K — lim дкF(х0,5) .
Полученное множество дкF(х0) называется компактным субдифференциалом, или K-субдифференциалом отображения F в точке х0.
Если отображение F дифференцируемо в точке х0 в обычном смысле, то оно является компактно субдифференцируемым, причём дкF(х0) = F'(х0). В то же время, как показано в [11] — [13], существуют компактно субдифференцируемые отображения, не имеющие обычной производной.
Следующая теорема является первым основным результатом работы.
Теорема 1. Если в (10) f е Bfnt(I), то F дифференцируемо почти всюду на I, причём справедливо равенство
F'(х) = f (х) п.в. на I. (11)
Для доказательства нам потребуется следующий вспомогательный результат, полученный ранее в ([14], Theorem 1(ii)).
Теорема 2. Пусть отображение f из (10) сильно измеримо. Тогда для произвольного числа е > 0 существует измеримое множество Ee С R такое, что mes(I\Ee) < е и множество
F (E)
XeF : =
E С Ee, mes(E) > 0, E е ^ (12
тев(Е)
относительно компактно в X. Переходим к доказательству теоремы 1.
Доказательство. 1) Покажем К-субдифференцируемость отображения К. Положим еп = П Уп е N и для каждого п выберем соответствующее множество из (12)
оо
(мы считаем, что Е£п С [а; Ь]). Легко видеть, что множество Е0 = П (I\Е£п)
п=1
имеет нулевую меру Лебега. Поэтому почти все точки х е [а; Ь] принадлежат множеству Е£п при каком-либо п е N. Более того, согласно теореме о точках внешней плотности (см. [15], теорема 2, стр. 68), почти все точки каждого из множеств Ее„ будут точками внешней плотности Е£п. Следовательно, для некоторого множества е С [а; Ь] нулевой меры всякая точка х е [а; Ь]\е является точкой внешней
плотности какого-либо множества Е£п, т.е. для произвольной системы интервалов {/т = (ат; вт)}т=1, стягивающейся к точке х 3 п € N и Е£п из (12) такие, что:
ИШ Шв5(/т\Е£") =0 (ат < х < вт, ат = вт) . (13)
Далее,
(Р) Г /(^)й^
"7 = Р(1т) = Р(/^ПЕ£п) • Р(/тП Ее„) + Р(1т\Ее„) . (14) Шв5(/т) Шв5(/т) те«(/т П Е£„) Шв5(/т) Шв5(/т) .
Отношение —^ 0 при т —^ те в силу / € В^Д/). Поэтому второе
слагаемое в равенстве (14) стремится к нулю при т — те в силу (13). Из (13) также вытекает, что
11Ш те*(/тП Ев„) = !. (15)
т^те те«(/т)
В силу (13) — (15), а также относительной компактности множеств х]/"" С X (см. теорему 2) вытекает существование частичного предела любой последовательности
Р (/т )
-—— при т — те,
тв«(/т)
а также относительная компактность множества всех таких частичных пределов. Следовательно, Р К-субдифференцируемо в точке х по теореме 3 из [13].
2) Далее, сильная измеримость / влечёт сепарабельнозначность отображений / и Р .А для сепарабельнозначных отображений в пространства Фреше из компактной субдифференцируемости почти всюду вытекает дифференцируемость Р почти всюду ([16], теорема 4).
Равенство (11) в банаховом сучае мы покажем, опираясь на сепарабельнозначность Р, а также известный результат ([3], п. 17.2.4, следствие 2) о существовании у каждого сепарабельного банахова пространства счётного множества линейных непрерывных функционалов, разделяющих точки: если Х — сепарабельное банахово пространство, то существует множество функционалов {£п}те=1 С X* такое, что Ух, у € X х = у ^^ £"(х) = 4(у) Уп € N.
Для всякого п € N 3 еп : тев(еп) = 0 и £га(Р'(х)) = (4(Р(х)))' = 1п(/(х)) Ух € /\еп, т.к.
^Х \ X
(Р/да I =у 4(/(*)№*.
п
Ясно, что множество е = и еп имеет нулевую меру. При этом Уп € N
п=1
£п(Р'(х)) = £п(/(х)) Ух € /\е, откуда и вытекает равенство (11) для банаховых пространств X.
3) Пусть теперь X — пространство Фреше. Обозначим через (У ■ — некото-
рую счётную определяющую систему полунорм в X. Обозначим через X^ пополнения фактор-пространств X^ = Х/кет\\ ■ ^ относительно фактор-норм У ■ ^ = У ■ ^. Для банаховых пространств V ] € N мы имеем
х+Н
1(р) I /№ - /(х)
lim
о
= 0 Ух G [a; b]\ej , (16)
откуда mes(ej) = 0. Тогда для всех х G [a; b]\ (J ej. Это означает, что почти всюду
jen
на [a; b] равенство (16) справедливо при всех j G N. Следовательно, F'(x) = f (х) почти всюду на I. □
Опираясь на некоторые рассуждения предыдущего доказательства, покажем второй основной результат работы.
Теорема 3. Если в (10) отображение F дифференцируемо почти всюду на I, то
f G Cmes(I)■
Доказательство. Рассуждая, как и в пунктах 2-3 предыдущего доказательства, легко проверить, что
F'(x) = f (х) для п.в. х G I. (17)
Пусть £ G X* — произвольный линейный непрерывный функционал на X. Тогда из (17) следует, что почти все точки х G I являются точками Лебега функции f = £(f ), т.е. для произвольной системы интервалов {Im = (am; fîm)}m=i, стягивающейся к точке х
lim -—— \f(t) — Кх)\(И = 0 почти всюду на I,
mes(Im) J
Im
откуда f G Bfnt(I) (в пространстве R) в силу предложения 3:
lim f(ImП em) = 0, (18)
mes(Im)
где {em}m=i — произвольная система измеримых множеств, для которой
mes(Imf) em)
lim -— = 0.
m^œ mes(Im)
Из (18) вытекает, что
lim £Î= 0 (19)
\ mes(Im) )
Рассуждая также, как и в пункте 1) доказательства предыдущей теоремы, можно получить равенства (14) Ух G I\e, mes(e) = 0. При этом
£ ( F (Im) \ = £ f F (Im П Een ) \ + £ f F (Im\Een )
mes(Im) J \ mes(Im) J \ mes(Im)
j
откуда, переходя к пределу при m ^ те, в силу (15), (17) и (19) мы имеем
t (F'(ж)) е t (absrco ,
так как „^{Т ^"ffE")) е X^/"" С X Vn е N (под abs.coA мы понимаем замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества A С X).
Итак, t (F'(ж)) ^ supt ^abs.co X^j Vt е X*. По известному следствию из теоремы Хана-Банаха о строгой функциональной отделимости точки и замкнутого выпуклого множества Vx е Ei/n\e:
1/n тг'т . г- „„ л-1/га
F'(x) е abs.co XF , или, F'(E1/n\e) С abs.co XF ,
причём все множества abs.ce хF/n компактны как абсолютно выпуклые замыкания компактов (множества X]/п компактны по теореме 2). Для завершения доказательства остаётся лишь заметить измеримость всех множеств Е1/п\е. □
Список литературы
[1] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле , Р. Филлипс. — М: ИЛ, 1962. — 829 с.
[2] Эдвардс Э. Функциональный анализ. Теория и приложения / Э. Эдвардс. — М.: Мир, 1969. — 1069 с.
[3] Кадец В. М. Курс функционального анализа. Учебное пособие / В. М. Кадец. — Х.: ХНУ им. В.Н. Каразина, 2006. — 600 с.
[4] Вахания Н. Н. Вероятностные распределения в банаховых пространствах / Н. Н. Ваха-ния, В. И. Тариеладзе, С. А. Чобанян. — М.: Наука, 1985. — 368 с.
[5] Kadets V.M. Some remarks on vector-valued integration / V.M. Kadets, B. Shumyatskiy, R. Shvidkoy, L.Tseytlin and K. Zheltukhin // Math. Phys. Anal. Geom. Vol. 9. — 2002. —
P. 48 -- 65.
[6] Cascales B. Measurable selectors and set-valued Pettis integral in non-separable Banach spaces / B. Cascales, V. Kadets, J. Rodriguez // Journal of Functional Analysis. — 2009. — Vol. 256, № 3. — P. 673 - 699.
[7] Naralenkov K. On Denjoy type extensions of the Pettis integral / K. M. Naralenkov // Czechoslovak Math. Journal. — Vol. 60, № 3.— 2010. — P. 737 - 750.
[8] Yoon J. H. The AP-Henstok extension of the Dunford and Pettis integral / J. H. Yoon, J. M. Park, Y. K. Kim, B. M. Kim // Journal of the Chungcheong Mathhematical Society. — Vol. 23, № 4. — 2010. — P. 879 - 884.
[9] Dilworth S. J. Nowhere weak differentiability of the Pettis integral / S. J. Dilworth, M. Girardi // Ouaest. Math. — Vol. 18, № 4. — 1995. — P. 365 - 380.
[10] Стонякин Ф. С. К-свойство Радона-Никодима для пространств Фреше / Ф. С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия « Математика. Механика. Информатика и кибернетика. » — 2009. — т. 22(61), № 1. — С. 102 - 113.
[11] Orlov I. V., Stonyakin F. S. Compact variation, compact subdifferentiability and indefinite Bochner integral.// Methods of Functional Analysis and Topology. — 2009. — Vol. 15, № 1. - P. 74 - 90.
[12] Стонякин Ф. С. Компактный субдифференциал вещественных функций / Ф. С. Сто-някин //Динамические системы. — 2007.— Вып. 23. — С. 99 - 112.
[13] Стонякин Ф. С. Секвенциальный подход к понятию компактного субдифференциала для отображений в метризуемые ЛВП / Ф. С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика.» — 2008. — т. 21(60), № 1. — C. 41 - 53.
[14] Moedomo S. Radon - Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals / S. Moedomo, J.J. Uhl // Pacific J. of Math. — 1971. — Vol. 38, № 2. — P. 531 — 536.
[15] Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы / А. Л. Брудно. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
[16] Стонякин Ф. С. Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования / Ф. С. Стонякин // Труды ИПММ НАНУ. — 2010. — Т. 20. — С. 168 - 176.
Про диференцгйовнгсть за верхнньою границею невизначеного гнтегралу Петтгса. У цгй роботг дослгджено двг новг характеристики гнтегровних за Петтгсом вгдображень дгйсного вгдргзка у простори Фреше: майже скргзь слабку гнтегральну обмеженгсть та а-компактну вимгрнгсть. Одержано достатнью умову диференцгйовностг невизначе-них гнтегралгв Петтгса у термгнах майже скргзь слабког гнтегральног обмеженостг, а також необхгдну умову — у термгнах а-компактног ви-мгрностг.
Ключовi слова: штеграл Петтюа, сильно вимiрне вщображення, npocTip Фреше, майже CKpi3b слабка штегральна обмежешсть, а-компактна вимiрнiсть, компактна субдиференцшовшсть.
About differentiability of indefinite Pettis integral by upper limit.
In thís paper two new propertíes for Pettís integrable mappíngs actíng from a real segment into Frechet spaces are investigated: almost everywhere weak integral boundedness and a-compact measurabгlÁty. The suffident condition for differentiability of indefinite Pettis integral in terms of almost everywhere weak integral boundedness ís obtained. The necessary condition for differentiability of indefinite Pettis integral in terms of a-compact measurability is proved.
Keywords: Pettis integral, strongly measurable mapping, Frechet space, almost everywhere weak integral boundedness, a-compact measurability.
