Теорема о среднем и формула Тейлора для симметрических производных и симметрических K-субдифференциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 3-20.

УДК 517.972: 517.518.24: 517.2: 517.977.5: 517.98

И. В. Баран

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ И СИММЕТРИЧЕСКИХ K-СУБДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

В статье рассмотрено понятие симметрического компактного субдифференциала n-го порядка. Получены теорема о среднем и формула Тейлора для симметрических производных и симметрических K-субдифференциалов. Рассмотрены некоторые приложения.

Ключевые слова: симметрическая производная, симметрический компактный субдифференциал, теорема о среднем, формула Тейлора, абсолютная непрерывность.

E-mail: matemain@mail.ru

Введение

Субдифференциальное исчисление уже достаточно давно является фундаментом выпуклого и негладкого анализа (см., например, [1], [2], [3], [11], [12], [13]). И.В.Орловым несколько лет назад было введено понятие компактного субдифференциала или K-субдифференциала, которое затем нашло серьезные приложения. В совместных работах с Ф. С. Стонякиным это понятие было подробно изучено для отображений вещественного аргумента в ЛВП, и с его помощью было получено общее топологическое решение проблемы Радона-Никодима для интеграла Бохнера

([5], [6],[18]).

В дальнейшем возник вопрос о переносе понятия K-субдифференциала на случай векторного аргумента, что и было сделано в совместных работах И. В. Орлова и З. И. Халиловой (см. [7], [8], [16], [17]). Результаты нашли значимые применения в решении вариационных задач с негладким интегрантом.

Недавно понятие К-субдифференциала было обобщено на симметрический случай. Было введено понятие симметрического К-субдифференциала (или К3-суб-дифференциала), обобщающего симметрическую производную, а не обычную. В наших работах [19], [20] изложен основной аппарат теории К^-субдифференциалов первого и второго порядка для отображений скалярного аргумента. Применение К^-субдифференциалов вместо симметрических производных в теории рядов Фурье позволило обобщить классический метод Римана-Шварца обобщенного суммирования рядов Фурье.

Данная статья посвящена введению и исследованию К^-субдифференциалов п-го порядка, а также выводу теоремы о среднем и формулы Тейлора для симметрических производных и К^-субдифференциалов. Работа состоит из четырех основных разделов. В первом разделе получена формула конечных приращений и доказана теорема о среднем для К^-субдифференцируемых отображений (теорема 2). В частности, получена теорема о среднем для симметрических производных. Во втором разделе получена формула Тейлора в форме Пеано (теорема 3) для симметрических производных. Также получены варианты формулы Тейлора для четного и нечетного порядка при несколько иных требованиях. В третьем разделе рассмотрены приложения формулы Тейлора для симметрических производных. Наконец, в последнем разделе предыдущие результаты переносятся на случай К3-субдифференцируемых отображений.

Приведем некоторые вспомогательные сведения, которые будут использованы в работе. Всюду далее мы рассматриваем отображение f : М Э [а; Ь] ^ Г, определенное в некоторой окрестности и(х) точки х € М, где Г — произвольное вещественное нормированное пространство.

Напомним определения симметрической производной п-го порядка (см. [4], [23]) и К^-субдифференциала первого порядка ([19], определение К-предела см. раздел 4).

Определение 1. Симметрической производной п-го порядка отображения f (х) в точке х называется величина

f [n](x) = lim Anf = lim -^-V(-1)kCkf (x + (n - 2k)h). J w h^o (2h)n (2h)n V '

Определение 2. Назовем K3-субдифференциалом первого порядка отображения f в точке x следующий K-предел, если он существует:

dfx) = K- lim cö\ f (X + h) ~ f (X - h) 0 <h<ö}. ^^ — ¿^o l 2h J

1. Формула конечных приращений и теорема о среднем для абсолютно непрерывных К^-субдифференцируемых отображений и симметрических производных

Вначале получим формулу конечных приращений для К^-субдифференцируемых отображений.

Определение 3. Отображение f :[a; b] ^ F называется (сильно) абсолютно непрерывным на [a; b], если Уе > 0 3 5 > 0 такое, что для любого конечного или счетного набора непересекающихся интервалов {(ak; bk)} из области определения, который удовлетворяет условию У](bk — ak) < 5, выполнено У^ \\f (bk) — f (ak)|| < е.

k k

Теорема 1. Пусть отображения f : R D [a; b] ^ F и g : R D [a; b] ^ R абсолютно непрерывны на [a; b] и K 3-субдифференцируемы на (a; b), причем g возрастает,. Если для некоторого замкнутого выпуклого множества B С F выполнена локальная оценка d[Hf (x) е dK}g(x) • B (a<x<b), то справедлива глобальная оценка:

f (b) — f (a) е [g(b) — g(a)] • B. (1)

Доказательство. 1) Фиксируем е > 0. Используя определение Ks-субдифферен-циала выберем для каждого x е [a + е; b — е] такое 5 = 5(е,х) > 0, что

f (Х + k)-f (Х — k) е O^x) • B);

(0 <h < 5) ^ l /п ,

g(x + h) — g(x — h)

-—-е Oe(dK g(x))

(здесь Oe — е-окрестность множества в F). Отсюда получаем:

(0 <h < ч f (x + h)-hf ( - h) 6 oj gixi^lz^.A). (2)

2)Система сегментов {Os(x)}x&\[a+e-b-e], 5 < ô(e,x), очевидно, образует покрытие Витали (см. [4], [14], [15]) множества [a + е; b — е]. По второй теореме Витали о покрытиях ( [14]), для любого заданного п > 0 из данного покрытия можно выделить такую конечную систему сегментов {O^(xi)}*=1, что

n

mes^S = [a+е; b — е] \ O,i (xi)^ < п. Последнее множество S состоит из конечного i=1 _

числа отрезков [aj; fjj], j = 1,n + 1. В силу абсолютной непрерывности отображений f и g на [a; b], можно подобрать такое п = п(е) > 0, что

n+1 n+1 n+1

(mes S = Y^(/3j — aj ) < п) ^ в ) — f (aj )H <е^ Ш ) — g(aj )] <е). (3)

j=1 j=1 j=1

Итак:

п п+1

f (Ь - е) - f (а + е) = ^X + 6г) - f (хг - £)] + ^(вз) - f (ч)], (4)

г=1 3=1

где, в силу (2),

f(хг + 5г) - f(хг - 5г) € 26г ■ 0е(^^ + 8г)-9{Хг - 8г) . в^ (г = 1П), (5) и из (3):

п+1 п+1

Е^ (вз) - f (а)] € Ое(0), Е[д(вз) - д(а3)] € (-е; е). (6)

3=1 3=1

Подставляя оценки (5) и (6) в (4), с учетом выпуклости В, имеем:

2* ■ О£| д(хг + 6г)~ёд(хг - 6г) ■ В

f (Ь - е) - f (а + е) € £

г=1

п

(п

г=1

+ Ое(О) С

(7)

С Ос [2^ д(хг + *г) - д(хг - *г) ■ В ^ + 0е(0) С С 0£ ([(д(Ь - е)+е) - (д(а + е) - е)] ■ В) + 0е(0). 3) Переходя в (7) к пределу при е ^ 0, с учетом замкнутости В, получаем (1). □ Докажем теорему о среднем для для Ка-субдифференцируемых отображений.

Теорема 2. Пусть отображение : М Э [х; х + Н] ^ Г абсолютно непрерывно на [х; х + Н] и Ка-субдифференцируемо на (х; х + Н). Тогда выполняется оценка:

f (х + Н) - f (х) € ео(и д1^(х + вН)) ■ Н. (8

0«

Доказательство. Достаточно, в условиях теоремы 1, положить д(в) = в и

В = ео( и д\К f (х + вН)), а затем применить формулу (1). □

Ч)<0<1 '

Следствием данной теоремы является теорема о среднем для симметрических производных.

Следствие 1. Пусть отображение : М Э [х; х + Н] ^ Г абсолютно непрерывно на [х; х + Н] и симметрически дифференцируемо на (х; х + Н). Тогда выполняется оценка:

f (х + Н) - f (х) € со f ['] ((х; х + Н)) ■ Н. (9)

Доказательство. Если f (х) симметрически дифференцируемо, то д1к1 (х + ОН) = {f['] (х + ОН)}. Поэтому

дЦ f (х + ОН) = { f ['](х + ОН) 0 <О< ^ = f ['] ((х; х + Н)).

0<в<1

2. Формула Тейлора для симметрических производных

□

Мы получим здесь формулу Тейлора в форме Пеано в предположении, что отображение f : М Э и(х) ^ Г (п — 1) раз дифференцируемо обычным образом в окрестности точки х и п раз симметрически дифференцируемо в точке х. Прежде чем перейти к основной теореме, сформулируем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Имеет место числовое равенство

[ I ]

1)к СП (п — 2к)п = 2п-1п\.

к=0

Предложение 1. Если существует (^(п-1))['] (х), то существует симметрическая производная п-го порядка f [п](х) в точке х и имеет место равенство:

f [пЧх) = и (п-1))['](х). (10)

Доказательство. Применим теорему Коши (п — 1) раз по переменной Н:

Anf (х,Н) = (Anf (х,Н))(п-1)

вн

г-1

(2Н)п ((2Н)п)(п-1)

пп—1 • А1 f (п-1)(х,пОН)----+ СЩ 1 • 2п-1 • A1f (п-1)(х, 2ОН)

2п • п!(ОН)

пп-1 а^(п-1)(х, пОН) (п — 2)п А^(п-1)(х, (п — 2)ОЬЦ +

2п-1 • (п — 1)! 2пОН 2п-1 • (п — 1)! 2(п — 2)ОН

Полученное равенство можно записать в виде:

[ I ]

Ап/(х1Н1 = ^ А^-^хопкН)« (ц)

(2Н)п = к=1 (2апк Н)п впк, (11)

[ I ]

(п — 2к)п

где апк = п — 2к, впк = (—1)кС^-^л-л-Г. При этом ^впк = 1 в силу леммы 1.

•п! к=1

Переходя к пределу в (11) при Н ^ 0:

[ I ]

f[п] (х) = £ впк • и (п-1))['](х) = и (п-1))['](х). к=1

□

Справедлива следующая формула Тейлора для симметрических производных.

Теорема 3. Предположим, что существует (^(п-1))['1(х) и отображение f (х) абсолютно непрерывно в окрестности и(х). Тогда имеет место равенство:

п-1 f (к)(х) 1

f (х + Н) -Е к\ Нк € со}[п]((х; х + Н)) ■ Нп + о(Нп). (12)

к=0 ' '

Доказательство. Из существования (^(п-1))['1(х) следует, что отображение f (х) определено и имеет обычные производные до (п - 1) порядка включительно в окрестности точки х. Применим математическую индукцию.

a) При п = 1 равенство (12) принимает вид:

f (х + Н) - f (х) € Щ['] ((х; х + Н)) ■ Н + о(Н).

Таким образом, получили теорему о среднем для симметрических производных (см. следствие 1).

b) Воспользуемся индукцией по п. Допустим, утверждение теоремы верно для любого /, удовлетворяющего условию теоремы для порядка (п - 1):

~ ~ Ъа-1

У(х + Н) - у(х) € Щ[п-1\(х; х + Н))+ о(Нп-1).

•[п-1

~ ~ Нп-1

У(х + Н) - у(х) - 7--уп-1 € о(Нп-1),

Отсюда Ууп-1 € со!'[п 1] {(х; х + Н)) вытекает

Нп-1 (п-1)!

где о(Нп-1) не зависит от выбора уп-1. Введем Ууп € со!П] ((х; х + Н)) вспомогательную функцию:

п-1 $ (к)(х) Нп Гп(!, Уп; Н) = f (х + Н) - f (х) - Е ^кхНк - уп.

к=1 ! ' Вычисляя обычную производную вспомогательной функции гп, имеем:

г'пи, Уп; Н) = f'(х + Н) - £ 1-).Нк-1 - <п-у.Уп>

откуда, по допущению индукции следует: т'п(1',Уп; Н) = Гп-1(1',Уп-1 = Уп; Н) = = о(Нп-1). Применяя обычную теорему о среднем (0 < в < 1), получим:

Гп(!, Уп; Н) € т{т'п (^ Уп; вН)\0 <в< 1} ■ Н = о(Нп-1) ■ Н = о(Нп).

п-1 f(к) (х) нп

Итак, доказано по индукции, что f (х + Н) - ^ ———Нк--.Уп = о(Нп), где мно-

к=0 ' ' гозначная оценка «о» не зависит от выбора Уп € со}'[п] ((х; х + Н)).

п-1 (к) (х) Нп

В связи с этим f (х + Н) — ^ —— Нк € — уп + о(Нп), где о(Нп) можно считать

к=0 ! !

независящим от выбора уп € во}'[п] ((х; х+Н)). Таким образом, мы доказали формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. □

Для нечетного порядка справедлива следующая формула Тейлора.

Теорема 4. Если отображение ' абсолютно непрерывно в и(х) и существует симметрическая производная f [2п+1] (х) = (/(2п))['](х), то имеет место равенство:

f (х + Н) — f (х — Н) = 2 £ Н2к-1 + 2Н2п+1 + о(Н2п+1). (13)

Доказательство. Применим математическую индукцию.

a) При п = 1 равенство (13) равносильно определению первой симметрической производной: f (х + Н) — (х — Н) = 2f ['](х) • Н + о(Н).

b) Допустим, утверждение теоремы верно для порядка (2п — 1):

I-(х + Н) — f (х — Н) = 2 £ Н2к-1 + ^^)(х)Н2п-1 + о(Н2п-1).

Введем вспомогательную функцию:

Г2п+1(1, Н) = f (х + Н) — f (х — Н) — 2 £ Н2к-1 — ^^ Н2п+

Вычисляя вторую симметрическую производную вспомогательной функции Т2п+1 по Н, получаем:

Ц = f "х + Н> — 1 "(х — Н— £ и^—М.Н2к-3 — Н^,

к=2

откуда, по допущению индукции, следует: т2,]+1(|, Н) = Т2п-1(Г',Н) = о(Н2п-1). Сначала применим обычную теорему о среднем:

Т2п+1(1, Н) = Т2п+1 (/, Н) — Т2п+1(1, 0) € со т2п+1(1, [0; Н]) • Н = во Т2п+Л/, [0; Н]) • Н. Далее по теореме о среднем для симметрических производных:

со Т2п+1(/, [0; Н]) • Н = со{т2п+1(/,ОН)

0 < О < П • Н с

с о и со (г2п)[,](/, [0;ОН])} • Н = 0<в<1

= со{ и со Т2п-1(/', [0; ОН]) • н} • Н = о(Н2п-1) • Н2 = о(Н2п+1), 0<в<1

т.е. т2п+1(1'',Н) = о(Н2п+1). Таким образом, мы получили формулу Тейлора (13).

□

Аналогично рассмотрим формулу Тейлора в четном случае.

Теорема 5. Если отображение ^ абсолютно непрерывно в и(х) и существует симметрическая производная f[2п\х) = (^(2п-1^)['](х), то имеет место равенство:

f (х + Н) + f (х - Н) = 2 Е ^^—(гН2к + 2Н2П + °(Н2П)- (14) Доказательство. Применим математическую индукцию.

a) При п = 1 получим: f (х+Н) -2f (х)+1 (х-Н) = f ["'](х)-Н2+о(Н2), что равносильно определению f ["](х).

b) Допустим, утверждение теоремы верно для порядка (2п - 2). Введем вспомогательную функцию:

Г2п(1, Н) = f (х + Н) + f (х - Н) - 2^Т1^Н2к - 2и(2^Н2п.

Вычисляя вторую симметрическую производную вспомогательной функции Г2П по Н, получаем:

п1

= fП(х + fП(х-Н)-^н2к-2- н

откуда, по допущению индукции, следует: г2П(!,Н) = т2п-2(1",Н) = о(Н2п-2). Для оценки г2п(1, Н) сначала применим обычную теорему о среднем:

Г2п(1, Н) = Г2п(1, Н) - Г2п(1, 0) € со г'^, [0; Н]) ■ Н = со Т2п(/, [0; Н}) ■ Н.

Далее по теореме о среднем для симметрических производных следует, что

2п 2

со Т2п(/, [0; Н]) ■ Н = с^Т2п(1 ',вН)

0<в<1 Н

С ^{и со (г2п-1 )1'](Г, [0; вН])) ■ Н = 0<в<1

со{ и сог2п-2(/', [0; вН]) ■ н} ■ Н = о(Н2п-2) ■ Н2 = о(Н2п),

0<в<1

т.е. т2п(1'',Н) = оН"). Таким образом, мы получили формулу Тейлора (14). □

3. Приложение: некоторые глобальные свойства симметрических

производных

Здесь мы свяжем результаты предыдущего раздела со свойствами обобщенных симметрических производных, введенных и исследованных в работе Р. Джеймса [23]. Вначале введем необходимые понятия и приведем результаты, полученные в [23].

Определение 4. Пусть функция f (x) определена на [a; b], x0 € (a; b). Если существуют постоянные ßo,ß2, • • • , ß2r (зависящие только от xo) такие, что 1 с л r h2k

-{f (xo + h) - f (xo - h)} - k=0 Щ7ß2k = o(h2r),

при h ^ 0, то ß2r называется обобщенной симметрической производной порядка 2r функции f (x) в точке x = x0, и обозначается D2r f (x0).

Если D2kf (x0) существуют при 0 ^ k ^ m - 1, определим величину d2m(x0; h) равенством:

h,2m 1 с Л m-1 hj2k

(m °2m(x0,h) = 2! f (x0 + h)f (x0 - h)\ - kC (ЩD^ f Ы,

и положим

A2mf (x0) = lim sup Ö2m(x0; h), h^0

ö2mf (x0) = lim inf 02m(x0; h). h^0

Скажем. что функция f (x) удовлетворяет условиям A2m на (a; b), если она непрерывна на [a; b], все D2k f (x) существуют и конечны при 1 ^ k ^ m - 1 на (a; b), и

lim hd2m(x, h) = 0 h^0

при всех x из (a; b)/E, где E не более, чем счетно.

Скажем. что функция f (x) удовлетворяет условиям B2m-2 на (a; b), если она непрерывна на [a; b], все D2k f (x) существуют и конечны при 1 ^ k ^ m - 1 на (a; b), и D2k f (x) не имеет разрывов первого рода (a; b).

Далее через Ak f обозначается конечная разность k-го порядка для f.

Теорема 6. Если f (x) удовлетворяет условиям A2m-2 и B2m-4 на (a; b), причем A2m-2f (x) > 0 на (a; b), то функция D2m 4 f (x) выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m - 2 функции D2k f (x) непрерывны на (a; b).

Теорема 7. Если f (x) удовлетворяет условиям A2m и B2m-2 на (a; b), причем A2mf (x) > 0 на (a; b), то функция D2m-2f (x) выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m - 1 функции D2k f (x) непрерывны на (a; b).

Аналогичные результаты приведены в [23] для обобщенных симметрических производных нечетного порядка, где автор исходит из разложения:

1 с л r h2k-i

2{f (x0 + h) - f (x0 - h)} - -Щ—)-)ß2k-i = o(h2r-1).

Сравнивая результаты теорем 6 и 7 и с результатами, соответственно, теорем из раздела 2, мы приходим к следующим утверждениям, вначале для симметрических производных четного порядка (см. теорему 5).

Теорема 8. Пусть отображение f абсолютно непрерывно в U (x) и существует симметрическая производная f[2n\x) = f (2n-l^\x). Если f удовлетворяет условиям A2m-2 и Б2т-4 в U(x), причем A2m-2f > 0 в U(x), то функция f(2m-4) выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m — 2 функции f(2k непрерывны в U(x).

Теорема 9. Пусть отображение f абсолютно непрерывно в U (x) и существует симметрическая производная f ][2n](x) = f (2n-lS)^\x). Если f удовлетворяет условиям A2m и Б2т-2 в U(x), причем A2m f > 0 в U(x), то функция f(2m 2 выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m — 1 функции f(2k непрерывны в U(x).

Аналогично, отправляясь от соответствующих результатов [23] в нечетном случае, мы приходим к следующим результатам, связанным с симметрическими производными нечетного порядка (см. теорему 4).

Теорема 10. Пусть отображение f абсолютно непрерывно в U (x) и существует симметрическая производная f[2n+1\x) = f ^^^(x). Если f удовлетворяет условиям A2m-\ и Б2т-3 в U(x), причем A2m-1f > 0 в U(x), то функция f(2m-3) выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m — 2 функции f(2k+1) непрерывны в U(x).

Теорема 11. Пусть отображение f абсолютно непрерывно в U (x) и существует симметрическая производная f[2n+1\x) = (f^^^(x). Если f удовлетворяет условиям A2m+1 и B2m-1 в U(x), причем A2m+1 f > 0 в U(x), то функция f(2m-1) выпукла, и при всех 1 ^ k ^ m — 1 функции f(2k+1 непрерывны в U(x).

4. Формула Тейлора для К^-субдифференциалов

Здесь мы перенесем результаты раздела 2 на случай К^-субдифференцируемых отображений. Для перехода к основному понятию нам понадобится определение К-предела системы множеств (см. [5], [7]).

Определение 5. Пусть {Б$}s>o — убывающая по вложению система замкнутых выпуклых подмножеств E, U = U (0) — произвольная окрестность нуля в E. Непустое множество Б С E называется К-пределом системы {Б$ }s>o:

Б = К — lim Бs , если : _ ¿^0

1) V U(0) С E 3 5и > 0 : (0 < 5 < 5и) (Б С Б& С Б + U);

2) Б — компактное множество в E.

Введем понятие К^-субдифференциала n-го порядка.

Определение 6. Назовем К 3-субдифференциалом n-го порядка отображения f в точке x следующий К-предел, если он существует:

1 п

dKf (x) = К— lino co{ -щ^ J^(—1)k f(x + (n — 2k)h) 0 <h<5}.

Напомним, что в работах [19], [20] понятие К8-субдифференциала было введено для случая п = 1, 2. Докажем следующее включение.

Предложение 2. Если существует д\^(1(п-1))(х), то существует К3-суб-дифференциал п-го порядка дК f (х) и имеет место включение:

ЭК!'(х) С (п-1))(х).

Доказательство. Как показано в доказательстве предложения 1, справедливо равенство:

[ I ]

Ап1 (х,Н) ^ а1}(п-1)(х,апкН)

EA f '(x,ankh) п -^-^ (15)

(2h)n (2ankh)

(n — 2k)n

где ank = n - 2k, (3nk = (-1)kck~2ñ~rñ\ ' П° лемме 1

[ n ]

Y^Pnk = i. (16)

k=i

При этом:

Alf (n-l)(x,ankh) ^ Alf (n-l)(x,ankh)

(2апкН)п ( (2апкН)п

В силу выпуклости оценки (17) и равенства (16), имеем:

0 <h<5

}■ (17)

\о<h<í}. as)

Таким образом, из (15) и (18) следует:

Af (xh & ,Alf ^bcnkh) о <h<A

l (2ank h)n У

(2Н)п I (2апкН)п

откуда:

г Ап1 (х,Н) , г а1}(п-1)(х,апкН) , л

со1 ' 0 <Н<5\ С со\—1 . ' 0 <Н<5\

I (2Н)п / I (2апкН)п /

Переходя к К-пределу с использованием признака Вейерштрасса ( [5], [7]), получаем: (х) С 5^(1(п-1))(х). □

Получим теперь формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано для К^-субдифференциалов.

Теорема 12. Предположим, 'что существует дкI(п-1) (х) и отображение I абсолютно непрерывно в окрестности точки х. Тогда имеет место оценка:

п— 1

f (x + h) - £ ^^Г hk & и (dli}f{n-l))(x + 0h)} + o(hn). (19)

k=0 ' ' 0<e<l

Доказательство. Из существования дЦ(п-1 (х) следует, что f имеет обычные производные до (п - 1) порядка включительно в окрестности точки х. Применим математическую индукцию.

a) При п = 1 равенство (19) принимает вид:

f (х + Н) - f (х) € ш{ и (д^)(х + вН)} ■ Н + о(Н). 0<в<1

Таким образом, получаем теорему 2 о среднем для К8-субдифференциалов.

b) Воспользуемся индукцией по п. Допустим, утверждение теоремы верно для V/, удовлетворяющего условию теоремы для порядка (п - 1):

Нп-1

¡(х + Н) - ¡(х) € с^ и (х + вН)} + о(Нп-1)

0<в<1

Отсюда Vyn-l € с^ У (д[^(п-1))(х + вН)} имеем:

0<6><1

~ ~ Н'П-1

/(х + Н) - 1(х) ----Уп-1 € о(Нп-1),

(п - 1)1*

где оН ^ не зависит от выбора уп-1. Введем Vyn € со| (д^ (п (х + вН)|

0<6><1

вспомогательную функцию:

Гп(1, уп; Н) = f (х + Н) - f (х) - £ Нк - пуп.

^ к! п!

к=1

Вычислим обычную производную вспомогательной функции гп:

п1

а уп; н) = / (х+н) - £ Нк-1 - (-у. у"■

Поскольку, д(п 1)(х) = д\К((fl)(п ^(х), то по допущению индукции: г'п(1,Уп; Н) = Тп-1(Г,Уп-1 = Уп; Н) = о(Нп-1). Применяя обычную теорему о среднем (0 < в < 1), получим:

Гп(1, Уп; Н) € с^{г"(1, Уп; вН)\0 <в< 1} ■ Н = о(Нп-1) ■ Н = о(Нп).

Итак, доказано по индукции, что f (х + Н) f Нк - Н-уп = оШ1), где мно-

к!п!

к=0

гозначная оценка «о» не зависит от выбора уп € со| (дЦ(п-1)) (х + вН) |.

0<6><1

1 {(к)(х) Н"

В таком случае f (х + Н) - ^ ——— Нк € —.уп + ^Н") при любом выборе

к! п!

к=0

г

уп € со| (п-1^) (х + ОН)|. Таким образом, мы получили равенство (19). □

0<в<1

Для нечетного порядка имеет место следующая формула Тейлора.

Теорема 13. Если отображение I' абсолютно непрерывно в окрестности и(х) и существует (2п))(х) = д^^1!(х), то имеет место равенство:

I(х + Н) — I(х — Н) — 2 £ Н2к-1 € 2(Н+~[у_дКп+1]1 (х) + о(Н2п+1). (20)

Доказательство. Применим математическую индукцию.

а) При п = 1 равенство (20) принимает вид: |(х + Н) — I(х — Н) € 2д\^1 (х) • Н + о(Н). Получаем:

1 (х + Щ — 1 (х — Щ € дККи(х) + о(1). (21)

2h

Поскольку dgf (x) = K- lim co{ f (x + f (X ~ k) | 0 < h < б}, то

Уе > 0 3 б > 0 (0 <h<5), следует: cd{ f (x + hh)——f (x ~ С К (x) + Qe(0).

В частности, -—- € дKj (x) + O£(0). При этом, вводя многозначное

13

1 (х + Н) — 1 (х — Н) ^ д['] 2Н

отображение

ф(6)= 0ф)(0),

следует: ф(Н) = о(1) при Н ^ 0. Таким образом выполнено условие (21). Ь) Допустим, утверждение теоремы верно для V/, удовлетворяющий условию теоремы для порядка для порядка (2п — 1):

¡(х + Н) — ¡(х) € 2п — ! д[Кп-1]1(х) + о(Н2п-1). Отсюда Vy2n-l € д1^-11(х)

~ ~ Щ2п-1 вытекает: }(х + Н) — }(х) — ^-щу2п-1 € о(Н2п-1), где о(Н2п-1) не зависит от

выбора у2п-1. Введем Vy2n+1 € д^п+1^ I(х) вспомогательную функцию:

" I (2к-1)(х) Н2п+1

Т2п+1(1, Н) = I(х + Н) — I(х — Н) — 2 \2к — ^; Н2к-1 — у2п+1.

Вычисляя обычную вторую производную вспомогательной функции Т2п+1 по Н, имеем:

п I (2к-1)(х) н2п-1

т'2п+1(1, Н) = и (х + Н) — и (х — Н) — 2 £ 1{2к — у Н2к-3 — у2п+1,

откуда, по допущению индукции, следует:

т'2п+1(1, у2п+1; Н) = Т2п-1(/',у2п-1 = у2п+1; Н) = о(Н2п-1).

Применяя дважды обычную теорему о среднем (0 < О < 1), получим:

Г2п+1(/',У2п+1; Н) € со^п+Л/ ,У2п+1; вН)

0<в<1 Н

с о и со (г;,-)/, [0; вН])} ■ Н = 0<в<1

со{ и со Г2п-1(/[0; вН]) ■ н} ■ Н = о(Н2п-1) ■ Н2 = о(Н2п+1),

0<в<1

т.е. г2п+1(/'', Н) = о(Н2п+1). Доказано по индукции, что

" и (2к-1)(х) Н2п+1

/(х + Н) - /(х - Н) - 2 кц Н2к-1 - 2(пТ1у_ У2П+1 = о(Н2п+1),

где оценка «о» не зависит от выбора Vy2n+1 € д^К"+1^ I(х). Отсюда

п и (2к-1)(х) н2п+1

/(х + Н) - I(х - Н) - 2 кц ;{2к - у Н2к-1 = У2П+1 + о(Н2п+1),

следовательно, равенство (20) выполнено. □

Аналогично получим формулу Тейлора в четном случае.

Теорема 14. Если отображение / абсолютно непрерывно в окрестности и(х) и существует дК2"/(х) = д\К(/(2п-1))(х), то имеет место равенство:

К

п-1 I (2к)(х) н2п

I(х + Н) + и(х - Н) - 2 £ ХщгН2к € 2щ1 дКП/(х) + о(Н2п).

(22)

к=0

Доказательство. Применим математическую индукцию. а) При п = 1 равенство (22) принимает вид: /(х + Н) - 2/(х) + /(х - Н) € 2дК/(х) ■ Н2 + о(Н2). В таком случае

1 (х + Ш - 2Шх) + 1 (х - Ш € КI(х) + о(1). (23)

Поскольку дК11 (х) = К- Иш Ц 1 (х + Ш - /х) + 1 (х - Ш | 0 <Н< 5}, то Ve > 0 3 5 > 0(0 <Н < 5), следует:

Ц1 (х + Ш - 2/(х) +1 (х - Ш} с дК^и(х) + ае(0).

/(х + Н) - 21(х) + I(х - Н) ^ дп Н2

значное отображение

В частности, -^- €

дК I(х)+ Ое(0). Отсюда, вводя много-

Ф(5)= Оф)(0),

имеем: ф(Н) = о(1) при Н ^ 0. Таким образом, выполнено условие (23).

Ь) Допустим, утверждение теоремы верно для V/, удовлетворяющего условию тео-

~ ~ Н2п-2 [ ] ~

ремы для порядка (2п — 2): -(х + Н) — -(х) € — ^д[2п-2—(х) + о(Н2п-2).

Тогда Vy2n-2 € д^1-2!(х) получаем: ¡(х + Н) — -(х) — —-~т.У2п-2 € о(Н2п-2),

(2п — 2)!'

выбора у2п-2 € д^-2— (х)

вспомогательную функцию:

где о(Н2п 2) не зависит от выбора у2п-2 € сд^ 2—(х). Введем Vy2n € дкп—(х)

п-1 — (2к)(х) Н2 Т2п(и Н) = I(х + Н) — I(х — Н) — 2^2 Н2к — 2(Н^У2п.

п-1 р(2к) ? \ нЩ2п

Л=о (2к)!

Вычисляя обычную вторую производную вспомогательной функции Т2п по Н, имеем:

п- 1

I(2к)(х) и2к-2 Н2

п2

Т2п(I, Н) = - (х + Н) — - (х — Н) — 2 кц 2к — 2)1 Н — {2п — 2)] У2п

откуда, по допущению индукции, следует:

т'2п-, У2п; Н) = Т2п-2—'', У2п-2 = У2п'; Н) = о(Н2п-2).

Применяя дважды обычную теорему о среднем (0 < О < 1), получим:

Т2п(—,У2п; Н) € со{т2п—' ,У2п; ОН)

0 <О < 1| • Н С

с о и со (т2п-1)—', [0;ОН])} • Н = г 0<в<1 )

= со{ и сот2п-2(—', [0; ОН]) • н} • Н = о(Н2п-2) • Н2 = о(Н2п), 0<в<1

т.е. т2п(-'',Н) = о(Н2п). Доказано по индукции, что

п-1 — (2к)(х) Н2п

-(х + Н) — -(х — Н) — 2 Н2к — 2^У2п = о(Н2п),

где оценка «о» не зависит от выбора Vy2n € д^п— (х). Отсюда

п-1 - (2к)(х) Н2п

-(х + Н) — -(х — Н) — 2 Е ^ЩГН2к = 2^У2п + о(Н2п),

следовательно, т2п(—', Н) = о(Н2п). В результате имеет место равенство (22). □

Автор выражает признательность проф. И. В. Орлову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Басаева Е. К. О субдифференциалах не всюду определенных выпуклых операторов // Владикавказский математический журнал. - 2006. - 8, № 4. - С. 6-12.

[2] Демьянов В. Ф., РощинаВ.А. Обобщенные субдифференциалы и экзостеры // Владикавказский математический журнал. -2006. - 8, № 4. - С. 19-31.

[3] Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Локальный выпуклый анализ // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — 1982. — 19. — С. 155-206.

[4] Сакс С. Теория интеграла: Пер. с англ. И.С.Березина, Б.М.Будака и Л. А. Гусарова. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. — 496 с.

[5] Орлов И. В., СтонякинФ.С. Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные результаты // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — 34. — С. 121-138.

[6] Орлов И. В., СтонякинФ.С. Предельная форма свойства Радона - Никодима справедлива в любом пространстве Фреше // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. — 37. - С. 55-69.

[7] Орлов И. В., ХалиловаЗ.И. Компактные субдифференциалы в банаховых пространствах и их применение к вариационным функционалам // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2013. — 49. — С. 99-131.

[8] Орлов И. В., ХалиловаЗ.И. Компактные субдифференциалы в банаховых конусах // Украинский математический вестник. — 2013. —10, № 4. — С. 532-558.

[9] Тихомиров В. М. Выпуклый анализ // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1987. — 14. — С. 5-101.

[10] ФихтенгольцГ. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 — . — Т. 1. — 2001. - 607 с.

[11] ПоловинкинЕ. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с.

[12] Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.

[13] РокафелларР. Выпуклый анализ: Пер. с англ. А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова. —М.: Мир, 1973. —472 с.

[14] НатансонИ.П Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 480 с.

[15] ГурсаЭ. Курс математического анализа: Пер. с франц. А.И.Некрасова. — М.: Гос-е технико-теоретическое изд-во, 1933. — 271 с.

[16] ХалиловаЗ.И. Компактные субдифференциалы высших порядков и их применение к вариационным задачам // Динамические системы. — 2012. —- Т. 2(30), № 3-4. -- С. 115—133.

[17] ХалиловаЗ.И. Применение компактных субдифференциалов в банаховых пространствах к вариационным функционалам // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Физико-математические науки". - 2012. — 25 (64) , № 2. — С. 140-160.

[18] СтонякинФ.С. Компактные характеристики отображений и их приложения к интегралу Бохнера в локально выпуклых пространствах // Дисс. к.ф.-м.н., Симферополь, 2011.

[19] Баран И. В. Симметрические компактные субдифференциалы первого порядка // Ученые записки Тавр. нац. ун-та им. В. И. Вернадского. —2013. — Т. 26(65), №1. — С. 16-30.

[20] Баран И. В. Симметрические компактные субдифференциалы второго порядка и их применение к рядам Фурье // Динамические системы. — 2013. —- Т. 3(31), № 3-4. -С. 201—214.

[21] Davis W.J. The Radon - Nikodym property // Seminare d'analyse fonctionelle (Polytechnique) (1973-1974). — exp no. O.-P. 1-12.

[22] DiestelJ., UhlJ. J. Vector Measures. — Providence, Amer. Math. Soc., 1977.

[23] JamesR.D. Generalized nTH primitives // Trans. Amer. Math. Soc. — 1954. — Vol. 76, №1. — P. 149 - 176.

[24] OrlovI.V., StonyakinF. S. Compact variation, compact subdifferentiability and indefinite Bochner integral // Methods of Functional Analysis and Topology. — 2009. — Vol. 15, №1. — P. 74 - 90.

Теорема про середне та формула Тейлора для симетричних похщних i симетричних K-субдиференщалiв

У статтг розглянуто поняття симетричного компактного субдиферен-цгала n-го порядку. Отриманг теорема про середне та формула Тейлора для симетричних похгдних г симетричних K-субдиференцгалгв. Розгля-нутг деякг застосування.

Ключовi слова: симетрична похщна, симетричний компактний субдиференщал, теорема про середне, формула Тейлора, абсолютна неперервшсть.

Mean value theorem and Taylor formula for symmetric derivatives and symmetric K-subdifferentials

A few years ago гп the works [5], [6] the concept of compact subdifferential (or K-subdtfferenUal) was mtroduced and then is has found successful appUcaUon to the vector mtegratwn theory and m the calculus of variaUons.

Recently, the concept of the K-subdfferenUal was generatized to the symmetric case. The concept of the symmetric K-subdzfferenUal (or Ks-sub-dгfferentгal) generatizes symmetric derivaUve nstead of usual one.In the works [19], [20] the baszc tools of the theory of the first and the second order Ks-sub-dгfferentгals were researched.

Our work conta%ns research of n-th order Ks-subdгffer■entгals. Lzke the case of the usual K-subdгfferentгal, symmetric subdгfferentгal is defined as the fЫlowгng K -Umгt:

20

M. B. BapaH

In the first section the finite increments formula is received and the following mean value theorem for Ks-subdifferentiable mappings is proved:

f (x + h) - f (x) £ co( |J dlHf (x + Oh}) • h. o<e<i

In particular, the following mean value theorem for symmetric derivatives is received:

f (x + h) - f (x) £ co f' ((x; x + h)) • h. The second and third sections contain Taylor formula, first for the symmetric derivatives and then for the Ks-subdifferentiabls. Let's formulate, as an example, the Taylor formula for the Ks-subdifferentiabls.

Theorem. Let a mapping f : U(x) ^ F be absolutely continuous in some neighborhood U (x) of the point x £ R, where F is an arbitrary real Banal space. Suppose that there exists d\^(f (n-1))(x). Then the following estimate:

n— 1

f (x + h)-Y, hk e n 0 U (9Kf{n-1)) (x + eh)} + o(hn). (24)

h € n ou (41

k=0 ' O<0<1

is valid.

Note in addition, that n-th order Ks-subdifferential is connected with the right part of (24) by the inclusion

d[n]f (x) C d$(f(n-1))(x).

Keywords: symmetric derivative, symmetric compact subdifferential, mean value theorem, Taylor formula, absolute continuity.