Аналог теоремы Ула о выпуклости образа векторной меры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Аналог теоремы Ула о выпуклости образа векторной меры

Ф. С. Стонякин

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе вводится понятие антикомпактного множества (антикомпакта) в пространствах Фреше. Приведены примеры систем антикомпактов в сепарабельных гильбертовых и банаховых пространствах. Детально исследованы общие свойства антикомпактных множеств. Доказано существование системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше. На базе полученных результатов в классе сепарабельных пространств Фреше доказан аналог теоремы Ула о выпуклости и компактности замыкания образа безатомной векторной меры ограниченной вариации в некотором пространстве, порождённом антикомпактом.

Ключевые слова: пространство Фреше, антикомпактное множество, эллипсоиды, безатомная векторная мера, мера ограниченной вариации, теорема Ула.

Введение

Для отображений в конечномерные пространства хорошо известна теорема А. А. Ляпунова о выпуклости образа безатомной векторной меры ~jt : £ —> Rra, заданной на ст-алгебре подмножеств £ некоторого пространства Q [1]. Этот результат имеет многочисленные приложения в оптимальном управлении, математической экономике, математической статистике, теории игр [2] — [5]. Ввиду этого известно множество модификаций и обобщений этого результата в конечномерных пространствах, в том числе и относительно современных [8] — [14]. В частности, отметим работу с аналогами теоремы Ляпунова для некоторых специальных подмножеств ~jt(£) [14].

Однако, как показывает множество примеров, теорема Ляпунова неверна для векторных мер со значениями в бесконечномерных пространствах [1, 6, 7]. При этом существует множество аналогов указанной теоремы Ляпунова для бесконечномерных банаховых пространств, которые используются, в частности, в работах [4, 5]. Наиболее известный подход заключается в выделении класса банаховых пространств E с так называемым свойством Ляпунова. В каждом таком пространстве E для любой счётно-аддитивной безатомной меры ~jt : £ —> E замыкание ~jt(£) множества ~jt(£) выпукло [6, 7]. Свойством Ляпунова обладают, например, пространства c0, lp (p € [1; 2) U(2;[7]. Но указанным свойством не обладает множество важнейших пространств, в т.ч. и сепара-бельное гильбертово пространство 12. Также известна теорема Ула о выпуклости множества (£) в случае мер ограниченной вариации со значениями в пространствах со свойством Радона-Никодима (см. [6], с. 266).

Теорема 1. (Uhl J.J.) Пусть E — банахово пространство со свойством Радона-Никодима. Для всякой безатомной векторной меры ограниченной вариации ~jt : £ —^ E множество ~jt(£) выпукло и компактно в E.

© Ф. С. СТОНЯКИН

Но, как свойство Ляпунова, так и свойство Радона-Никодима существенно ограничивают класс рассматриваемых пространств (ни тому, ни другому свойству не удовлетворяют, например, пространства Li[a; b] и C[a; b]).

Мы же ставим задачу получить аналог теоремы Ула в бесконечномерном случае без столь существенных сужений класса пространств. Наш подход к основан на новом понятии антикомпактного множества в пространствах Фреше. Поясним суть этого подхода. Весьма известно понятие компактного множества в топологических векторных пространствах. Такие множества обладают рядом весьма важных свойств, не присущих ограниченным множествам в бесконечномерных пространствах. Это как раз и приводит ко многим проблемам бесконечномерного анализа таким, как проблема переноса теоремы Ляпунова о выпуклости образа векторной меры (описана выше), проблема переноса теоремы Радона-Никодима о представимости абсолютно непрерывного отображения в виде интеграла Бохнера, проблема Крейна-Мильмана существования крайних точек ограниченных замкнутых множеств, не являющихся компактными и др. Ввиду этого возникла идея «сделать» ограниченные замкнутые множества компактами, но в другом пространстве (причём важно, чтобы это пространство было достаточно удобным). Аппаратом для реализации отмеченной идеи как раз и служит понятие антикомпактного множества, которому в частности и посвящена настоящая работа. На базе этой системы антикомпактов как раз и удаётся, в некотором смысле, решить проблему, связанную с переносом теоремы Ула в классе сепарабельных пространств Фреше.

Работа состоит из введения и трёх основных разделов. В первом разделе вводится понятие антикомпактного множества в пространствах Фреше, приведены два примера систем антикомпактов — системы эллипсоидов в сепарабельных гильбертовых пространствах, а также системы эллипсоидов в пространстве непрерывных функций C[0; 1].

Второй раздел посвящён исследованию свойств антикомпактных множеств. Основной результат раздела 2 — существование системы антикомпактов во всяком сепарабельном пространстве Фреше Е (теорема 2).

И, наконец, в третьем разделе работы получен аналог теоремы Ула о выпуклости в классе сепарабельных пространств Фреше — показана выпуклость и компактность замыкания в некотором пространстве Е^ множества значений векторной меры ограниченной вариации (теорема 4).

1. Определение и примеры антикомпактов

Обозначим через Q,ac(Е) набор всех замкнутых абсолютно выпуклых подмножеств пространства Фреше Е.

Определение 1. Назовем множество C € Qac антикомпактным в E, если:

(i) pc(a) = 0 ^ a = 0 вЕ (или f| Л • C = {0});

А>0

(ii) любое ограниченное подмножество E содержится и предкомпактно в пространстве Ее = (span C, р^(•)). Здесь под Ре(^) мы понимаем функционал Минковского абсолютно выпуклого множества C С Е и считаем что Ее пополнено относительно нормы || • ||е = Ре(•). Примем обозначение: C(Е) — набор антикомпактных подмножеств пространства Фреше Е.

Приведём примеры антикомпактных множеств (или, сокращённо, антикомпактов) в некоторых пространствах.

Пример 1. Пусть E = H = ¿2 — сепарабельное гильбертово пространство. В таких пространствах существует система так называемых эллипсоидов [15]. Пусть е = (е\,£2, ■■■) — последовательность положительных чисел. Для каждой такой

последовательности е эллипсоидом называется следующее множество

( ™ L |2 ]

C£ =< X = (X1,X2, ■■■,Xn, ■■■) € I2 | £ -T~ < ^f ■

{ k=l ek )

Доказано, что Ce компактно тогда и только тогда, когда е ^ 0 (см. [15]). Отметим, что множество Ce абсолютно выпукло. Норма || • 1с Е, порождённая Ce в пространстве Hos = span Ce, имеет вид

(е Nnl2 •

Vk=1 £к J

INI = 1/. 2

£к

Лемма 1. Если £ ^ ж, то Ое — антикомпакт.

Доказательство. Действительно, поскольку любое ограниченное множество В С Н поглощается единичным шаром, то, не уменьшая общности рассуждений, вместо Б достаточно рассмотреть единичный шар

те

En2 k=1

B = jx = [Xk}£ 12 I > Ук = 1

Ясно, что рв(•) = || • ||^2. Так как

^ X, 12 ^ |r2|

Mi = £ Ixk I2 = £ 4 • N- = £ Щ

a2 z—^

k=1 k=1 k k=1 k

J_

ek . имеем, что — B компакт в Ecf , т.е. Ce антикомпактно в H. □

где £k = 1 и x = (Ж1,Ж2, ••^Xn, •••) € Has, Xk = x (a ^ +ж), то ввиду £k ^ 0 при k ^ ж

Замечание 1. Предыдущий пример позволяет объяснить смысл термина «антикомпактность». Дело в том, что условие компактности эллипсоида £ ^ 0 в некотором смысле есть противопоставление условию антикомпактности эллипсоида £ ^

Теперь покажем, как можно строить примеры антикомпактов в банаховых пространствах. Для этого рассмотрим пример в «типичном» банаховом пространстве непрерывных функций С[0; 1] в том смысле, что по теореме Банаха-Мазура, всякое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно подпространству E С С[0; 1].

Пример 2. Для произвольной числовой последовательности £ = £ > 0)^= назовём (невырожденным) 5-эллипсоидом в Е С С[0; 1] множество

Се =( * € Е | |^(0)|2 + £ ^ < Л ,

I к=1 £к )

где шф(5) = sup \ф(х1) — ф(х2)\ — ¿-модуль непрерывности функции ф (при 5 > 0),

\xi—X2\<6

5 = {5k}fc=i — последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю.

Ясно, что множество Ce абсолютно выпукло. Норма || • !сЕ, порождённая Ce в Ecs = span Ce, имеет вид

(5k)х 1

с, :=(|Ф(0)|2 + £ ^ 3 . (1.1)

V k=i £k J

Отметим, что если последовательность е ^ 0, то Ce — компакт в E (отметим, что обратное утверждение неверно). Действительно, в таком случае wv(5k) ^ 0 при lim 5k = 0

k—^^о

равномерно по ф. Замкнутость Ce в пространстве E следует из непрерывной зависимости | ф(0) | и Шф(5) от ||ф||. Компактность Ce вытекает из теоремы Арцела-Асколи об описании компактов в пространстве C[0; 1].

Покажем, что возможно выбрать последовательность е ^ то так, чтобы получить антикомпактное множество.

Лемма 2. Оуществует последовательность е ^ то такая, что множество Ce анти-компактно в E.

Доказательство. Выберем такую последовательность е0 = (е01, е02, е0п,...), чтобы

те

ряд £ ~2г был сходящимся и рассмотрим гильбертово пространство Ec 0, порождён-k=ieok £ ное эллипсоидом Ceo. Так как |ф(0)| < ||ф|| и uv(5k) < 2||ф||, то (здесь ||ф|| = max |ф(£)|)

t&[0;1]

^ i

<2ЦфЦ• по

(i+£ -2т)

V k=i еоk)

Со ^ -11^11 I - | / , _2

е0

Следовательно, О£о содержит некоторый шар в Е с центром в нуле. Далее, согласно предыдущему примеру, в пространстве Ес^0 можно построить систему антикомпактов О£.£о, где е ^ +то. □

Отметим, что результат леммы 2 является базовым для одного из основных результатов работы — существования системы антикомпактов в произвольном сепарабельном пространстве Фреше (теорема 2).

2. Общие свойства антикомпактов

Данный пункт посвящён детальному исследованию свойств антикомпактных множеств. Начнём с очевидных свойств антикомпактов в произвольных пространствах Фреше.

Предложение 1. Если множество С € С(Е) и А € Ь(Е; Е), где Б и Р — пространства Фреше, то А(С) €С(Е).

Предложение 2. Если последовательность {Хп}^! С Е сходится в Б, то она сходится и в Ес для произвольного С € С(Е).

Доказательство. Отметим лишь, что для любой непрерывной полунормы || • || и для некоторого числа К > 0 верно неравенство || • < К • || • || для всякого антикомпактного множества С € С (Е). □

Переходим к свойствам шкалы пространств, порождённых антикомпактами. Начнём с очевидного свойства.

Предложение 3. Если С € С(Е), С € 0ас(Е), П А • С = {0} и С С С С € С(Е).

А>0

Переходим к изложению основного результата раздела — доказательству существования антикомпактного множества во всяком сепарабельном пространстве Фреше.

Теорема 2. В любом сепарабельном пространстве Фреше существует антикомпактное подмножество.

Доказательство. 1) Начнём со случая банахова пространства Е. По теореме Банаха-Мазура, всякое сепарабельное банахово пространство Е = Е, где Е — некоторое подпространство пространства непрерывных функций С[0;1]. В качестве искомого антикомпакта можно взять любой антикомпактный ¿-эллипсоид в Е С С[0; 1] (их существование доказано в лемме 2).

2) Перейдём теперь к случаю, когда Е — пространство Фреше. Напомним, что любое пространство Фреше Е со счётной определяющей системой полунорм {|| • Цзявляется проективным пределом последовательности банаховых пространств Е], где Е) являются пополнениями по фактор-нормам фактор-пространств Е] = Е/квгЦ • ^ (3 € М).

В силу п.1 настоящего доказательства € N существует антикомпакт С, т.е. Е3 ^^ Ея . Не уменьшая общности рассуждений, систему антикомпактов |С3} , можно выбрать неубывающей (если нужно, рассмотрев вместо этого систему множеств

оо

{ и С}дт=1, которые антикомпактны в силу предложения 3). При таком соглашении:

3 = 1

МЬ. >ЬИбк ™ > з. (2.1)

Пусть Е = Л Ея — прямое произведение пространств Ея . Рассмотрим множество

^ |М|я С := {х € ЕЕ | < ж.

Поскольку Е — проективный предел пространств ЕЕ3 и поэтому Е может быть плотно и непрерывно вложено в ЕЕ3, то всякое ограниченное множество С С Е может быть

инъективно (ввиду отделимости пространства Е) и непрерывно вложено в произведение Л 32<Ез, которое компактно в Е по теореме Тихонова в топологии прямого произведе-

ния. Далее, в силу (2.1) и сходимости ряда ^ -2 можно проверить компактность С в

3=1 3

пространстве Ea, порождённом и пополненном относительно нормы

Поэтому С — непустой абсолютно выпуклый компакт в Е, т.е. С — антикомпакт в Е. □

3. Аналог теоремы Ула в пространствах Фреше

Данный пункт посвящён основному результату работы — аналогу теоремы о выпуклости множества векторной меры ограниченной вариации в произвольных сепарабель-ных пространствах Фреше. Перед изложением основных результатов раздела приведём некоторые вспомогательные понятия и результат из работы [17]. Пусть £ — некоторая ст-алгебра подмножеств Б (эти обозначения будем использовать далее). Напомним ([18], стр. 104), что полной вариацией векторной меры V : £ — Е относительно некоторой непрерывной полунормы || • || в Е называется отображение | V |: £ — [0;+ж], которое определяется равенством

где супремум берётся по всем конечным наборам {А1, А2,..., Ап} С £ таким, что

U Ak С A. Легко проверить, что отображение | v | — конечная счётно-аддитивная k=l

положительная мера на £ (см. [18], стр. 104). Обозначим через V(S,E) множество всех векторных мер v : £ ^ E, которые имеют конечную полную вариацию | v | (S) < то относительно некоторой непрерывной полунормы || • || на E (см. (3.1)). Будем обозначать через Ес = (span C, || • ||с) банаховы пространства с нормами || • ||с, равными функционалам Минковского абсолютно выпуклых компактов C € С(Е). Эти пространства были введены и детально изучались И.В. Орловым (см., например [15, 16]).

Определение 2. Будем говорить, что v имеет (сильную) компактную вариацию на S, если существует компакт C € С(Е) такой, что v : £ ^ Ес и v € V(S,Ec). Примем обозначения: v € Vk (S,E), | v ^ — полная вариация векторной меры v относительно нормы | • | с.

Для того, чтобы сформулировать необходимый результат из [17], нам потребуется новая характеристика для мер v € Vk(S,E), а именно — (сильная) компактная абсолютная непрерывность относительно конечной числовой меры ц на £. Обозначим через AC(S, Е) множество всех зарядов v € V(S, Е), обладающих свойством обычной абсолютной непрерывности векторной меры относительно ц, то есть таких, что мера v ^ ц

Определение 3. Будем говорить, что векторная мера V € Ук(Б, Е) (сильно) компактно абсолютно непрерывна на Б относительно если существует такой компакт С € С(Е), что V : £ — Ее и V € АС (Б, Ее). Примем обозначение: V € АСк (Б, Е). Приведём важный вспомогательный результат из [17].

n

(3.1)

n

(ß(A) = 0 ^ IvI(A) = 0 или Уа > 0 35 > 0 : (ß(A) < ö) ^ Iv|(A) < a).

Теорема 3. Если v € ACk(S,E), то найдётся такое интегрируемое по Бохнеру отображение f : S ï E, что У A € £ верно

v (A) = (B ) J f (t)dj(t). (3.2)

A

Переходим к финальному результату работы — аналогу теоремы Ула в произвольных сепарабельных пространствах Фреше (мы не используем ограничение на класс пространств, но замыкание множества берём не в исходном пространстве, а а в некотором пространстве, порождённом антикомпактом). Этот результат утверждает выпуклость и компактность замыкания в некотором пространстве Eç (C € C(E)) множества значений векторной меры в сепарабельных пространствах Фреше.

Теорема 4. Пусть — сепарабельное пространство Фреше, jt : £ ï E — безатомная векторная мера ограниченной вариации. Тогда замыкание множества

j(£) = {j(A) I A € £}

выпукло и компактно в некотором пространстве Eç, C € C(E).

Доказательство. Из теоремы 2 вытекает, что в любом сепарабельном пространстве Фреше существует антикомпакт C. Тогда из условия jjj € V(S, E) следует, что jtt имеет компактную вариацию в Eç. Более того, если обозначить через I~jî(-)Iç полную вариацию векторной меры j в пространстве Eç, то несложно понять, что векторная мера j абсолютно непрерывна относительно числовой меры \~jjj(-)|ç. Следовательно, j € ACk(£,Eç) и поэтому jjj представима в виде в виде неопределённого интеграла Бохнера по теореме 3. Доказываемое утверждение теперь вытекает из выпуклости образа векторной меры, представимой в виде интеграла Бохнера (см. [6], стр. 266, доказательство теоремы 10). □

Список цитируемых источников

1. Ляпунов А. А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Известия АН СССР. — 1940. — Т.4. — С. 465-478.

2. Ляпунов А. Н. Теорема А.А. Ляпунова о выпуклости значений мер // Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения — Новосибирск: Акад. изд-во «Гео», 2011. — С. 257-261.

3. Кутателадзе С. С. Теорема Ляпунова, зоноиды и бэнг-бэнг // Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения — Новосибирск: Акад. изд-во «Гео». — 2011. — С. 262-264.

4. Аркин В. И., Левин В. Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи // Успехи мат. наук. — 1972. — Т.27, вып.3.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23, вып.6. — С. 51 — 116.

6. Diestel J., Uhl J. J. Vector Measures, Providence, Amer. Math. Soc., 1977, 320 p.

7. Кадец В. М. Курс функционального анализа. — Х.: ХНУ им. В. Н. Каразина, 2006. — 615 с.

8. Neyman J. Un thfeor'em d'existence / J. Neyman // C.R. Acad. Sci. Paris. — 1946. — Vol. 222. — P.843 — 845.

9. Steinhaus H. Sur la division pragmatique / H. Steinhaus // Econometrica. — Vol. 17(Supplement: Report of the Washington Meeting). — 1949.— P. 315 - 319.

10. Arzi Orit. Throw One's Cake and Eat It Too / Orit Arzi, Yonatan Aumann Yair Dombb. // arXiv:1101.4401v2 [cs.GT] 11 Nov 2011.

11. Mossel Elchanan. Truthful Fair Division / Elchanan Mossel, Omer Tamuz // arXiv:1003.5480v2 [cs.GT] 31 Jul 2010.

12. Chen Y. Truth, justice, and cake cutting / Yiling Chen, John Lai, David C. Parkes, and Ariel D.

— Procaccia.Association for the Advancement of Artificial Intelligence. 2010.

13. Fabio Maccheroni. How to cut a pizza fairly: fair division with decreasing marginal evaluations. Maccheroni Fabio, Marinacci Massimo // Social Choice and Welfare. - Springer-Verlag GmbH — 2003. — P. 457 - 465.

14. Dai Peng, Feinberg Eugene A. Extension of Lyapunov's convexity Theorem to subranges / Peng Dai Mossel, Eugene A. Feinberg // arXiv:1102.2534v1 [math.PR] 12 Feb 2011.

15. Орлов И. В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы. / И. В. Орлов // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 29.

— С. 165-175.

16. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Limit form of Radon-Nikodym property is true in arbitrary Frechet space // Contemporary Math. Fundamental Directions. — 2010. — Vol. 37. — P. 55-69.

17. Стонякин Ф. С. Сильные компактные характеристики и предельная форма свойства Радона-Никодима для векторных зарядов со значениями в пространствах Фреше/ Ф. С. Стонякин // Учёные записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия «Физико-математические науки.» — 2010. — т. 23(62), № 1. — С. 131 - 149.

18. Вахания Н. Н. Вероятностные распределения в банаховых пространствах / Н.Н. Вахания, В. И. Тариеладзе, С. А.Чобанян. — М.: Наука, 1985. — 368 с.

Получена 20.10.2013