Седловые предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 192-203

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 621.01.512

Седловые предельные циклы второго рода

_ и 1 и __ и

поисковом системы фазовой автоподстроики частоты

С.С. Мамонов

Аннотация. Рассматривается система дифференциальных уравнений с матрицей линейного приближения, имеющей определитель равный нулю. Получены условия существования седловых предельных циклов второго рода. Рассмотрен пример системы с синусоидальной нелинейностью, имеющей седловой предельный цикл второго рода.

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, предельный цикл второго рода.

Введение

В работе рассматривается система дифференциальных уравнений, являющейся математической моделью астатической поисковой системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) [1-4]. Рабочими режимами для системы ФАПЧ являются режимы синхронизации. Нахождение условий синхронного режима связано с исследованием асинхронных режимов, особенностью которых является нарастание разности фаз. Среди асинхронных режимов выделяют вращательный режим, соответствующий предельному циклу второго рода системы. Вращательный режим представляет интерес, так как он предшествует режиму синхронизации. Особенностью астатической поисковой системы ФАПЧ является равенство нулю определителя матрицы линейного приближения. Для систем дифференциальных уравнений выше второго порядка, наряду с устойчивыми предельными циклами второго рода, могут появиться седловые предельные циклы второго рода [5]. Трудности нахождения условий существования седловых циклов многомерных систем связаны с невозможностью применения теоремы Брауэра [6]. Наличие сед-ловых предельных циклов второго рода позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ФАПЧ условия режимов синхронизации.

В статье на основе метода нелокального сведения [7, 8] получены условия существования седловых предельных циклов второго рода, предложена

методика нахождения областей фазового пространства, содержащих седловые циклы. На примере системы ФАПЧ с фильтром второго порядка и синусоидальной нелинейностью получены условия существования седлового предельного цикла второго рода.

1. Основной результат

Динамика астатической поисковой системы фазовой автоподстройки частоты ФАПЧ описывается системой дифференциальных уравнений [1-4]

х = Ах + Ьр (а)

■ Т + ( ) (1)

а = с х + рр (а)

где х,Ь,с € Яп, р ^ 0, ёе! А = 0, р (а) — непрерывно дифференцируемая и А — периодическая функция. Система вида (1) изучалась в работах [7-10], где качественно-численными методами получены условия существования и числа предельных циклов второго рода. В случае п = 2 и различных видах функции р (а) система (1) численными методами детально исследована в работе [10]. Тем не менее, открытыми остаются вопросы нахождения условий существования седловых предельных циклов второго рода.

Определение. [7] Решение г(Ь,г°) = | х(^,х°М системы (1) называется

\а(г, ■°))

предельным циклом второго рода, если существует т > 0, целое число ] = 0, такие, что а (Ь + т, а°) = а (Ь, а°) + А], х(Ь, х°) = х(Ь + т, х°).

Теорема 1. Пусть для системы (1) существуют Х^т, к = 2,п, т =

= 1,к — 1 такие, что выполнены условия:

1) cT b = —Г < 0, р ^ 0, cT A = lT, lT A = I'T+i, к = 2,n — 1,

ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1

lnA = —anln — an-lln-l — ■■ ■ — a2l2 — alc , lk b = bk ,

к = 2,n, rang \\c,l2, ■ ■ ■ ,ln\\ = n;

2) b2 + ГA2,l = 0j A2,l > 0; bk + Ak,k-lbk-l + ■ ■ ■ + Ak,2b2 — Afc,ir = 0j Ak,l <

< 0, к = 3, n;

3) система уравнений

y = Ay — p(a)

(7 = y — кр(а)’

при A = Al > А2дГ-1/2, к = —pr-l/2 имеет предельный цикл второго 'рода F(а) > 0 для любого а Є (—те; +те);

4) система уравнений (2) при A = —A2 < 0, к = —pr-l/2 имеет предельный цикл второго 'рода Ф(а) > 0, Ф(а) > F(а) для любого а Є ( —

—ж; +ж);

5) система уравнений (2) при Х = —Х2 < 0, к = —рГ 1/2 имеет решение (у(Ь),а(Ь)), определяющее функцию Фо(а) > 0, Фо(а) — кф(а) > 0, Фо(а) < Г(а) для любого а Є [сто; сто + А];

6) система уравнений (2) при X = Хі > Х2дГ_1/2, к = —рГ-1/2 имеет решение (у(Ь),а(Ь)), определяющее функцию Го (а) > 0, Го(а) > Ф(а) для любого а Є [ао; ао + А];

7) Є2,1 = —Х3,1 — Х2,1 (Х3,2 + Х2,1) < 0? Єк,1 = — Хк+1,1 — Хк,1 (Хк,к-1 — Хк+1,к), ^к,і (Хк^-1 Хк+1л) Хк,і (Хк,к-1 Хк+1,к) , тк,к-1 Єк,к-1 ^ 0,

к = 3,п — 1, І = 2, к — 1,,

Ткл = Єк,і — Хк-1,ітк,к-1 — Хк-2,ітк,к-2 — ■ ■ ■ — Хі+1,ітк^+1 ^ 0 тк,1 > 0

к = 3,п — 1, І = 2,к — 2,

тк,1 = Єк,1 — Хк-1,1тк,к-1 — ■ ■ ■ — Х3,1тк,3 + Х2,1тк,2 < 0 к = 3,п — 1;

8) Ц1 — Хп,1 (Хп,п-1 ап) , Цк — (Хп,к-1 ак) Хп,к (Хп,п-1 ап)> к —

= 2,п — 1,

1п-1 = Цп-1 ^ 0 — Хп-1,і 1п-1 — Хп-2,і 1п-2 — ■ ■ ■ — Хі+1,іІІ+1 ^ 0

І =2,п — 2, 71 = Ц1 — Хп-1,1Іп-1 — Хп-2,11п-2 — ■ ■ ■ — Х3,1І3 + Х2,1 Ъ < 0;

9) существуют Гк > 0, к = 2,п такие, что для любого а Є [ао; ао + А]

выполняются неравенства: Г2 < ГХ2$о(а), —Г3 + Х32Г2 + Ь2ф(а) > 0, Ркл Єкл,

@к,2 = —Хк+1,2, Vк = Ьк + Хк,к-1Ьк-1 + ■ ■ ■ + Хк,2Ь2, к = 3,п — 1, І = 3,к — 1, ак,к-1 = вк,к-1 ^ 0,

ак,і = @к,і — Хк-1лак,к-1 — Хк-2,]ак,к-2 — ■ ■ ■ — Xj+1,jак^+1 ^ 0 Vkф (а) — Гк+1 — Гк (Хк,к-1 — Хк-1,к) — Гк-1ак,к-1 — ■ ■ ■ — Г2ак,2 > 0 к = 3,п — 1, І = 2,к — 1;

10) Vп = Ьп + Хп,п-1Ьп-1 + ■ ■ ■ + Хп,2Ь2> а2 = а2 — Хп,2 (Хп,п-1 — ап) > ак — Хп,к-1 ак Хп,к (Хп,п— 1 ап) , к — 3,п 1, рп-1 — ап-1 ^ ^ рj = aj — Хп— 1,jрп-1 — Хп-2^рп-2 — ■ ■ ■ — Xj+1,jрj+1 ^ 0, І = 2,п — <2, Упф(а) — Гп(Хп,п-1 — ап) — Гп— 1 рп— 1 — ■ ■ ■ — Г2р2 > 0-

Тогда система (1) имеет седловой предельный цикл второго рода.

Доказательство. Рассмотрим функции У1(г) = сТх — л/ГГ(а), Е (а) — предельный цикл второго рода системы (2), Г (а) > 0 для любого а Є (—те;+те); У2(г) = ¡Тх — Х2,1сТх, Х2,1 = —Ь2Г-1 > 0,

Ук(г) = 1Тх + Хк,к-1ІТ-1х + ■ ■ ■ + Хк,2іТх + Хк,1сТх, Ьк + Хк,к-1Ьк-1 + ■ ■ ■ + + Хк,2Ь2 — Хк,1Г = 0, к = 3,п.

Пусть

О1 = {г : У\(г) ^ 0} , Ок = {г : Ук(г) ^ 0, к = 2,п} ,

О = Р|П=1 О к тогда граница множества О имеет вид дО = УП=1 дОк,

дО1 = {г : У1(г) = 0, Ук(г) ^ 0,к = 2,п} ,

дОк = {г : Ук(г) = 0, У1 (г) ^ 0, Ут(г) ^ 0, т = к, т = 2,п} .

Рассмотрим границу дО1 = {г : сТ х — л/ГЕ (а) = 0, Ук (г) ^ 0, к = 2,п}. Если г € дО1, то выполняются соотношения

сТ х = у/ГЕ (а), (3)

¡Тх ^ Л2,1сТх. (4)

Используя условия 1), 2), 3) теоремы 1 и соотношения (2), (3) найдем

производную функции У1(г) в силу системы (1) на множестве дО1

У1(г) = ¡Тх — Гр(а) — ^а) (сТх + рр(а)) = IТх — ГХ1Е(а) ^

< ГЕ(а) (у\2,1Г-1/2 — < 0. (5)

Если г € дО2 = {г : ¡Тх — Л2,1сТх = 0, У]_(г) ^ 0 , Ут(г) ^ 0, т = 3,п}, то выполняются соотношения

сТх ^ л/ТЕ(а), (6)

¡Т х = Л21сТ х, (7)

¡Тх ^ —Лз,212> х — Л3,1сТх. (8)

Используя условия 1), 2), 7) теоремы 1 и соотношения (6), (7), (8) найдем

производную функции У2(г) в силу системы (1) на множестве дО2

* / \ г /1 г /1 / \ 1 /1 1 /1

У2(г) = ¡3 х — Л2,112 х ^ — (Лз,2 + Л21) ¡2 х — Лздс х =

= — (Лз,1 + Л2,1 (Лз,2 + Л2,1)) сТх < 0. (9)

Рассмотрим границу

дОк = {г : ¡Тх + Лк^-^^х + ... + Лк,2¡Тх + Лк,1сТх = 0,

У]_(г) ^ 0, Ут(г) ^ 0, т = к, т = 2,п} , к = 3, п — 1.

Если г € дОк, то выполняются соотношения

сТх ^ л/ГЕ(а), (10)

Гр 7 I I I I I I I I

¡к х = —Лк,к-11к-1х — ... — Лк,212 х — Лк,1с х, (11)

т ^ —Лт,т-11т-1х — ... — Лт,21Тх — Лт,1сТх, т = 2,п, т = к. (12)

Используя условия теоремы 1), 2), 7) теоремы 1 и соотношения (10), (11), (12) найдем производную функции Ук (г) в силу системы (1) на множестве дОк

Ук (г) = ¡Т+1х + Лк,к-11Тх + Лк,к-21Т-1х + ... + Лк,21Ц, х + Лк,1122х ^

^ £к,к-11Т-1х + £к,к-2¡Т-2х + ... + ек,2%х + £к,1 сТх ^

^ тк,21Тх + сТх (£к,1 — Лк-1,1тк,к-1 — Лк-2,1тк,к-2 — Лк-3,1тк,к-3 — . . . — Л3,1тк,3) ^ ^ (£к,1 — Лк-1,1тк,к-1 — Лк-2,1тк,к-2 — Лк-3,1тк,к-3 —. . . — Л3,1тк,3 + Л2,1тк,2) С2х =

= тк,1сТх ^ тк,1^/ГЕ(а) < 0. (13)

Пусть

г € дОп = {г : ¡Пх + Лпп-^П,^х + ... + Лп,2¡Тх + Лп,1сТх = 0,

У]_(г) ^ 0, Ут(г) ^ 0, т = 2,п — 1} , тогда выполняются соотношения

сТх ^л/ГЕ(а), (14)

Гр 7 I I 7 I I 7 I I

¡п х = —Лп,п-11п-1х — ... — Лп,212 х — Лп,1с х, (15)

7 I I 7 I I 7 I I 7 I I --------

¡тх ^ —Лт,т-1т-1х — ... — Лт^2 х — Лт,1с х, т = 2,п — 1. (16)

Используя условия 1), 2), 8) теоремы 1 и соотношения (14), (15), (16) найдем производную функции Уп(г) в силу системы (1) на множестве дОп

Уп(г) = —а'п1Тх — ... — х + Лп,п-1 ¡Тх + Лп,п-2ИТ—1х + ...

... + Лп,2^т х + Лп,^х ^

^ ¡Лп-^^х + Цп-20Т-2х + ... + ^Тх + Ц1сТх ^

^ ^к22х + (Л1 — Лп-1,1^п-1 — Лп-2,1 тп-2 — ... — Л3,173) С2х ^

^ (Л1 — Лп-1,17п-1 — Лп-2,1^п-2 — ... — Л3Д73 + Л2,1^2) сТх =

= 71сТх ^ ^л/ГЕ(а) < 0. (17)

Рассмотрим функции Ш1(г) = сТх — у/ГФ(а'), Ф(а) — предельный цикл второго рода системы (2), Ф(а) > 0 для любого а € (—,х>] +те);

^(г) = ¡Т х + Г2, Шк (г) = ¡Т х + Лк^-^.^х + ... + Лкх + Гк, к = 3,п. Пусть

Б1 = {г : Ш]^(г) ^ 0} , Бк = {г : Шк(г) ^ 0, к = 2,п} ,

О = Р| п=1 О к тогда граница множества О имеет вид дБ = У п=1 дБ к, дБ1 = {г : Ш^г) = 0, Шк(гЬ) ^ 0, к = 2,п} , дБк = {г : Шк(г) = 0, Ш1(г) ^ 0, Шт(г) ^ 0, т = к, т = 2,п} .

Рассмотрим границу дБ1 = {г : сТх — л/ГФ(а) = 0, V(г) ^ 0, к = 2,п}. Если г € дО1, то выполняются соотношения

сТ х = л/ГФ(а), (18)

¡Тх ^ —г2. (19)

Используя условия 1), 2), 4), 9) теоремы 1 и соотношения (18), (19) найдем производную функции Ш1(г) в силу системы (1) на множестве дБ1

V1(г) = ¡Тх — Гр(а) — ^~Ф~(~) (^ГФ(а) + рр(а)^ = ¡2.х + ГЛ2Ф(а) ^

^ —Г2 + ГЛ2Ф(а) ^ —Г2 + ГЛ2Ф°(а) > 0. (20)

Если г € дБ2 = {г : ¡Тх + г2 = 0, Ш1(г) ^ 0, Шт(г) ^ 0, т = 3,п}, то выполняются соотношения

¡Т х = —Г2, (21)

¡Тх ^ —Л32^Тх — Г3. (22)

Используя условия 1), 2), 9) теоремы 1 и соотношения (21), (22) найдем производную функции Ш2(г) в силу системы (1) на множестве дО2

Ш2(г) = ¡Тх + Ь2р(а) ^ —Г3 + Л32Г2 + Ь2р(а) > 0. (23)

Рассмотрим границу

дБк = {г : ¡Тх + Л^к-^к2-^ + ... + Л^2х + Гк = 0,

Ш1(г) ^ 0, Шт(г) ^ 0, т = к,т = 2,п} , к = 3,п — 1.

Если г € дБ к, то выполняются соотношения

¡Т х + Лк,к-11Т-1х + ... + Лк2Т х + Гк = 0 (24) ¡тх ^ —Лтт-^т,-^ — ... — Лт^Тх — Гт, т = 2п, т = к. (25)

Используя условия теоремы 1), 2), 9) теоремы 1 и соотношения (24), (25)

найдем производную функции Шк(г) в силу системы (1) на множестве дБк

* / \ ' /1 ' /1 1 /1 1 /1 / \

Шк (г) = ¡к+1х + Лк,к-^к х + Лк,к-2Ь-1х + ... + Лк,2Ь х + Щ р(а) ^

^ — Гк+1 — Гк (Лк,к-1 — Лк+1,к) + Ркук-^^^ + ... + Рк^.х + Vкр(а) ^

^ —Гк+1 — Гк (Лк,к-1 — Лк+1,к) — Гк-1ак,к-1 — Гк-2ак,к-2 — . . .

... — Г3 ак,3 — ак,3Лк3Т х+

+ (вк,2 — Лк-1,2ак,к-1 — Лк-2,2ак,к-2 — . . . — Л4,2ак,4) ¡. х + укр(а) =

= —Гк+1 — Гк (Лк,к-1 — Лк+1,к) — Гк-1ак,к-1 — Гк-2ак,к-2 — ... — Г3ак,3 +

+ (Рк,2 — Лк-1,2ак,к-1 — Лк-2,2ак,к-2 — . . . — Л3,2ак,3) ¡..х + Vnр(а) ^

^ —Гк+1 — Гк (Лк,к-1 — Лк-1,к) — Гк-1ак,к-1 — ... — Г3ак,3 — Г2ак,2 + Vkр(а) > °.

(26)

Пусть

z £ 3Dn — . ln X + Xn,n—lln—lx + ... + An,2l2 x + rn — 0

Wl(z) ^ 0, Wm(z) ^ 0, m — 2,n — 1} ,

тогда выполняются соотношения

lnx — —^n,n-lln-lx — ■ ■ ■ — ^n,2l2 x — An,\CTx, (27)

l^x ^ —\m,m-iH-ix — ■■■ — Xm,2l'Tx — rm, m — 2,n — 1. (28)

Используя условия 1), 2), 10) теоремы 1 и соотношения (27), (28) найдем производную функции Wn(z) в силу системы (1) на множестве dDn

Wn(z) — —anl'TTx — an-\l'T-\x — ... — a2lTx + An,n—ilTx + ■ ■ ■ +

An,2lTx + vnp(a) ^ (a2 — pn—lAn—l,2 — pn—2An—2,2 — ■ ■ ■ — p4A4,2 — p3A3,2) lTx +

+ vnp(a) — rn (An,n—l — an) —

— rn (An,n—l — an) — rn— lpn— l — ■ ■ ■ — r2p2 > °- (29)

Рассмотрим функцию M + (z) — cTx — \/ГФо(а), где Фо(ст) удовлетворяет условию 5) теоремы 1. Пусть

L — {z : M + (z) ^ 0, Vl(z) ^ 0, Vk(z) ^ 0, Wk(z) ^ 0,

а0 ^ а ^ а0 + A, к — 2,n},

тогда в силу соотношений (5), (9), (13), (17), (20), (23), (26), (29) множество L является положительно инвариантным по переменным xk, к — 1,n.

Используя функцию M —(z) — cTx — yJVFo(a'), где Fo(a) удовлетворяет условию 6) теоремы 1, определим множество

E — {z : M —(z) ^ 0, Wl(z) ^ 0, Vk(z) ^ 0, Wk(z) ^ 0,

а0 ^ а ^ a0 + A, к — 2,n} .

В силу соотношений (5), (9), (13), (17), (20), (23), (26), (29) множества E, Q П D U L U E являются положительно инвариантными по переменным xk, к — 1,n.

Из условия rang \\c,l2, ■ ■ ■ ,ln\\ — n теоремы 1 следует, что для матрицы B — \\c, l2, 1з + ^3^2, ■ ■ ■ ,lk + Ak,k—llk—l + ■ ■ ■

■ ■ ■ + Ak,2l2, ■ ■ ■ ,ln + An,n—lln—l + ■ ■ ■ + An,2l2\\

существует обратная матрица B—l. В системе (1) сделаем замену переменных x — (BT )—l (x + q), q — colon (ql,q2, ■■■,qn), ql — 1/2л/Т (Ф(а0) + F0(a0)), qi —

— 0, i — 2,n, U, x — BTx — q, получим равенства cTx — xl + ql, Wk(z) —

— xk + rk, к — 2n, V2(z) — x2 — \2,i(xi + ql), Vk(z) — xk + Xk,lCxl + ql), к —

= 3, п. После сделанной замены, переменные х обозначим через переменные х. Множество д = О П О будет иметь вид:

д = {г : —д° ^ х1 ^ д°, —г2 ^ х2 ^ Л2,1(х1 + д1),

—Гк ^ хк ^ —Лк,1(х1 + д1), к = 3~п} .

В силу неравенств Л2}1 > 0, Лк,1 < 0, к = 3,п, д1 > 0 получим, что множество д является непустым и ограниченным.

Рассмотрим множества С = д П Р°, Р° = {г : а = а°}, С = (д и Ь и Е) П П Рд, Ра = {г : а = а° + А}. В силу неравенства Ф°(а) + рГ-1/2^(а) > 0 для а € [а°; а° + А] получим, что любая траектория (х(Ь),а(Ь)), начинающаяся при Ь = 0 на множестве С попадает через конечное время Ьх на множество С. Введем отображение С в С соотношением: Т(х,а°) = (х(Ьх),а° + А). Пусть 5 — отображение сдвига фазового пространства [7], определенное равенством: 5(х,а) = (х,а — А). Отображение 5Т — непрерывное, 5Т(С) С Р°. Если (х, а°) € С, то 5Т(х, а°) = (х, а°). Для множества д = {х : (х, а°) € С} определим отображение и: х € д ^ и(х) = х. Отображение и определяет векторное поле 5°(х) = х — их на границе дд ограниченной области д. Для векторного поля 5° рассмотрим линейное векторное поле Б2(х) = х — Б1 (х),

51(х) = х, х1 = Л°х-\_, Л° = 1 + 4^0Е(а°) > 1, хк = 1 хк, к = 2,п. Если

х € ддк = {х : Ук(х) = хк + Лк,1(х1 + д1) = 0, —д° ^ х1 ^ д°, к = 3, п] , 51(х) = х, то в силу выбранного Л° получим неравенства:

Ук (х) = х + Лк,1(х1 + д1) = 1 хк + Лк,1(Л°х1 + д1) =

= Лк,1 х (Л°х1 + Я1) — ^ Лк,1(х1 + Я1) = Лк,1(Л° — ~^)х1 + ^ Лк,1$1 =

=Лк>1(х1( л°—2)+\^ЛкI—д°( л°—1)) =

= Лк,1Ч° ^2 + 2~у-Л^ = Лк,1Ч° ^1 — Л° + 2^Г Е(а°^ < 0, У2(х) < 0.

Обозначим

_ , . 5°(х) 52(х) тг , . тг , .

53(х) = = у, У°-к(х) = Ук(х) — Лк-1д1 = хк + Лк-1х1. Если предположить, что у = 0 при х € ддк , то получим У°,к(у) = 0, но с другой стороны

У°-к (у) = (У°-к (х) — У°-к (х)) + (х) — У°-к т =

1 (Лк,1Я1 + У°,к(х)) — ||с, (Лк,1 Я1 + У°,к(х)) > 0,

\\5°(х)\Г к°к " У52(х)У

следовательно, у = 0. В силу свойств множеств Q, L, E, получим, что для любого х Є dQ справедливо неравенство: Бз(х) = 0, следовательно, вращения векторных полей So и S2 на dQ одинаковы [6]. Вращение 7 (S2, dQ линейного векторного поля S2 на dQ определяется соотношением: 7 (S2, dQ = — 1 = = 0 [6]. В силу теоремы 5.15 [6], оператор U на Q имеет по крайней мере одну неподвижную точку х* Є Q, Ux* = х*. Точка (х*, ао) является неподвижной для оператора ST, ST(х*, ао) = (х*, ао). Из определения отображений T и S для решения с начальным условием (х*, ао) вытекают равенства: х(Ьх*) = х*, a(tx*) = ао + А. Система (1) имеет седловой предельный цикл второго рода [5], содержащийся во множестве Q.

Для системы (1) в случае n = 2 из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть для системы (1) при n = 2 справедливы утверждения:

1) cTb = —Г < 0, cTA = lT, lTb = —v< 0, lTA = —alT, rang\\c,l\\ = 2, maxa р(а) = M > 0;

2) система уравнений (2) при X = Xi > иГ-3/2, к = —рГ-1/2 имеет предельный цикл второго рода F(а) > 0 для любого а Є (—ж; +ж);

3) система уравнений (2) при X = —X2 < 0, к = —рГ-1/2 имеет предельный цикл второго 'рода Ф(а) > 0, Ф(а) > F(а) для любого а Є ( — —ж; +ж);

4) система уравнений (2) при X = —X2 < 0, к = —рГ-1/2, имеет решение (у(Ь),а(Ь)), определяющее функцию Фо(а) > 0, Фо(а) — кф(а) > 0, Фо(а) < F(а) для любого а Є [ао; ао + А], minCTe[CTQ.CT0+A] Фо(а) = то > > 0;

5) система уравнений (2) при X = Х\ > иГ-3/2, к = —рГ-1/2 имеет решение (y(t), а(і)), определяющее функцию Fo(а) > 0, Fo(а) > Ф(а) для любого а Є [ао; ао + А] ;

6) va-iM < X2 Гто.

Тогда система (1) имеет седловой предельный цикл второго рода.

2. Результаты моделирования

Рассмотрим поисковую систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) [1-4] динамика которой описывается дифференциальным уравнением

ра(і) + üiK (p)F (а(і)) = ÜH + f (t), (30)

где p = d/dt — оператор дифференцирования, а(і) — разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов, Qi — полоса удержания фазового кольца, K(p) — коэффициент передачи фильтра нижних частот в фазовой цепи управления, F(а) — характеристика фазового детектора, QH — начальная

расстройка, f (t) — функция, определяющая закон поиска pf (t) = ao = const [4]. Перейдем в уравнении (30) к новому времени т = Q\t. Переменную т переобозначим через переменную t. В случае дробно-рационального фильтра нижних частот K(p) = SAop +2+^°, заменой переменных а = Х2 + рр(а),

Х2 = Хі — Гр(а), р = — Ao, р(а) = F(а) — y, y = ao^”1, уравнение (30) при-

водится к системе (1) для которой

A = ^ O' о) , ai = d”1, b = ^ _ Г ^ , v = —d”1 (ad”1 — 1) ,

Г = ad”1, с = ^ 1 ^ , р = A0.

Система (1) в случае р = —Ao = 0 изучалась в работе [9] в которой при v > 0 получены условия существования седлового предельного цикла второго рода. Для системы (1) в рассматриваемом случае выполняются соотношения: cTb = —Г < 0, cTA = (1, 0) = lT, lTA = —alT, a = a1 = 5”1, lTb = —v, v = = d”1(1 — Г), rang Ус, l|| = 2. Если выполнено неравенство

(1 — Г)Ы<\2Гшо, (31)

то справедливо условие 6) теоремы 2.

Рассмотрим систему (1) в случае р(а) = sin(a ) — Y, d = (1 —

— Г^^Гл/Г)”1, р = —2.1у/Г, Y = 0.18. Система уравнений (2) при А = \1 = 0.0601 > vГ”3/2 = 0.06, к = —рГ”1/2 = 2.1, Y = 0.2 имеет предельный цикл второго рода. На рис.1 нижняя линия соответствует предельному циклу второго рода F(а), верхняя линия соответствует траектории Fo(a). Система уравнений (2) при А = —А2 = —0.004, к = —рГ”1/2 = 2.1, y = 0.18 имеет предельный цикл второго рода. На рис.2 верхняя линия соответствует предельному циклу второго рода Ф(а), нижняя линия соответствует траектории Фо(а).

Рис. 1. Предельный цикл второго рода F(а)

Рис. 2. Предельный цикл второго рода Ф(а)

В рассматриваемом случае для системы (1) выполняются условия 1), 2),

3), 4), 5) теоремы 2. Численными методами определяется шт^р^] Ф°(а) = = 1.8 = т°, т&ха р(а) = М = 0.82. Используя соотношение (31) получим, что если 0.9913 < Г < 1, то выполняются условия теоремы 2, система (1) имеет седловой предельный цикл второго рода. В частности, при Г = 0.993, р(а) = 81п(а) — 7, 5 = (1 — Г)(0.06Г\/Г)-1, р = —2.1\/Г, 7 = 0.18 система (1) имеет седловой предельный цикл второго рода.

Рис. 3. Проекция седлового предельного цикла на плоскость (х\,х2)

Рис. 4. Проекция седлового предельного цикла на плоскость (а,х2)

На рис. 3 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода на плоскость (х\, Ж2), на рис. 4 изображена проекция седлового предельного цикла второго рода и траекторий из окрестности предельного цикла на плоскость (а, х2).

Список литературы

1. Витерби Э.Д. Принципы когерентной связи. М.: Сов. Радио, 1970. 392 с.

2. Жилин Н.С. Принципы фазовой синхронизации в измерительной технике. Томск: Радио и связь, 1989. 384 с.

3. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с.

4. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 448 с.

5. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. 1975. Т.39. С.642-649.

6. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

7. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: СПбГУ, 1992. 368 с.

8. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: СПбГУ, 2000. 400 с.

9. Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т.49, №3. С.267-278.

10. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.:Наука, 1969. 300 с.

Мамонов Сергей Станиславович (s.mamonov@rsu.edu.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математики, Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина.

Saddle limiting cycles of the second sort in the search system of the phase automatic frequency control

S.S. Mamonov

Abstract. The system of differential equations with the matrix of linear approach having a determinant equal zero is considered. Conditions of existence of saddle limiting cycles of the second sort are revealed. The example of the system with the sinusoidal nonlinearity having a saddle limiting cycle of the second sort is considered.

Keywords : system differential equations, limiting cycle of the second sort.

Mamonov Sergey (s.mamonov@rsu.edu.ru), candidate of physical and mathematical sciences, assistent professor, department of the mathematics, Esenin Ryazan State University.

Поступила 03.06.2010