Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 174-183

= Информатика =

УДК 621.01.512

Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки

С.С. Мамонов

Аннотация. Исследуется математическая модель системы частотно-фазовой автонодстройки. Получен критерий глобальной устойчивости. На примере системы частотно-фазовой автоподстройки с коэффициентами передачи фильтров нижних частот первого порядка показано влияние частотного кольца на глобальную устойчивость.

Ключевые снова: устойчивость, частотная синхронизация, матричные уравнения.

Введение

В работе изучается вопрос глобальной асимптотической устойчивости системы частотно-фазовой автоподстройки (ЧФАП) [1-3], что соответствует режиму синхронизации системы. Для синхронного режима разность частот эталонного и управляемого колебания равна нулю, а разность фаз приближается к постоянному значению. Условия глобальной устойчивости системы определяют область начальных расстроек генераторов, в которой при любых начальных условиях устанавливается режим синхронизации. Известно, что добавление частотного кольца в систему фазовой автоподстройки приводит к увеличению области параметров системы для режимов синхронизации [3-6]. Среди результатов исследования, полученных качественно-численными методами [3-5], следует отмстить применение метода нелокального сведения для системы ЧФАП предложенное в работе [6]. В настоящей работе на основе метода нелокального сведения [6, 7] получены условия глобальной устойчивости, рассмотрено влияние частотного кольца на область параметров для режимов синхронизации.

1. Основной результат

1.1. Модель системы частотно-фазовой автоподстройки. Динамика системы частотно-фазовой автоподстройки описывается дифференциальным уравнением вида [1, 2]

ра(г) + ОхЙ'х^^сф)) + П2К2(Р)Ы'Р^^)) = Ок, (1)

где р = d/dt — оператор дифференцирования; a(t) — разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов; Oi — полоса удержания фазового кольца; Ог — полоса удержания частотного кольца; К\(р) и К2{р) — коэффициенты передачи фильтров нижних частот в фазовой и частотных цепях управления; Fi(cr) и ^(рст) — характеристики фазового и частотного детекторов; Ом — начальная расстройка.

В случае дробно-рациональных фильтров К\(р) = ; К2(р) = >

где Ri(p), йг(р)і <Э(р) — многочлены относительно оператора дифференцирования р = df dt и нелинейной характеристики частотного детектора F2 (per) = 1+2^ртр (ß — расстройка по частоте, при которой напряжение на выходе частотного детектора максимально),

Q(p) = Ворп + В1Рп-1 + ... + Вп-2р2 + Вп-1Р + Вп,

Ri{p) = Aipn+ ... + Ап^2Р2 + An^ip + Ап,

R2(p) = Dipn_1 + ... + Dn-2P2 + Dri-iP + Dn, уравнение (1) примет вид:

a(n+1) + В^(Віа{п} + B2a{n-V + ... + Bnä) +

+ Bq1 (A\<p^n^l'>(a) + ... + Агі^іф{а) + Ari<p{a)) +

+ B^(Dif{n-1}(^) + ■■■ + Dn-if(ä) + Dnfm = 0, (2)

где ip(u) = OiFi(cr) — f(&) = a = B^il2. Заменой переменных

ö = xn, Xi = Xi-1 - biip(a) - dif(&), і = 2, n,

уравнение (2) приводится к системе

. , / ч , 2aßc1 х . т

х = Ах + (а) + а-----------а = с х, (3)

V 1 + ß*(cTx)2 Х

где x Є Rn; с = colon(0, 0,... , 0,1); d = colon(—d\, —<¿2, • • • , —dn)\ а = QzBq1] b = colon( bi, -fc2..........-Ы;

/—Bq1 Bl -B^B2 1 0

-Bq 1Bn-1 0

1 /І,Л 0

/

0 0 ... о 0

\ 0 0 ... 1 о

<р(сг) — Д-псриодичсская функция.

1.2. Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки. Для системы (3) получены условия глобальной устойчивости, которые позволяют определить полосу захвата системы ЧФАП.

Теорема 1. Пусть для системы (3) существуют щ > 0. дг > 0. т\. Т2-"Гз,- ^1; £2,- £з,- /г > 0. д € Я™ такие. что выполнены условия:

1) матричные уравнения

(А + щI)1 Н + Н (А + щ1) = -Ьг - 2т‘1сс1 + гг (сц1 + дс1) - 2т^цц1 ,

т г, ^

{А + 2а.^с1 + Р21) Н + Н (А + 2afЗdc1 + Р2^) =

= -12 - 2е!сст + 62 (сдт + дсг) - 2е%дд'г, (5)

НЪ = -с, (6)

где Ь\ ^ 0: ¿2 ^ 0: стЬ = —Г < 0. имеют решение Н\ = Н[ > 0. Я — Т~'ссТ - кддТ > 0; _

2) уравнения (4). (5). (6) при г* = е* = 0. г = 1, 3. щ = ~рг. Д2 = М2,- М2 ^ М-1 имеют -решение Н\ = Н{ > 0;

3) система уравнений

2 80у/Ту

У = -А у

1+ ß2Ty2

где. <у5(сг2) = 0; <^>(сг2) < 0; <p{£)d£< 0,

<р{а), д = у,

г*Д

(7)

имеет решение (F(a(t)), cr(t)) для которого F(ü2) = 0. а2 G (—ос;+ос). F(a) > 0 при а € (—ос; стг), lim F(a) = +ос;

СГ-4-—ОО

4) справедливы неравенства

А2

Г1 = - Т^2 ^ °’ Лг1 + Т3

т22г

^0,

(Л + 2s/3\/r)2 е2

4/І2

4е§

(В)

Тогда система (3) глобально асимптотически устойчива.

Доказательство. Рассмотрим функцию \4(г) = хТ Нх - F2(cr). Пусть Ох = {г: хт Нх ^ ^2(ст), а ^ а2 + кА, к е Л^} .

Из условия (Я — ^сст — кдд1') ^ 0 получим, что если г Е Ох, то выполняется неравенство

р(сТ|)2 + А(?Т|)2^2(а). (10)

Используя условия 1, 3, 4 теоремы 1, соотношение (10) найдем производную функции У\(г) в силу системы (3) на множестве

д£1\ = {г: хтНх = F2(cr), а ^ а2 + кА, к Е М} ,

ЙМ = 1 + (02(<-:,'х)2хт(АтН + НЛ)х + х‘\(А + 2а/ЗЛст)тН +

+ Н(А + 2Щста))х) - 2стхР(а) («

V г \а);

< (И2(сгх)2х‘\А‘'Н + +Н_4).т + ^ ((.4 + 2аЦЛс1)тН +

+ Я(Л + 2а@с1ст)) х + 2ста^(сг) (1 + /32(стж)2) Х + 2\стх\F((т)2)бV/rV) ^ « д + 0^сТх)1 И^)2 Нк^И - 2г2(^х)2 + 2|Л| |г2| \„Тх\ -

- 2тЦ,тх)2 + 2Л|Стх|Г(<г)) - 2кР2И - 2,Цстх)2 + 2|е2| |с'*1\Чгх\ --2е1(дтж)2 + 2|стж^(а)(Л + 28)бу/Г)) ^

1 '

1 + рЦстх)2

^тШ^2[^сТх^-2^^

А Л2 ч Л2

2 ( Т1\стх\ - ^F(CT) + 2 F2(ст)f2 + 2|т2| \сг х\ \ЯТ х\- 2 т2(Ят х)2

Ат\ ^ 4т*-£

о/ / ТР! \ (А + 2й/3\/г) | т Л с( І Т I 1^2 і | Т Л ,

2 ( у/ЩР(а)----------------------------|с х\у - 2 ^з|д х\ - — \с х\^ +

+2^2Й"е!

( є\ 2 (А + 2в0^Г)

2 '

<

-----„9/ Т чо Р V хУ -2 -^1с^ ЖІ - ЯІ +

1 +/?2(с^ ж)2 V \ \уТ 2гі 1 и

4/І2

2

1 | д2/ Т \2 ( .-у ( Г1 і ї’ і | Т*21 л/Г . т

+ 2(ЯТх)2 (|| - кг2 - т,

^Г11 ч (A + 2^vT), т Д2 , \flPiF(a)--------—-----1с жМ +

1 + /?2(с'Г*)2

+ (с^(^-.;+(> + ^)),, (11) Из соотношения (11) получим, что множество £1\ является положительно инвариантным.

Используя условие 2 теоремы 1, соотношение (// — ^сст-кддт) > О, найдем производную функции У2(г) = х1 Н\х — г2 в силу системы (3) на множестве

8П2 = {г: хтН\х = г2},

Щг) = -------(132(стх)2хт(ЛтН + НА)х + хт ((4 + 2а^с‘ )тН +

1 + р^ус1 х)А

+ Н(А + 2Рйста)) х) - 2стхр(а) ^ -------- 1 (-2^2{сГ х)2хт Их -

1 + рЛ{С1 х)л

т г-, ч т / ч 211т ¡З2 (с1 х)2 о 2/1оГ2 гГ

-2//2® Нх) — 2с Х(Р(°) = -1 + Р2(сТх)2 г - 1 + (32 (сТх)2 -2с Х<Р(°) =

— 2^1Г 2д1г2 - 2(р(а)стх - -—д^2Гт ч9 <

1 + 132(стх)2 ^ ^ ' 1 + 132(стх)2

^ -2-Ц^2 + 2Г - 2стхр(а) ^ -27цг2 + 2>/Гг. (12)

1 + рЛ{С1 х)л

Из соотношения (12) получим, ЧТО если Г > то множество

П2 = {г: хтН\х ^ г2} является положительно инвариантным.

Рассмотрим функцию XV{г) = х1 Н\х + 2 Используя условие 2

теоремы 1, найдем производную функции IV(г) в силу системы (3)

W(z) = х1 (Á1 Н\ + Н\А)х + 2Х1 Hibip(a) + -----------------jo/^r >0^ (cd1 Н\ +

1 + p¿\c1 x)¿

+ H^d¿r)x + 2р(а)стх = ----J. .2 {pH^'xtfx^Á1'^ + H1A)x +

1 + p¿{C1 x)z

+ xT {(A + 2aPdcTfH1 + Щ1А + 2^dcr)) x) <

< 1 + р2(стх)2 {-^1^2{еТx)2XTH!X - 2jí2XTH\x) ^ 0. (13)

Из соотношения (13) И ТОГО, ЧТО Н\ > 0 следует, что множество Q = {z: W(z) = 0} не содержит целых траекторий.

Рассмотрим множество О3 = {z: хтН\х ^ ~2 ^(í;)dí;, а ^ а2} . В си-

лу соотношения (13) множество ÍÍ3 является положительно инвариантным. Из условий 92(172) = 0, <¿(172) < 0, ¿ fo^ <Р(О< 0, получим что,

— lim 2 ff = +ос. Следовательно, существует <73 G (ст2; + ), для

(7-4-+00 ^

которого выполняется соотношение г2 = —2 J“73 íp(^)d^. Из условия 3 теоремы 1 следует существование функции F(a), для которой выполняются соотношения F(c72) = 0, lim F(a) = +ос. Следовательно, существует <74 G (—ос; стг),

СГ-4- — ОО

ДЛЯ которого F((J4) = г.

Пусть к £ N такое, что <74 + /гА > <73, Fk(cr) — решение системы (7), для которого Ffc((72 + к А) = 0, lim Fk{<r) = +ос, тогда в силу цилиндричности

СГ-4- —ОО

фазового пространства системы (7) получим, что F¿.(<74 + к А) = г. Рассмотрим множество О4 = {z: хТНх ^ Fk(a),a ^ а2 + к А}. Из соотношения (11) следует, что множество ÍÍ4 — положительно инвариантно. Множество íí = ííi П ÍÍ2 П ÍÍ4 — положительно инвариантно и ограничено. Множество Q = {z : W{z) = 0, W{z) = хтН\х + 2 <y?(£;)c¿£;} не содержит целых тра-

екторий системы (3). Из леммы 2.3.1 [7] будет следовать дихотомичность системы (3). Множество ÍÍ является положительно инвариантным и ограниченным при достаточно большом г, следовательно, система (3) является глобально асимптотически устойчивой. Теорема доказана.

В случае отсутствия частотного кольца ß = 0 из теоремы 1 как частный случай следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть для системы (3) при ß = 0 существуют щ > 0. h > 0. Tb Т2; Т‘А; ? Ё Ä™ mUKUe. ЧШО

1) матричные уравнения (4). (6) имеют решение Н = Н1 > 0.

(Я - ±ссТ - hqqT) ^ 0; '

2) система уравнений (7) при ß = 0 имеет решение (F(a(t)), <r(í)). для которого F(a2) = 0. F(a) > 0 при a G (—ос; стг). Hm F(a) = +ос;

СГ-4- — ОО

3) справедливы неравенства

2 А2 т|г 2 2 ^ а

4) матричные уравнения (4). (6) при щ = ~ßl > 0. Т\ = т2 = тз = 0. q = 0 имеют решение Н\ = Н( > 0.

Тогда система (3) является глобально асимптотически устойчивой.

2. Результаты моделирования

Пример 1. Рассмотрим уравнение (1) с коэффициентами передачи фильтров нижних частот К\(р) = К2(р) = gp+a > характеристикой

фазового детектора F\(a) = sin er, характеристикой частотного детектора F2(cr) = ■ Заменой переменных t = щ, д = х± + х2, х± = —ах± —

¿2 = - f *2 - ¿^(¿), где <р(а) = sina-7,7 = a^, ф(&) = ,

Ьо = щ, 0о = 01%^ уравнение (2) сводится к системе (3), для которой А= (-0а А),Ь = (-01), с= ({),<!= (Л),а = 60, 0 = а/3о, Г = 1.

Система (3) рассматриваемого вида изучалась в работах [6, 8], в которых получены условия глобальной устойчивости. Для системы (3) проверим условия теоремы 1. В условии 1 теоремы 1 в качестве матрицы Я возьмем матрицу Я = (} 1+/1), к > 0. Пусть д = (5). Тогда Я = Н1 > 0, Я — сст — кддт ^ 0, НЬ = —с. Рассмотрим случай, когда g е (0; 1]. Если щ = еа, е е (0; 1], дг = Мъ = а (1 - е), г| = 1ъа - е), гг = - а{1^8),

е? = а (1 — е + 2Ь°Р° ^ , £2 = —а (— 1 + к 2Ь0'8° ^ , е2 = На (^ — еУ Л = аи,

:1 — и. - с -I — у , С2 — -и. ± -Г ) , с3 ^ /

то выполняется условие 1 теоремы 1. Неравенства (8), (9) примут вид

,2

2

г' = а\е~М^7))'*°- (14)

м„ Е)=|1-Л+

Л( 1 и А 4 (1 — е) / \ 4(1-^ 4Лг2 "

Пусть /г = • Тогда из неравенств (14), (15), (16) получим соотношения

I,2

- 4 (1-е)*0’ <17>

ДОле) = I ^ -в 1 ( в- / А + (е-лП1/ Л - (1 ^ 0,

у \ 4 (1-е) у \ 4 (1-е) У 2^2

(18)

/ , о а \2 ^ -I (л , 26о/Зо (1 — ¿г) 26о/Зо Л , / ч /1Пч

(1/ + 2в/30) <4е 1-е+-------------—г-^----------------------— =/е). 19

V g g(l-£g) У

Для условия 2 теоремы 1 матрицу Н\ возьмем в виде Н\ = {\ 1+1/11), /11 > 0. Если справедливы неравенства

гК^-г^О, (20)

в1(4в!)-1-е|^0, (21)

то матрица Н\ удовлетворяет уравнениям (4), (5), (6). Пусть

~Р\ = М1 = М2 = М2 = е0а.

Тогда соотношения (20), (21) примут вид

(1 - И2

1 - £0 - . (л ------г ^ 0, (22)

(! - ё^о)

1 „ 26q/3q ((1 - g) + 2hibo0o)2

1 — £q H--------------- —-——------- -- > U

g ^ghi (1 - gs0)

(23)

(Л —

Если h\ = 4g(i_gs^)(i_s0) и выполнены неравенства

2(l-g-eo) 8g (1 — g£o)2 (1 — eQ) > ’

1 - g bQ(3o (1 - g)2

> 0, є0 < 1,

(24)

то справедливы соотношения (22), (23) и выполнено условие 2 теоремы 1. Таким образом, если справедливы неравенства (17), (18), (19), (24), система уравнений (3) при (3 = а(Зо, А = ра, в = щ; (л// (г) — удовлетворяет условию 3 теоремы 1, то система (3) является глобально асимптотически устойчивой.

Рассмотрим систему (3), для которой g = 0.3, Ьо = 0.5, ¡Зо = 0.5. Из соотношения (19) найдем £ = £ такое, что / (г) = шах / (г), получим г = 0.51. Из

соотношения (18) найдем р = ро < 1 такое, что (р, г) ^ 0 при р € (0; ^о]. получим щ = 0.626. Для значений г, щ выполняется неравенство (17). Неравенство (22) выполняется при го € (0; 0.83). Для системы уравнений (7) получим ¡3 = 0.5а, Л = 0.626а, 8 = (л// (в) — ро) = 0.635. На Рис. 1 изоб-

ражена линия 3, ниже которой расположены значения 7, а-2, при которых система (3) глобально асимптотически устойчива в случае отсутствия частотного кольца [8]. Линия 1 получена численными методами для системы (3) с частотным кольцом. Линия 2 получена численными методами для системы (7), ниже линии 2 расположены значения 7, а-2, при которых выполняется условие 3 теоремы 1. Линия 4 получена с помощью результатов работы [6]. Добавление частотного кольца увеличило область параметров 7, а-2 глобальной асимптотической устойчивости.

Пример 2. Рассмотрим систему (3), для которой с=(5),6 = (-1),/3 = 0.

2

А = (2), а\ = ^ (1 + ¿г), 02 = у, а > 0, g > 0. В системе (3) сделаем замену переменных х = Бх, система (3) примет вид

нений (4), (6). При этом Н = НТ > 0, Н — ^сст — hqqT ^ 0, следовательно, выполнено условие 1 теоремы 2. Пусть А = ар, р > 0, существует г > 0 такое,

х = Ах + Ь(р (сг), а = с х,

где А = S b = S 1b;c = S1 с.

с1 х = —Г = —1. Если q = (5), щ = га, г > 0, т2 = = а (1 — г), тг = — a^g g^

r| = ha i j — £j, h > 0, то матрица Я = (\ 1+/г) является решением урав-

Рис. 1. Области глобальной асимптотической устойчивости

что выполнены неравенства

р2 ^ 4е (1 — е), 1 — £ > 0, — — £ > О,

g

при X = ар выполняется условие 2 теоремы 2. Тогда справедливы утверждения 1, 2, 3 теоремы 2. Если JI1 < max {a, ag-1}, h = ^ ,

то матрица Н\ = (\ 1+^) удовлетворяет условию 4) теоремы 2. Таким образом, если существуют р > 0, s > 0, для которых выполнены неравенства (25), при Л = ар справедливо условие 2 теоремы 2, то система (3) является глобально асимптотически устойчивой. В частности, если g = 1.5, то при р < 1, е = 0.5 выполняются неравенства (24). Пусть при Л = а выполнено условие 2 теоремы 2. Тогда система (3) является глобально асимптотически устойчивой. Применяя условия теоремы 3.11.4 [7] для системы (3), получим, что должно существовать /л* > 0, для которого матрица (А + /л*I) гурвицева и система (7) при ¡3 = 0, Л = д* устойчива по Лагранжу. Если g = 1.5, то pL* < |а, Л < |а, следовательно, условия теоремы 2 позволяют расширить класс глобально асимптотических систем.

Список литературы

1. Жилин Н.С. Принципы фазовой синхронизации в измерительной технике. Томск: Радио и связь, 1989. 384 с.

2. Капранов М.В., Кулешов В.H., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с.

3. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях // Радиофизика. 1969. Т. 12, № 7. С. 1037-1051.

4. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автонодстройки с фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, № 1. С. 113-116.

5. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора, управляемого петлей частотной автонодстройки // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 9. С. 1125-1133.

6. Леонов Г.А., Томаев А.М., Чшиева Т.Л. Устойчивость системы частотно-фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 4. С. 671-679.

7. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000. 400 с.

8. Системы фазовой синхронизации / В.Н. Акимов [и др.] // М.: Радио и связь, 1982. 288 с.

Поступило 23.11.2008

Мамонов Сергей Станиславович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент,

кафедра математического анализа, Рязанский государственный университет.

The total stability of the system of the frequency-phase autotuning

S.S. Mamonov

Abstract. The mathematical model of the system of the fine tuning of frequency is investigated. The criteria of total stability is obtained. On an example of the system of the frcqucncy-phasc autotuning with factors of transfer of filters of the lower frequencies of the first order influence of a frequency ring on total stability is shown.

Keywords: stability, frequency synchronization, matrix equations.

Mamonov Sergey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of the mathematical analysis, Ryazan State University.