S-функции в построении консервативных структур решения геометрических обратных краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Література

1. Chunshan S. Tri-reforming of methane: a novel concept for catalytic production of industrially useful synthesis gas with desired H2/CO ratios [Tekst]/ Chunshan S., Wei P. - Catalysis Today, 2004. - p. 128-131.

2. Ткаченко, А. Моделювання процесу каталітичного три-риформінгу метану [Текст] / Ткаченко А., Безносик Ю. - Перша міжнародна наукова конференція студентів, аспірантів та молодих вчених «Хімія та хімічні технології 2010» (ССТ-2010). 25 - 27 листопада 2010. - Львів, 2010. - с.196 - 197.

3. Ткаченко, А. Експериментальні дослідження та моделювання автотермічного процесу три-риформінгу [Текст] / Ткаченко А., Безносик Ю. - Друга міжнародна наукова конференція студентів, аспірантів та молодих вчених «Хімія та хімічні технології 2011» (ССТ-2011). 24 - 26 листопада 2011. - Львів, 2011. - c.184 - 187.

----------------□ □------------------

Пропонується нова методологія побудови регіональних консервативних аналітичних структур розв’язку геометричних зворотних крайових задач

Ключові слова: S-функції, геометричні зворотні задачі, структура рішення

□------------------------------□

Предлагается новая методология построения региональных консервативных аналитических структур решения геометрических обратных краевых задач

Ключевые слова: S-функции, геометрические обратные задачи, структура решения

□------------------------------□

A new methodology to construct the regional conservative analytical solutions of geometric structures of inverse boundary value problems is proposed Keywords: S-functions, geometric inverse problems, structure of the solution

----------------□ □------------------

УДК 536.24: 621.438

S-ФУНКЦИИ В ПОСТРОЕНИИ КОНСЕРВАТИВНЫХ СТРУКТУР РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ

А. П. Слесарен ко

Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, лауреат Государственной

премии Украины

Отдел моделирования и идентификации тепловых

процессов

Институт проблем машиностроения А.М. Подгорного

НАН Украины

ул. Дм. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина, 61046 Контактный тел.: 096-386-30-22

1. Постановка проблемы

Научные исследования, представленные в данной статье, относятся к математическому моделированию тепловых процессов в областях с границей, подлежащей определению по данным вычислительного эксперимента, а также разработке методологии аналитического описания изменяющихся во времени участков границ с помощью S-функций.

Постановка геометрических обратных задач изложена в работе [1]. К данным задачам можно добавить важные в научно-техническом отношении задачи: задачу об определении оптимального профиля ребер радиатора с максимальной скоростью теплопередачи от поверхности ребра к газу, и задачу по поиску наилучшей формы твердого тела, движущегося в жидкости, создающего наименьшее сопро-

тивление потоку. Последняя задача была поставлена Ньютоном [2].

Можно поставить сотни и тысячи геометрических обратных краевых задач, представляющих как самостоятельный научный, так и технический интерес. Но при решении всех этих задач численными методами происходит часто такая нелинейная «суперпозиция» погрешностей, связанная с погрешностью аппроксимации искомой границы области и с заданными на ней граничными условиями, что получаются или большие погрешности конечного результата, или «развал» вычислительного процесса. Метод Я-функций делает структуры решения краевых задач нефизичными во внутренних точках области из-за аналитического продолжения граничных условий внутрь области, а также нефизичными в окрестностях острых углов и ребер.

Построение консервативных структур решения прямых и обратных краевых задач, включая и геометрические обратные задачи с помощью S-функций [3,4], позволяет убрать эти «нефизичности» как во внутренних точках области решения задачи, так и в окрестностях угловых точек и ребер области.

2. Анализ исследований и публикаций

В монографии [1] и соответствующих работах, указанных в [1] представлена полная информация о достижениях и возможностях решения геометрических обратных задач теплопроводности за последние три десятилетия.

В работе [5] утверждается, что разработана новая методика определения неизвестной границы области, которая основана на совместном применении вариационных методов [2;6], метода Я-функций [7] и сплайн-интерполяции. Здесь автор вступает в противоречие с теоремами классических методов теории приближений в краевых задачах. К данным теоремам относится и теорема Канторовича-Крылова [6], из доказательства которой следует, что произведение полной системы линейно-независимых функций на весовую функцию только в том случае является полной системой функций, если: весовая функция является непрерывной, имеет непрерывные производные и ограничена, включая и свои производные. Я-функции [7] имеют разрывные производные в угловых точках и неограниченные вторые и т.д. производные в угловых точках. Так что ни о каком в этом случае серьезном с точки зрения теории приближений в краевых задачах поиске минимума функций нескольких переменных - геометрических параметров, не может быть и речи. И каким образом также в этом случае можно с помощью функции с сингулярными особенностями в угловых точках области получить множество возможных решений, образующих компакт? И о какой естественной регуляризации здесь может идти речь в решениях геометрических обратных задач, если заранее решения безнадежно «портятся» внесением «фиктивных» сингулярных особенностей в угловых точках области? Здесь это касается особенно граничных условий второго и третьего рода, а также условий «сопряжения» для геометрических обратных задач теплопроводности. В случае граничных условий первого рода происходят те же неприятности не на много меньшего характера. Поэтому незнание основных теорем классических методов теории приближений в краевых задачах приводит автора в работе [5] к ложному торжеству глобального решения проблемы, связанной с геометрическими обратными задачами теплопроводности.

Чтобы учесть аналитическую информацию о граничных условиях задачи, содержащих производные по нормали или касательной к поверхности S области О в текущей точке Р поверхности S, необходимо в приближенных аналитических структурах решения иметь непрерывные функции

Эю Эю Эю

Эх ’ Эу ’ Эz

где

ю(х,у^)|5 = 0, ю(х,у^) > 0,

/ \ м Эю

если (х,у^) е£2 и — Эц

= 1,

ц - направление внешней нормали к поверхности S области О для геометрической обратной задачи.

Функция ю(х,у^), построенная с помощью Я-функций и удовлетворяющая приведенным выше условиям имеет в угловых точках границы области, включая и ребра для трехмерных конструктивных элементов, разрывные частные производные. В силу этого все структуры решения, построенные с помощью Я-функций и учитывающие граничные условия второго и третьего рода, а также условия «идеального» и «неидеального» теплового контакта на поверхностях контакта разнородных сред, имеют разрывные производные. В вычислительном процессе варианты «отступления» от углов порождают ложную уверенность в возможности серьезно решить задачу, так как создается иллюзия возможности замены работы с разрывными частными производными от функции ю (х,у^) работой с якобы непрерывными производными. Достаточно обратиться к работе [8], чтобы понять всю глубину научной «мистики» в таких подходах с вариантами «отступления» от фиктивных сингулярных особенностей в таких приближенных аналитических неконсервативных структурах решений краевых задач.

Другим очень большим «подводным камнем» при решении прямых и обратных краевых задач, является неконсервативность приближенных аналитических структур решений краевых задач в методе Я-функ-ций. Это объясняется их «антифизичным» поведением в области О решения задачи. В работе [3] приводится пример, который показывает, что продолжение граничных условий третьего рода внутрь области ведет к невозможности решения задачи методом Я-функций при Ь . В то же время из учебного курса ВУЗов по «Методам теории теплопроводности» известно, что при Ь температура поверхности области О Тп ^ ТСр, где ТСр - температура окружающей среды. В этом случае условие третьего рода в предельном случае при Ь переходит в условие первого рода.

Особенно это проявляется при осциллятивных граничных условиях теплообмена как по временной переменной, так и в случаях, когда учитываются циклические условия теплообмена, зависящие от координат и времени.

В этом случае «шторм» в физических моделях тепловых процессов происходит только в граничном пояске. Продолжение же таких граничных условий внутрь области приводит к заполнению «безштормо-вого» внутреннего региона области в точном решении задачи фиктивным «штормом».

Такой фиктивный «шторм» во внутреннем регионе области или во много раз увеличит усилия по решению исходной задачи, или зачастую сделает невозможным ее решение с допустимыми погрешностями.

Е

Методология построения консервативных структур решения задач теплопроводности с помощью 8-функций, приведенная в работах [3,4,9,10], позволяет впервые в мировой научной практике строить приближенные аналитические структуры решения краевых задач с непрерывно-дифференцируемыми базисными функциям. При этом в асимптотическом приближении с любой наперед заданной степенью точности решаются соответствующие обратные задачи дифференциальной геометрии, и учитывается аналитическая информация от заданных граничных условиях краевой задачи.

3. Цель работы

Разработка методологии построения региональных консервативных структур решения геометрических обратных краевых задач с помощью 8-функций по данным вычислительного эксперимента, точно удовлетворяющих заданным граничным условиям на искомой границе области.

Граница области описывается в аналитической форме 8-функциями для любого заданного набора параметров, входящих в «опорные» функции, которые задают изменяющиеся во времени участки границы области решения геометрической обратной краевой задачи.

4. Основные материалы исследования

Данный подход иллюстрируется на примере решения четырех геометрических обратных задач.

Задача 1. Рассмотрим геометрическую обратную задачу теплопроводности с системой фиксированных источников энергии для области, представленной на рис. 1.

При решении данной задачи подбирается оптимальная форма границы пластины таким образом, чтобы площадь поверхностей пластины оставалась неизменной (1).

Рис. 1. Схема конструктивного элемента с источниками энергии

ДТ-в2Т = ^; Т = Т(х,у); | |^ +ВіцТ

= ВІккТСрк;

Т(Хш-Уш) = ТЭ(Хш-Уш); F =

(х,у) єНі

-іЛа

0, (х,у) є Ні

а • 1

где В^к = —-—, акк - коэффициент теплообмена, 1 X

- характерный размер, d - толщина пластины, X - теплопроводность пластины, р - тепловой поток в области Н!, р2 = (а1 + а2)Х-М-1, а1 и а2 - суммарные коэффициенты теплоотдачи, характеризующие конвекцию и излучение с поверхностей пластины в окружающую среду.

Пунктирными линиями обозначены возможные варианты изменения геометрии области. Ограничение накладывается на максимально возможную температуру в области П.

Построим региональные консервативные структуры решения геометрической обратной задачи теплопроводности (2):

Т1 _ ТСр1 +Ф1 Ю11 Л(ш12Ю13Ю14)

ЭФ1 Э“11

Эу Эу У=Ь

- Ві11ф1

У=ь2

“12 Л(Ю11Ю13Ю14

“13 Л(Ю11Ю12Ю14)

ЭФ1 Э“12

Эх Эх12

ЭФ1 Э“13

Эу Эу

- ВІ12Ф1І

-

у=Ь3

Т2 _ ТСр2 +Ф2 “21 Л(Ю22Ю23Ю24) Х

ЭФ2 Э“21

Эх2 Эх21

ЭФ2 Э“22

Эу Эу

ЭФ2 Э“23

Эх2 Эх

= ТСр +Ф Ср3

ЭФ3 Э“31

Эу Эу

ЭФ3 Э“33

Эх Эх

ЭФ3 Э“33

Эу Эу

= ТСр +Ф Ср4

ЭФ4 Э“41

Эх Эх

ЭФ4 Э“42

Эу Эу

ЭФ4 Э“43

Эх Эх

— Ви, Ф,

“22 Л(Ю21Ю23Ю24

)2 X

У=Ь4

ВІ22Ф2 Iу=Ь4

“23 Л( “21“22“24

)2 X

— ВІ9зФ9

23 21х=ач

— ВІ31Фз|у=Ьз

— Вь 0Фо

“32 Л(“31“33“34

)2 X'

“33 Л(“з1“з2“з4

)2 х

— ВІ13Ф1І,

У=Ь2

— ВІ41Ф4І=ае

— “42 Л(“41“43“44)2 Х

У=Ь1

— ВІ42Ф4ІУ=Ь,

“43 Л(“41“42“44

)2 х

— Вьо Ф,

і

X

X

X

х=а

2

X

У=Ь3

X

X

Ь

2

4

4

X

х=а;

X

X

Т5 =

'Фі + Ф + Ф + Фі'

Vю! “2 “з “4 )

1

Vю;

і і і

\-і

(2)

Ю11 = У - Ь2; Ю12 = Х - а1; Ю13 = Ь3 - У’> Ю14 = а2 - Х; Ю21 = Х - а2; Ю22 = Ь3 - У; Ю23 = а3 - Х; Ю24 = У - Ь3; Ю31 = У - Ь2; Ю32 = а4 - Х; Ю33 = У - Ь2; Ю34 = Х - аз; Ю41 = а3 — Х; Ю42 = У — Ь2; Ю43 = Х — а2’ Ю14 = Ь2 — У’

Фк(Х,У,Цк)) =£ С<к)рк)(х)Р<к)(у);

і+І=0

ПРИ У = Ь2 . ТА

дт — р2Т = 0;

= т

21у=ь,

ЭТ

Эу

У=Ь2

эт2

Эу

У=Ь2

= ВіТСр;

—хЭ!

Эц

=q;

ЭТ тз-гр

— + ВіТ Эц

q* =—-X; о < у < Ь3.

ь >

| (\ 1 1 1 1 1 1 і і і хуххххх >

-а

а

1

а

Фк =Фк + Терк; к = 1;2;3;4.

При к = 1 полиномы Чебышева р(1)(х)и р(1)(у) нормированы в областях а1 < х < а3; Ь2 < у < Ь3 . При к = 2 полиномы Чебышева р(2)(х) и р(2)(у) нормированы в областях а2 < х < а3; Ь2 < у < Ь4 . При к = 3 полиномы Чебышева р(3)(х) и р(3)(у) нормированы в областях а2 < х < а4; Ь2 < у < Ь3 . При к = 4 полиномы Чебышева р(4)(х) и р(4)(у) нормированы в областях а2 < х < аз; Ь1 < у < Ьз .

Построенные региональные структуры решения является непрерывно-дифференцируемыми во всех точках замкнутой области ПиГ, удовлетворяют условиям непрерывности по функциям и их первым производным на границах контакта регионов и консервативны во внутренних точках регионов области.

Поэтому с помощью точечного метода наименьших квадратов можно построить региональные функционалы, позволяющие по данным вычислительного эксперимента определить региональные геометрические параметры пластины с системой внутренних источников энергии.

Задача 2. В пластину толщиной d и теплопроводностью X встроен нагревательный элемент (рис. 2), длиной не менее Ь1 и не более Ь3, и определение температурного поля сводится к решению задачи теплопроводности (3):

Требуется определить Ь2 таким образом, чтобы длина нагревательного элемента не превосходила Ь3 и максимальная температура пластины не превышала допустимо возможную.

Консервативные структуры решения для региональных областей построим следующим образом. Методом Фурье (разделения переменных) определим решение задачи для второго региона с учетом граничных условий при х = ±а и у = Ь . При этом получим Т2 = Т(х,у,а,Ь,С^) .

Разделение на регионы требует ввода физических условий сопряжения на границе контакта регионов

Рис. 2. Схема конструктивного элемента с источником энергии: ххх — место положения датчиков температуры

Консервативную структуру решения для первого региона, точно удовлетворяющую граничным условиям и региональным условиям сопряжения построим в виде:

эт2 ,

+ ЬТ,

ЭУ 2

Т(Х,у,а,Ь2,Сй) = {х л [у2(а — х)2^ — у)2 ]} ■ q* + Т

— {у л [х2(а — х)2(Ь2 — у)2 ]}

— {хл[у2(а — х)2(Ь2 — У)2]} Эх

— {(а — х) Л [х2У2(Ь2 — У)2 ]}■

(4)

х=0

эт2 э^ + ьт2

ЭХ ЭХ 2

Датчики располагаем из условия, что Ь2 < Ь3, т.е. в интервале 0 < у < Ь3. Коэффициенты при базисных функциях определяем как С^ = С^(Ь2) .

Используя данные вычислительного или теплофизического эксперимента, определяем геометрический параметр Ь2 из условия минимума функционала

1 =Е[Т1(Хт’Ут’Ь2) — Т-(Хт-Ут)]2

(5)

Задача 3. Рассмотрим геометрически нестационарную обратную нестационарную задачу теплопроводности (6-7):

— = ДТ-Р2Т + F•, F = F(x,y,Fo)•, Т = Т(х,у^о);. (6) ЭFo

эт

— + Ві^о)Т

эЦ

= Bi(Fo)Tcp(Fo); Т|Ро=0 = ^(х,У) (7)

Г(Бо)

Заданы уравнения переменных частей границы области во времени:

г (а2 — х2 ехр[—р^о] — у2(1 — ехр[—р^о])); Г2 (ь2 — Х2(1 — ехр[—p2Fo]) — У2 ехр[—P2Fo]));

(8)

(3)

при неизвестных коэффициентах р1 и р2 - скорости изменения форм частей границы.

Требуется по данным вычислительного эксперимента для ряда моментов времени определить параметры р1 и р2. Приближенную аналитическую структуру решения задачи (6)-(7), точно удовлетворяющую

т=1

ь

«Г

нестационарному граничному условию (7) согласно [3;4] представим в виде:

т(х,у,р1,р2,Ро> = ТСР(Т0) + Т(х,у, -

-ш*D1 (Т(х,у,С^о>)Ц> + т* В^о>Т(х,у,С^о>|

Г(Fo>

D1(T> = дт* ^ + дт* ^

Эх Эх Эу Эу

т* =т(x,y,Рl,p2,Fo>[т^ +(grad(т>)2] ' ;

(9)

Максимальные значения р1 и р2 всегда можно определить из динамической физической модели процесса.

Для того чтобы определить коэффициенты структуры решения (9) С^ для каждого момента времени Fol С^ = С^р^р^о^ решим 121 задачу для р1 = 0.5 + 0.25т; р2 = 0.5 + 0.25т; т = 0,1...10 и применим первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона [11].

Параметры скорости изменения геометрической формы области для каждого момента времени Fol определим из вариационных задач (10):

11(р51),р21)>=

^НТ^Ут-М'^Ео,) - Т(1)(хт,ут^01>]2- (10)

что сводится к решению системы нелинейных уравнений (11):

О В-

И

04

т

* Ч ч

Ч \ ч V \ *

г * 1*

* \ч.'\ \\ ' \

1 1 \ \ \ \ \ 1

0,2

М

эцр^р^)=0; д1, (р(1>,р21)>=0;

0; -ч (1> 0;

Эр(

(1)

Эр2°

(11)

т(x,y,p1,p2,Fo) = (а2 -хЕ1^ -у2(1 -е-р^°))л(Ь2 -х2(1 -е

Следует заметить, что при Ро = 0 форма области представляет собой прямоугольник |х| < а,|у| < Ь, а

при Fo = ~ - прямоугольник |х| < Ь,|у| <а. Формы области для различных моментов времени представлены на рис. 3, а=1, Ь=0.35.

Задача 4. Проблемной и важной с научно-технической точки зрения является задача описания в аналитической форме процесса движения фронта затвердевания металла в изложницах различной формы, и определения параметров скорости движения фронта по данным вычислительного или теплофизического эксперимента.

С помощью S-функций построим эмпирическую формулу (12):

<>^2 = ^1 + ¿2 -

+ £22к + 10-(2к+р) ехр [-10(2к + р)(£12к + ¿22к)]; (12) *1 = Цх,т); *2 = ¿2(у, т); р = 2К

р2^>

Цх, т) = £ атхтехр(-р|т)т);

т=0

¿2(У, Т) = ХЬтУтехр(-р(т2)Т).

Рис. 3. Форма области для различных моментов времени, при р, =10, р2 = 1: W0 (у=0.35) - 0Fo; W1 - 0.25Fo; W2 -0^о; W3 - 0.75Fo; W4 - 1.75Fo; W5-2.25Fo; W6(x=0.35) - ^о

Эта формула с достаточно высокой степенью точности может описывать движение фронта затвердевания металла в изложницах клинообразной, прямоугольной и любой другой формы. Она содержит восемь параметров, характеризующих скорость движения фронта затвердевания.

В простом случае для изложницы с прямоугольным сечением |х| < а,|у| < Ь, для описания процесса движения фронта затвердевания металла с параметрами скорости движения р1 и р2 с приемлемой точностью

2 рРо, для инженерных расчетов можно пользо->- уе 2 ); ваться формулой (13):

т(х,у, р1,р2, т> = (х2 - а2 ехр(-р1Т>> л(у2 - Ь2 ехр(-р2т>> (13)

Параметры скорости движения фронта затвердевания металла в изложнице можно определить по данным вычислительного или теплофизического эксперимента по методологии рассмотренной в предыдущей задаче.

5. Вычислительный эксперимент

При оформлении статьи Слесаренко А.П. <^-функ-ции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм» [3] была допущена неточность, и результаты, помещенные в табл. 4 статьи [3] в строке для Я-функций были получены не по структуре метода Я-функций [7], а по консервативной структуре решения задачи, предложенной в [4,9-10] с применением разностных схем повышенного порядка точности:

ЭФ Эт1 Эх Эх

Т = ТСр + Ф - т1 а0 т

- Вь Ф|

1 Ь

ЭФ Эт2

Эу Эу

у=±1

- В12 ф ±1

2 1у=±1

(14)

т lj

201

т=0

.1

В данной статье в табл. 1 приведены результаты, полученные по неконсервативной структуре решения задачи метода Я-функций:

гр / гр Ш2ВІ2 + ЮіВІ!

Т = (ТСр + Ф)ю——2-------1—-■

V Ср > т _|_т

-ю

ЭФ Эю ЭФ Эю

Эх Эх ЭС ЭС

(15)

с использованием по временной переменной разностной схемы первого порядка точности, а по пространственным координатам разностной схемы второго порядка точности. При этом использовалось 55 координатных функций, 400 узлов разностной сетки, шаг по времени 0,00^о.

В табл. 1 приведены вычисленные приближенно и точные значения для температуры призмы в отдельных ее внутренних точках и максимальная относительная погрешность вычисления для задачи [3]. Приближенные значения температуры получены по консервативной структуре решения задачи с помощью S-функций IV рода (14), и по неконсервативной структуре решения (15) задачи [3] с помощью Я-функций.

На рис. 4 представлена в диметрии температура пластины, вычисленная с помощью неконсервативной структуры решения (15) для момента времени 0.02Fo с использованием Я-функций.

Точное решение задачи [3] выбрано в виде:

ТТ(х,у^о) = Тср^о) + (ф(х^о) -

-¿1 хМф^о^ х(х)+Цх^^оЖх^о))х

х(у(у^о) - ¿2(у)уу(у^о)*2 у(у)+ +*2(у)В^оЖу^о));

Цх) = (1 - х2); ;

¿2(у) = (1 - у2);Ф(х) = (^(хя3 /2) + 2);

¥(у) = (cos(yп3/2) + 2)

нейтрализовать фиктивные источники и стоки внутри области.

Таблица 1

Fo Зна- чение (0;0) (0,5;0,5) (0,95;0,95) £max, %

0.001 Пр.Я 25,544707 7,20506366 9,14682844 11,5804

Пр.8 28,889586 6,632975 9,356339 0,02784

Точное 28,890317 6,632868 9,354975 -

0.01 Пр.Я 212,35613 92,3503863 7,82298339 86,4953

Пр.8 372,479831 80,169448 57,932896 0,019836

Точное 372,482560 80,168620 57,927971

0.02 Пр.Я 11213,75800 1912,79669 2974,95338 1311,76

Пр.8 23272,328980 2490,855986 210,681319 0,180956

Точное 23272,400000 2490,867000 210,726327 -

Рис. 4. Распределение температуры по сечению прямоугольной призмы в момент времени 0.02Fo, вычисленное с помощью неконсервативной структуры решения (15) задачи [3] методом R-функций

ю = ю1 л0 ю2

Тср^о) = 10000(1 - ехр(-0^о)),

В^о) = exp(-230Fo), (х,у)ей, 0<Fo<0.02

Если в исходной задаче температура среды и критерий Био изменяются по осциллятивному закону, то погрешности, полученные неконсервативными структурами будут значительно большими, чем полученные консервативными структурами. Это доказывает, что продолжение граничных условий внутрь области делает решение нефизичным, особенно ярко это заметно, если в граничных условиях отражены резко осциллирующие условия теплообмена. Физически это объясняется тем, что резко осциллирующие условия теплообмена на границе области распространяют свое влияние вдоль граничного пояска области и не влияют на внутренние точки области, достаточно удаленные от границы. Продолжение же в этом случае граничных условий внутрь области заполняют всю область фиктивными осциллирующими источниками и стоками энергии. В этом случае даже применение сплайнов Шёнберга в качестве аппроксимационных функций в структурах решения во многих случаях не позволяет

6. Выводы

Геометрические двухмерные и трехмерные обратные задачи теплопроводности для нестационарных высокоскоростных процессов относятся к числу задач, для которых все еще остается много нерешенных проблемных вопросов. Решение обратных нестационарных по геометрии задач аналитической и дифференциальной геометрии в плане получения их непрерывно-дифференцируемых решений в аналитическом виде по координатам и временной переменной встречало принципиальные трудности математического характера.

Описа ние даже в стационарном слу чае поверхностей тел сложной формы с помощью Я-функций, содержало в аналитических конструкциях решений модули от «опорных» функций, описывающих части поверхности тел. Это приводило к тому, что в итоге аналитическая конструкция решений задач имела разрывные а также неограниченные производные в угловых точках границы для двухмерных задач, и на ребрах для трехмерных задач.

Е

В этих случая в итерационных вычислительных процессах происходило лавинообразное нарастание погрешностей, что приводило в лучшем случае к неприемлемо большим погрешностям результатов решений, а в худшем случае - к развалу вычислительного процесса. Это иллюстрируется в статье на примере решения нестационарной высокоскоростной задачи теплопроводности с помощью неконсервативной структуры решения методом Я-функций, которая точно удовлетворяет соответствующим стационарным граничным условиям третьего рода для каждого момента времени и при этом граничные условия продолжаются внутрь области.

Лавинообразное накопление погрешностей в процессе решения нестационарной задачи теплопроводности для каждого момента времени методом Я-функций приводит к тому, что уже для 20-го слоя во времени получаются погрешности более тысячи

процентов. Решение этой же задачи с использованием 8-функций дало возможность получить непрерывнодифференцируемую аналитическую консервативную конструкцию решения, точно удовлетворяющую нестационарным граничным условиям. При этом погрешности решения для каждого момента времени не выходят за две десятые доли процента.

В статье впервые предложена методология аналитического описания переменных во времени границ или участков границ областей сложной формы, а также процессов движения фронта затвердевания металла в изложницах неканонической формы с учетом параметров скорости движения фронта затвердевания. Предложены новые подходы к решению ряда геометрических обратных задач теплопроводности по определению геометрических параметров участков границ области и параметров скорости изменения участков границы.

Литература

1. Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности: в 2-х т. Т.2. Приложения [Текст]. / Ю.М. Мацевитый. - Киев: Наук. думка, 2002. - 391 с.

2. Шехтер Р.С. Вариационным метод в инженерных расчетах [Текст] / Р.С. Шехтер. - М.: Мир, 1971. - 289 с.

3. Слесаренко А.П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм [Текст] / А.П. Слесаренко // Вост.- Европ. журнал передовых технологий. - 2012. - №1/4 (55) - С. 4 - 10.

4. Слесаренко А.П. S-функции в обратных задачах аналитической геометрии и моделировании тепловых процессов [Текст] / А.П. Слесаренко // Вост. - Европ. журнал передовых технологий. - 2011. - №3/4(51). - С.41 - 46.

5. Костиков А.О. Идентификация и оптимизация геометрических параметров объектов энергетики и радиоэлектроники путем решения обратных задач теплопроводности [Текст]: Автореф. дис. ...кандидата техн. наук. - Харьков, 2011. - 34 с.

6. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа [Текст]. - М.; Л.: Физматгиз, 1962. - 695 с.

7. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения [Текст] / В.Л. Рвачев. - К.: Наук. думка 1982. - 552 с.

8. Алифанов О.М., Румянцев С.В. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач [Текст] // Докл. АН СССР. - 1979. - 248, №6 - 1289 - 1291.

9. Слесаренко А.П. Идентификация нелинейной нестационарной зависимости мощности источника энергии от температуры на базе вариационно-структурного и проекционных методов [Текст] / А.П. Слесаренко, Н.А. Сафонов // Проблемы машиностроения. - 2010. - Т.13, №6. - С.58-63.

10. Слесаренко А.П. Структурно-разностный подход к математическому моделированию высокоскоростых тепловых процессов с нестационарным теплообменом на поверхности конструктивных элементов [Текст] / А.П. Слесаренко, Ю.О. Кобринович // Проблемы машиностроения. - 2011. - Т14, №3. - С.66 - 75.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / Н.С. Бахвалов.

- Наука, 1973 - С.37-39.