Моделирование температурного поля неоднородной пластины сложной формы с источниками энергии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК536.2.01

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ С ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ

СЛЕСАРЕНКО А.П., ПОДКОПАЙ И.В.___________

На базе совместного применения структурного и вариационного методов решается задача теплопроводности для пластины с источниками энергии с учётом условий идеального теплового контакта на границе разнородных частей пластины. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

1. Введение

Целью данной работы является математическое моделирование в платах радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) вариационно-структурным методом.

Широко распространены устройства, в которых часть тепловой энергии переносится в окружающую среду через конструктивные элементы, выполненные в форме пластин. Примерами таких пластин являются: ребро радиатора, несущие платы в микромодулях, рабочий элемент полупроводникового выпрямителя радиаторного типа, шасси, на котором смонтированы детали (диоды, транзисторы и т. д.). При этом физически оправданным является предположение, что градиент температуры в поперечном сечении пластины равняется нулю [1].

56

Результаты решения прямых задач теплопроводности представляют собой функциональные ряды по базисным функциям, точно удовлетворяющим граничным условиям.

Относительную погрешность полученных результатов в пределах 3-4% в плане среднеквадратичного рассогласования с результатами натурного теплофизического эксперимента можно получить уже при 10-15-базисных функциях в аналитической структуре решения соответствующей задачи теплопроводности. Это позволяет на новом качественном уровне создавать как банки данных модельных структур тепловых режимов элементов РЭА, так и новые информационные технологии в этом направлении.

2. Постановка задачи исследования

При определённых допущениях отдельные части электронного аппарата можно рассматривать как пластины с системой источников энергии. Рассмотрим несколько пластин квадратной формы с различными расположенными на них системами источников энергии (рис. 1, а - г).

Будем предполагать, что:

а) источники тепла равномерно распределены по областям, которые они занимают;

б) тепловые потоки Pj =... = Pm = Р рассеиваются в окружающую среду не только кондукцией через границы областей источников энергии, но и конвекцией и излучением с их поверхностей;

РИ, 2011,№ 1

в) рассеянием энергии с кромок пластин можно пренебречь по сравнению с рассеянием тепла с остальных поверхностей пластин [1 ];

г) сумма полных коэффициентов теплоотдачи с по-

й Б aL2 5

верхностей пластины такова, что Б; =--= 5, где

Xd

Б; - критерий Био, L - характерный размер пластины, d - толщина пластины, X - коэффициент теплопроводности пластины;

д) размеры областей H; (источников) такие, что

L = 0,1. Для рис. 1, г l - характерный размер области источника энергии.

Рис.1. Схема конструктивного элемента в форме пластины с источниками тепловой энергии: а - два источника тепловой энергии; б - один; в - четыре; г -восемь

У

б

а

Коэффициент теплопроводности материала заштрихованной части пластины - X1 (область Q1), а незаштрихованной части - X2 (область Q2) (рис. 1, а - г).

Расчёт температурного поля пластины в этих случаях сводится к рассмотрению следующей краевой задачи:

Дф - Р2ф = -Fp,

** = 0

dv Г0 ,

(1)

(2)

где (x,y) еП , (xby1) єГь (x01,y01) є^1,

(Х10,У10) є Q2, ^ = ^11^2; Г0 - контур торцов пластины; Г1 - контур контакта неоднородных пластин; d - толщина пластины; Р = Р(а,X,d); а - полный коэффициент теплоотдачи поверхности пластины; p -номер задачи; V01 и V10 - направление внутренних нормалей к контуру X; ф = t - tc(tc - температура окружающей среды).

Используя формулу Грина [2] и учитывая (2), (3), имеем

(Аф,ф) = £ X; J (-Дф + р2ф)фШ; =

І=1 Ц

2 2

= £ X; J (gradф)2dQi + X X; J р2ф2Ш; -i=1 Ц i=1 Ц

-X1 J ф дф ds1 -X 2 J ф-^^- ds1 =

1 Г/ dv01 1 2Гі dv10 1

= £ X; J (^ф)2ШІ + £ Xi J pVdQ; . (4)

i=1 Q; i=1 Q; v

Тогда, согласно [3], оператор Aф = X(-Дф + p2ф) -

положительно-определённый на линеале непрерывно дифференцируемых функций, которые удовлетворяют условию (2), (3).

Таким образом, рассмотренная задача равнозначна задаче про минимум функционала:

1(ф) = £X; J [(^ф)2 +Р2ф + 2РфДО;

i=1 Q;

3. Структура решения задачи

Согласно [3-5], структура решения данной задачи имеет вид

N =

фХуХ^

p

£ CijXij

i+j=0 i>0,j>0

Xjj(u,v) = W(u,v)-ra0(u,v)

dW(u,v) 9ro0(u,v) du du

dW(u,v) 9ro0(u,v) dv dv _ ,

®0(u,v) = u - u2 + v - v2 - 4(u - u2)4 + (v - v2)4 ,

дф(х10,У10)

dv10

X = 0 5®0 52®01 d2(u - u2)

2 Г1 , 5v0 =1 ; Г0 ; 5v012 Г01 dv012

Г01

lim ф(х,у) = ф(х1,у1) x ^ x^

У ^ Уі

(3)

52®02

d2(v - v2)

dv,

02

r02

dv

02

r02

РИ, 2011, № 1

57

д3|В01

5vqi3

Г01

д3 (u - u2)

dvoi3

Г01

из задач машинное время было в пределах 5-8 мин. Значения коэффициентов Cjj для приближённых решений задач (1)-(4) приведены в таблице.

53Ю02

ду,

02

д3 (v - v2)

г02

dv,

02

г02

Г0 =Г01 U Г

- 02 :

W(u,v) = (u• у)‘(и‘ + Vі) ,

X2 -^1 д®1 Ы®0

X2 +X1 дХ Ю12 +®02 X2 -X1 д®1 |о>1І®02 X2 +X1 дУ ®12 +®02

u = Х +

V = у +

o>1(x,y) = 1-x - у - ^(0,5-х)4 + (0,5 - у)4 ;

д®1 д Юц д2(u - u2)

ду1 =1 Г1 ? дVll2 Г1 1 дуц2

д2ю 12 д 2 (V - -V2)

^122 Г12 ^122 Г12

д3ю 11 д3 (u - u2)

ду1 3 1 Г11 ду1 3 1 Г11 ’

д3®12 д3 (V - V 2)

^123 Г12 ^123 Г12 , Г1 = Гп

Г11

12 •

4. Вычислительный эксперимент

Для численного расчёта была взята квадратная пластина со стороной L, с системой источников энергии

(Hi) (i=1,2,...,m), которые занимали на пластине области в виде квадратов со сторонами І1 = І2 =... = lm = l (см. рис.1, а - г), при этом l = 0,1; X1 = 1

X2 = 5 ; Р12 = 5 ; Р22 =1.

Функция Fp в уравнении (1) для рассмотренных случаев имеет вид:

Номер задачи С 1j

О о о О о С 20 О о С11 С 02

1 0,6483 3,6258 -2,5179 1,6752 -4,8831 1,6133

2 0,7854 2,8611 -2,1422 1,5342 -3,7322 1,5064

3 1,1457 3,8809 -2,2028 3,3776 -7,5702 2,6982

4 1,6135 -0,7965 2,7785 0,6241 -0,5433 -1,1628

На рис.2 показана зависимость критерия N от коорди-

Х У нат l и l.

а

б

в

г

(Х,у) Є H

Р15

X =

X1,(x,y) є Q1

[х2,(х,у)є^2 ;

где 1= 1,2,... ,m, m - количество источников энергии на пластине.

Вычисление интегралов и решение системы

Z CijIJX

1+j=0 Q L

1>0,j>0

дХ1і дХі дХ1: дХі 2

----j дХк1 +---^ ^XkL + p2x1jXks

дх дх ду ду J

dQ =

= UXFpmXksdQ (5)

Q

для n=2 (т.е. 6 членов ряда) выполняли на ПК. Дифференцирование при этом проводилось точно. Интегрирование проводилось с шагом 2 , а для интегралов

с функцией F - с шагом 2-7 . Потраченное на каждую

Рис. 2. В пространственной проекции показана зависи-

х у

мость критерия N от координат ^ и L для рассмотренных случаев рис. 1, а - г соответственно

5. Выводы

Приближённые аналитические структуры решения задач теплопроводности универсальны по отношению к изменению геометрии кусочно-однородных областей с источниками энергии и изменению границы контакта разнородных областей.

Эти качественные особенности аналитических структур задач теплопроводности позволяют более оперативно проводить многофакторный вычислительный эксперимент в целях выбора таких физических и

58

РИ, 2011, № 1

геометрических параметров, которые обеспечивают наиболее оптимальный тепловой режим систем с источниками энергии.

Научная новизна данной работы заключается в том, что предложен приближенный аналитический подход к математическому моделированию температурных полейв двухмерных системах с источниками энергии в неоднородных средах.

Практическая значимость проведенных исследований состоит в том, что этот подход позволяет в реальном масштабе времени и при малых затратах машинной памяти эффективно реализовывать алгоритмы диагностики и прогнозирования наиболее теплонапряжённых частей плат РЭ А из неоднородных материалов в целях более эффективного проектирования систем охлаждения РЭА.

Литература: Х.Дульнев Г.Н., Парфёнов В.Г., Сигалов А.В. Методы расчёта теплового режима приборов. М.: Радио и связь, 1990. 312 с. І.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957. 512 с. 3. Рвачёв В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. Киев: Наук, думка, 1976.279 с. 4. Рвачёв В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро - логические

и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев: Наук, думка, 1978.140с. 5. Темников А.В., Слесаренко А.П., Современные приближённые аналитические методы решения задач теплообмена. Самара: Самарский политехнический институт, 1991. 91 с.

Поступила в редколлегию 30.12.2010

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Редько А.Ф.

Слесаренко Анатолий Павлович, Лауреат государственной премии Украины, ведущий научный сотрудник ИП-Маш им. А.М. Подгорного НАН Украины, д-р физ.-мат. наук, профессор. Научные интересы: математическая физика, дифференциальные и интегральные уравнения, математическое моделирование и вычислительные методы, теплофизика. Адрес: Украина, 61144, Харьков, ул. Уборевича, 14, кв. 24, к.тел. 959518 (р.).

Подкопай Ирина Васильевна, аспирантка НАН Украины Института проблем машиностроения им. А.М. Подгорного, ассистентка кафедры Высшей математики Харьковского государственного технического университета строительства и архитектуры. Научные интересы: математическая физика, дифференциальные и интегральные уравнения, математическое моделирование и вычислительные методы, теплофизика, алгебра. Адрес: Украина, 61020, Харьков, пр. Ильича, 93-А, кв. 22, тел. 7076087 (р.); e-mail: podkopay_ira@nrail.ru.