Розв'язання транспортної задачі з проміжними пунктами за допомогою надбудови Solver MS Excel Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маевский В.О., Вус А.Я., Максымив В.М. Моделирование распиловки бревна секторным способом на радиальные пиломатериалы с учетом его реальной формы

Разработана математическая модель распиловки бревна параллельно линейной регрессионной оси секторным способом на радиальные пиломатериалы. Математическая модель учитывает форму поверхности реального бревна, полученной по результатам сканирования его поперечных сечений. Обоснованы особенности математической модели расчета схем распиловки бревна (секторов) с учетом вращения (поворота) бревна или схемы распиловки вокруг оси бревна на заданный угол при разрезании (распиловке) вертикальными и горизонтальными секущими плоскостями.

Ключевые слова: бревно, сектор, распиловка, секторный способ, моделирование, математическая модель, постав (схема распиловки), линейная регрессионная ось (ЛРО), пиломатериал радиальной распиловки (радиальный пиломатериал), вращение бревна.

Mayevskyy V.O., Vus A. Ya., Maksymiv V.M. Simulation of log sawing by sector method into quarter sawn lumber with consideration of real log shape

Mathematical model of log sawing to parallel of linear regressive axis by sector method into quarter sawn lumber was developed. This model is taken to account the surface shape of real log which is received by scanning for surface of log cross sections. The features of calculation for mathematical model of sawing pattern for log (sectors) taking account log rotation or sawing pattern around log axis at the fixed angle under cutting (sawing) by vertical and horizontal cutting planes were validated.

Keywords: log, sector, sawing, sector method, simulation, mathematical model, sawing pattern, linear regressive axis, quarter sawn lumber, rotation of log.

УДК519.852.33:004 Доц. Л.К. Глтенко, канд. техн. наук;

доц. €.1. Яковенко, канд. техн. наук - НУ "Львiвська полiтехнiка "

РОЗВ'ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНО1 ЗАДАЧ1 З ПРОМ1ЖНИМИ ПУНКТАМИ ЗА ДОПОМОГОЮ НАДБУДОВИ SOLVER MS EXCEL

Розглянуто можливост застосування надбудови Solver MS Excel для розв'язан-ня транспортно! задачi з промiжними пунктами як задачi лшшного програмування з обмеженням балансу потогав у вузлах транспортно! мережг Запропоновано модель задачу яка дае змогу реалiзувати пошук оптимального маршруту перевезень для транспортних мереж довшьно! складности

Ключовг слова: транспортна задача, промiжний пункт, оптимiзацiя, MS Excel Solver.

Транспортна задача (Т-задача) е одшею з найпоширешших спещаль-них задач лшшного програмування, до яко!, окр1м власне задач! оптим1зацп транспортних перевезень, зводять задач1 з оптим1зацп маршрутизацп обчис-лювальних i телекомушкацшних мереж, управлшня катталом, обслугову-вання великих систем тощо. Це висувае вимогу оперативного розв'язання Т-задач за допомогою доступного i простого у використанш програмного забез-печення. Враховуючи поширенють шмейства програм MS Office, актуально дослщити можливосп застосування для комп'ютерно! тдтримки розв'язання задач пакету MS Excel.

Опис можливостей надбудови Solver (Пошук ршення) MS Excel 7.0-2010 з тдтримки розв'язання транспортно! задачi як задачi лшшного

програмування розглянуто у численних публiкацiях [1-4]. Автори практично bcíx робiт спираються на наведений у файлi solvsamp.xls MS Excel приклад i обмежуються моделюванням та розв'язанням виключно збалансованих Т-за-дач без промiжних (транзитних) пункпв перемiщення з класичними обме-женнями [3; 4, с. 773-776; 5, с. 63-71; 6; 7] чи додатковими обмеженнями на ресурси i пропуски здатност окремих маршрутiв [8, с. 148-152, 159-210], хо-ча бшьшють реальних Т-задач, зокрема задач об'емно-календарного плану-вання, маршрутизацiï мереж, розподшу iнформацiйного ресурсу в мережi провайдера зводиться саме до Т-задач з промiжними пунктами [9]. Бшьше того, у [10, с. 325], як i в деяких шших джерелах [5, с. 63-71], стверджено, що тд час розв'язання Т-задачi у Excel ïï варто попередньо збалансувати, що не вщповщае дшсносп. У [8, с. 148-152; 11] розглянуто лише збалансовану задачу з транзитним пунктом попиту; о^м того, сама умова балансу потоку через транзитний пункт попиту поставлена некоректно, як умова не перевищен-ня сумарним потоком через транзитний пункт пропозицп справжнього обсягу пропозицп у цьому пункп, що призводить до неоптимального ршення.

У [7] та багатьох шших роботах, як стосуються розв'язання Т-задач у середовищi MS Excel Solver, задачу з транзитними пунктами пропонують розв'язувати за запропонованим у [12, с. 213] методом зi введенням у тран-спортш таблицi невщомих та вартостей транзитних пунктiв одночасно як пункпв пропозицiï, так i пункпв попиту з обсягом попиту / пропозицп в роз-мiрi обсягу буфера. При цьому шяких додаткових обмежень, якi забезпечува-ли б зв'язнють графу, який вщповщатиме маршруту перевезень, у модель за-дачi не вводиться. Наведенi приклади дають оптимальне рiшення виключно завдяки тому, що мережа перевезень мютить не бшьше двох транзитних пункпв мiж пунктами пропозицiï та попиту. За наявносп бiльшоï кшькосп про-мiжних пунктiв отримують некоректш рiшення, якi не мiстять промiжноï час-тини маршруту i включають лише одне початкове ребро графу й одне кшце-ве, що е прямим наслiдком вiдсутностi обмеження на зв'язнють графу маршруту перевезень, одним з рiзновидiв якого е обмеження балансу потоюв через вс транзитш пункти, як при розглядi збалансованоï транзитноï Т-задачi як потоковоï задачi на мережi [13, с. 348]. При цьому обмеження балансу потоюв встановлюють на кожний вузол окремо на основi щентифжацп вшх вхiдних i вихщних дуг, що iстотно ускладнюе вiдтворення моделi задачi на аркушi Excel i реально може бути реалiзоване лише для мереж простоï струк-тури з малою кшьюстю промiжних пунктiв. У [3] неможливють застосування процедури розв'язання традицiйноï Т-задачi за допомогою надбудови Пошук ршення MS Excel для випадку транзитноï Т-задачi долаеться "ручним" про-ходженням кшькох етапiв пошуку рiшення за методом потенцiалiв з отри-манням на промiжному кроцi варiанта транспортноï таблицi, з якоï вилучено "незадiянi" транзитнi пункти; у [2, с. 587] задачi на графах розглядають як та-кi, розв'язання яких у MS Excel Solver потребуе програмування на VBA. Спе-цiалiзоване програмне забезпечення для Т-задач з промiжними пунктами вва-жають за необхщне й автори програми Trans Task [14].

Метою роботи е дослiдження ефективних можливостей розв'язання TparnmHoï транспортноï задачi у MS Excel Solver як задачi лшшного програмування для транспортних мереж довiльноï складностi.

Транспортною задачею у ïï класичному розумiннi називають задачу про вибiр плану перевезень iз m пунктiв вiдправлення в n пункти призначен-ня. Як умова задачi задаеться набiр коефiцiентiв Cj, що визначае вартiсть доставки продукцп iз пункту i в пункт j, ресурси продукту в пунктах пропозицп ai та потреби у продуктах у пунктах попиту bj. Метою Т-задачi е визначення обсяпв перевезень з пунктiв пропозицп у пункти попиту за мiнiмальноï су-марноï вартостi перевезень. Якщо позначити обсяги продукту, що перево-зяться з пункту i в пункт j, через Xj, то у випадку рiвностi сумарних обсяпв попиту та пропозицп (збалансована Т-задача) задача зведеться до визначення таких значень Xj >0, i=1, ...., m; j=1, ...., n), як задовольнятимуть умовi:

m n

22 jj ^ mm (1)

i=i j=1

за реатзацп всiеï пропозицп та всього попиту для збалансованоï задачi (2) та частини пропозицп (3) чи частини попиту для незбалансованоï (4):

n m

2 Xij = ai ; 2 Xij = bj ; Xj >0; (i=1,..., m; j=1,., n), (2)

j=1 i=1 n m

2 Xij <at ; 2Xij = bj ; Xj >0; (i=1,..., m; j=1,..., n), (3)

j=1 i=1

n m

2 Xjj = ai ; 2 Xij < bj ; Xij >0; (i=1,..., m; j=1,..., n). (4)

j=1 i=1

У випадку транзитноï транспортноï задачi модель задачi усклад-нюеться введенням обмежень на обсяги перевезень через промiжнi пункти [12, с. 213]. Якщо позначити через М множину пункпв пропозицп, М = {i}, i = 1, m ; N - множину пункпв попиту, N = {}, j = 1, n ; Т - множину транзитних пункпв, T = {/}, t = 1,u, G - множину вшх вузлiв транспортноï мережi G = {g}, g = 1, w, y = 1, w, то цшьова функщя i обмеження попиту / пропозицп для збалансованоï Т- задачi набудуть вигляду вiдповiдно (5) та (6) i (7):

w-m w-n

2 2 CgtXgt ^ min (5)

t=1,teNUT,geMuT g=1,geMuT,teNuT w-m w-n

2 Xit = ai ; 2 Xy = bj ; (6)

t=1, teN UT g=1, geM UT

w-n w-m

2 Xgt < B, 2 Xgt < B, (7)

g=1, geM UT, teT t=1, teN UT, geT

де В - обсяг буфера, який розраховують за (8):

n m

B = 2 bj = 2 a,. (8)

j=1, jeN i=1, ieM

Для незбалансовано! транспортно! задачi обмеження попиту / пропозицп для пунктiв попиту пропозицп зберiгають вигляд (3) або (4), а обсяг буфера розраховують як суму попиту чи пропозицп:

{n m I

I bp I a, I. (9)

j=1,j'eN i=1,ieM

У разi наявностi транзитних пунктiв попиту та пропозицп множини М та N складаються з двох шдмножин:

M = M, U MT, N = N, U NT, (10)

де: Mi - множина справжшх ("iстинних") пункпв пропозицп потужнiстю m,=k, Mi = {i}, i = 1,к; МТ- множина транзитних пункпв пропозицп потуж-шстю mt=m-k, MT = {i}, i = к +1,m ; Ni - множина справжшх ("ютинних") пун-ктiв попиту потужнiстю n=l, Ni = {/'}, j = 1, l; NT - множина транзитних пун-ктiв попиту потужнютю nt=n-l, NT = {/'}, j = l +1, n, причому транзитнi пункти попиту i пропозицп можна вважати такими, що входять у склад розширено! множини транзитних пунктiв T *:

T* = MT U NT U T. (11)

Тодi для збалансовано! задачi обмеження пропозицп / попиту для справжшх пункпв попиту та пропозицп набувають вигляду (12), аналогiчний (6) з урахуванням розширення множини транзитних пункпв до Т*; для суто транзитних пункпв приймають вигляд (13), а для транзитних пункпв пропозицп / попиту - (14), (15):

w-m¡ w-n¡

I xit = ai; I xgj' = bp, (12)

t=1, teN¡ UT*, ieM¡ g=1, geM¡ UT*, jeN¡

w-n¡ w-m¡

I xgt < B, I xgt < B, (13)

g=1,geMiUT*,teT t=1,teNi UT*, geT

w-m¡ w-nt

I xit < B + ai, I xgi < B + ai, (14)

t=1, teN, UT*, ieMT g =1, geM, UT*, ieMT

w-m¡ w-nt

I xpt <B + bp, I xp < B +bj. (15)

t=1, teN, UT*, jeNT g=1, geM, UT*, jeNT

Для незбалансовано! Т-задачi з транзитними пунктами попиту i / або пропозицп обмеження попиту / пропозицп для справжшх пункпв попиту / пропозицп збер^ають вигляд аналопчний (6) з переходом до нестрого! нерiв-носп як у (3) або (4), для суто транзитних пункпв приймають вигляд (13); для транзитних пункпв пропозицп - (14), для транзитних пункпв попиту -(15), обсяг буфера розраховують за (9).

У [13, с. 213] обгрунтовано можливють розв'язання задачi з промiжни-ми пунктами традицшними для Т-задачi методами, застосування яких автоматично забезпечуе зв'язнють оптимальних маршрупв перевезень. Пiд час розв'язання тако! моделi у MS Excel Solver як задачi лiнiйного програмування

за симплекс-методом iз маршруту будуть усунутi вш промiжнi пункти, за ви-нятком сумiжних, з пунктами справжнього попиту i пропозицп.

Для запобiгання цьому необхiдно ввести у модель задачi обмеження зв'язностi оптимальних маршрутiв перевезень. Враховуючи, що реалiзацiя умов (6) та (12) забезпечуе включення справжшх пунктiв попиту та пропозицп у маршрут перевезень, обмеження зв'язносп оптимальних маршрутiв перевезень може бути реалiзовано як обмеження балансу потоюв через транзит -нi пункти.

Умова балансу потоюв для суто транзитних пункпв набувае вигляду (16), для транзитних пункпв пропозицп i попиту у випадку збалансовано1 за-дачi - (17) та (18) вщповщно:

Е % = Е ■%, (16)

г =1, гем.иг*, (ет г =1, геЫ1 ит*, (ет

м-щ м-ц

Е х'г - Е хй- = а, (17)

г =1, ит*, 1еЫТ (=1, геЫ, ит*, 1еЫТ

м-ц м!-щ

Е ха- Е хА = Ъз. (18)

г =1, геЫ, ит*, ]еЫт г =1, геЫ, ит*, ]еЫт У разi незбалансовано1 задачi знак суворо1 рiвностi у (17) чи (18), за-лежно вщ характеру незбалансованостi, замiняеться на знак нестрого! рiвнос-тi "<=".

У запропонованому пiдходi для встановлення обмежень зв'язност остаточного графу та балансу потоюв використовуються властивостi табличного представлення структури остаточно! частини графу таблицею змшних, яку шсля знаходження шуканих значень ху можна розглядати як фрагмент його матрищ сумiжностi з урахуванням того, що:

1) 1 рядки, 1 стовпщ таблиц змшних вщповщають, як 1 в матрищ сум1жнос-т1, вершинам графу;

2) кожна вершина повторюеться 1 в матрищ сум1жност1, 1 в рядку заголов-юв стовпщв, 1 в рядку заголовюв рядюв не бшьше разу;

3) наявшсть в1дмшного вщ 0 значення на перетиш г-го стовпця 1 у-го рядка, як 1 в матрищ сум1жност1, вказуватиме на сум1жшсть вершин I та ] \ вхо-дження ребра х,у у склад остаточного графу.

Вщ матрицi сумiжностi заповнена таблиця змiнних вiдрiзнятиметься вщсутшстю стовпцiв та рядкiв, що вщповщають справжнiм пунктам пропозицп та попиту вщповщно, проте, за очевидно! вщсутносл у маршрутi ребер типу "петля", цього фрагмента матрищ сумiжностi достатньо для однозначного задавання структури маршруту перевезень. Тодi аналопчним способом сформований фрагмент матрищ сумiжностi вихщного графу, в якому виклю-ченi стовпцi та рядки, що вщповщають справжнiм пунктам пропозицп та попиту вщповщно, буде однозначно задавати структуру вихщного графу, ос-кiльки у ньому буде втрачена лише шформащя про комiрки Ки та Ку, де /', у -номери вершин графу, що вiдповiдають справжнiм пунктам пропозицп та попиту. Осюльки у графi моделi задачi не може юнувати ребер типу "петля", то

значення цих K0Mip0K все одно будуть нульовими. Отримана пiдматриця буде збiгатися за po3MipmcTKi з матрицею (таблицею) вартостей, що дае пiдставу розглядати останню як рiзновид пiдматрицi сумiжностi вихщного графу.

Якщо такий фрагмент матрищ сумiжностi, для якого ми пропонуемо назву "редуковано! матрицi сумiжностi", сформувати, розставивши рядки i стовпщ, що вщповщають пунктам пропозицп, попиту i транзиту, в тому ж порядку, що й у транспортнш таблиц та в матрицi невiдомих, то отримана матриця задаватиме обмеження на структуру не лише вихщного, а й остаточного графу, який складаеться з маршрупв перевезень. Якщо позначити Kgh значення комiрки редуковано! матрищ сумiжностi, яка вiдповiдае перетину g-го рядка, який вщповщае g-й вершинi графу, i h-го стовпця, який вiдповiдае h-й вершит графу, а Xgh - значення вщповщно! комiрки матрицi змiнних, то обмеження на структуру остаточно! частини графу набуде вигляду:

Xh = JX gh = 0 ЯКЩ0 Kgh = 0 (19)

I Xgh > 0 якщо Kgh 0'

що вщображае факт неможливостi появи у частини графу ребер, вщсуттх у вихщному графi. Реалiзацiю цього обмеження на аркушi Excel можна досяг-нути двома способами:

1) якщо при заповненш редуковано! матрищ су]шжноста вихiдного графу на перетиш стовпця i рядка, що вщповщають сумiжним вершинам вихвдно-го графу, вводити не 1, як у традицшнш матрищ сумiжностi, а максимально можливий обсяг перевезень через довшьний пункт Xmax, то у модель задачi додасться обмеження:

Xgh < Kgh, (20)

яке разом з початковим обмеженням Xgh > 0 забезпечуе виконання обмеження структури графу. Аналопчний результат можна отримати множенням редуковано! традицшно! матрищ сумiжностi графу на максимально можливий обсяг перевезень через пункти Xmax, який визначаеться як:

Xmax = max{B; a|?ax + B; bf3* + B}, (21)

де affax, bmax - максимальнi обсяги пропозицп та попиту у транзитних пунктах пропозицп та попиту вщповщно для випадку, коли транзитними можуть бути не лише промiжнi, але й кiнцевi пункти пропозицп чи попиту;

2) якщо редукована матриця сумiжностi задаеться традицiйно i Kgh приймае значення з множини булевих змiнних 0, 1, то на змшш Xgh мае наклада -тися додаткове обмеження Xgh = 0 для вмх Kgh = 0. Це обмеження легко досягаеться без використання функцй ЕСЛИ, введення яко! у модель за-дачi виводить останню з класу задач лшшного програмування, шляхом поелементного множення комiрок матрицi невiдомих на вiдповiднi ко-мiрки редуковано! матрицi сумiжностi вихщного графу, що виключае з остаточного графу неюнукш у вихiдному графi ребра.

Умова балансу потокiв як умова рiвностi сум вхiдних i вихiдних пото-кiв для кожного з транзитних пункпв реалiзуеться у моделi задачi на аркушi Excel через умову рiвностi сум по рядках i стовпцях таблицi невщомих, якi вiдповiдають цим самим транзитним пунктам, оскшьки сума по рядку задае 5. 1нформацшш технолог'' галузi 311

сумарнии вихвднии потiк з кожного пункту, а по стовпцю - сумарнии вхщ-ний потiк. Для справжнього пункту пропозицп у матрицi невiдомих юнуе лише рядок, i сума по ньому дорiвнюе обсягу пропозицп; для справжнього пункту попиту - лише стовпець, i сума по ньому дорiвнюе обсягу попиту; для транзитних пункпв попиту рiзниця мiж вхiдними та вихiдними потоками мае дорiвнювати вiдповiдним обсягам попиту, для транзитних пункпв пропозицп обсягу пропозицп мае дорiвнювати рiзниця мiж вихiдними i вхiдними потоками. У випадку незбалансованих транспортних задач сувора рiвнiсть мае пе-ретворюватися на нестрогу, але мае додаватися умова вивезення / ввезення максимально можливого сумарного обсягу пропозицп / попиту.

Реалiзацiю зазначеного тдходу для збалансовано! транзитно1 тран-спортно1 задачi з нетранзитними пунктами попиту i пропозицп розглянемо для транспортно! мереж1 з п = 8 пункпв на рис. 1.

Рис. 1. Транзитна транспортна мережа з нетранзитними пунктами пропозици (п. 1) та попиту (п. 8), обсяг попиту i пропозици - 600 одиниць

Зпдно з подходом [1, с.233], транзитнi пункти 2, 3, 4, 5, 6, 7 розгляда-ють i як додатковi пункти пропозицп, i як додатковi пункти попиту з обсягом i пропозицп, i попиту в розмiрi обсягу буфера (7). Матриця невщомих набу-вае розмiрностi (и-1)х(и-1); серед пункпв пропозицп вщсутнш лише п. 8 (справжнш пункт попиту), серед пункпв попиту - п. 1 (справжнш пункт пропозицп) (рис. 2).

Рис. 2. Модель транзитной Т-задач (рис. 1) у Solver MS Excel

Реалiзацiю моделi задачi у MS Excel вщображено у табл. 1.

Табл. 1. РеалЬацш елементм модел транзитноЧ Т-задач1 (рис. 2) на аркуш1 MS

Excel

Адреса ком1рки Формула Розповсюдже-на на комрки Змют, виконуване завдання

С16: 122 Транспортна таблиця (матриця) невщо-мих, яка е редукованою матрицею су-м1жност остаточного графу, який вщпо-вщае маршруту перевезень

С29: 135 Чисельш значения вщстаней м1ж сум1ж-ними вершинами Транспортна таблиця (матриця) вартос-тей, яка мютить значення вщстаней м1ж сум1жними вершинами

С39: 145 0л1 Редукована матриця сум1жноси вихщно-го графу; задае обмеження на структуру остаточного графу

С23 =СУММПРОИЗВ (C16: C22; C39: C45) С23: 123 Обсяг вантажу, ввезеного у кожний справ-жшй та транзитний пункт попиту з ураху- ванням обмежень на структуру графу (СУММ дае суму по рядку, а ПРОИЗВ за-безпечуе не включення в остаточний граф неюнуючих у вихщному графу ребер зав-дяки обмеженню балансу потоков)

J16 =СУММПРОИЗВ (C16:116; C39: I39) J16: J22 Обсяг вантажу, вивезеного з кожного справ-жнього чи транзитиого пункту пропозицй з урахуванням обмежень на структуру графу

К16 600, чисельне значення обсягу пропозици у п. 1 Чисельне значення обсягу пропозицй у справжньому пункт пропозицй

124 600, чисельне значен-ня обсягу попиту в п. 8 Чисельне значення обсягу попиту у справжньому пункп попиту

К17 600, чисельне значен-ня обсягу буфера К17: К22 Чисельне значення обсягу буфера, розра-ховане за (8)

С24 600, чисельне значен-ня обсягу буфера С24: Н24 Чисельне значення обсягу буфера, розра-ховане за (8)

О17: О22 {=ТРАНСП(C23: H23)} Формула масиву Сумарний обсяг вантажу, ввезеного в кожний з транзитних пункпв за (15) (сумарний вхщний потж)

Р17 =J17 Р17: Р22 Сумарний обсяг вантажу, вивезеного з кожного з транзитних пункпв за (15) (сумарний вихщний потж)

С47 =СУММПРОИЗВ (C16: I23; C29: I35) Цшьова функщя - сумарна вартють перевезень за (5)

Постановка зазначено! задачi як ош'имiзащйиоl передбачае щентифь кацiю у дiалоговому bíkhí Пошуку рiшення надбудови Solver (Пошук ршен-ня) MS Excel: типу екстремуму (мшмум); адрес комiрок, якi мiстять цiльову функщю (С47) та змiннi (С 16: 122); обмежень (рис. 2) та параметрiв пошуку (рис. 3).

Оскшьки жодна з формул моделi задачi не мютить анi нелишних, анi розривних функцш, то задача належить до класу задач лiнiйного програму-вання, що дае змогу обрати для !! розв'язання тдтримуваний Solver симплекс-метод, встановивши у вiкнi параметрiв пошуку прапорець " Лiнiйна модель". Обмеження невщ'емносп змiнних е традицшним для Т-задачi.

Рис. 3. Параметри пошуку процедури "Пошук рШення " для задач (рис. 1, 2) та використання умовного форматування (видтення кольором ненульових комiрок матриц змшних) для вЬуалЬаци маршруту перевезень

3míct обмежень моделi у полi "Обмеження" дiалогового вжна "Пошук ршення" (рис. 2) розкриваеться у табл. 2. Для незбалансованоï TpaHcnopTHOï задачi в обмеженнi 2 табл. 2 чи обмеженщ 3 табл. 2 (якщо пропозицiя переви-щуе попит чи попит перевищуе пропозицiю вщповщно) згiдно з (3), (4) знак cyBopoï рiвностi "=" замiнюють на знак нестрогоï рiвностi "<=".

Табл. 2. Реалiзацiя обмежень моделi транзитноТ Т-задачi (рис. 2) у Solver MS Excel

№ з/п Модель обмеження Зм1ст обмеження

1 $С$16:$1$22=целое Обмеження цшочисельност змшних; накладаеться або не накладаеться залежно в1д зм1сту вантажу

2 $J$16=$K$16 Обмеження задоволення пропозицп та попиту (6) для справжшх пунктов пропозицп та попиту вщповщно

3 $I$23=$I$24

4 $ J$ 17: $ J$22<=$K$17: $К$22 Обмеження пропозицп та попиту (7) для транзит-них пункт1в транспортно1 мереж1

5 $С$23:$Н$23<=$С$24:$Н$24

6 $О$17: $О$22=$Р$17:$Р$22 Умова балансу потоюв (16) для транзитних пун-кт1в транспортно! мереж1

У випадку транзитносп не лише промiжних пункпв транспортно! мереж^ але й пункпв реального попиту та пропозицп вщповщщ пункти попиту i пропозицп розглядають як транзитш, тобто i як пункти попиту, i як пункти пропозицп. Вiдповiдно змiнюeться розмiрнiсть матрищ невiдомих та редуко-вано! матрищ сумiжностi вихiдного графу.

Для наочносп вiдмiнностей у моделi задачi розглянемо варiант тран-зитно! Т-задачi з транзитними пунктами попиту (рис. 4).

У цьому випадку не лише суто транзитщ пункти 2, 3, 4, 5, 6, розглядають як додатковi пункти пропозицп та як додатковi пункти попиту з обсягом i пропозицп, i попиту в розмiрi обсягу буфера (7), а й транзитщ пункти реального попиту 7, 8 виступають i як пункти попиту, i як пункти пропозицп з обсягом допустимого пункту й попиту, i пропозицп у розмiрi суми обсяпв буфера та реального попиту зпдно з (13).

Рис. 4. Транзитна транспортна мережа з нетранзитним пунктом пропозици (п. 1, обсяг пропозици 600 одиниць) та транзитними пунктами попиту (п. 7, 8 з обсягами попиту 320 i 280 одиниць вiдповiдно)

Матриця невщомих набувае p03MipH0CTi (и)х(и-1); серед пунклв попиту вщсутнш лише п. 1 (справжнш пункт пропозици). Аналопчно змшюються i матриця вартостей, i редукована матриця сумiжностi вихiдного графу (рис. 5).

Рис. 5. Модель транзитной транспортноТ 3ada4Í (рис. 4) у Solver MS Excel

Реалiзацiю моделi задачi у MS Excel вщображено у табл. 3.

Як видно з рис. 5 та табл. 3, OKpiM po3MÍpHocri MacmÍB K0MÍp0K, що мiстять невщом^ вартост перевезень та дaнi редуковано! матриц сумiжностi вихiдного графу, вiдмiнним у моделi зaдaчi буде формування комiрок, якi мiститимуть формули, що задаватимуть умову балансу потокiв через тран-зитнi пункти (масив 017:Q23).

Як видно з табл. 3, масив комiрок, призначених для формування умо-ви балансу потоюв, доповнений додатковим стовпцем та розбитий на двi час-тини. Масив комiрок Q17: Q21, призначений для обсяпв вaнтaжiв, вивезених iз суто транзитних пунклв, формуеться aнaлогiчно масиву Р17: Р21 попе-редньо! зaдaчi. Масив комiрок Q22: Q23, призначений для обсяпв вaнтaжiв, вивезених з транзитних пунклв реального попиту, мiстить формули, яю вра-ховують необхiднiсть задоволення у цих пунктах реального попиту за (16).

Табл. 3. Реал1защя елемент1в модет транзитной Т-задач1 (рис. 5) на аркуш1 М8 Ехсе1

Адреса комрки Формула Розповсюдже-на на комйрки Змiст, виконуване завдання

С16: 123 Транспортна таблиця (матриця) невiдомих, яка е редукованою матрицею сумiжностi остаточного графу, який шдпошдае маршруту перевезень

С30: 137 Чисельш значения вщстаней мйж су-мiжними вершинами Транспортна таблиця (матриця) вартостей, яка мютитъ значення вiдстаней мiж сумiжними вершинами

С41: 148 0л 1 Редукована матриця сумiжностi виХдного графу; задае обмеження на структуру остаточного графу

К16; М5 600, чисельне зна-чення обсягу пропозици у п. 1 Чисельне значення обсягу пропозици у справжньому пунктi пропозици

К17 600, чисельне значен-ня обсягу буфера К17: К23 Чисельне значення обсягу буфера, розраховане за (8)

Л6 =СУММПРОИЗВ (С16: 116; С41: 141) Л6: 123 Обсяг вантажу, вивезеного з кожного справжнього пункту пропозици та кожного транзитного пункту з урахуванням обмежень на структуру графу

С25 600, чисельне зна-чення обсягу буфера С25: 025 Чисельне значення обсягу буфера, розраховане за (8)

М7; М8 320; 280; чисельш значення обсягiв попиту в п. 7, 8 Чисельне значення реального обсягу попиту в пунктах попиту

С24 =СУММПРОИЗВ (С16: С23; С41: С48) С24: 124 Обсяг вантажу, ввезеного в кожний зi справжшх та транзитних пункта попиту з урахуванням обмежень на структуру графу (СУММ дае суму по рядку, а ПРОИЗВ забезпечуе не включення в ос-таточний граф неюнуючих у вихщному графу ребер завдяки обмеженню балансу потоюв)

М6 =МАКС (М5;(М7+М8)) Чисельне значення обсягу буфера, розраховане за (9); у нашому випадку збалансовано'' задачi збпаеться з розрахунком за (8)

Н25 =М7+М6 Чисельне значення граничного обсягу попиту у транзитному пункт! попиту 7, розраховане за (15)

125 =М8+М6 Чисельне значення гранично обсягу попиту у транзитному пункт попиту 8, розраховане за (15)

О17: О22 {=ТРАНСП (С24: 124)} Формула масиву Сумарний обсяг вантажу, ввезеного в кожний з транзитних пункта за (16), (18), з транзитними пунктами попиту включно (сумарний вхдний потж)

Р17 =Л7 Р17: Р23 Сумарний обсяг вантажу, вивезеного з кожного з транзитних пункпв за (16), (18), з транзитними пунктами попиту включно (вихвдний потж)

Р17 =О17 Р17: Р21 Сумарний обсяг вантажу, вивезеного з кожного з суто транзитних пункпв за (16) (сумарний вихщний потж)

д22 =О22-М7 д22: д23 Сумарний обсяг вантажу, вивезеного з кожного з транзитних пункпв попиту за (18) з урахуванням потреби у задоволенш 'х реального попиту

С47 =СУММПРОИЗВ (С16: 12; С30: 137) Цшьова функщя - сумарна вартють перевезень за (5)

Формування моделi задачi у bíkhí "Пошук ршення" надбудови Solver та встановлення napaMeTpiB пошуку проводиться аналопчно задачi з нетран-зитними пунктами попиту з урахуванням змш у обмеженнях, що вщобража-ють умову балансу потоюв для транзитних пунктiв попиту (табл. 4).

Для незбалансовано! Т-зaдaчi в обмеженш пропозицп чи попиту справжшх пунктiв пропозицп чи попиту вщповщно до (3), (4) знак суворо! рiвностi "=" зaмiнюють на знак нестрого! рiвностi "<=". Анaлогiчну замшу проводить в умовi балансу потоюв транзитних пункпв попиту чи пропозицп.

Табл. 4. РеалЬащя обмежень моделг транзитног Т-задачi (рис. 4) у Solver MS Excel

№ з/ п Модель обмеження Зм1ст обмеження

1 $С$16:$1$23=целое Обмеження цшочисельносп зм1нних; накладаеться або не накладаеться залежно в1д зм1сту вантажу

2 $J$16=$K$16 Обмеження задоволення пропозицп (6) для справжнього пункту пропозицп - п.1

3 $ J$ 17: $ J$22<=$K$17:$K$22 Обмеження пропозицп та попиту (13), (15) для суто транзитних (2, 3, 4, 5, 6) пункпв та транзитних пункпв попиту (7, 8) транспортно1 мереж1

4 $С$23:$Н$23<=$С$24:$Н$24

5 $P$17:$P$23=$Q$17:$Q$23 Умова балансу потоюв (16), (18) для суто транзитних (2, 3, 4, 5, 6) та транзитних пунктв попиту (7, 8) мереж1

Для альтернативного задавання обмеження на структуру остаточного графу за (21) достатньо замшити 1 у редукованш матриц сyмiжностi вихщ-ного графу на граничний обсяг потоку через пункти мережi (=макс (С25: 125; К16: К23)), встановивши на змiннi обмеження цшочисельносп замiсть буле-востi (рис. 6).

Рис. 6. Модель транзитноТ транспортноТ задачi (рис. 4) у Solver MS Excel за альтернативного задавання обмежень на структуру остаточного графа

Знаходження оптимального маршруту перевезень за допомогою шструменту "Пошук ршення" тривае вщ часток секунди до юлькох секунд

залежно вщ потужностi транспортно! мережi та наявносп обмеження цшочи-сельносп на змшш. Вiдповiдно у разi "нецiлих" обсяпв вантажiв задаванню обмежень за (21) варто надати перевагу.

Використаний тдхщ можна застосувати i для розв'язання задачi по-шуку мiнiмального шляху на графi довшьно! структури, якщо розглядати та-ку задачу, як транзитну транспортну задачу з нетранзитним пунктом попиту i пропозици обсягом в 1, як це запропоновано у [12, с. 217]. Очевидно, що у цьому випадку обмеження цшочисельносп на змшш змшиться на обмеження булевосп, а обмеження на структуру остаточного графу може задаватися як обмеження на перевищення значеннями комiрок змшних значень вiдповiдних комiрок редуковано! матрицi сумiжностi вихiдного графу.

Л1тература

1. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 / Б.Я. Курицкий. -СПб. : Изд-во BHV, 1997. - 384 с.

2. Леоненков А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel / А. Леоненков. - СПб. : БХВ - СПб., 2005. - 704 с.

3. Примеры задач, решаемых в процедуре "Поиск решения" Excel. [Электронный ресурс]. - Доступный з http://www.lineyka.inf.ua/applied_math/download/metoda/Example Ex-cel.doc.

4. Walkenbach John. Excel® 2010 Bible. - Indianapolis, Indiana: Wiley Publishing, Inc. -2010. - 1052 р. - Рр. 773-776.

5. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / И. Орлова. - М. : ЗАО "Финстатинформ", 2000. - 136 с.

6. Федоров О.А. Использование информационных технологий при решении транспортных задач. [Электронный ресурс]. - Доступный з http://www.rae.ru/forum2012/ 21/655

7. Бочкарев А. Решение транспортных задач в MS Excel. [Электронный ресурс]. - Доступный з http://www.3econsultants.com.ua/publications/detail.php? ID=85.

8. Дубина А.Г. Excel для экономистов и менеджеров / А.Г. Дубина, С.С. Орлова, И.Ю. Шубина, А.В. Хромов. - СПб. : Изд-во "Питер", 2004. - 295 с.

9. Прилуцкий М.Х. Многокритериальные задачи распределения ресурсов в иерархических системах / М.Х. Прилуцкий, Е.А. Куликова // Исследовано в России. - 2007. - № 85. - С. 891-900.

10. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL / Э.А. Вуко-лов. - М. : Изд-во "Форум", 2008. - 464 с.

11. Зюков М.Е. Обучение транспортной задаче с использованием Microsoft Excel / М. Зюков, М. Зюкова // Вкник ЛНУ iм. Т. Шевченка. - 2010. - № 22 (209). - Ч. III. - С. 130-136.

12. Таха Х. Введение в исследование операций / Хемди А. Таха. - Изд. 6-ое, [перераб. и доп.]. - М. : Изд. дом "Вильямс", 2001. - 912 с.

13. Мур Д. Экономическое моделирование в Microsoft Excel / Д.Х. Мур, Л.Р. Удерфорд. - М. : Изд. дом "Вильямс", 2004. - 1024 с.

14. Леонов А.А. Пакет для решения многопродуктовой транспортной задачи с промежуточными пунктами перевозок / А.А. Леонов, М.И. Демидов // Научная сессия МИФИ. - Сер.: Экономика и управление. - 2003. - Т. 6. - С. 266-267.

Глиненко Л.К., Яковенко Е.И. Решение транспортной задачи с промежуточными пунктами с помощью надстройки Solver MS Excel

Рассмотрены возможности использования надстройки Solver MS Excel для решения транспортной задачи с промежуточными пунктами как задачи линейного программирования с ограничением баланса потоков в узлах транспортной сети. Предложена модель задачи, дающая возможность реализовать поиск оптимального маршрута перевозок для транспортных сетей произвольной сложности.

Ключевые слова: транспортная задача, промежуточный пункт, оптимизация, MS Excel Solver.

Glinenko L.K., Yakovenko Ye.I. Solving transportation problem with intermediate points using Excel Solver add-in

Availability of Excel Solver add-in for solving transportation problem with intermediate points as a linear programming problem with restricted flows balance in transport network nodes was considered. Model for finding optimal transit route in networks with arbitrary complexity is proposed.

Keywords: transportation problem, intermediate point, optimization, MS Excel Solver.

УДК378.1 Доц. О.О. Карабин, канд. фЬ.-мат наук; доц. О.Ю. Чмир,

канд. фЬ.-мат. наук - Львгвський ДУ безпеки життедгяльностг

ДИФЕРЕНЦ1АЛЬН1 ОПЕРАЦП ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

У процеа викладання вищо! математики значну увагу потрiбно придшити вив-ченню понять i теорем математичного аналiзу, яга використовуються у математично-му моделюванш. До таких понять належать диференщальш операцй векторного поля. Розглянуто основш диференщальш операцп векторного поля (градieнт, диверген-щя, ротор). Показано !х суть з математично!, фiзичноi та мехашчно! точок зору. ОбГрунтовано необхщшсть !х детального вивчення у кура вищо! математики.

Ключовг слова: градieнт, дивергенщя, ротор, потенцiальне поле.

З метою удосконалення ф1зико-математично! тдготовки майбутшх фах1вщв важливою е повноцшна реал1защя м1жпредметних зв'язюв математики 1 ф1зики з шшими науками. Вища математика, як навчальна дисциплша, виконуе одну з головних функцш у процеа навчання, оскшьки !! поняття да-ють змогу ч1тко сформулювати закони 1 законом1рносп шших наук, а !! мето-ди дають змогу приймати обгрунтоваш р1шення [2].

Жодне наукове дослщження не е повноцшним без побудови вщповщ-но! математично! модель Тому значну увагу в процеш викладання вищо! математики потр1бно придшити вивченню понять 1 теорем математичного та векторного анал1зу, яю використовуються в математичному моделюванш.

Векторний анал1з з'явився в математичнш наущ завдяки У. Гамшьто-ну, який у 1843 р. розглянув поняття кватернюшв, а згодом, у 1853 р., у сво!й монографп вв1в поняття вектора та вектор-функцп. У 1846 р. Гамшьтон описав диференщальний оператор "набла", а також визначив скалярний та векторний добутки як операцп над нововведеними об'ектами. Векторна символь ка своею компактнютю та шварштшстю защкавила ф1зиюв, що видно з робгт Максвелла, а сучасного вигляду векторному численню надав Хевюайд у 1903 р. [1].

Мета ще! роботи - показати суть диференщальних операцш векторного поля з математично!, ф1зично! та мехашчно! точок зору, а також можли-вють застосування сучасних програмних пакепв для розв'язування задач.

На вивчення понять векторного анал1зу у вищш школ1, на жаль, придь ляють дуже мало часу, або !х вивчення виносять на самостшне опрацювання. При цьому не акцентують уваги на застосуванш цих понять у таких дисцип-лшах, як ф1зика, мехашка, термодинамжа та теплопередача та ш., а тому сту-