Розв’язування нечіткої антагоністичної 2 × 2-гри Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.832.3 Романюк В. В.

Канд. техн. наук, доцент Хмельницького національного університету

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЧІТКОЇ АНТАГОНІСТИЧНОЇ 2 х 2-ГРИ

Представлено концепцію розв’язування антагоністичної 2 X 2-гри, елементи матриці якої задаються у формі неодноелементних множин. Показано, що розв’язком такої нечіткої гри може бути спеціальний перетин розв’язків усіх звичайних 2 X 2-ігор, елементи матриць яких утворюють ці множини. Для випадків, коли такий перетин виявиться порожнім, пропонується використання нечіткого розв’язку нечіткої 2 X 2-гри. За умови неприйнятності подібного розв’язку будується безкоаліційна метагра, розв’язок якої міститиме оптимальні поведінки обох гравців у вихідній нечіткій 2 X 2-грі.

Ключові слова: моделювання в умовах невизначеності, прийняття рішень в умовах невизначеності, нечітка 2 X 2-гра, безкоаліційна метагра, оптимальна поведінка.

ВСТУП принаймні один з чотирьох елементів матриці гри за-

Прийняття рішень і моделювання в умовах невизначеності [1, 2] є звичною справою, якщо ставиться задача описати і дослідити певне явище або процес з достатньою для практики точністю й адекватністю. Там, де доводиться оцінювати параметри досліджуваного об’єкта, котрі не залежать один від одного і задані у формі інтервалів ненульової міри, застосовані принципи інтервального аналізу [3, 4]. Проте у випадках, коли хоча б два параметри досліджуваного об’єкта є взаємозалежними (не у строго функціональному сенсі), треба адаптовувати методи інтер-вального аналізу до відповідних нестрого функціональних залежностей. Подібні проблеми виникають і в задачах оптимального керування, частинним випадком яких є ігрові антагоністичні моделі [5], параметри яких задаються нечітко (або ж, іншими словами, ці параметри не можуть бути чітко, у формі точкового значення, оцінені).

АНАЛІЗ ОСТАННІХ ДОСЛІДЖЕНЬ

І ПУБЛІКАЦІЙ

Питання нечіткого моделювання і прийняття рішень в умовах повної або часткової невизначеності досить ґрунтовно розглядаються в [1, 2, 6, 7]. Утім, розв’ язування ігрових антагоністичних моделей, у яких задані на інтервалах параметри не мають відповідних імовірнісних мір, є невирішеною задачею. Одним зі способів локалізації або точкового оцінювання таких інтервальних параметрів є застосування розв’ язку відповідної антагоністичної гри, ядро якої задається на квадраті можливих пар значень параметра, де мінімізуються втрати від некоректної точкової оцінки [8, 9]. Та цей спосіб є занадто песимістичним. Більш того, при розв’язуванні елементарних антагоністичних ігор, тобто 2 X 2-ігор, де

© Романюк В. В., 2011

даний у формі інтервалу (або сегмента), варто враховувати, що розв’язок матричної гри нетривіальним чином залежить від інтервальних елементів матриці гри [5, 8, 10]. Все це стимулює до формулювання більш простих або до вироблення менш неявних принципів розв’язування матричних ігор з інтерваль-ними (нечіткими) елементами (нечітких ігор). І слід почати, очевидно, з розв’язування нечітких антагоністичних 2 х 2-ігор.

ФОРМУЛЮВАННЯ МЕТИ ТА ЗАВДАНЬ СТАТТІ

Розв’язок 2 х 2-гри позначатимемо як S = = (P t, Qopt> з оптимальними стратегіями першого

Popt = \fopt 1 - -Popt] Є

є{Р = [р 1 - р] є К2 \р є [0; 1]} (1)

та другого

Qopt = [?opt 1 - 9opt] є

є^ = [q 1 -q] є К2 \q є [0;1]} (2)

гравців відповідно. Вважатимемо, що порядок слідування елементів множини S = (Popt, Qopt> міняти не можна, а усі операції над такими множинами (кортежами) мають здійснюватись окремо для кожного з двох їх елементів. В результаті проведення операцій над множинами виду S = (Popt, Qopt> з’являтимуться двоелементні кортежі, першим елементом яких буде множина з частин оптимальних стратегій першого гравця, а другим - множина з частин оптимальних стратегій другого гравця. Поставимо за мету формалізувати випадок, коли принаймні один з чотирьох елементів матриці 2 х 2-гри заданий у формі неодно-елементної множини (заданий нечітко, але не на

нечіткій множині). Слід запропонувати концепцію розв’ язування таких елементарних антагоністичних ігор, де принаймні один з чотирьох елементів матриці 2 X 2-гри задається нечітко.

ОСНОВНА ЧАСТИНА

Означення 1. Матричну 2 X 2-гру з ядром

aa

aa

(З)

назвемо нечіткою, якщо Зі є {1, 2} та Зі є {1, 2} такі, що а і}- є Лі}- при |Аі;| > 1.

Зауваження 1. Якщо усі чотири множини із

{Лі]}і = 1 > є скінченними, то нечітку 2 X 2-гру

І = 1

можна називати дискретно нечіткою.

Зауваження 2. По аналогії з визначенням цілком змішаної гри (або цілком змішаної стратегії гравця) нечітку 2 X 2-гру, у якій Лі > 1 виконується

У і = 1, 2 та У І = 1, 2, називатимемо цілком нечіткою.

Зауваження 3. У випадку, коли у системі

I Ai-}r=l

знайдеться хоча б одна одноелемен-

j = і

тна множина, відповідну нечітку 2 X 2-гру можна називати локально нечіткою. Поняття глобально нечіткої 2 X 2-гри, зрозуміло, співпадає з поняттям цілком нечіткої 2 X 2-гри.

Зауваження 4. Тривіальна локально нечітка 2 X 2-гра є найпростішою (елементарною) нечіткою 2 X 2-

грою, де лише одна множина із < {А у}. = 1

І = 1

містить лише два елементи, а решта множин є одно-елементними.

Означення 2. Якщо А^ = [а'^'"';а І'] і різниця а<2) — аІ1 є постійною У і = 1, 2 та У/ = 1, 2, то 2 X 2-гру назвемо нечіткою з радіусом нечіткості а (-2) — а ^

г = -і____

з постійною різницею

Зауваження 5. У випадку, коли 2 х 2-гра є дискретно нечіткою й Л] = {а]1>, а] } при - а]2>

У і = 172 та У] = Ї72

а'>2 - а.1 ■

означення 2. Крім того, кожна множина Л], будучи скінченною, може містити більше двох елементів, але так, що тіпЛі ■ = а■"> та тахЛі ■ = а]2>. Тоді й

У 1 і 1 і 1 і

■ ~г] , теж можна вести мову про застосування

тут ніщо не перешкоджатиме оперувати радіусом

нечіткості г

причому навіть там, де по-

тужності множин у системі {Ліі}і =1 ^ будуть різними.

Тепер час означити те, що надалі вважатимемо розв’язком нечіткої 2 X 2-гри.

Означення 3. Якщо 5і(а 11, а12, а21, а22) є розв’язком 2 X 2-гри з матрицею (3), то розв’язком нечіткої

2 X 2-гри назвемо множину (кортеж)

5(Л11, Л 12, Л21, Л22) =

= О О О О 5(а 11, а12, а21, а22) = а11 Є Л11 а12 Є Л12 а21 Є Л21 а22 Є Л22

= (POpt, бopt) . (4)

Зауваження 6. Зрозуміло, що далеко не кожна нечітка 2 X 2-гра має непорожній розв’язок. Розглянемо хоча б локально нечітку гру з ядром

aii 4

З 5

(5)

у якому а11 = {а(11), а(12)} (приклад гри з тривіальною нечіткістю). Тут

popt

5 - З

a11 + 5 - З - 4 a11 - 2

при а11 > 4, при а11 є (3;4) імовірність р г = 1, при а11 = 3 імовірність popt є {1, 0}, а при а11 < 3 імовірність popt = 0. Також

5-4

a11 + 5 - З - 4

aii-2

при а11 > 4, а при а11 < 4 імовірність р { = Ї. І, очевидно, що, скажімо, для а11 є {3.5, 4.5} розв’язок нечіткої 2 х 2-гри з матрицею (5)

п £(ап, 4, 3, 5) = < [10, [10 > п

a и є I З.5, 4.5}

n j

1 --

1

4.5-2 4.5-2 L4.5 - 2

=j [і 0, [i 0) n j

1-

1

4 1 2 З

.5 5_ .5 5-

4.5 - 2_

) =

) =

= jl [10]

n

4 Î I, і Гі 01 n і 2 З

.5 5_ J41101 1 5 5.

) =

= j 0,0).

(б)

Означивши розв’язок нечіткої 2 X 2-гри, дамо твердження про необхідну умову того, щоб він був непорожнім.

Теорема 1. Для того, щоб розв’язок (4) нечіткої

2 X 2-гри був непорожнім, необхідно, щоб кожен розв’язок 5(а 11, а12, а21, а22) був у чистих стратегіях.

Доведення. Нехай матрицею 2 X 2-гри є (3), де немає сідлових точок у чистих стратегіях, а оптимальними стратегіями першого та другого гравців є (1) і (2) відповідно, причому для визначеності вважатимемо, що оптимальна імовірність

значення г є (0; гтах) при

Рорі

-‘22 21

а11 + а22 а21 а12

вибору першим гравцем його першої чистої стратегії належить інтервалу (0;1). Власне, це означає, що оптимальна стратегія першого гравця є змішаною (або, що характерне для ігор з двома чистими стратегіями даного гравця, є цілком змішаною). При зміні одного

зі значень і {а] і = 1 імовірність рор1 буде зміню-

] = 1

ватись також. Виключення становитиме випадок, коли а11 = а12 і змінюватиметься а21 або а22. Але тоді р^ = 1 (вибір першої чистої стратегії першим гравцем) або рг = 0, а

9opt

змінюватиметься при а12 ^ а21 (без втрати загальності). Якщо ж а12 = а21, то =1 і гра міститиме сідлову точку у чистих стратегіях. Отже, якщо 2 X 2-гра розв’язуватиметься у змішаних стратегіях, то кожен раз буде нова множина із множин оптимальних стратегій гравців. Перетин таких множин, очевидно, буде порожнім. Теорему доведено.

Дамо тепер таке означення, що має відношення до непорожнього розв’язку нечіткої 2 X 2-гри.

Означення 4. Розв’язок 2 X 2-гри з матрицею (3) назвемо стійким з радіусом г, якщо відповідна

нечітка 2 X 2-гра з елементами аіІ є [а— г;а+ г]

іІ іІ

має непорожній розв’ язок.

Відповідь на питання про існування розв’ язків у чистих стратегіях певного класу нечітких 2 X 2-ігор дає наступне твердження.

Теорема 2. Для довільної 2 X 2-гри, елементи

{а.}і=1 > = {а, Ь, с, й} матриці якої є різними,

>і = 1

з розв’ язком у чистих стратегіях знайдеться г > 0 таке, що відповідна нечітка 2 X 2-гра розв’язуватиметься у чистих стратегіях. При цьому, якщо для визначеності покладати

а < Ь < с < й, (7)

. І Ь - ас - Ь ё - с

г_ = тіпі 2 , 2 , 2

(8)

Доведення. Нехай а < Ь < с < й і відповідна 2 X 2-гра має сідлову точку у чистих стратегіях. Зрозуміло, що при заміні а на а1, Ь на Ь1, с на с1, й на й1 такій, що

а1 < Ь1 < с1 < й1, (9)

сідлова точка не зміниться. Візьмемо деяке г > 0 і вимагатимемо, щоб

а + г < Ь — г, Ь + г < с — г, с + г < й — г.

Тоді

а1 = а + г, Ь1 є [Ь — г;Ь + г], с1 є [ с — г; с + г ], й1 = й — г

і буде виконуватись (9). Маємо

Ь — а

г<

г<-

г<-

2

с-Ь 2 ,

ё - с

2

(10)

(11)

(12)

Оскільки усі елементи множини {а, Ь, с, й} є різними і, взагалі, має місце (7), то праві частини у (10)—(12) є додатними, і розв’язком системи нерівностей (10)—(12) разом із умовою г > 0 є множина

0;тіп

Ь - а с - Ь ё - с

(13)

Теорему доведено.

Звісно, тоді, коли нечітка 2 х 2-гра не має розв’язку, слід визначати її розв’язок в іншій формі.

Означення 5. Нечітким розв’язком нечіткої 2 х 2-гри назвемо множину (кортеж)

>£,(Л11, Л 12, Л21, Л22) =

= ^ ^ ^ ^ £(а11, а12, а21, а22) = а,, є Л11 а,л є Л12а,, є Л 21 а22 є Л22

(^орЬ (2ор1>.

(14)

Зауваження 7. До такого типу розв’язку доводитиметься звертатись, якщо £(а 11, а12, а21, а22) є розв’язком 2 х 2-гри з матрицею (3) й £(Л11, Л12, Л21, Л22) = (0, 0>. Проте про практичну «сумісність» нечіткого розв’язку (14) може йти мова лише у випадках зв’язності множин оптимальних імовірностей рор1 та дор1 як елементів кортежу £ (Л11, Л12, Л21, Л22) з умовою того, що їх лебегівська міра на числовій прямій буде набагато меншою

а11 + а22 а21 а12

22 21

за одиницю. У випадку незв’язності одного з елементів кортежу £(ЛП, Л12, Л21, Л22) використання концепції нечіткого розв’язку нечіткої 2 X 2-гри представляється скрутним. Повертаючись до прикладу локально нечіткої гри з ядром (5), для якої незв’ язність множин у кортежі

S(A11, A 12, A21, A22 ) =j [i 0, [i 0) U j

4 1 2 З

5 З .5 5-

U

-4-- -1--5-- -5--

, і [10]

U

) = -2-- -З---5-- -5--

очевидна, тобто перший гравець має брати

Popt Є j І-’ 11 а другий - має брати 9opt Є j I 1 можна говорити про неприйнятно велику відстань

між елементами множини <{ 5, 1 ^ (навіть відносно її

першого елемента). Для множини <{ 5, 1 f першого

гравця відносна відстань між її елементами є значно меншою, тому нечіткий розв’язок тут є більш прийнятним для першого гравця.

Взагалі кажучи, прийнятність нечіткої множини оптимальних стратегій (у формі оптимальних імовірностей вибору першої чистої стратегії) гравця визначається різницею між її максимальним і мінімальним значеннями. Зокрема, чим менша різниця sup Popt — inf Popt, тим більш прийнятною для першого гравця є нечітка множина Popt. Аналогічно і з різницею sup Qopt-inf Qopt для другого гравця. Зрозуміло, що для зв’язних елементів кортежу (14) замість таких різниць, строго кажучи, слід використовувати лебегівську міру відповідних множин. Тільки тоді можна вести мову про прийнятність не тільки самої концепції нечітких розв’язків у нечітких 2 х 2-іграх, а й про використання цієї концепції.

Проте, з іншого боку, використання гравцями елементів нечітких множин Popt та Qopt у кортежі (14) породжуватиме свою гру, розв’язавши яку, вже можна буде не турбуватись про ступінь прийнятності використання нечіткого розв’язку (Popt, Qopt). Чистою стратегією кожного гравця у такій грі, котра, у певному смислі, стане вже метагрою по відношенню до вихідної нечіткої 2 х 2-гри, буде припущення про те, що матрицею 2 х 2-гри є елемент множини

-41 12

21 22 a є A

J ai2 є Ai2

a21 є A 21

(15)

з відповідними розв’ язком

£(ац, а12, а21, а22) =

= (Рор1(а11, а12, а21, а22), Оор1(а11, а12, а21, а22)). (16)

При цьому, очевидно, перший гравець робитиме свої припущення незалежно від другого і навпаки. Якщо обидва гравці одночасно «подумали» про одну й ту саму матрицю

а Ь с ё

a1i ai2

a^i a00 у j .

21 22 y ■> a,, є Ai,

J ai2 є A 12

a21 є A 21

(17)

то це ще означає, що перший гравець отримає виграш

Vopt(a, b, c, d) =

= [Popt(a, b, c, d)] • I a d I ' [Qopt(a, b, c, d)]T, (1S)

а другий гравець стільки ж програє. В описуваній метагрі з’явиться ще один гравець - «природа» або непередбачувані «випадкові обставини», які зумовлять у момент часу обирання гравцями їх чистих стратегій (про обирання змішаних стратегій у певний момент часу говорити складно) той чи інший елемент множини (15) як матрицю (з фіксованими елементами) 2 х 2-гри. Наприклад, у локально

нечіткій грі з ядром (5), у якому а11 є {3.5, 4.5}, ко -жен з двох гравців і «природа» у певний момент часу можуть вибирати тільки одну з двох матриць

З.5 4 З 5

4.5 4

З 5

Тут, як метагра по відношенню до вихідної нечіткої 2 X 2-гри, породжуватиметься діадична гра [8, 11, 12] трьох осіб.

Взагалі кажучи, породженою метагрою по відношенню до вихідної нечіткої 2 X 2-гри буде безкоаліційна

(|Л11І ' |Л12І ■ 1^1 ■ Л22І) X (1^1 ■ |Л12І ' |Л21І ■ |Л22І ) ><

є

х(|Ап| • |А12| • |А21| • |А22|)-гра трьох осіб. Якщо через Мк позначати чисту стратегію к-го гравця як елемент множини (15), Рор(. (М1) та ОорХ М2) - ЯК оптимальні стратегії в М1-грі та М2-грі відповідно, то у такій метагрі функція виграшу першого гравця

К1 (М1, М2, М3) =

= Рор1(М1) • Мз •[Оор1 (М2)]т, (19)

функція виграшу другого гравця

К2(М1, М2, М3) =

= -РорДМ1 )• Мз •[Оор1 (М2)]т =

= -К1( М1, М2, М3), (20)

а функцію виграшу третього гравця («природи») можна покласти тотожною нулю:

K3(Mj, M2, M3) = 0,

VMA є ' Ilf a11 a12 'j I I

1 1 V a21 a22 / 1 1

И Jan є An J a12 є A12

a21 є A21

h = 1, 3. (21)

Очевидно, що для скінченних множин A11, A12,

A21, A22 функції виграшів (19)-(21) можна представи-

ти у формі тривимірних

(|A1l| ■ |Ad ■ |А21і ■ |^2 ) Х (Al1 ' |Ad ■ |А21і ■ A 22 )х х (A11 ■ A12I ■ A21I ■ A22)-матриць,

але, зважаючи на (20) і (21), можна обмежитись однією

(lAd ■ Iа 12 ■ Ы ■ A22) х (К! ■ Iа 12 ■ іА21і ■ Iа 22) х х (A11 ■ A12 ■ A 211 ■ A 22 )-матрицею

K = [kmim2m3]G х G х G 3 елементами

КітіЩ = Popt(M<m1>) ■ m3m3> ■ [Q0pt(M<m2>)]T,

mh = TTG Vh = TT3, (22)

де

G |Al2 ' Al2 ■ А2і ' А22і

Так само можна обмежитись лише функцією (19) у випадку, коли принаймні одна з множин системи

i 2 І2

< {А^}. = 1 I є нескінченною.

Отже, нечітка 2 х 2-гра з множиною (15) усіх можливих «чітких» 2 х 2-матриць за умови порожнього кортежу (4) і неприйнятності нечіткого розв’язку (14) породжуватиме безкоаліційну G х G х G-гру (метагру) з ядром (19) при штучному покладанні (21). Розв’язок цієї метагри міститиме оптимальну поведінку обох гравців в умовах ведення вихідної нечіткої 2 х 2-гри.

ВИСНОВОК ТА ПЕРСПЕКТИВА

ПОДАЛЬШОГО ДОСЛІДЖЕННЯ

Звичайно, питання про впроваджуваність розв’язку безкоаліційної G х G х G-метагри є відкритим і далеко не тривіальним [8, 11, 12]. Можливо, у деяких ситуаціях практичне використання цього розв’язку [13, 14] виявиться настільки незрозумілим (адже мова йтиме як про імовірності вибору чистих стратегій - матриць, так і про відому неоднозначність ситуацій рівноваги у безкоаліційних іграх), що буде варто шукати способи усунення «нечіткості» у 2 х 2-грі (прямого, «неігрового» перетворення нечіткої 2 х 2-гри у «чітку»). Але запропонована концепція розв’язку (4) нечіткої 2 х 2-гри та її нечіткого розв’язку (14) з можливим розв’язуванням безкоаліційної G х G х G-метагри має фундаментальне значення для ігрових методів моделювання в умовах невизначеності. У перспективі, звісно, слід зайнятися формулюванням відповідних положень для матричних ігор більших і, взагалі кажучи, довільних форматів.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Трухаев, Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Трухаев Р. И. - М. : Наука, 1981. -258 с.

2. Черноруцкий, И. Г. Методы принятия решений / Черноруцкий И. Г - СПб. : БХВ-Петербург, 2005. -416 с. : ил.

3. Caprani, O. Introduction to Interval Analysis / O. Caprani, K. Madsen, H. B. Nielsen. - IMM, DTU, 2002. - 82 p.

4. Большаков, А. А. Методы обработки многомерных данных и временных рядов : [учебное пособие для вузов] / А. А. Большаков, Р. Н. Каримов. - М. : Горячая линия - Телеком, 2007. - 520 с. : ил.

5. Петросян, Л. А. Теория игр: [учеб. пособие для унтов] / Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. -М. : Высшая школа ; Книжный дом «Университет», 1998. - 304 с. : ил.

6. Романюк, В. В. Мінімаксний підхід у реалізації стохас-тичного параметра з невідомим імовірнісним розподілом на інтервалі ненульової міри / В. В. Романюк // Вісник Хмельницького національного університету. Технічні науки. - 2010. - № 3. - С. 65-71.

7. Романюк, В. В. Оцінювання вірогідності розподілу статистичних частот випадкової величини з невідомим математичним сподіванням і дисперсією / В. В. Романюк // Вісник НТУ «ХПІ». Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків : НТУ «ХПІ», 2010. -№ 21. - С. 152-161.

8. Воробьёв, Н. Н. Теория игр для экономистов-киберне-тиков / Воробьёв Н. Н. - М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 272 с.

9. Романюк, В. В. Модель визначення оптимального рішення проектувальника у задачі про розрахунок повздовжньої стійкості двох елементів будівельної конструкції при дії на них нормованого стискаючого зусилля / В. В. Романюк // Проблеми трибології. - 2010. -№ 1. - С. 42-56.

10. Оуэн, Г. Теория игр : [пер. с англ.] / Оуэн Г. - 2-е изд. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 216 с.

11. Романюк, В. В. Рекомендації щодо використання нерівноважної симетричної ситуації у діадичній грі як моделі охорони навколишнього середовища з трьома суб’єктами забруднення довкілля / В. В. Романюк // Екологічна безпека та природокористування. - 2010. -Вип. 5. - С. 144-159.

12. Романюк, В. В. Практична реалізація стратегії у най-вигіднішій симетричній ситуації у діадичній грі з трьома суб’ єктами забруднення водойми / В. В. Романюк // Екологічна безпека. - 2009. - № 4 (8). - С. 49-56.

13. Романюк, В. В. Метод реалізації принципу оптималь-ності у матричних іграх без сідлової точки / В. В. Романюк // Вісник НТУ «ХПІ». Тематичний випуск: Інформатика та моделювання. - Харків : НТУ «ХПІ», 2008. - № 49. - С. 146-154.

14. Романюк, В. В. Метод реалізації оптимальних змішаних стратегій у матричній грі з порожньою множиною сідлових точок у чистих стратегіях з відомою кількістю партій гри / В. В. Романюк // Наукові вісті НТУУ «КПІ». - 2009. - № 2. - С. 45-52.

Надійшла 19.10.2010

Романюк В. В.

РЕШЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ

2 х 2-ИГРЫ

Представлена концепция решения антагонистической

2 х 2-игры, элементы матрицы которой задаются в форме неодноэлементных множеств. Показано, что решением такой нечеткой игры может быть специальное пересечение решений всех обычных 2 х 2-игр, элементы матриц которых образуют эти множества. Для случаев, когда такое пересечение окажется пустым, предлагается использование нечеткого решения нечеткой 2 х 2-игры. При условии неприемлемости подобного решения строится бескоалиционная метаигра, решение которой будет содержать оптимальные поведения обоих игроков в исходной нечеткой 2 х 2-игре.

Ключевые слова: моделирование в условиях неопределенности, принятие решений в условиях неопределенности, нечеткая 2 х 2-игра, бескоалиционная метаигра, оптимальное поведение.

Romanuke V. V.

SOLVING THE FUZZY ANTAGONISTIC 2 х 2-GAME

There has been represented a concept of solving the antagonistic 2 х 2-game, whose matrix elements are defined in the form of non-one-element sets. It has been revealed that the solution of such fuzzy game may be a special intersection of solutions of all ordinary 2 х 2-games, whose matrices elements constitute those sets. For cases when such intersection appears to be empty, it is suggested to use a fuzzy solution of a fuzzy 2 х 2-game. If this solution is unacceptable, a noncooperative metagame is constructed, the solution of which will contain the optimal behavior of both players in the initial fuzzy 2 х 2-game.

Key words: modeling within uncertainty, decision making within uncertainty, fuzzy 2 х 2-game, noncooperative metagame, optimal behavior.

УДК 519.816+519.712.6 Федюкович В. Е.

Инженер ООО «ИнтроПро» (г. Киев)

О НЕОБХОДИМОСТИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ПРОВЕРКИ СЕРТИФИКАТА СХЕМЫ РАД

Выполнен анализ схемы DAA. Обнаружено, что схема допускает совместные действия Эмитента и Проверяющего с целью получить дополнительную информацию о Пользователе, которые не обнаруживаются Пользователем, следующим протоколу. Предложена дополнительная проверка Пользователем DAA сертификата, полученного от Эмитента, позволяющая обнаружить такую атаку и прекратить протокол.

Ключевые слова: DAA, анонимность, аутентификация, протокол доказательства знания, TPM.

ВВЕДЕНИЕ

Аппаратное обеспечение персонального компьютера состоит, с момента его появления, из унифицированных блоков, что допускает его самостоятельную сборку. Обратная сторона максимально упрощенной процедуры сборки заключается в фактическом отсутствии механизмов контроля целостности аппаратного

© Федюкович В. Е., 2011

обеспечения, что затрудняет обнаружение вмешательства на аппаратном уровне. Такое вмешательство, в свою очередь, может приводить к утечке конфиденциальных данных при их обработке на таком компьюте -ре. Контроль целостности аппаратного и программного обеспечения компьютера является одной из основных целей, решаемых в рамках Trusted Computing