CC BY
39
УДК 517.987.4
В.В. РОМАНЮК, канд. техн. наук, доц. ХНУ (м. Хмельницький)
ЧИСЕЛЬНИЙ МЕТОД ЗНАХОДЖЕННЯ ОДНОГО УЗАГАЛЬНЕНОГО ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ІНТЕГРАЛА НА НЕВІД’ЄМНІЙ ГРАНИЦІ ОДИНИЧНОЇ КУЛІ З НУЛЬОВИМ ЦЕНТРОМ
Поставлено задачу знаходження функціонального (континуального) інтегралу на невід'ємній границі кулі одиничного радіуса з центром у початку координат нормованого простору ]Ь, [0; 1]. Для чисельного методу його визначення побудовано інтегральну суму з відповідною нормою для диференціала точки досліджуваного підпростору простору ІЬ, [0; 1].
Ключові слова: функціональний (континуальний) інтеграл, нормований простір Ь„[0; 1], одинична куля з нульовим центром.
Постановка проблеми. Континуальне інтегрування займає одне з центральних місць у математичному апараті теоретичної фізики [1]. Уперше використані у квантовій механіці Р. Фейнманом у 1948 р., континуальні інтеграли (або, як їх ще називають, функціональні інтеграли) стали стрижнем для досліджень у квантовій фізиці [2], у квантовій теорії поля, а також в інших галузях. Наближене континуальне інтегрування є одним із найбільш перспективних засобів обчислень [3]. Функціональні інтеграли також знаходять своє місце у теорії керування, де у фазовому просторі розглядається результат від складання усіх траєкторій, по яким фазова точка могла б із початкового положення потрапити у кінцеве [4]. Але виявляється, що континуальний інтеграл може мати прикладне значення не тільки для квантової фізики чи теорії керування. Наприклад, в теорії антагоністичних ігор у роботі [5] згадується про задачу визначення глобального наслідку застосування гравцем його оптимальної стратегії, котра, зокрема, для першого гравця, полягає в обчисленні інтеграла
по множині 3/ усіх змішаних стратегій другого гравця, кожен елемент (¡{у)
якої ми, не обмежуючи загальності, ототожнюємо зі щільністю розподілу імовірностей на борелевій підмножині Усі ненульової міри:
(1)
ч( У №
Звичайно, в (1) і (2) х є X та у є У є чистими стратегіями першого і другого гравців відповідно, р (х) є щільністю розподілу імовірностей на X, де \ : є борелевою підмножиною ненульової міри, а поверхня К (х, у) є
ядром антагоністичної гри. Підінтегральна функція V[р(х), q (у)] є математичним сподіванням виграшу першого гравця у ситуації у змішаних стратегіях |р (х), q (у)}. Знання інтегралу (1) може бути корисним при
порівнянні глобальних наслідків використання першим гравцем двох його різних оптимальних стратегій [5].
Аналіз досліджень і публікацій по континуальному інтегруванню.
Окремі види континуального інтеграла можуть знаходитись як аналітично, так і чисельно [6]. Аналітичні методи обчислення континуальних інтегралів розглянуті у [1, 4, 7], але там досліджується окремий клас функціональних інтегралів по мірі Вінера, по мірі Гауса, а також по умовній мірі Вінера з вагою. Чисельні методи, запропоновані у [1, 2], дозволяють брати широкий клас континуальних інтегралів, але всі вони так чи інакше пов’язані з імовірнісними мірами, множина яких задається на деяких кореляційних властивостях. Одним з найбільш відомих шляхів обчислення функціонального інтеграла у квантовій фізиці, котрий являє собою також і регуляризацію для усунення розбіжностей, є уведення просторово-часової решітки [2]. Цей прийом дозволяє замінити знаходження континуальних інтегралів обчисленням звичайних ріманових інтегралів високої кратності, для чого зазвичай використовується метод Монте-Карло. Але надзвичайно високі витрати машинного часу для виконання таких обчислень зумовлюють розвиток непертурбативної регуляризації каліброваної квантової теорії на континуальному рівні і проведення досліджень безпосередньо на континуальному рівні [2, 3]. Одним з перспективних підходів є побудова наближених формул, які є точними на заданому класі функціоналів. У рамках цього підходу авторами робіт [2, 3] для континуальних інтегралів по гаусовим мірам були побудовані нові наближені формули, котрі виявились точними на класі функціональних багаточленів довільного степеня. Отримані формули у частинному випадку умовної міри Вінера у роботах [2, 8] були використані для обчислення деяких величин в евклідовій квантовій механіці за допомогою наближеного обчислення інтегралів Фейнмана без дискретизації часу, де квадратурні формули дали суттєву економію машинного часу та необхідну точність. У [2] отримані наближені формули для кратних континуальних інтегралів по умовній мірі Вінера з вагою, досліджена міра континуального інтегрування у двомірній евклідовій квантовій теорії поля з поліноміальними взаємодіями бозонних полів. У нашому ж випадку з інтегралом (1) необхідно брати функціональний інтеграл виду
I I I ф[р(?)’1 ]А А[р(?)]
р( V іеТ
(3)
на множині
(4)
усіх можливих щільностей розподілів, котрі задаються на борелевій підмножині Гсі ненульової міри. Ця множина є обмеженою у просторі ЇЇ-^Г) і, більш того, (4) є границею невід’ємної одиничної кулі В[0, і] з
центром у нулі р(/) = 0 V / є Т с К й одиничним радіусом. Також
припускатимемо, що функція ср[р(/), є інтегровною на Гсі у смислі
метрики простору ІЦ (Г).
Формулювання мети і постановка завдань статті. Не обмежуючи загальності, надалі покладатимемо підмножину Т = [0;і]. На цьому одиничному сегменті треба знайти підінтегральний функціонал
при
і
|ф[р(і), і] А
0
і
|(ф[р(/), і])2 А .
(5)
(6)
Для того, щоб знаходити інтеграл (3), необхідно спочатку для нього записати відповідну інтегральну суму. Для цього потрібно визначитись із
диференціалом d [р(і)] та множиною (4) під знаком граничного переходу.
Далі необхідно обґрунтувати метод обчислення цієї інтегральної суми, визначивши таким чином чисельний метод знаходження функціонального інтеграла типу (3) при кожному р(/) еРс В[0, і] с1,[0;і].
Чисельне інтегрування функціонала-інтегранта. Вибираємо точки і; є [0; і] для і = 0, N так, що ^ = і V і = 1, N . Таким чином виконуємо
розбиття одиничного сегменту Т = [0; і] на сегменти
{[і. - ^ С =*
і - і і N ’ N
0
Тоді інтеграл (5) наближено обчислюватимемо так:
г N
|ф[р(/), і]Л и ^ф[р(/,.), і](/,. -і— ) =
N іф[р('.) •]=N X
і
N
N'
ф
і і і Р| N )’ N
¿=1 ¿=1
Співвідношення (8) надалі буде покладено в чисельний метод знаходження функціонального інтеграла типу (3).
Визначення диференціала d[р(/)]. Як для першого наближення, спочатку природно покладемо, що
де функція Ар(/) є деяким приростом точки р(/) у просторі
(10)
і при цьому функція р(і ) + Др(/) залишається у просторі (10):
і
^ [р (і) + Др (і)] Лі = 1.
(11)
Тут нам слід виконати скінченне розбиття простору (10) на кусково-неперервні сходинкові функції, котрі є неперервними зліва і кожна з яких
і і і — 1 і
задана N значеннями на N напівінтервалах <, | —; —
. Щодо розбиття
по вісі ординат, то розмірковуватимемо наступним чином. Нехай по вісі ординат функція р(і) має М рівнів квантування. Тоді, по-перше, кожна
повністю квантована функція р(і) представлятиметься у формі М х N -матриці зі значеннями 0 й 1, де сума елементів і -го стовпчика, поділена на відношення суми усіх елементів цієї матриці до N, буде дорівнювати
значенню функції р(і) на напівінтервалі | ~—~; ~
. По-друге, для того, щоб
скласти скінченне розбиття множини (10), треба його спершу упорядкувати.
Нехай скінченне розбиття множини (10) містить J елементів -квантованих функцій р(/). Після упорядкування цих квантованих функцій перший елемент може мати, зокрема, найменшу норму, а останній -
0
0
N
найбільшу. Очевидно, що тут не можна брати норму простору 1Ц [0; і], оскільки у ньому всі елементи розбиття множини (10) мають одиничну норму. Тоді прийдеться узяти норму простору Т,-, [0; і]. Але у цьому просторі виникає ще одна складність. Справа у тому, що якщо мова йде про одиничну імовірність (чисту стратегію одного з гравців в антагоністичній грі) при і = к,
то р(і) = 8(і-к) , причому інтеграл і 52 (і - к) А
0
показати наступним чином. Якщо 8 (і - к)« N V і є
не існує, адже це можна
к; к + -
N
= [0,1],
то
1
і
82 (і - к) А = Ііт— N2 = Ііт N = да.
' ' N N N
(12)
Тому за норму візьмемо таку функцію:
(13)
яка є відношенням норми функції р(г) у просторі 1Ь, [0; і] до максимальної
норми цієї функції у цьому ж просторі. Далі має місце таке твердження. Теорема 1. Норма (13) у просторі функцій (10) задовольняє нерівності
Оф(0|кі. (14)
причому мінімум
(15)
(16)
досягається на рівно їмо вірних розподілах, а максимум
досягається на розподілах з одиничною імовірністю.
Доведення. Для рівноімовірного розподілу буде р(/) = р0(/) = 1
V / є [0; і]. Це означає, взагалі кажучи, що його норма у просторі Ц, [0; і]
(і
А
V о
і
1 у і
= І \А \ = 1" = 1 V я Зї 1.
і ‘
. 0
(17)
звідки
о
п
п
п
||ро (ґ)|| = '
: = 0.
(18)
[ 52 (ґ) йґ
де використано (12), є аргументом мінімуму (15). Для розподілу з одиничною імовірністю буде р(ґ) = 8(ґ -И) при И є [0; 1]. Тоді максимум (16) досягається саме на таких розподілах, що доводить нерівність (14) і теорему загалом.
Отже, якщо (13) є нормою для сортування {р(ґ)}. 1 елементів
скінченного розбиття множини (10) за зростанням норми, то ||Р;-і(0ИМ'
V у = 2,.. Тоді замість припущеної раніше форми функціонального диференціала (9) використаємо іншу, зі звичайною нормою підпростору [<>: і] - числової прямої під знаком границі та внутрішньою нормою (13) упорядкування скінченного розбиття множини (10):
1
0
1 ^[р2 (ґ) й 1 |[р(ґ ) + Др(ґ)]2 й 0
1 I ' 0 ю
Ііт
Др(ґ)>0 V ґє[0; 1]
Др(ґ)——0) V ґє[0; і]
при справедливості (11). Звідси випливає наступне твердження. Теорема 2. Інтеграл
(19)
I й[р(ґ)] =1
(20)
р()єР
із диференціалом (19), де множиною інтегрування є (10).
Доведення. Оскільки виконана нерівність (14), то звичайна лебегівська міра множини упорядкованих норм (13) дорівнює одиниці. Нескінченно малі (19) у сумі (20) будуються саме за такою мірою, тому їх сума повинна дорівнювати одиниці. Теорему доведено.
Інтегральна сума для функціонального інтеграла типу (3) на множині (10). Визначимо наближено норму функції р (/) у просторі ІЬ2[0;і] наступним чином:
ІЬ(' Я =
Г N
[р2 (') Л * (' )-р. (ґ-1 )]2 ('. - /,.-1 ) :
0 1 ,=1
г
р|-р
і-1
N
Тепер інтеграл (3) легко записати через його інтегральну суму, у якій інтегрування функціонала-інтегранта здійснюватиметься за (8), а
диференціювання змінної інтегрування р( ') відповідатиме (19) з
відсортованими нормами ОМ' С елементів скінченного розбиття множини (10):
I І [ф[р(ґ),']Л й[р(ґ)]* [ 11 £ф
р(ґ)єД V'єТ
р(' )єД
і=1 І І і
й [р(ґ )]г
N У N
1 - , 1 -
^ С [ру-1 ('і) - ру-1 ('і-1)]2 - С[р ('і) - ру ('і-)]2
■ ’ V і=і
N12 СІС ф
у=2 V і=1
і І і
Е
і-1 N
Е
р'- 1І 77 І-р
N
і-1 N
(22)
Звісно ж, модуль у (22) опущено завдяки нерівності ІМОИІМ'
V у = 2, 7 .
Висновок та перспектива подальшого дослідження. Функціональний інтеграл виду (3) є корисним для оцінювання глобального наслідку використання стратегії гравцем в антагоністичній грі. При покладанні норми (13) та диференціала (19) цей інтеграл може бути наближено обчислений як (22). При цьому вклад невраховуваної складової зі значенням р(0) буде "з’їдатися" інтегруванням на множині нульової міри. Похибка обчислень,
X
згідно з (12) і (18), є пропорційною величині —=. Тоді, зокрема, значення
VN
інтегралу (20) буде не таким, а дорівнюватиме 1 —^. Тому при
VN
наближеному інтегруванні (3) по множині (10) слід брати доволі велике число N сегментів (7). Звідси перспектива подальшого дослідження якраз і полягає в удосконаленні та адаптації розробленого чисельного методу функціонального інтегрування до негроміздких за об’ємом просторово -часових решіток, тобто метою продовження дослідження є вироблення менш невимогливого чисельного методу до великого числа N сегментів (7).
Список літератури: 1. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве / Ф.А. Березин // Успехи математических наук. - 1980. - Т. 132. - Вып. 3. - С. 497 -548. 2. Жидков Е.П. Об одном методе вычисления континуальных интегралов без решёточной дискретизации / Е.П. Жидков, Ю.Ю. Лобанов, P.P. Шахбагян // Математическое моделирование. -1989. - Т. 1. - № 8. - С. 139 - 157. 3. Жидков Е.П. Приближённое вычисление кратных континуальных интегралов в многомерных задачах квантовой физики / Е.П. Жидков, Ю.Ю. Лобанов, P.P. Шахбагян // Математическое моделирование. - 1990. - Т. 2. - № 10. - С. 110 -119. 4. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями / Ю.Л. Далецкий // Успехи математических наук. - 1962. - Т. XVII. - Вып. 5 (107). -С. 3 - 115. 5. Романюк В.В. Оцінювання глобального і локальних наслідків застосування гравцем оптимальної стратегії в антагоністичних іграх при чистій оптимальній стратегії в іншого гравця / В.В. Романюк // Вісник Донецького національного університету. Серія А. Природничі науки. -
2009. - № 2. - С. 431 - 436. 6. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие / Иванов В.В. -К.: Наук. думка, 1986. - 584 с. 7. Ладохин В.И. Вычисление континуальных интегралов от
функционалов Ф
ja^xj^x);...; Ja,„( т) dx (т
/ В.И. Ладохин // Успехи математических наук.
- 1964. - Т. XIX. - Вып. 1 (115). - С. 155 - 159. 8. Gregus М. On the deterministic computation of functional integrals in application to quantum mechanical problems / М. Gregus, Yu. Yu. Lobanov, О. V. Sidorova, E.P. Zhidkov // J. Сотр. Appl. Math. - 1987. - V. 20. - P. 247 - 256.
Стаття представлена д.т.н., проф. Національної академії державної прикордонної служби України імені Б. Хмельницького Катеринчуком І. С.
УДК 517.987.4
Численный метод нахождения одного обобщённого функционального интеграла на неотрицательной границе единичного шара с нулевым центром / В.В. Романюк // Вестник НТУ "ХПИ". Тематический выпуск: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". -
2010. - № 31. - С. 153 - 161.
Поставлена задача нахождения функционального (континуального) интеграла на неотрицательной границе шара единичного радиуса с центром в начале координат нормированного пространства ІЦ [°;!] . Для численного метода его приближённого определения построена интегральная сумма с соответствующей нормой доя дифференциала точки исследуемого подпространства пространства Ц [0; 1]. Библиогр.: 8 назв.
Ключевые слова: функциональный (континуальный) интеграл, нормированное
пространство [0; 1], шар единичного радиуса с центром в начале координат.
UDC 517.987.4
Numerical method for finding a generalized functional integral on nonnegative boundary of the unit ball with zero center / V.V. Romanuke // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2010. - №. 31. - P. 153 -161.
The task of finding of functional (continual) integral is put on the non-negative border of ball of single radius with a center at the beginning of co-ordinates of the rationed space L, [0; 1]. For the numeral method of his close determination an integral sum is built with the proper norm for the differential of point of the probed subspace of space 1L, [0; l]. Refs: 8 titles.
Key words: functional (continual) integral, rationed space [0; l], ball of single radius with a center at the beginning of co-ordinates.
Поступила в редакцию 23.05.2010
