CC BY
23
УДК 621.385.69
ЕЛЕКТРОМАГНІТНЕ ВИПРОМІНЮВАННЯ ЕЛЕКТРОННОГО КІЛЬЦЯ, ЩО РУХАЄТЬСЯ УЗДОВЖ НЕОДНОРІДНОЇ ХВИЛЕВОДНОЇ СТРУКТУРИ
ЧУМАЧЕНКО С.В. * 1 2
Пропонується новий аналітичний метод, заснований на підсумовуванні рядів за вибірковими значеннями у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром, який дозволяє спростити відомі методи розв’язання граничних електродинамічних задач і знизити вартість чисельних розрахунків, що є актуальним і практично доцільним.
1. Вступ
Фізичним і технічним застосуванням неоднорідних хвилеводних структур, збуджуваних електронами, що рухаються, присвячені, зокрема, роботи [1,2]. Більшість методів, використовуваних при дослідженні та моделюванні електродинамічних структур, грунтується на класичній теорії, аналітичних розрахунках, чисельних і експериментальних результатах. Розв’язання багатьох граничних задач математичної фізики пов’язано з рядами. Вони виникають у процесі рішення різних задач, наприклад, у теорії дифракції електромагнітних хвиль на періодичних структурах [3], у задачах дифракційної електроніки [4], при вивченні дифракції хвиль на періодичних структурах з похилих на-півплощин [5]. У задачах теорії антен також застосовуються ряди певного типу [6, 7]. Дослідження збіжності, чисельний експеримент і альтернативні зображення для рядів типу Шльомильха з функціями Беселя при рішенні двовимірних дифракційних задач наведено у [8]. Іноді вдається здобути суму ряду. У цьому випадку результати розв’язку граничної задачі можна представити аналітично.
2. Постановка задачі
Розглянемо неоднорідну хвилеводну структуру, що являє собою два круглих хвилеводи радіусів a, b (a<b), з’єднаних коаксиально між собою фланцем у площині z = 0, як в [ 1 ]. У цій структурі рухається джерело електромагнітного випромінювання у вигляді електронного кільця, вісь якого збігається з віссю хвилеводів. У круглому однорідному хвилеводі джерело не випромінює. Електромагнітне поле зарядженого кільця, що рухається в хвилеводі, у власній системі координат являє собою електро-або магнітостатичне поле кільця в трубі. Математично це означає відсутність хвилеводних гармонік, що поширюються, у розкладанні поля джерела, яке рухається, за власними хвилями однорідного хвилеводу. Наявність неоднорідностей приводить до збудження гармонік, які вільно поширюються, тобто до випромінювання.
РИ, 2003, № 2
Відомо, що в круглому хвилеводі можуть поширюватися власні хвилі Е- і Н-типів. Вони існують незалежно, і їхнє порушення визначається видом джерела поля. При дослідженні втрат енергії на випромінювання електронними кільцями, що рухаються, варто розглядати поле випромінювання обох поляризацій. Заряджене кільце, яке рівномірно рухається уздовж осі структури й обертається навколо неї, можна описати вектором щільності струму j з двома компонентами: подовжнім jz , що пов’язаний з поступальним рухом кільця й описує подовжні електричні хвилі (Е-хвилі); поперечним j(p , що обумовлений обертанням кільця й описує подовжні магнітні хвилі (Н-хвилі).
Для кільця, що рівномірно рухається уздовж осі z зі швидкістю vz = v й обертається зі швидкістю Уф, з радіусом р і повним зарядом Q , рівномірно розподіленим за його довжиною, щільність струму дорівнює
] = vQ ^2-Р- 5(z - vt). (1)
Повне поле в структурі представляється у вигляді суми поля джерела E0(r,t), Й0(гД) і суперпозиції власних хвиль Ej, Hj, j = 1,2 , яку слід додати до поля джерела для того, щоб задовольнити крайовим умовам. Для хвиль Е- і Н-типів складові електромагнітного поля відмінні від нуля. Усі поля представляються у вигляді розкладань в інтеграл Фур’є за частотою. Розгляд проводиться на прикладі подовжніх Е-хвиль.
Електромагнітне поле зарядженого кільця в однорідному хвилеводі радіуса R на частоті ю має вигляд
eL(r,z)
Іо(Гг)Ко(Гр)] Ko(ER)l
- І0(Гг)-------і х
Ко(Гг)Іо(Гр)] 0V 4(ER) j
х lkQ2exp(irnz/ v) тссР у
r < p r > p
(2)
E°ro (r,z)
I1(rr)K0(rp)] + I1(rr)Ko£Rl L K1(rr)I0(rp) J U 4(rR) j
QE r <p
X----exp(ioz/v), (3)
nv r >p
(r,z) = PE°ro (r,z), (4)
де k = <a /с — хвильове число; p = v/c ; у = 1/дД - p2 — кінетична енергія зарядженого кільця, віднесена до енергії спокою; Г =| k / уР |. Верхній рядок у квадратних дужках варто брати при r < р ; нижній — при r > р .
Потрібно знайти електромагнітне поле розглянутої структури, а саме визначити аналітично коефіцієнти збудження власних хвиль, що є метою цієї роботи.
31
3. Метод рішення
Сформульована задача вирішується методом часткових областей із застосуванням методу підсумовування рядів за вибірковими значеннями у гільбер-товому просторі з відтворюючим ядром. Як відомо, метод часткових областей застосовується для дослідження складних структур, які можна розподілити на більш прості суміжні підобласті. Для кожної з них можна одержати рішення шляхом розподілу змінних. Невідомі поля для кожної часткової області представляються у вигляді розкладання за власними функціями. У циліндричній системі координат компоненти електромагнітного поля є рішеннями рівняння Гельмгольца у відповідній області. Отже, задача зводиться до визначення амплітудних коефіцієнтів при власних функціях у розкладанні поля для кожної часткової області. Для цієї мети слід задовольнити граничні умови поля. У результаті виникає нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) щодо невідомих амплітуд хвиль. У загальному випадку можна знайти тільки наближене рішення цієї нескінченної системи методами редукції або послідовних наближень. Іноді вдається одержати рішення модифікованим методом відрахувань або методом Вінера-Хопфа. Звичайно, після цього для рішення системи застосовуються чисельні методи, як у [1].
Існує клас граничних задач, для яких нескінченна СЛАР допускає точний розв’язок. Розширити його дозволяє метод розкладання функцій у ряд за вибірковими значеннями у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром.
Для цього використовуються така теорема і наслідок з неї.
Теорема. Нехай є абстрактний гільбертовий простір H з відтворюючим ядром K(s,t), визначеним на множині T . Нехай {ф^ДД} , tj є T — повна ортонормована система в H . Якщо існують нену-льові дійсні постійні Cj такі, що
Фі^ДД = CjK(s,tj), |K(t,t)|< Cj <да>, t є T, (5)
то розкладання за повною ортонормованою системою для кожної f є A, що має вигляд
f(s) = £ ajФі (s,tj), s є T, aj = (f, фД , (6)
є ряд за вибірковими значеннями.
Наслідок. У гільбертовому просторі з відтворюючим ядром H будь-яка функція F є H розкладається в ряд за вибірковими значеннями:
F(x) =ZF(ts) 2,<Xts()1'2) ДІ ,
s=l v+1(rtts)(t2 - x2)
де rcts — позитивні нулі функції Беселя.
4. Рішення задачі
0 < x < да
(7)
Рішення однорідних рівнянь Максвелла в кожній з областей має вигляд [1]:
Ezco (г z) = -ІЕ An — J0 (~nr) exP(_ihnz) , z < 0 ; n a a
n (8)
Era(r,z) = Z AnhnJ1(~'nr)exP(_ihnz) , z < 0 ; (9) na
H[pro (r,z) = “kZ An J1 (— r) exP(“ihnz) , z < 0 ;(10)
E$ (r, z) = jZ Bn ДД J0 (ДД r) exP(iXnz) , z ^ 0 ; (11)
Erro(r,z) = Z Bn 1 nJ1(“TLr) exP(iXnz) , z > 0 ; (12)
П b
Hq2o)(r,z) = kZ BnJ1(^bLr)exP(iXnz) , z > 0 , (13)
n
де hn = Vk2 - (vn/a)2 , xn = Vk2 -(vn/b)2 -постійні поширення хвиль у хвилеводі радіуса а і b відповідно; J0 (x), Jp (x) — функції Беселя; vn
— корені рівняння J 0 (x) = 0 . В обох областях розсіяне поле зображується у вигляді набору хвиль, що розходяться від місця стику хвилеводів.
Підпорядковуючи компоненти поля граничним умовам на стику хвилеводів, тобто прирівнюючи нулю дотичні складового електричного поля Er при z = 0, a < r < b і забезпечуючи безперервність Er , Hф при z = 0, r < a , одержуємо систему рівнянь для коефіцієнтів збудження власних хвиль. Шукані коефіцієнти Bn повинні задовольняти такій нескінченній системі лінійних алгебраїчних рівнянь:
де
BnXn + ZansBs _ fn , n — p,2,...
s=1
„. 4 a'l2 ynJ0(yn)ysJ0(ys) ,,
a ns _ I 2 x
b^ Jl(Vn)
X
X Z
hT
m=1 (v m - yn)(v m - y2)
Уп =v na/b , ° =
Kp(rb) _ K0(ra) І0(ГЬ) l0(Ta)
f 2QEI0(rP) Уп,0(Уп)
fn “ - Ty X
nv
2
Jf(v n)
hm
*<ШI Г10(Га)фz 2 2)(p2 2
k x b) m=1(vm - Уп)(Г a -
(14)
(15)
(16)
v m)
+_________1_________
ri0(ra)(r 2b2 +v 2)
(17)
Коефіцієнти Am
B
n:
виражаються при цьому через
A
m
2 I “ B ysJQ(ys) , J1(vm) |s=1 s vm - У2
+ QraI0(rp)I0(ra)O nvy(r 2a2 +v m)
(18)
РИ, 2003, № 2
32
Підставимо (15) у (14):
2
BnXn + ZBS4(±) y°J0<y,n)y.J0(y.>x
J2(vn)
X
X Z
h
m
2 2 2 2 fn П — 1,2,...
m=l(vm - Yn)(vm - yf) ’ ’
або
Bn X n + 4| -f ^ Z Bsy.Jo(ys) x
X
X Z
h
Jf(v n) s=1
= fn
m=i (v m - yn)(v m - y2)
n = 1,2,.... (19)
У (19) змінюємо порядок підсумовування:
ю h
BnXn + Cn Z m
n n 2 2
m=1 vm - Уп
X 1
xZBsysJ0(ys) ,----2 = fn , n = 1,2,..., (20)
.=1 v m - yf
де Cn = 4^-byn20(yn) • У (20) розглянемо ряд за індексом s:
Jf(v n)
Z B;
y.J0(y.)
= -Z b
y.J0(y.)
s=1 vm - У.
s_1 S y2 _v2 , m = 1,2, .. .(21) s_1 Ys vm
Знайдемо його суму, використовуючи (7). З цією метою коефіцієнт B. = B.(m) виразимо через нову невідому допоміжну константу Dm таким чином:
2( )1/2
B. - B. (m) = Dm J0 (™ m )^S-M—, m = 1,2,...
^(^y.)
(22)
Приводимо ряд (22) до вигляду (7) і знаходимо його суму:
“ B y.J0(y.) b1Bs f---Г -
s=1 У. -vm
— D V T (w ) 2(vmy.) y.J0(y.)
- Dm Z J0(nvm)_
.=1
nJ1(^y.) yf _vf
.m
- D У У J (y )2(Vmy.)1/2 J0(^vm)
- Dm Z
.=1
^J1(^y.) yf -
= DmУsJ0(Уs)Уs =Vm = DmvmJ0(vm) . (23)
Оскільки V m — нулі функції J0 (x), тобто корені рівняння J0(vm) = 0 , сума ряду (23) дорівнює нулеві:
Z в,
y.J0(y.)
s 2 2 s=1 У. “vm
= 0
(24)
Таким чином, рівняння (20), а отже, і (14) з урахуванням (24) набуває вигляду:
Bn X n = fn , n = 1,2,.. • (25)
З останнього рівняння випливає пряма формула для обчислення коефіцієнтів Bn :
Bn =— , n = 1,2,.. . (26)
X n
З урахуванням (24) коефіцієнти Am, що визначаються формулою (18), розраховуються як:
A
m
2QraI0(rp)I0(ra)O J1(vm)^vY(r2a2 -vm)
(27)
5. Висновки
Таким чином, проведено аналітичний розрахунок електромагнітного поля, що виникає при прольоті електронного кільця повз елементарну неоднорідність у круглому хвилеводі. Коефіцієнти розкладання поля в ряди здобуті в явному вигляді в термінах відомих функцій. Для їхнього визначення використано новий аналітичний метод, заснований на підсумовуванні рядів за вибірковими значеннями у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром. Це дало можливість уникнути рішення нескінченної СЛАР щодо невідомих амплітудних множників і одержати для них формули в явному вигляді. Очевидно, що запропонований підхід дозволяє спростити відомі методи розв’язання граничних електродинамічних задач. У [1] нескінченна система (14) вирішувалася чисельно за допомогою ЕОМ. Таке рішення є наближеним, оскільки для його одержання утримувалося кінцеве число рівнянь у системі. При цьому у виразі (15) для a n. в сумі враховувалося також лише кінцеве число доданків. Практичні застосування здобутих результатів визначаються можливістю їхнього використання при розрахунку інтенсивності електромагнітного випромінювання, поляризації, втрат на збудження хвиль.
Література: 1. Воскресенский Г.В., Курдюмов В.Н. Излучение электронного кольца при пролете возле стыка двух круглых волноводов // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. T.XIV, №5. С. 778-787. 2.Гандель Ю.В., Загинайлов Г.И., Турбин П.В., Мищенко ЕЛ. Численный анализ электродинамических свойств волноводов с прямоугольными нерегулярностями методом дискретных особенностей / Труды VIII Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Украина, Крым. 1-5 июня 1999. С. 17-19. 3. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., СологубВ.Т. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. 288с. 4. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. Харьков: Выща шк., 1976. 232 с. 5. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. К.: Наук. думка, 1984. 296с. 6. Миттра Р, Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 328с. 7. Амитей Н, Галиндо В., Ву Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 455с. 8. Veliev E.I., Oksasoglu A. Bessel functions series in two dimensional diffraction problems / J. of Electromagnetic and Applications. 1996. Vol. 10, N4. P. 493-507.
Надійшла до редколегії 15.04.2003
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев І.В.
Чумаченко Світлана Вікторівна, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри АПОТ, докторант ХНУРЕ. Наукові інтереси: математична фізика. Адреса: Україна, 61166, Харків, пр. Леніна, 14, тел. 70-21-326.
РИ, 2003, № 2
33
