Синфазне збудження решітки, утвореної плоскими напівобмеженими хвилеводами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.9+538

СИНФАЗНЕ ЗБУДЖЕННЯ РЕШІТКИ, УТВОРЕНОЇ ПЛОСКИМИ НАПІВОБМЕЖЕНИМИ ХВИЛЕВОДАМИ

ЧУМАЧЕНКОВ.С., ЧУМАЧЕНКО С.В.

Пропонується точний розв’язок задачі про розсіяне поле у фазированій решітці з напівобмежених плоских хвилеводів при синфазному збудженні. Застосовується метод розкладання функцій у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром у ряд за вибірковими значеннями.

1. Актуальність дослідження

Строгі аналітичні методи розв’язку крайових задач займають особливе місце в математичній фізиці. Отримані з їхньою допомогою результати мають велику цінність, оскільки є основою для наступних чисельних розрахунків. Вивчення і розвиток конструктивних методів вирішення крайових задач, що допускають побудову строгого аналітичного розв’язку, продовжують залишатися актуальними у всіх наукових напрямках.

Більшість методів, що використовуються при розрахунку фазированих антенних решіток (ФАР), грунтується на класичній теорії [1,2], аналітичних методах [3-5], чисельних і експериментальних результатах [6]. Аналітичні методи часто є наближеними, а побудовані на їхній основі чисельні — припускають наявність часових витрат, пов’язаних з обчислювальною складністю і підвищенням точності результатів.

Виходячи зі сказаного вище, виникає необхідність у створенні ефективних аналітичних методів розв’язку граничних задач, що дозволяють будувати точний розв’язок, зручний для чисельного аналізу.

Ціль — розробка методу для аналізу й розрахунку певного класу ФАР з метою вивчення їхніх електродинамічних характеристик, що дасть відповідну техніку аналізу і синтезу, необхідну при розробці антен.

2. Постановка і геометрія задачі

Розглянемо задачу про нескінченну фазировану решітку, утворену плоскими напівобмеженими хвилеводами (рисунок), стінки яких вважаються нескінченно тонкими, ідеально провідними; ширина між ними a. Падаюче поле в кожному із хвилеводів має однакову амплітуду і для будь-яких двох сусідніх з них зрушене за фазою на однаковий кут (синфазне збудження) [1].

Нехай 0 о — кут нахилу головного пелюстка діаграми спрямованості антени, що відлічується від осі x . Тоді фаза падаючого поля в m -му хвилеводі повинна описуватися множником exp(imu), де u = kasin 0 о .

РИ, 2002, № 2

Вважаючи, що падаюче поле у хвилеводній області складається тільки з основної хвилі типу ТЕМ, для m -го хвилеводу маємо таке зображення компонентів поля:

куч -

Ex _

(i) = eikxeimu, (1)

1 5 (i) Vv , iras dz (2)

1 5 (i) wv J as 5x (3)

за умови x < 0 і ma < z < (m + 1)a.

Потрібно визначити поле, що випромінюється у вільний простір і відбивається в хвилеводи.

3. Метод розв’язку

Використовуємо метод зшивання (або метод часткових областей), що зручний для дослідження структур складного вигляду, які розпадаються на дві й більш прості суміжні області. Для кожної з них можна одержати розв’язок за допомогою розподілу змінних. Перший крок полягає в зображенні невідомих полів для кожної часткової області у вигляді розкладання за власними функціями. У прямокутній системі координат компоненти електромагнітного поля є розв’язками скалярного рівняння Гельмгольця у відповідній області, побудова періодичного рішення якого, що задовольняє граничним умовам, є змістом теореми Флоке. Орто-нормовані функції поперечних координат являють собою систему скалярних просторових гармонік (гармонік Флоке), на основі яких будуються повні системи векторних гармонік [2].

Оскільки явний вигляд для взаємо-ортогональних власних функцій відомий, задача зводиться до визначення амплітудних коефіцієнтів при власних функціях у розкладанні поля в кожній частковій області. Для цього необхідне виконання умов безперервності полів на границях часткових областей. Внаслідок цієї вимоги і використання властивостей ортогональності власних функцій розв’язок зводиться до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) щодо невідомих ам-

15

плітуд власних хвиль, знайти точне рішення якої в загальному випадку неможливо. Звичайно обмежуються одержанням наближеного розв’язку за допомогою методів редукції або послідовних наближень [3].

Розглянута решітка з тонких ідеально провідних пластин являє собою модель, для якої при певній ідеалізації можливе точне рішення функціонально-теоретичним (метод відрахувань) [1], або методом Вінера-Хопфа [1,5]. У методі відрахувань вводиться інтеграл від спеціальної аналітичної функції, потім відрахування підінтегральної функції пов’язуються з невідомими коефіцієнтами. Область його застосування обмежена та поширюється на задачі для решіток з паралельних пластин кінцевої товщини — модифікований метод відрахувань [1,4].

Існує, однак, цілий клас крайових задач, для яких нескінченні СЛАР допускають точний розв’язок. Розширити його дозволяє метод розкладання функцій у ряди за вибірковими значеннями, що грунтується на таких міркуваннях. Розглянемо деякий клас A функцій, визначених на множині

T . Будемо вважати, що функція f є A може бути розкладена в ряд за вибірковими значеннями у точках tj є T, якщо існує набір вибіркових функцій уj(s,tj), таких, що:

1) Wj(s,tj) є A ,

2)

1, i = j,

j ^ Б

3) для будь-якої функції f є A ряд

f(s) = Х f(tj)v j(s,tj) i

сходиться рівномірно для s є T .

Звідси випливає теорема [7].

Нехай існує абстрактний гільбертовий простір H з відтворюючим ядром K(s,t), визначеним на множині T . Нехай (фі (s, tj)}, tj є T — повна ортонор-мована система в H • Якщо існують ненульові дійсні постійні Cj такі, що

Фі(s,tj) = CjK(s,tj), |K(t,t)|< Cj <да , t є T ,

то розкладання за повною ортонормованою системою для кожної f є A, яка має вигляд

f(s) = ХajФі(s,tj), s є T, aj = (f,фі) ,

є рядом за вибірковими значеннями.

Фундаментальне дослідження проблеми розкладання за вибірковими значеннями було виконано К. Шенноном і В. А. Котельниковим.

4. Розв’язок задачі

4.1. Зображення невідомих полів

Оскільки розглянута структура однорідна уздовж координати у , відбите поле складається тільки з

хвиль типу TMn,o . Таким чином, у хвилеводній області поле описується функцією

ж

T(x,z) = X Ajfcos n=0

n%

(z - ma)

a

e®nx

(4)

2 2 1/2

де x < 0, ma<z <(m + 1)a, ran = [(nrc/a) -k ] .

У вільному напівпросторі поле внаслідок періодичності структури представляється сумою просторових гармонік вигляду

japz -Q„x

T(x,z) = XBpe P e “p'

x > 0,

p=-a>

2 2 1/2

де ap = (2prc + u)/a і Qp = (ap - k ) .

(5)

Головний пелюсток діаграми спрямованості описується основною просторовою гармонікою поля випромінювання, тобто у виразі (5) це член з індексом p = 0. Вцдно, що напрямок випромінювання головного пелюстка визначається кутом 9 0 .

4.2. Формулювання граничних умов

Використовуючи умову безперервності дотичних складових поля на поверхні x = 0, що визначає зшивання функцій у і dy /dx на цій поверхні, одержимо систему функціональних рівнянь

imu

X Am cos

n=0

nn

(z - ma)

a

= X B.

ja pz

p=-

e

jkejmu

X ®nAn Cos

n=0

n%

(z - ma)

a

= X(-^p)Bpejapz ,

p=-a>

де ma < z < (m + 1)a.

4.3. Визначення невідомих коефіцієнтів

Перепишемо останню систему у вигляді

(6)

(7)

1 + I (Ame-jmu)cos

n=0

— (z - ma) a

= X Bpejap(z_ma)

p=-ж

(8)

16

РИ, 2002, № 2

ik + ^ ran(Ame 1 u)cos n=0

— (z - ma) a

= S(-Qp)Bpei“P(z-ma)

p=-ro

тут ma < z < (m + 1)a.

Будемо шукати невідомі коефіцієнти {A П} У виглдді:

(9)

АП=єnA-

usin ж\---n

ж

a(on + Qq)(1_ e 1ucos лп)

u

(18)

Введемо позначення: z' = z - ma. Тоді з наведених рівнянь випливає співвідношення для амплітуд власних хвиль у різних хвилеводах:

Am = Ane1mu, (10)

де n = 0,1,2,...; m = 0,± 1,± 2,....

де A — невідома константа, що не залежить від n . Підставив (18) у (17), маємо

A =

e~iu -1 a(®0 + ^0)

При m = 0 з (8), (9) одержимо:

1 + Z A

0

n

n=0

пл

cos — z = a

Z Bpe

ia pz

p=-a)

(11)

<x

ik + ^ ranAj|cos n=0

Пл

— z = a

I (-« p)Bpeia pz

p=-ro

(12)

Отже, розв’язуючи підсистему (15) щодо невідомих коефіцієнтів {a0} , одержуємо

A _є

Ann

usin ж\---n

ж

(e-iu -1)

a(on + Qq)(1_e iucosлп) a(®0 +^0)

,(19)

u

в інтервалі 0 < z < a .

Таким чином, задача зводиться до розгляду одного періоду m = 0 .

Розглянемо (11), (12) і одержимо систему алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів {A n } . Для цього

-ia qz

помножимо обидві частини рівнянь на e 4 і

проінтегруємо за z від 0 до a. У результаті отрмаємо:

І А

n=0

0 1 - (-1)ne ~iu

n А -О2 ffln “q

1 - e ~iu ю2 _^q

a

ia.

Bq, (13)

|1, n = 0; [2,n = 1,2,

q = 0,± 1,± 2,....

Коефіцієнт (19) обертає (15) у тотожність [8, формула 5.139, с. 350]. Підставляючи (19) у (16) і обчислюючи суму ряду, що входить у (16), знаходимо коефіцієнт Bq:

B

q _

gq(e~iu -1) 2iaQq(®0 _^q) "

5. Порівняння результатів та висновки

(20)

” Л0 1 - (-1)ne“iu

Z Anйп 2 2 Ю0

n=0 ®n _ ^q

1 - e ~iu

®0 q

ia

-Bq(-Qq), q = 0,± 1, ± 2,..., (14)

q

де qq = -ik • 3 (13) та (14), маємо

го і і nn -iu 1 -iu

1 _ (_1) e A0 _ 1 - e

^ _n A"

n=0 0n b2q

®0 +^q ’

® 1 - (-1)ne_iu

У ю---------------

n=0 7 n +^q

q = 0,± 1,± 2,... .

(15)

a0 1 - e iu i2aOqB

An .. ^ Bq ,(16)

®0 ^q aq

a

Отже, отриманий точний розв’язок задачі про розсіяне поле у фазированій решітці з напівобме-жених плоских хвилеводів при синфазному збудженні. Сформульована задача вирішена методом зшивання із застосуванням гармонік Флоке, як це наведено в [ 1], але у поєднанні з методом розкладання функцій у гильбертовому просторі з відтворюючим ядром у ряд за вибірковими значеннями.

При обчисленні деяких рядів, що зустрічаються в процесі розв’язку задачі, використовувався метод розкладання функцій у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром у ряд за вибірковими значеннями. Застосування цього методу в порівнянні з методом відрахувань дозволило уникнути нескінчен -них добутків у зображеннях для амплітудних коефіцієнтів [1]:

Оскілки з постановки задачи випливає, что {аП } не залежать від q, знайдемо його з (15) при q = 0 :

^ 1 - e iucos ЛИ 0 1 - e iu

Z-------------An =---------

n=0 ®n -^0 ®0 +^0 '

a0 = ю0 -Q0 0 ®0 + ^ 0

exp

^ln2

X

1 + Qq /Qm e-2rooa/mrc x

m=11 _ ®0 /®m

РИ, 2002, № 2

17

X

тт- (1 /Оm)(1 ю0 /Q-m) е2ю0а/шл

m=i(1 + ®0 /^m)(1 + ®0 /m)

A0 -An -

rlu -1

1 - (-1)ne -lu

x exp

(®n +®o)a f ln2 _ 1

2

1 -Ю0 /®Q

x I! (n)1 + <a0 /mme-(ran +ra0)a/mrc 1 йп/^m x m=1 1 _®n/®m 1 + ®0/^0

n

можна стверджувати, що

u sin д[ — - n

Resf(ran) = s n-----------:

V n' n a(«n 0)

e ~iu - 1 a(a>0 +Q 0)

f(-Q q)

e ~lu -1 ®0 0

У запропонованому рішенні відсутня досить трудомістка побудова функції f (w), явний вираз якої [ 1, c.67, (2.6.18)] через нескінченні добутки свідчить про неможливість її точного обчислення:

х тт- (1 юп/Qт)(1 юп/Q_m) e(ron +ro0)a/m7i m=1(1 + ®0 /^m)(1 + ®0 /m) ’

f(w)

1 - e

-iu

w + Ю0

exp

(w +m0)aln2 n

2

---------X

1 - w / Ш0

n = 1,2,3,....

Bq =

a q 1 - e ~iu iaQq ©0 Оq

x

x exp

(й0 q)a

ln2

1 + О q / ю 0

w ^ 1 + «0/ ram (Q q -ю 0)a/n^ 1 + ^ q / ^ 0 w x і і “ ; e X

m=11 + ^q /®m

1 + Ю0 / Q0

1

^ (1 + Qq/Qm)(1 + ^q/m) (®0 -Qq)a/mrc x II e

m=1 (1 + ®0 /^m)(1 + ®0 /^-m) ’

q = 0,± 1,± 2,... .

Отримані розв’язки (17), (18) є точними і застосовуються в тих випадках, коли стінки хвилеводів мають нескінченно малу товщину. З їхньою допомогою можна робити розрахунки для хвилеводів різних розмірів.

Зіставляючи здобуті зображення зі співвідношеннями з [1, с.67, (2.6.16), (2.6.17)], що виражають

невідомі коефіцієнти {a0} и {Bq} через аналітичну функцію f (w):

A 0 = Re sf (ю n) n 1 _ (-1)ne_iu , n = 0,1,2v,

a a

Bq= lia^f(_Q q) ■ q=0-±1.±2,-.

x -q 1 + юр /am e-(w +ro0)a/mrc 1 ~ w/Q0 x m=1 1 - w/ ®m 1 + ®0/ Q0

x (1 w/Qm)(1 w/O-m) e(w+ro0)a/mrc m=1(1 + ®0 /^m)(1 + ®0 /m)

Література: 1. Mummpa P, Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 328с. 2. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированным антенных решеток: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 455с. 3. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973. 288с. 4. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. К.: Наук. думка, 1984. 296с. 5. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 280с. 6. Sergey P. Skobelev. Shaping of Flat-Topped Element Patterns in an Array of Slow-Wave Strip Structures Excited by Parallel-Plate Waveguides / / IEEE Transactions on antennas and propagation. Vol. 49, N12, December 2001. P.1763-1768. 7. Курант P, Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951. 8. БухгольцГ. Расчет электрических и магнитных полей: Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 712с.

Надійшла до редколегії 21.10.2001

Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.І.

Чумаченко Віктор Савелійович, канд. фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник ХНФТЦ НАНУ. Наукові інтереси: математична фізика. Адреса: Україна, 61145, Харків, вул. Новгородська, 1, тел. 32-45-67.

Чумаченко Світлана Вікторівна, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри АПОТ ХНУРЕ. Наукові інтереси: математична фізика. Адреса: Україна, 61166, Харків, пр. Леніна, 14, тел. 40-93-26.

18

РИ, 2002, № 2