Научная статья на тему 'Розв’язок рiвняння електромагнiтного поля, розсiяного розкривом рупорного випромiнювача, методом перевалу'

Розв’язок рiвняння електромагнiтного поля, розсiяного розкривом рупорного випромiнювача, методом перевалу Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
14
8
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
асимптотичнi методи дослiджень / метод перевалу / розсiяне електромагнiтне поле / рупорний випромiнювач / asymptotic research methods / saddle point method / scattered electromagnetic field / horn emitter

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Сидорчук О. Л., Соболенко С. О., Ковальчук В. В., Марищук Л. М.

У складi антенних систем сучасних радiоелектронних засобiв зв’язку, радiолокацiї, телебачення тощо широко застосовують рупорнi випромiнювачi. Перевагою рупорiв є простота їх конструкцiї та високi технiчнi характеристики. Проте є i певнi недолiки. Для їх оцiнювання та можливого усунення пiд час проєктування нових антенних систем зазвичай проводять електродинамiчний розрахунок електромагнiтного поля, розсiяного вiд рупорного випромiнювача, з урахуванням усiх причин розсiювання для його зменшення. Використання вiдомих методiв розрахунку зумовлюють появу алгоритмiв у незамкненiй формi, що зазвичай не мають точного розвязання. У тих небагатьох випадках, коли вiдомий їх чiткий розв’язок, вони мають досить складний вигляд i навiть за допомогою сучасних програмних пакетiв обчислювальних засобiв не дозволяють з’ясувати фiзичну сутнiсть або причину закономiрностей такого процесу. У цьому разi широко застосовують наближенi асимптотичнi методи. З’ясовано, що для розв’язання крайових задач визначення електромагнiтного поля, розсiяного вiд рупорного випромiнювача, доцiльно скористатися методом перевалу. У статтi детально розглянуто цей метод на прикладi рiвняння електромагнiтного поля, розсiяного розкривом рупорного випромiнювача, як однiєї з причин дифракцiї на рупорi з метою ї ї зменшення. Дослiдження складається з двох завдань: детального розгляду методу перевалу для розв’язку iнтегрального подання рiвняння електромагнiтного поля; визначення поля, розсiяного розкривом рупорного випромiнювача. У задачi розглядається один iз випадкiв довiльного падiння плоскої хвилi, а саме коли вона поляризована нормально до площини падiння, тобто площина поляризацiї хвилi та площина падiння взаємоперпендикулярнi. Проведено моделювання промiжних результатiв для основної хвилi 𝐻01 типу та хвиль вищих типiв 𝐻02, 𝐻03, 𝐻04, що є визначальними у кiнцевих виразах. Отримано вираз для розсiяного розкривом рупора поля за нормальної поляризацiї падаючої хвилi до площини ї ї падiння пiсля взяття iнтегралiв методом перевалу. На вiдмiну вiд складних сучасних програмних продуктiв таке рiшення дозволить проаналiзувати фiзичнi процеси, якi вiдбуваються пiд час вiдбиття електромагнiтного поля розкривом рупорного випромiнювача. Як приклад розглянуто розсiяне поле у двох площинах. За такими простими виразами, можна легко побудувати дiаграми розсiяного поля в програмi Маthcad. Для цього, у подальшому, необхiдно врахувати «паразитнi» хвилi, викликанi нерегулярнiстю рупора вздовж поздовжньої осi.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Сидорчук О. Л., Соболенко С. О., Ковальчук В. В., Марищук Л. М.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотрDOI: 10.20535/RADAP.2023.91.28-36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Solving an Equation by the Saddle Point Method for the Electromagnetic Field Scattered by the Opening Horn Emitter

Horn emitters are widely used as part of antenna systems in modern radio-electronic equipment, radars, television, etc. The simplicity of their design and high-level technical characteristics are major advantages of the emitters. However, there are certain disadvantages. In order to assess and possibly eliminate them, we usually do electrodynamics calculations of the electromagnetic field scattered from the horn emitter when designing new antenna systems and take into account all the factors, which cause scattering in order to reduce it. The well-known calculation methods result in the appearance of algorithms in open form, which usually do not have any exact solutions. In the few cases where their strict solutions are known, the algorithms look rather complex and, even with the help of modern software packages of computing tools, do not allow us to understand physics or causes of such a process. In such cases, approximate asymptotic methods shall be widely applied. It has been established that it is appropriate to use the saddle point method to solve boundary value problems in determining the electromagnetic field scattered from a horn emitter. We carried out a detailed analysis of the saddle point method by solving an equation for the electromagnetic field scattered by an opening horn emitter, which was a causes of diffraction on the horn in order to reduce the diffraction. The publication involves two tasks: a detailed analysis of the saddle point method for solving the integral electromagnetic field equation and determination of the field scattered by the opening horn emitter with application of the saddle point method. The problem statement includes one of the cases of a plane wave free incidence, namely, when the wave is polarized normally to the plane of incidence (S-polarization), that is, the plane of wave polarization and the incidence plane are mutually perpendicular. We have obtained an expression for the field scattered by the opening horn emitter with normal polarization of the incident wave to the plane of its incidence after taking integrals by the saddle point method. Unlike complex modern software products, this solution will allow us to analyze physical processes that occur when the electromagnetic field is reflected by the opening horn emitter. For example, we have analysed the scattered field in two planes. These simple expressions may be used to easily make scattered field diagrams in Mathcad. Further studies will take into account beyond cutoff reflection coefficients and the horn emitter load.

Текст научной работы на тему «Розв’язок рiвняння електромагнiтного поля, розсiяного розкривом рупорного випромiнювача, методом перевалу»

УДК 621.391.17

Розв'язок piBHSHHa електромагштного поля, розспяного розкривом рупорного випромшювача, методом перевалу

СиОорчук О. Л., Соболенка С. О., Ковальчук В. В., Марищук Л. М.

Житомырський шиськовий шститут ¡Moni С. 11. Корольова, м. Житомир, Укра'ша

E-mail: eídorchuk_ o&ukr.ncl.

У склад! аптешшх систем сучаспих радюелектрошшх засоб!в зв'язку, радюлокац!!, телебачешш тощо широко застосовують pynopui випромшювач!. Перевагою рупор!в е простота i'x копструкцГ! та висок! техшчп! характеристики. Проте е i певш педол!ки. Для i'x оцшюваппя та можливого усупеппя шд час проектуваппя иових антеппих систем зазвичай ироводять електродипам!чпий розрахуиок електромагштного поля, розояпого в!д рупорного випромшювача, з урахуваппям ycix причин розсповаппя для його змепшеппя. Використаппя в!домих метод!в розрахупку зумовлюють появу алгоритм!в у пезамкпепш форм!, що зазвичай по мають точного розвязаппя. У тих пебагатьох випадках, коли в!домий i'x ч!ткий розв'язок, вопи мають досить складпий вигляд i пав!ть за допомогою сучаспих програмпих пакет!в обчислювалышх засоб!в по дозволяють з'ясувати ф!зичпу сутшсть або причину закопом!рпостей такого процесу. У цьому раз! широко застосовують паближеш асимптотичш методи. З'ясовапо, що для розв'язаппя крайових задач визпачеппя електромагштного поля, розс!япого в!д рупорного випромшювача, догцлыю скорнстатпся методом перевалу. У статт! детально розгляпуто цей метод па приклад! р!впяппя електромагштного поля, розс!япого розкривом рупорного внпром!-шовача, як одше! з причин дпфракц!! па pynopi з метою i'l змепшеппя. Досл!джеппя складаеться з двох завдапь: детального розгляду методу перевалу для розв'язку штегралыюго подаш1я р!впяппя електромагштного поля: визпачеппя поля, розс!япого розкривом рупорного вгшромшювача. У задач! розглядаеться одип !з вгшадк!в дов!лыюго падишя плоско! хвил!, а саме коли вопа поляризована нормально до площипи пад!ш1я, тобто площгша полярпзацГ! хвил! та площипа пад!шш взаемопер-пендикулярш. Проведено моделювання пром!жних результат!в для ochobhoi хвил! Н01 типу та хвиль вищих тип!в Н02, Н03, Н04, що е визначалышми у к!пцевих виразах. Отримапо вираз для розс!япого розкривом рупора поля за нормально! полярпзац!! падаючо! хвил! до площипи !! пад!ш1я шсля взяття !птеграл!в методом перевалу. На в!дм!пу в!д складпих сучаспих програмпих продуктв таке р!шеппя дозволить проапал!зувати ф!зичп! процеси, як! в!дбуваються п!д час в!дбиття електромагп!тпого поля розкривом рупорного випромшювача. Як приклад розгляпуто розс!япе поле у двох площипах. За такими простими виразами, можпа легко побудувати д!аграми розс!япого поля в програм! Mat.licad. Для цього, у подалыному, пеобх!дпо врахувати «паразитш» хвил!, викликап! перегуляршстю рупора вздовж поздовжпьо! ос!.

Клюноаг слова: асимптотичш методи досл!джепь: метод перевалу: розс!япе електромагп!тпе поле: рупорпий випромшювач

DOI: 10.20535/RADAP.2023.91.28-36

Вступ

Сучасш радюелектронш системи зв'язку. радю-локацп'. телебачення. а також kocmíhiií лиалыи апа-рати широко застосовують складш антенш системи. до складу яких входять pynopui випромпиовачь зав-ДЯКИ npOCTOTi i'x конструкцй' та високим техшчним характеристикам.

Головною перевагою рупорних випромпиовач1в с: широкий д1апазон робочих частот: значний кое-фщент Kopiiciioi' дп': висока спрямовашсть. а також можливкть випромпиовати електромагштш xBimi

велико! потужноста [1 5]. Проте рупорш аитеии мають низку недолшв. яш зумовлеш: виникнен-ням зворотного випромпиовання в дшянку простору позаду рупорного випромшювача: розйюванням електромагштного поля розкривом антенн, що ввд-бувасться внаслщок незбшу розподшу в розкрив1 шмпв хвиль. що падають зовш (у рсжт<и прийма-иия) \ всередиш (у режт<и передач!): ввдбиттям ввд приймача: иеузгоджеииям полярнзащ!' первннного поля \ поля антенн: розаянням на гострих кромках антенн \ на зовшшшх елементах 11 конструкщ! [1 5].

Для оцшювання та можливого усуноння таких нодатшв шд час проектування нових антенних систем проводиться електродинам1чний розрахунок олоктромагштного поля, розаяного вщ рупорного випромпиовача, з урахуванням уах причин розйю-вання для його зменшення. Цо потребуй складних олоктродинахпчних розрахуншв з використанням метод1в, що зумовлюють появу алгоритхйв у незам-кненш формь Тод1 доцшышмн стають чиш ште-гралыи сшввщношоння (подання): лома Лоренца, теорема взаимность умова ортогональноста власних хвиль тощо [6 8]. За 1х допомогою здШсшоеться контроль одержуваних результате, полшшуеться 1хня зб1жшсть, а в деяких випадках 1 розрахунок показнишв, яш неможливо визначити без такого подання.

1 Анал1з останшх дослщжень 1 публжацш

причин розсповання, з використанням ломи Лоренца всередиш рупора поле описано власною функщ-ею номера v: , з одпнпчною амшптудою, що зазнае вщбиття в1д розкриву з коефшдентом p+v (Рис. 1).

Рис. 1. До застосування ломи Лоренца

У [5] шд час достджень поля, розешного роз- У nepepi3i z = 0 (Рис. 1) вираз у никому ште-кривом рупорного випромшювача Егр, як одше! з тральному поданш мае такий внгляд f ]:

Н — р

СО I /

и I

C+v Е+ (\+Р-„)\-Е„Л exp(« (кхх+куу)) dxdy >xexp(-i (кхх+kyу+k zz)) dkxdky

(1)

де C+v - амшптуда власних функцш:

§({[ЁП,Н](1+Р+, )-[# ,НП ](!-+>+„ )} dS^

C+v = ■

Ni> (1 -p-uP+v )

(2)

Еп, Нп - вектори електромагштного поля, що падае па рупор; - власш функда!, що поширю-

ються ввд горловини до розкриву.

Таке р1вняння не с кшцевим. Багато величии у иьому не враховано, й досить складно отримати його тонне ршення.

Зазвичай штегралыи подання типу (1) або Б-штогратв використовують для контролю отрима-них результате. У багатьох випадках щ подання дозволяють отрнмуватн анаттичш розв'язкн та зводяться до самоузгодженпх задач, яш врахо-вують зворотний вплив поля випромпиовання на первинш джерела, спрняють внзначеншо апрюрнсм шформащ! про спектр можлпвпх ршень, а також вирпнувати приеднаш задали як споциф1чш задач1 про збудження.

Методи обчнелення Э-иггогратв типу (1) добре вщомь 1х значения обраховують наближено, для цього застосовують р1зш числов1 схеми, або асимптотичш методи, проте найчастше це метод перевалу або комбшащя декшькох метод1в [9 14].

Проблема розрахунку олоктромагштного поля (1), зидно з дослщжонням автор1в [9 15], зводиться до розрахунку штеграла Фур'е Босселя, що отри-мав назву штеграл Зоммерфольда. Вейль розвинув метод обчнелення асимптотичних значень таких ш-тогратв, якпй у подальшому отримав назву методу йдлово! точки, або методу перевалу. В1дом1 й ппш шдходи, наприклад викладеш в роботах Ван дор Поля тощо [11].

Метод перевалу розглядали Р. Миттра 1 С. Л1 у склад1 анаттичних мотод1в теор11 хвилевод1в [7]. Особливо! уваги вони надавали розвитку принци-шв р1зних матоматичних метод1в, а но розрахунку часткових завдань, наприклад, розв'язку р1внянь дпфрагованого вщ нооднорвднем поверхш олоктромагштного поля. Само цо й нообшдно достдити.

Отже, метою дослщжень е доталышй розгляд методу перевалу на приклада розв'язку р1вняння олоктромагштного поля, розешного розкрпвом рупорного випромшювача, як одше! з причин дифрак-Щ1 на рупор1 з мотою 11 зменшення.

Дослщжоння складаються з двох завдань:

1) доталышй розгляд методу перевалу щодо його застосування для розв'язку штегралыгого подання р1вняння олоктромагштного поля (1):

2) визначення анаттичного внразу олоктромагштного поля, розйяного розкрпвом рупорного ви-

промпиовача, як одше! з причин дифракщ! на руno-pi методом перевалу.

2 Застосування методу перевалу для розв'язку штегрально-го подання р1вняння електромагштного поля

1нтегралыи подання це запис р1внянь електро-динамши (у будь-якому ушфжованому виглядо) та 1х розв'язшв у Tifi чи inniifi узагалыгешй формь Вони иов'язують загалом електромагштш поля в олоктродинахпчних структурах та описуються кра-йовими задачами [13 15].

Шд час формулювання крайових задач у тео-pi'i хвиловодов найчаепше користуються методом часткових областей або методом зшивання. Для розв'язання крайових задач для ввдкритих областей найчаепше користуються виразом, що с штегралом типу

f (a) e-iazе yxda,

(3)

cp(x,z)--

1

И < |.

У (4) введено полярш координати X = г cos (в), у = г sin (в).

Отримаемо основний член розкладу функгщ ip (г, в), що внзначаеться штегралом ( ), за умови кг ^ ж.

Проведемо замшу змшних зидно з виразом

а = к sin (W) = к sin (и + iv) .

(6)

Рис. 2. Лш1 найшвидшого спуску в площиш W На всьому шляху Р

1 =

\J(к sin W)2 - к2 = -ik cos W.

(7)

Шдставляючи (5) i (4) у (3) для сферично! системи координат i площини W, отримаемо

V (г, 0)

де ] (а) - функщя а, а 7 = \](а2 — к2).

Функщя ](а) зазвичай вщома, за винятком тих небагатьох випадшв, за яких штеграл не обрахову-еться. Проте поле в далыий зош, яке. як правило. \ становить найбшышш штерес у задачах для вщкритих областей, можна подати в бшын спро-щеиому виглядь якщо застосувати для иаближеиих розрахуншв штеграла саме асимптотичний метод перевалу [7].

1нтеграл (1) с подобним виразу. розглянутому в

[71 =

— f к cos(^)f (к sin(W)) ekrg(w)dW., (8) Ък I

ДО

д (W) = i cos(W + в).

(9)

_ . f (a)exp(-r(ia sin в+7 cos 9J)da,

^L (4)

Топор вираз (8) стае зручним для застосування методу перевалу.

Суть методу полягае в деформапД контуру Р (крива па Рис. ), за яким береться штеграл

( ), у повий контур Р8 (крива на Рис. )

на комплекешй площиш Ш, який обираеться так, щоб па ньому 1т д (Ш) залишалася постшпою, а Нед (^) досягала б максимуму в деякш точщ та монотонно спадала за в1ддалення ввд До реч1, на конур1 Р3 може бути декшька точок Ws [ ].

Точка Ws мае назву адлово! точки або точки перевалу 1 внзначаеться за таким виразом:

' <^> = ж

0.

(10)

(5)

Шлях штегрування, що вщповщае д1йси1й oci па площиш а, у [ ] позначено лиерою Р (Рис. ).

Якщо кг ^ ж, тобто розглядаеться поле в далыий зош, то основний вносок в штеграл (8) за новим контуром Р8 здшенюе лише мала илощина навколо точки через експоненщальне спадания шдштегралыгого виразу, що обумовлеио миожии-ком ехр [Ие д (Ш)]. Така властившть шдштеграль-ного виразу (8) надасть можливоста зиайти явиий вигляд для наближеного значения розглянутого ш-тегралу [7].

Почнемо 1з визначення контуру Р8.

1нтеграл за новим контуром Ps можна аирокси-мувати виразом

f (г, 0) = _L f к cos(W)/(ksin(W)) ek^(w>dW., 2n J

AP кг —у tt.

(И)

Оскшьки функцш f(k sin(W)) регулярна на коп-Typi Ps та навколо нього, то зручно скорнстатнся наближеною ощнкою, яка справедлива в межах невеликого в1др1зка APS:

к cos(W)f(k sin(W)) « к cos<9/(—к sin(W)), W € APS.

(12)

P(в) = к cos в f(-k sin в) ,

(14)

ap та bp шд довшьним кутом падае плоска електро-MarniTiia хвнля. Нообхвдно знайтн розсшне анте-ною поле. Поставлону задачу будемо розв'язуватп в ташй послщовность як i в робота [5]. Випадок довшьного падшня плоско! хвшп можна розгляда-ти як суперпозицио двох окремнх випадшв: хвнля поляризована нормально до площини падшня, тоб-то плогцина поляризащ!' хвшп та площпна падшня взаемно перпендикулнрш: хвнля поляризована в площиш падшня (площпна падшня i площпна поляризащ! збЬаються).

Обмежимося лише першим випадком падшня хвиль що зображоно на Рис. 3.

У такий cnoci6 отримасмо кшцевий результат для |0| < ж/2 :

* (Г, в) = {^keÍ[kr-^'4] [к cos ef (-к sin 0)], (13)

кг ^ ж.

Як випливае Í3 ( ), за кг ^ ж поле в дальнш 30iii матнме вигляд цилшдричнсм xbikií з кутовим розподшом

ЯКИЙ В1ДР13НЯСТЬСЯ В1Д амшптуди ПЛ0СК01 ХВИЛ1, що

спектральному розклад1 ( ) лише множником к cos в

[71-

Отже, детально розглянуто метод перевалу для розв'язку чикого штегралыгого подання piBiramra електромагштного поля Егр ( ), розаяного розкрпвом рупорного випромшювача.

3 Визначення електромагштного поля, розспяного розкрпвом рупорного випромшювача, як одшеТ з причин дифракцп на pynopi методом перевалу

Постановка задачь Нехай на розкрив рупорного випромшювача (Рис. 3) з розм1рами розкриву

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 3. Падшня плоско! хвшп на розкрив рупора за нормально! полярнзащ!' хвшп до площннн 11 падшня

Ведомо, що пед час розрахунку розешного поля методом поперечник перер1з1в на розкрив1 рупора. кр1м збуджених хвиль у розкрив1 рупора й ввдбитих вед його внутршшх неоднорвдностсй, ви-иикають так зваш «паразитш» хвшп, викликаш нерегуляршетю рупора вздовж поздовжньо! ой. Щ хвшп вносить свою частку в розешно рупором поле, однак вона за малих кутав розкриву рупора позначна, у раз1 першого иаближеиии ми ними нехтусмо. Врахуванни «паразитних» хвиль, а також шший випадок падшня електромагштшя хвшп, коли поляризащ! збЬаються, буде розглянуто в подальших публшащях.

Отже, розйяне поле, описано виразом (1), ш-сли подстановки в нього власних функцш [15] й штегрування 1х за х та у набуде такого вигляду:

- V = - ¿/±еи (^ )2 а+л )jJ-.

}

■Ы , 4 2 2

Р

а

1 ff i"- .¿ед« 2(i+," >

n=1 ^aP '

—i (кхх + куукгz)) <кх<к

пж\ I к„ап\ , 2/пж\ . (к,,а.

Z I (ку) (15)

sin (а2р (ку — к sinOn)) От (ку — к sin вп)

— Е0ар —аар^-; ^ — J> exp (—i (кхх + куукгz)) <1кх<1ку ,

г //ч • 2{пж - (куа'Р\ ■ 2{пж V (куар\ 1-п(ку)=sin [-у— ícos I~2 '

кх, ку, - проекщТ хвильового вектора на де А - довжина хвшл збудженого в рупор1 поля; осях х, у, г-, Е0 (г = 0) - вектор напружепост т, п- кшькшть стоячих швхвиль, яш вкладаються

чних умов 1 доповиеиия штегрування до носкшчон

„н

ар, bp - розм1ри розкриву за осями х та у ввдпо-

них меж поза поверхнею рупора; р^тп - коефшдент ввдпо; амшлтуда хвиль магштного типу, що

вщбиття в1д BiiyTpimiiix неоднорщностсй рупора, що дор1вшое

доршшое

р -^тп

-(2 — ( 2£)2-1

\2ЬР)

г+ШП'

(17)

С+тп — —4Р0Ърf+n (вП)

sin (mu)

(l+cosOn)^!-( ^ )2 - ( 2£ )2

NEn -Zo (!-рн

(!-PH-mn PH+mn) + ™ Sin^2

(18)

З'ясоваио, що, за умови нормально! поляризацй'

m

збуджуватися не будуть.

Для розв'язку piBirainra (15), з урахуваниям (16) (18), застосуемо описаний у nepmifi задач1 метод перевалу. Для цього подамо piBirainra (15) у виглядо (2):

Е^рт — 4Ц2 / Axl (кх) ехР (— к*х) dkxX

сю

X J АХ2 (ку)exp(-i (куу + kzz) dky .

(19)

ДО

Axi (кх) —

Ър sin ( ^)

Ax2 (ку) — 2 ¿ (! + р^)^-^

отримаемо

Егрт = Axi (кх ) exp (—ikxr sin в cos ф) dkx х

сю

X í Ax2 (ку)exp(—r (куsinesin(p+kzcos dky •

— с

(22)

Топор для взяття штогратв у (22), в1дпов1дио до описаиого вищо методу перевалу, позиачимо

'„2 _ 7,2 7,2

к i — к kx i

враховуючи, що

(20)

к — kx + ку + к 2,

n! f 1,^2 и=1 ! - ( ^^

\ ПК

_ Р sin (^t (ку — к sin вп))

— Р 0а'р f (ку —к sindn) •

Запишемо (19) у сфсричшй ciictomí координат, беручи до уваги, що зв'язок декартових i сфоричних координат мае вигляд

х — г sin в cos ф , у —г sin в sin ф , z — r cos ф ,

к i — к 2 + к 2 •

отримаемо

П — ку + kz •

Проведомо зам1ну 3míiiiiiix у такий cnoci6:

ку — к\ sin W, dky — к\ cos WdW, kz — ki cos W,

де W — комплекеш числа.

3 урахуваниям прийнятих позначень i замши змшних штеграл (22) иабуде такого вигляду:

с

Ii —J {Ax2 (ki sinW) k2 cosW exp (—г k\r (sin 0 sin ф sinW + cosW cos в))} dW.

(23)

!

х

mu

kx bp

2

Проводомо замшу: Ьггограл (23) Í3 урахуванням (24) (27) дор1вшо-

оо ватиме:

h = p (W) exp (Л/ (W)) dW, (24)

h = \[ki cos WqAx2 (kl sin Wo) X

де / 2n

X W . , r exp (kirf (Wo)) exp (ipo) . (28) p (W) = k2 cosWAx2 (kl sin W ) ; \M/'' (Wo)| F к >

f (W) = -i (sin в sin p sin W + cos W cos в) ; (25)

Л = kir . Шдставляючи вираз ( ) у формулу ( ) i позна-

( W) , p ( W)

нш облает, то штеграл Ii можна розглядати за ,— _

кривою Р (Рис. ), яка прямуе в неекшченшсть, при Ax3 (kx) = VklAx2 (kl sin Wo) Axi (kx) ,

цьому контур штегрування можна деформувати,

залишаючи його кшгц нерухомими. отримасмо

У pasi Л ^ то це справедливо для розгляду поля в дальнш 3oni. До штегралу можна засто- \ I 2п

суватп аспмптотичнпй розклад асимптотики мае такий вигляд:

то

Í p (W) exp (Л/ (W)) dW

сувати асимптотичнии розклад, де головпии член ÉrpT = cosWr | f (W0)| exp po) X

ky = k sin z, dkx = k cos zdz .

xJ ^ (кх)ехр(—ггкх sin^cos* + ^f^ <кх .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— TO

__(29)

I 2ж

« * (Wo) exp (Af (W°))]j x ^ (w0)| ■ exp fo) , Для юяття 1нтегралу ( ) застосуемо, як i в

(26) попородньому випадку. метод перевалу.

Wo ( W) ,

зпачаеться Í3 умови ¿¡у^^ = 0, /'' (Wo) - друга

похвдпа функцп в точщ Wo, f o = arg ^Jjr-^.

3 урахуванням прийнятих позначень отримаемо I з урахуванням того, що

' Wo = arctg (sin ftgв) ; к1 = V^2 — кх = к cos ^

f (W) = —i (sin в sin f cos W — sin W cos в); (27)

. í" (W) = i (sin в sin f sin Wo + cos Wo cos в). iHTerpan ( ) набуде такого вигляду:

то

I2 = j Ах3 (к sin z) exp (—i кг sinocos* sinz + гк coszf(W0))к cos zdz. (30)

—то

Застосувавши до штегралу (30) асимптоматичну формулу (26). де позиачено

f (z) = Ах3 (к sin z) к cos z ; f (z) = — sin z sin в cos f + f (Wo) cos z; A = к ,

отримасмо

ДО

2тг

h = Ax3 (k sin zo)k cos zo\l kr | (z )| exp (гpm) x exp [kz (-i sin в cos p sin zo + cos zof (Wo))] , (31)

sin 9 cos y

Zq arctg sin 9 sin y sin Wo + cos Wo cos 9

f '' (zo) = i [sin 0 cos p sin zq + cos zq (sin 0 sin p sin Wo + cos Wo cos 0)] ; (32)

pm = arg J .

Результата розрахуньав. Отжс, розаяно розкривом рупора поло за нормально! поляризацй' па-

даючо1 хвил1 до площипи падшня шсля взяття што-гратв набудо такого кшцсвого вигляду:

Е^рт = cos |/'2(W0)| еХр Ах2 (к SÍn Wo COS Zo) X

/

2( cos z

Лf (zo)|

(33)

Ax1 (к sin z0) к cos z0 exp (ipm) exp [гк (—i sin в cos p sin z0 + cos z0f (Wo))] .

Для nopoBipKii отриманих результате можна розглянути розйяне розкривом рупорного випромь нювача поле у двох плогцинах p = ^г або Р = и-У площип1 p = отримаемо

sinp = — 1; cosp = 0; W0 = — в;

Z0 =0; f (W0) = —i; (34)

( (

f" (W0) = ¿; Р0 = 4; pm = 4; f" (Z0) = i;

Е

грт =

p = (

sin p = 0; cos p = —1; W0 = 0;

Z0 = — 0; f ( W0) = —i cos в í;

( (

f" (W0) = icosd; p0 = 4; pm = 4; /" (¿0)=«;

Е,

грт

к cos 9 / / и -exrn -í kr--

2(r F V V 2

Оскшьки вираз (18) входить до складу кшцевих вираз1в (35) та (37) з'ясовано, що. за умови нормально! поляризацп хвнл1 до площипи 11 падшня (Рис. 3), хвшп т типу збуджуватися не будуть, тобто лише хвил1 С

Магштш складов! поровипромшеного поля можна отримати з р1внянь Максвелла:

к cose / / ил

= -exp [ —г [ кг--I I х

2 иг FV V 2JJ

x Axl (кх = 0) AX2 (ку = —к sin в) . (35)

С= 1 mtF1-

Стп = гРт .

(38)

(36)

x Axi (кх = —к sin в) AX2 (ку = 0) . (37)

Вирази для Ax1 (кх) 1 Ax2 (ку) визначеш формулами (20) i (21).

Отримаш вирази (35). (37) Í3 урахуваниям формул (20). (21) дозволяють описати розаяно вщ роз-криву рупора поле для випадку нормально! поляризацй' падаючо! xbiijií до площипи падшня, якщо bí-дом1 коофшденти вщбиття вщ позамежних nepopÍ3ÍB i иавантажеиня рупора. Отжо, задачу розв'язано.

Для перов1рки отриманих прохйжних результа-т1в проведено моделювання для осповпо! хвнл1 Н01 типу та хвиль вищих тишв Н02, Н03 Но4-

Графши залежпостей амшптуди хвил1 Н0п, тобто Сшд п наведено на Рис. .

3 Рис. 4а видно, що падаюча хвиля майжо пов-шстю вщбиваеться вщ розкриву, якщо 11 довжина бшыпа за резонансну, паприклад А = 0,05 м, тобто воиа мае частоту нижчу критично!, для живлячого рупора хвилеводу. Осповпа хвиля Н0\ мае бшып виражеиий характер пор1вияио 1з вищими типами, ампл1туди яких досить мал1.

На Рис. 46 падаюча хвиля мае частоту вишу,

А =

0,01м) для живлячого рупора хвилеводу. У такому раз1 дояш хвшп вищих тип1в, для яких хвилев1д ие е позамежиим, разом 1з основною хвил ею будуть ироникати в нього, а коефщент вщбнття для них заложатимо в1д навантаження.

х

2

X

Основна хвиля Н.

Основна хвиля Нт

01 ад 120 ____^ 60

|с£(0)| но,

Вищ1 munu хвиль по

>,=0,01 м q

270

А,=0,03 м Q

б

Рис. 4. Графши залежностей Сшд п для р1зних значень довжини хеши, що падае

а

в

Якщо падаюча хвиля мае частоту, що входить у робочий д1апазон антенн, тобто довжина xBimi А = 0,03м (Рис. в), то основна хвиля Hoi иро-ходитиме в живлячий хвилеввд. Амшптуди хвиль вищих TiiniB досить незначш. Випц тиии хвиль. збу-джош в розкривь не проходитимуть у хвиловщ. а ввдб'ються ввд позамежних для них nepepi^iB.

Отже. проведено модолювання промЬкних результате (18). що с визначалышми у кшцових ви-разах (35) та (37). моделювання яких на цьому оташ не с доцшышм. оскшьки поки не враховано «пара-3iiTiii» хвиль що викликаш норогуляршстю рупора

Висновки

1. Детально розглянуто метод перевалу розв'язку суворого штегралыгого подання ана-«штичних мотод1в Teopi'i хвиловод1в. З'ясовано npaBOMipnicTb такого взяття штограл1в piBiramra олоктромагштного поля. розйяного вщ розкриву рупора.

2. Отримаио вира:з для розйяного розкривом рупорного випромпповача олоктромагштного поля за нормально! поляризащ!' падаючо! хвшп до площини i'l падшня шсля взяття штсграл1в методом перевалу. Це дозволить проанал1зувати ф1зичш процеси. яш вщбуваються шд час вщбиття олоктромагштного поля розкривом рупорного випромпповача.

3. Як приклад розглянуто розйяно поле у двох площинах. За такими иростими виразами легко побуду вати д1аграми в nporpaMi Flathead i3 задовшь-

ИОЮ TOHIliCTIO.

Перспективи подальшого розвитку дослщ-жень. У подалыпих дослщжоннях необхщно привести шицев1 розультати анал1зу поля. розйяного розкривом рупорного випромпповача методом перевалу. Для цього нообхщно врахувати «паразитш» хвиль викликаш норогуляршстю рупора вздовж по-здовжньо! oci. Також необхщно провести аналоичш розрахунки для другого випадку супериозищ! па-д1иия електромагн1тно1 хвиль тобто якщо площини падшня i поляризащ! зб1гаються. Буде корисиим провести анал1з похибки результат1в. отримаиих методом перевалу. nopiBirano з шшими аснмптотнчнн-мн методами.

References

[1] Dubrovka F. F., Ovsianyk Yu. Л. ('2009). Dual- And Multiband Horns of feed systems for rellector-type antennas. Visnyk N'l'UU KP1 Seriia - Radiotekhni-ka tiadioaparatobuduuannia, Vol. 38. pp. 130-147. doi: 10.20535/RADAP.2009.38.130-147.

[2] Benenson L. S.. Feld Ya. N. (1988). Rasseyanie elektromagnitnyih voln antennami (obzor) [Scattering of electromagnetic waves by antennas (review)]. Radiolehnika i eleklronika ¡Radio engineering and electronicsJ, Vol. 33. Iss. 2. pp. 225 246.

[3] Sirenko Yu. K. Suharevskiy 1. V.. Suharevskiy O. 1.. Yashi-na N. P. (2000). Fundament.alnyie i prikladnyie zadachi leorii rasseyaniya elektromagnitnyih voln [Fundamental and applied problems of the theory of scattering of electromagnetic waves}. Harkov: Krok [Kharkov: Krok], 344 p.

[4] Sydorchuk O. L.. Zalevskiy V. Y. (2022). Investigation of Electromagnetic Wave Diffraction at the Edges of the Pyramidal Horn Irradiator of the Antenna, as One of the Causes of Scattering. Visnyk N'l'UU KP1 Seriia - Radio-tekhnika Radioaparatobuduvannia, Vol. 89. pp. 11-20. doi: 10.20535/RADAP.2022.89.11-20.

[5] Sydorchuk O. L. (2011). Calculation of effective surface of dispersion of megaphone aerial at falling on it of wave of free-form with the use of lemma of Lorenca. The .Journal of Zhytomyr State Technological University / Engineering, Vol. 2(57). pp. 103 113. doi: 10.26642/tn-2011-2(57)-103-113.

[6] Zalevskiy O. S. (2007). Otsinka vidstani mizh obi-ektamy. pry yakii yikh elektromahnitnoiu vzaiemodiieiu mozhna znevazhyty. provedena metodom intehralnykh ri-vnian [Estimation of the distance between objects, at which their electromagnetic interaction can be neglected, carried out by the method of integral equations]. Systemy ozbroi-ennia i viiskova tekhnika [Weapon systems and military equipment}, Vol. 2. pp. 59 63.

[7] Mittra R.. Lee S. W. (1971). Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves. NewYork: Macmillan. 302 p.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[8] Kuznetsov V. L.. Filonov P. V. (2010). Uravnenie pogruzheniya diva obobschennoy matritsyi rasseyaniya v teorii neregulyarnyih volnovodov [The immersion equation for the generalized scattering matrix in the theory of irregular waveguides]. Nauchnyiy vestnik MG'l'U GA ¡Scientific Bulletin of MSTU GA/. Vol. 157. pp. 5 11.

[9] Konnikov 1. A. (2017). Raschet polya v ploskosloistyih sredah mikroelektroniki [Calculation of the held in plane-layered media of microelectronics]. Zhumal tehnicheskoy fiziki [.Journal of technical physics}, Vol. 87. pp. 1615 1623.

[10] Orinchik N. N. (2008). Modelirovanie elektricheskih i teplovyih protsesov v sloistyih sredah ¡Modeling of electrical and thermal processes in layered media}. Minsk. 252 p.

[11] Li L.-W.. Lee C.-K.. Yeo T.-S. and Leong M.-S. (2004). Wave mode and path characteristics in a four-layered anisotropic forest environment. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Vol. 52. No. 9. pp. 2445-2455. doi: 10.1109/TAP.2004.834021.

[12] Sautbekov S.. Bourgiotis S.. Chrysostomou A.. Frangos P. (2018). A Novel Asymptotic Solution to the Sommerfeld Radiation Problem: Analytic Field Expressions and the Emergence of the Surface Waves. Progress In Electromagnetics Research M, Vol. 64. pp. 9-22. DOI: 10.2528/P1ERM17082806.

[13] Michalski. K. A., and H.-l. Lin (2017). On the far-zone electromagnetic held of a vertical Hertzian dipole over an imperfectly conducting half-space with extensions to plasmonics. Radio Science, Vol. 52. Iss. 7. pp. 798 810. doi:10.1002/2017RS006299.

[14] Christie L.. Mondal P. (2016). Mode Matching Method for the Analysis of Cascaded Discontinuities in a Rectangular Waveguide. Proceedings of the 6th International Conference on Advances in Computing and Communications, Vol. 93. P. 251 258. doi: 10.1016/j.procs.2016.07.208.

[15] Vorob'ev S. N., Litvinenko L. N., Prosvirnin S. L. (2005). Operatornyiy metod v zadache difraktsii elektromagni-tnyih voln na polubeskonechnyih lentochnyih reshetkah [Operator method in the problem of diffraction of electromagnetic waves on semi-infinite strip gratings]. Radiofizika i radioastronomiya [Radiophysics and radio astronomy/, Vol. 10, No. 3, pp. 273-283.

Solving an Equation by the Saddle Point Method for the Electromagnetic Field Scattered by the Opening Horn Emitter

Sydorchuk 0. L., Sobolenko S. 0., Kovalchuk V. V., Maryshchuk L. M.

Horn emitters are widely used as part of antenna systems in modern radio-electronic equipment, radars, television, etc. The simplicity of their design and highlevel technical characteristics are major advantages of the emitters. However, there are certain disadvantages. In order to assess and possibly eliminate them, we usually do electrodynamics calculations of the electromagnetic field scattered from the horn emitter when designing new antenna systems and take into account all the factors, which cause scattering in order to reduce it. The well-known calculation methods result in the appearance of algorithms in open form, which usually do not have any exact solutions. In the few cases where their strict solutions are known, the algorithms look rather complex and, even with the help of modern software packages of computing tools, do not allow us to understand physics or causes of such a process. In such cases, approximate asymptotic methods shall be widely applied.

It has been established that it is appropriate to use the saddle point method to solve boundary value problems in determining the electromagnetic field scattered from a horn emitter.

We carried out a detailed analysis of the saddle point method by solving an equation for the electromagnetic field scattered by an opening horn emitter, which was a causes of diffraction on the horn in order to reduce the diffraction.

The publication involves two tasks: a detailed analysis of the saddle point method for solving the integral electromagnetic field equation and determination of the field scattered by the opening horn emitter with application of the saddle point method.

The problem statement includes one of the cases of a plane wave free incidence, namely, when the wave is polarized normally to the plane of incidence (S-polarization), that is, the plane of wave polarization and the incidence plane are mutually perpendicular.

We have obtained an expression for the field scattered by the opening horn emitter with normal polarization of the incident wave to the plane of its incidence after taking integrals by the saddle point method.

Unlike complex modern software products, this solution will allow us to analyze physical processes that occur when the electromagnetic field is reflected by the opening horn emitter. For example, we have analysed the scattered field in two planes. These simple expressions may be used to easily make scattered field diagrams in Mathcad.

Further studies will take into account beyond cutoff reflection coefficients and the horn emitter load.

Keywords: asymptotic research methods; saddle point method; scattered electromagnetic field; horn emitter

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.