CC BY
26
Ротации в твердых телах при интенсивных внешних воздействиях
Е.Е. Слядников
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Конденсат дефектов при критическом значении внешнего воздействия представляет собой автоколебательную среду, в которой распространяются фазовые волны. Возбуждение и распространение фазовой волны в такой автоколебательной системе является механизмом генерации и течения конденсата дефектов в кристалле. При дальнейшем увеличении интенсивности внешнего воздействия состояние с однородным конденсатом становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн (вихрей).
1. Введение
Одно из наиболее интересных явлений в физике — спонтанное образование упорядоченных структур в далеких от равновесия динамических системах. Такие структуры возникают в существенно различных типах систем. Во-первых, это хорошо изученные диссипативные структуры [1]: ячейки Бенара в турбулентности, автоволновые процессы в химических и биологических системах типа реакции Белоусова-Жаботинского, когерентная оптическая генерация в лазере. Во-вторых, это менее изученные когерентное состояние атомов и генерация дислокаций в кристалле при интенсивном внешнем воздействии [2, 3], которые сопровождаются течением дефектов и образованием неоднородных диссипативных структур. В работах [4, 5] было обнаружено, что в металлических материалах при прохождении ударной волны возникают сильные развороты среды (ротации), имеющие ярко выраженный локализованный характер и группирующиеся в цепочки, решетки ротаций. В настоящей работе будет показано, что при внешнем воздействии, превышающем критическое значение, состояние кристалла с бозе-конденсатом дефектов становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн (спиральных солитонов), которые аналогичны абрикосовским вихревым нитям в сверхпроводниках.
2. Стационарные решения уравнения эволюции
Уравнение эволюции для комплексного параметра порядка Т = р ехр(-гФ), квадрат амплитуды которого
равен плотности бозе-конденсата генерированных дислокаций, а градиент фазы пропорционален скорости движения конденсата, имеет вид [3]:
Т(г, 0 = А(р)Т(г, 0 - г'ю(р)Т(г, 0 +
+ (д + ю2)ч2 т(г, t), (1)
где точка обозначает дифференцирование по времени, А(р) = а1 - в1р2; ю(р) = а2 + в2р2; V — оператор набла. Коэффициенты а1 = уТ (0) + \у |2 ст*у-1, а 2 = = П(0) + | VI2 а*у -2[^(0) - Е], р1 =-| V |2 а*у-1^1-2,
Р2 =-| V |2 а*у -2^1-2[^(0) - Е], D = (дУтА?2)?=о, D2 = (д^|дq2)q=0, Т1-2 = 4 V |2у-1у"1 вычислены в работе [3]. Из (1) видно, что функция А(р) обращается в нуль при р = р0 = (а^Р1)12, отрицательна при р > р0 и положительна при р < р0. Таким образом, бозе-конден-сат точечных дефектов представляет собой автоколебательную среду, которая описывается «А-ю-моделью» [6]. Если комплексный коэффициент Б = Б1 + 1В2, играющий роль коэффициента диффузии в уравнении (1), равен нулю, то конденсат распадается на совокупность не связанных между собой автоколебательных элементов. В установившемся режиме каждый элемент конденсата совершает гармонические колебания по закону
) = р0 ехр^г^ш^ + ф)] с амплитудой р0, определенной из условия А(р0) = 0, и частотой ю0 = ю(р0). Начальная фаза ф этих колебаний остается одинаковой у всех элементов конденсата. Такому случаю соответствует состояние с однородным и неподвижным конденса-
© Слядников Е.Е., 2002
том. Малые возмущения амплитуды 8р = р - р0 для отдельного элемента среды затухают со временем согласно уравнению 8р = р0А/(р0)8р, где штрих обозначает дифференцирование по р. Таким образом, время релаксации амплитуды равно тге1 = |ро(ЭА/Эр)р=р0| 1 =
= | 1/2а11. Рассмотрим теперь общий случай, когда Б Ф 0. Подставляя параметр порядка в виде Т(г, t) = = р(г, t) ехр[-;'(ю^ + ф(г, t))] в уравнение (1), для функций р(г, t) и ф(г, t) можно получить уравнения:
Р = МР)Р + AV 2р - Др^ф)2 + D2pV 2ф +
+2Д2(Ур)(Уф),
(2)
ф = [ю(р) -Юо] + 2DlР 1(Vр)(Vф) - D2Р 1V 2Р +
+ D2(Vp)2 + DiV 2ф.
(3)
Ограничимся рассмотрением только плавных распределений, характеризуемых большим пространственным масштабом L. В этом случае амплитуда колебаний в каждой точке конденсата будет близка к р0, то есть 8р/р0 << 1. Отклонения амплитуд 8р(г, t) будут адиабатически подстраиваться к значениям Vф и V 2ф в соответствующих точках конденсата. Тогда с точностью до членов порядка 1/L2 получим 8р = р0 тге1 х X [Б^ 2ф- Б1(Уф)2]. Подставляя р = р0 + 8р в уравнение (3) для фазы и сохраняя в нем лишь члены порядка 1/ L2, получим
ф = а (Уф)2 + bV 2 ф,
(4)
где а = -(Р2/Р1)Б1 + Б2, Ь = (в2/в1)Б2 + Б1 обладают размерностью коэффициента диффузии. Из уравнения
(4) следует, что характерное время тL изменения неоднородности фазы с пространственным масштабом L имеет порядок величины тL ~ L2/Ь. Поскольку при выводе этого уравнения предполагалось, что характерное время изменения распределения фазы велико по сравнению со временем релаксации амплитуды тге1 в отдельном осцилляторе, полученное уравнение применимо лишь для описания таких плавных распределений фазы, для которых пространственный масштаб неоднородности удовлетворяет условию L >> (Ьтге1)12. Это условие ограничивает область применимости уравнения фазовой динамики (4), которое было исследовано в работе
[6]. Волны с малым пространственным периодом, для которых k > (Ьтге1)-^2, не описываются уравнением фазовой динамики (4). Обычно оказывается, что волны теряют устойчивость в области k ~ (Ьтге1)-^2. На основании этого можно предположить, что в системе существуют устойчивые неоднородные распределения параметра порядка с характерными масштабами < 1/к ~
~ (Ьтге1)12, которые, в частности, могут иметь вид вра-
щающихся с постоянной угловой скоростью спиралей (вихрей). Эти спирали представляют собой пример спонтанно возникающих диссипативных автоколебательных или уединенных стационарных автоволн [7]. Размеры ядра вихря в автоколебательной среде всегда малы и совпадают по порядку величины с диффузионной длиной 1й^ ~ (Ь/тге1)^2. Поскольку в пределах ядра амплитуда испытывает резкие изменения на длине порядка диффузионной, для описания этой области конденсата необходимо обратится к полным уравнениям в частных производных (2), (3). Таким образом, свойства спиральной волны оказываются тесно связанными с конкретным видом уравнений, характеризующих конденсат дислокационных пар. Покажем, что спиральная волна является внутренним источником фазовых волн или внутренним источником движения дефектов. Ограничимся случаем, когда Б2 = 0, т.е. мнимая добавка к эффективному коэффициенту диффузии отсутствует (Б1 = Б). Однородные автоколебания среды имеют амплитуду р0, определяемую условием А(р0) = 0, и осуществляются с частотой ю0 = ю(р 0). Диффузионная длина в данном случае равна /^ = (Ъ/тге1)12 = = (Б/| р0А'(р0) |)12. Если ввести полярную систему координат (г, 0), спиральной волне, вращающейся с частотой ю, отвечает решение вида
р = р(г), ф = 0-х(г)-(ю» -Юо)?.
(5)
Подстановка выражений (5) в уравнения (2), (3) дает:
(6)
(7)
Ргг + г-1РГ + (D-1А(Р) + г-2 - х2)Р = 0, Xrr + г-1Хг + 2(Рг1 Р)Хг = (ю» -ю(р))/D.
Из требования, чтобы р(г) и х r (г) оставались конечными при r = 0, следует р(г) = r при r ^ 0, хr (0) = 0. Поскольку амплитуда колебаний не может неограниченно возрастать с удалением от центра, необходимо, чтобы р(г) асимптотически стремилась к какому-то отличному от нуля постоянному значению при r ^ Пусть р ^ р» при r ^ м. Тогда из (5)-(7) следует, что ю» = ю(р»), xr (г) ^ ±k* при r ^ <», где k» = [А(р»)]^2. Таким образом, на больших расстояниях от центра спиральная волна (спираль) имеет постоянный шаг HArch = 2л/|%г| = 2л/k», т.е. она является архимедовой
[7]. Шаг спирали равен пространственному периоду плоской фазовой волны с частотой ю». Два знака хг (тс) отвечают двум направлениям закручивания спирали. Поскольку уравнения (6), (7) не допускают полного аналитического решения, для нахождения частоты вращения спиральной волны ю», а также функций р(г), х(г) приходится прибегать к приближенным методам. Построим решение в частном случае, когда ю(р) = ю0 = = const, т.е. отсутствует нелинейный сдвиг частоты. В этом случае взаимодействие между элементами среды
не влияет на частоту совершаемых ими колебаний. Очевидно, что частота спиральной волны также должна совпадать с ю0. Из (7) тогда следует, что при хг (0) = 0 должно выполнятся равенство хг (г) = 0 и согласно (5) спираль вырождается в прямолинейный луч, вращающийся с угловой скоростью ю0. Это значит, что конденсат неподвижен. В рассматриваемом случае амплитуда колебаний р(г) подчиняется уравнению
Prr + r 1Pr - p/Г2 + pMp)/D - 0,
(8)
которое должно быть дополнено граничными условиями р(0) = 0 и р(г) ^ const при r ^ м. Заметим, что тогда Р(м) = Р0, т.е. совпадает с амплитудой однородных колебаний конденсата. Для конкретного вида функции А(р) = а1 -Р1р2, уравнение (8) может быть численно проинтегрировано, в результате чего получается зависимость р = P(r), согласно которой с приближением к центру спиральной волны плотность конденсата монотонно уменьшается и обращается в нуль в центральной точке. Таким образом, в однородном конденсате дислокационных пар возникает вихрь (ротация) с низкой плотностью дислокационных пар внутри вихря. Рассмотрим теперь среду с нелинейным сдвигом частоты, в которой, однако, зависимость частоты от амплитуды колебаний является очень слабой: ю(р) = та + е8ю(р), 0 < е << 1. Введем малый параметр q, определив его как q = ю'(р0)/| А/(Р0)| = е8ю'(р0)/| А/(р0)|, q << 1. Решение для спиральной волны в такой среде может быть получено с помощью метода сшиваемых асимптотических разложений [7]. Суть его в том, чтобы независимо построить приближенные решения уравнений (5)-(7) во внутренней (г << ldif exp(1/| q |) и внешней (г >> ldif) областях. Поскольку | q | << 1, эти две области перекрываются. Сшивка двух приближенных решений в интервале их перекрытия позволяет найти частоту вращения спиральной волны ю» и волновое число k», которые равны ю» = ю0 - qDk»2, k* = 0.509(| q |/dif )-1 X Xexp[- nj(2| q |)]. Во внутренней области справедливо разложение по степеням q: р(г) = Р0(г) + q Р1(г) +...,
II I |3
хг(г) = q v0(r) + q v1(r) +.... В частности, имеем V)(r) = -№0)/8ю'(Р0))[гР2(г )]-1 X
r
X } >P2 (У) [8ю(Р0) - 8ю( P0(y))] dy,
0
причем при ldif << г << ldif exp(1/| q |) справедливо соотношение v0(r) = (ldi^/г )[ln(Vldif) + Q].
Внешнюю область можно разделить на ближнюю (ldif << г << 1/k») и дальнюю (г >> 1/k») области. В ближней области имеем
в дальней области
Хг (Г) = -к»К0(| q|кrV^о( q |кг), (10)
где К0(х) — модифицированная функция Бесселя с асимптотикой К0(х) ^ 0 при х ^ <». В частности, при qkr << 1 функцию Хг (г) можно представить как
X r (r) = к*
1 + 1(^кг ^ 1 -) 2о
-2
+ ...
(11)
Во всей внешней области амплитуда колебаний р(г) связана с Хг (г) соотношением
P(r) -P0 - (r 2 +X2)ld2if.
(12)
x r(r) = (Wr M| q |[ln(^ldif)+
(9)
При г ^ ^ амплитуда колебаний стремится к пределу р» = р0 - (1дак») . Из выражений (5)-(12) видно, что возникающая в конденсате спиральная волна является источником ротации среды, а также внутренним источником фазовых волн (источником движения конденсата дислокационных пар).
3. Заключение
При критическом значении внешнего воздействия в кристалле одновременно происходит образование локальных смещений атомов и генерация конденсата дислокационных пар [3]. В рамках модели [3] это означает, что кристалл при критическом значении внешнего воздействия переходит в когерентное состояние. Благодаря когерентности движение конденсата дислокационных пар может быть описано с помощью волновой функции единственного дефекта Т = |Т|ехр(г'Ф), где квадрат модуля волновой функции равен плотности конденсата, градиент фазы пропорционален скорости течения, а сам конденсат представляет собой автоколебательную среду, в которой распространяются фазовые волны. Возбуждение и распространение фазовой волны в такой автоколебательной системе является механизмом генерации и течения конденсата точечных дефектов в кристалле. При дальнейшем увеличении интенсивности внешнего воздействия состояние с однородным конденсатом становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн (вихрей). На больших расстояниях от центра вихря линии постоянной фазы имеют форму архимедовой спирали. Частота вращения спиральной волны однозначно определяется характеристиками самой автоколебательной среды и не зависит от начальных условий, приведших к образованию такого автоволнового источника. С приближением к центру спиральной волны плотность конденсата монотонно уменьшается и обращается в нуль в центральной точке. Поэтому в автоколебательных средах также можно ввести понятие ядра спиральной волны как той области, где амплитуда колебаний существенно отличается от амплитуды однородных автоколебаний в данной среде. Однако в отличие, например, от возбудимых сред
размеры ядра в автоколебательной системе всегда малы и совпадают по порядку величины с диффузионной длиной. Каждая вихревая нить характеризуется определенным значением циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему эту нить. В силу сохранения топологического инварианта поворота, вихри могут рождаться в среде только парами противоположного знака. Существенно, что, зародившись, они образуют стабильные структуры (например устойчивую гексагональную решетку), сохраняющиеся после снятия внешнего воздействия [4, 5].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 00-15-96174).
Литература
1. Хакен Г Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 401 с.
2. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
3. Слядников Е.Е. Спонтанное возникновение дислокаций в кристалле под воздействием высоких напряжений // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 5. - С. 57-68.
4. Мещеряков Ю.И., Атрошенко С.А. Динамические ротации в крис-
таллах // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 4. - С. 105-123.
5. Атрошенко С.А., Баличева Т.В., Диваков А.А., Мещеряков Ю.И. //
Письма в ЖТФ. - 1989. - Т. 15. - Вып. 22. - С. 8-11.
6. Слядников Е.Е. Концентраторы напряжений — источники микро-пластической деформации в нагруженном кристалле // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 53-57.
7. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. - Berlin: Springer, 1984. - 424 p.
