CC BY
36
Переориентация кристаллической решетки в нагруженном кристалле
Е.Е. Слядников
Отдел проблем информатизации ТНЦ СО РАН, Томск, 634021, Россия Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе показано, что при внешнем воздействии, превышающем критическое значение, состояние кристалла с бозе-конден-сатом автосолитонов становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн (вихрей), которые, возможно, и являются коллективной модой деформации, приводящей к переориентации кристаллической решетки и не сопровождающейся реальным поворотом в зоне превращения.
Crystal lattice reorientation in a loaded crystal
E.E. Slyadnikov
In the paper it is shown that under external influence exceeding a critical value, the condition of a crystal with autosoliton Bose-condensate becomes unstable relative to the occurrence of localized spiral autowaves (vortexes) which, perhaps, are the collective mode of deformation resulting in the reorientation of a crystal lattice and not accompanying with real rotation in the transformation zone.
1. Введение
Одно из наиболее интересных явлений в физике — спонтанное образование упорядоченных структур в далеких от равновесия динамических системах. Такие структуры возникают в существенно различных типах систем. Во-первых, это хорошо изученные диссипативные структуры [1, 2]: ячейки Бенара в турбулентности, автоволновые процессы в химических и биологических системах типа реакции Белоусова-Жаботинского, когерентная оптическая генерация в лазере. Во-вторых, это менее изученные когерентное состояние атомов кристаллической решетки и генерация элементарных структурных дефектов (автосолитонов) в кристалле при мар-тенситном превращении [3], которые сопровождаются возникновением конденсата автосолитонов и образованием модулированных кристаллических структур [4].
Недавно в структурно-нестабильных высокоазотистых сталях обнаружена коллективная мода деформации [5], приводящая к переориентации кристаллической решетки через фазовое у ^ а ^ у-превращение путем объемной деформации типа Бейна. Поскольку при таком механизме переориентации кристаллической решетки формирование высокоугловых границ является резуль-
татом деформации типа Бейна этот механизм, в отличие от дислокационно-дисклинационных механизмов переориентации [6], не сопровождается реальным поворотом кристаллической решетки в зоне превращения. Будучи чисто объемной у ^ а ^ у-деформация типа Бейна не требует формирования моментов напряжений.
В этой работе показано, что при внешнем воздействии, превышающем критическое значение, состояние кристалла с бозе-конденсатом автосолитонов становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн, которые аналогичны абрикосовским вихревым нитям в сверхпроводниках.
2. Модель и уравнение эволюции автосолитонов
Уравнение эволюции для комплексного параметра порядка Т = р ехр(-г'Ф), квадрат амплитуды которого равен плотности бозе-конденсата автосолитонов, а градиент фазы пропорционален волновому вектору модулированной кристаллической структуры, имеет вид [3]:
Т(г, 0 = ЦрЩг, 0 - г'ю(рЩг, 0 +
+ (Д + Ю2)У2Т(г, t), (1)
© Слядников Е.Е., 2004
где точка обозначает дифференцирование по времени; А(р) = а1 -Р1р2; ю(р) = а 2 + Р2р2; V — оператор Набла. Коэффициенты а1 = ут (0) + | VI а у-1, а2 = = П(0) + |к|2 а*у -2[^(0) - Б], в = -| VI2 а*у-1Т1-2,
Р2 = -V |2 а*у-2Т1"2[^(0) - Б], D = (дУт/дА=0,
D1 = (ЭЦ/Э#2)?=0, Т12 = 4 V |2у(11ус1 вычислены в работе [3]. Из (1) видно, что функция А(р) обращается в нуль при р = р0 = (а^Р1)^2, отрицательна при р > р0 и положительна при р < р0 . Таким образом, бозе-кон-денсат солитонов представляет собой автоколебательную среду, которая описывается А-ю-моделью [7].
Подставляя параметр порядка в виде Т(г, t) = = р(г, t) ехр[-г'(ю0г + ф(г, t))] в уравнение (1), для функций р(г, t) и ф(г, t) получим уравнения
р = А(р)р + D1V 2р - D1р(Vф)2 +
+ D2рV 2ф + 2D2(Vр)(Vф), (2)
ф = [ю(р) - Ю0] + 2DlP-1 (Vр)(Vф) -
- D2P-1V 2р + D2(Vф)2 + DlV 2ф. (3)
Для плавных распределений фазы, характеризуемых большой длиной L, отклонения амплитуд 8р(г, I) будут адиабатически подстраиваться к значениям Vф и V 2ф в соответствующих точках конденсата. Тогда с точностью до членов порядка 1L2 получим 8р = р0тге1 х X[D2V2ф-D1(Vф)2]. Подставляя р = р0 +8р в уравнение (3) для фазы и, сохраняя в нем лишь члены порядка 1/ Ь2 , получим
ф = а (Уф)2 + bV 2ф, (4)
где коэффициенты а = -(Р2/Р1) Д + Д2, Ъ = = (в 21 в1) Д2 + Д обладают размерностью коэффициента диффузии. Из уравнения (4) следует, что время релаксации фазы тЬ имеет порядок величины тЬ ~ Ь/Ъ. Очевидно, полученное уравнение применимо лишь для описания таких плавных распределений фазы, для которых характерная длина неоднородности удовлетворяет условию Ь >> (Ътге1 )^2, что ограничивает область применимости уравнения фазовой динамики (4).
Волны с малым пространственным периодом, для которых k > (Ътге1)-1/2, обычно теряют устойчивость в области к ~ (Ътге1) ~12 и не описываются уравнением фазовой динамики (4). Поэтому можно надеяться, что в структурно-неустойчивом кристалле могут существовать устойчивые неоднородные распределения автосо-литонов с характерными масштабами 1й^ < 1 / к ~ ~ (Ътге1 )12, которые, в частности, могут иметь вид вращающихся с постоянной угловой скоростью спиралей (вихрей). Эти вихри являются аналогами уединенных стационарных автоволн, спонтанно возникающих в ав-
токолебательных средах [1, 2]. Поскольку размер ядра вихря и диффузионная длина Zdif = ф/ тге1)^2 всегда малы и совпадают по порядку величины, то для описания такой неоднородности в конденсате необходимо обратиться к полным уравнениям в частных производных
(2), (3).
3. Стационарные решения уравнения эволюции
Покажем, что спиральная волна является внутренним источником переориентации кристаллической решетки структурно-неустойчивого кристалла. Ограничимся случаем, когда D2 = 0, т.е. мнимая добавка к эффективному коэффициенту диффузии отсутствует (D1 = D). Однородные автоколебания конденсата авто-солитонов имеют амплитуду р0, определяемую условием A(p0) = 0, и осуществляются с частотой ю0 =ю(р0). Диффузионная длина в данном случае равна Ldif = = ф/Tre1 )^2 = (D/| p0A'(p0) |)^2. В полярной системе координат (r, 0) спиральная волна, вращающаяся с частотой ю, имеет вид
p = p(r), ф = 0-х(г) - (ю*-<х>0) t. (5)
Подставляя (5) в уравнения (2), (3), получим
Prr + r_1pr + (D_1A(p) + r-2 - X2)P = 0, (6)
Xrr + r"1Xr + 2(prlp)Xr = (ю* - K>(p))/D. (7)
Потребовав, чтобы p(r) и xr (r) оставались конечными при r = 0, получим p(r) = r при r ^ 0, xr (0) = 0. Аналогично, при r амплитуда p(r) должна асимптотически стремиться к какому-то отличному от нуля постоянному значению p ^ p*. Тогда из (5)-(7) следует, что ю» =rn(p*), xr (r) ^ ±k* при r ^^, где k* = = [A(p*)]12. Таким образом, на больших расстояниях от центра спиральная волна имеет постоянный шаг Hapx = 2я/| xr | = 2п/k*, т.е. она является архимедовой спиралью [1, 2]. Шаг спирали равен пространственному периоду плоской фазовой волны с частотой ю*. Два знака xr (те) соответствуют двум направлениям закручивания спирали.
Поскольку дифференциальные уравнения (5)-(7) не допускают полного аналитического решения, для нахождения частоты вращения спиральной волны ю*, функций p(r), x(r) используем приближенные методы. В частном случае, когда rn(p) = ю0 = const, т.е. отсутствует нелинейный сдвиг частоты, частота спиральной волны также должна совпадать с ю0. Тогда из (7) следует, что при xr (0) = 0 должно выполнятся равенство xr (r) = 0 и согласно (5) спираль вырождается в прямолинейный луч, вращающийся с угловой скоростью ю0. Это значит, что автосолитоны в конденсате перераспре-
деляются таким образом, что происходит переориентация кристаллической решетки.
В рассматриваемом случае амплитуда p(r) подчиняется уравнению
prr + r~lpr -pir2 + pA(p)/D = 0, (8)
которое должно быть дополнено граничными условиями p(0) = 0 и p(r) ^ const при r ^ Из (8) видно, что плотность конденсата p2 (r) на периферии совпадает с плотностью однородного конденсата p0, а с приближением к центру спиральной волны она монотонно уменьшается и обращается в нуль в центральной точке. Таким образом, в конденсате автосолитонов возникает вихрь (ротация) с низкой плотностью автосолитонов внутри вихря.
Исследуем случай, когда зависимость частоты от амплитуды p(r) является очень слабой: rn(p) =та + +e8rn(p), 0 < е << 1 (нелинейный сдвиг частоты). Будем искать решение для спиральной волны в конденсате с помощью метода сшиваемых асимптотических разложений [1, 2]. Вводя малый параметр q, равный q = = ff>r(p0)/| A/(p0)| = eSff>'(p0)/| A'(p0)|, q << 1, построим приближенные решения уравнений (6)-(7) во внутренней r << ldif exp(1/| q |) и внешней (r >> ldif) областях. Поскольку q << 1, эти две области перекрываются. Сшив два приближенных решения в интервале их перекрытия, найдем частоту вращения спиральной волны ю* и волновое число k*, которые равны ю* = = ю0 - qDkl, k* = 0.509(| q|Ldif)-1 exp[-n/2| q |]-
Выполнив разложение по степеням q во внутренней области, получим:
p(r) = #>(r)+q2 #(r)+K,
xr(r) = | q \v0(r) + | q fv1(r) + • ••,
где
V)(r) = -№0)/Зю^м^^ )]-1 X
r
X j У#0(У)[8ю(Р0) - Зю( #0(y))]dy.
0
Причем, при условии ldif << r << ldif exp(1/| q |) выполняется соотношение v0(r) = (ldif / r)[1n(r/ ldif ) + Cj].
Разделим внешнюю область на ближнюю ldif << << r << 1/k*) и дальнюю (r >> 1/k*). Тогда из (5)-(7) получим для ближней области
xr(r) = (ldif Ir M| q I [1n(r/ldif) + С1]Ь (9)
для дальней области
xr (r) = - k*K0(\ q\kr)/K0( q\kr), (10)
где К0(х) — модифицированная функция Бесселя с асимптотикой К0 (х) ^ 0 при х ^ «>. Для qkr << 1 функцию Хг (г) можно представить в виде разложения:
Хг (Г) = *.[1 + (1/2)^| |)-1 - (1/8)^*г)-2 + к]. (11)
Поскольку амплитуда р(г) связана с Хг (г) во внешней области соотношением
Р(г) = Ро - (г_2 + Х2)&, (12)
при г ^ ^ амплитуда колебаний стремится к пределу р. = р0 - (¡ш*»)2 Из выражений (11), (12) видно, что возникающая в конденсате автосолитонов спиральная волна является источником переориентации кристаллической решетки, а также внутренним источником фазовых волн.
4. Обсуждение результатов
При критическом значении внешнего воздействия в структурно-неустойчивом кристалле возникает конденсат элементарных дефектов (автосолитонов), который представляет собой автоколебательную среду, где распространяются фазовые волны. Возбуждение и распространение фазовой волны в конденсате является механизмом, с одной стороны, неоднородного распределения элементарных дефектов, а с другой стороны, формирования модулированной кристаллической структуры [3, 4]. При дальнейшем увеличении внешнего воздействия конденсат элементарных дефектов становится неустойчивым относительно возникновения локализованных спиральных автоволн (вихрей). На больших расстояниях от центра вихря линии постоянной фазы имеют форму архимедовой спирали. Частота вращения спиральной волны однозначно определяется характеристиками конденсата и не зависит от начальных условий, приведших к образованию такого автоволнового источника. С приближением к центру спиральной волны плотность конденсата дефектов монотонно уменьшается и обращается в нуль в центральной точке. Поэтому в структурно-неустойчивом кристалле можно ввести понятие ядра спиральной волны как области, где плотность конденсата дефектов существенно отличается от плотности однородного конденсата. Размеры ядра вихря в конденсате всегда малы и совпадают по порядку величины с диффузионной длиной ¡^. Каждая вихревая нить характеризуется определенным значением циркуляции градиента фазы по замкнутому контуру, охватывающему эту нить. Поскольку фаза волновой функции элементарного дефекта одновременно является фазой фурье-компоненты статических смещений атомов [3], то возникновение вихрей в конденсате элементарных дефектов, возможно, и является той коллективной модой деформации [5], приводящей к переориентации
кристаллической решетки и не сопровождающейся реальным поворотом в зоне превращения.
Литература
1. Яхно В.Г. Автоволновые процессы в системах с диффузией. -Горький: Институт физики полупроводников АН СССР, 1981. -318 с.
2. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с.
3. Слядников Е.Е. Генерация элементарных дефектов в структурнонеустойчивом кристалле // Изв. вузов. Физика. - 2004. - № 5.
4. Слядников Е.Е. Антифазные границы и длиннопериодические структуры в кристалле при мартенситном превращении // Изв. вузов. Физика. - 2004. - № 5.
5. Тюменцев А.Н., Литовченко И.Ю., Пинжин Ю.П., Коротаев А.Д., Сурикова Н.С. Новый механизм локализации деформации в аусте-нитных сталях. I. Модель неравновесных фазовых (мартенситных) превращений в полях высоких локальных напряжений // ФММ. -2003. - Т. 95. - № 2. - С. 86-95.
6. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. - Л.: Наука, 1986. - 224 с.
7. Kuramoto Y Model of autooscillation // Prog. Theor. Phys. - 1980. -V. 63. - P. 1885-1895.
