CC BY
13II. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506
Введение
Задача проектирования многомерных систем с запаздыванием является одной из ключевых проблем теории управления, которая до сих пор не решена. Наличие перекрестных связей в модели объекта создает дополнительные трудности, которые усложняют обеспечение устойчивости и заданных качественных показателей системы. Эти проблемы усложняются при наличии неопределенности задания коэффициентов (параметров) модели и величин запаздывания, так как грубость системы (уменьшение чувствительности выхода к неопределенности) связана с запасом устойчивости.
Теоретически для решения многомерной задачи можно использовать известные методы оптимального робастного управления, которые применимы при наличии векторного входа и векторного выхода объекта управления, например [1-5] и другие аналогичные подходы. Но использование этих методов затрудняется наличием запаздываний и неопределенностью выбора параметров минимизируемого функционала качества при решении многомерной оптимальной задачи.
Специфика наличия запаздывания при робастном управлении была учтена в работах [6, 7], но использование этих результатов даже при известных значениях параметров критерия качества управления приводит в многомерном случае к регулятору достаточно высокого порядка. Это является непреодолимым препятствием при непосредственном использовании оптимальной робастной теории для синтеза систем управления многосвязным технологическим объектом управления.
Постановка задачи исследования
Рассмотрим математическую модель объекта управления вида
Лр)=% (рМр), (1)
где %о(р) матрица т х т передаточных функций,у(р), и(р) - т мерные векторы.
Д.А. Косарев1, О.А. Ремизова2, В.В. Сыроквашин3, А.Л. Фокин4
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Са нкт- П етербургский государственный технологический институт (технический университет) 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., д. 26
Рассмотрена методика синтеза робастной системы для управления многосвязным объектом с запаздыванием основанная на методе динамической компенсации, методах робастного управления одномерной системой и подходах Н “ — теории управления
Ключевые слова: неопределенность, запаздывание, динамическая компенсация, линейная теория управления, грубость системы, точность, параметры, перекрестные связи.
В развернутом виде модель (1) будет иметь вид
(2)
где Шу(р) = %'у(р)ехр(-т.р) передаточные функции, связывающие управление и/(р) с выходным сигналом у/(р), Тц - величина запаздывания в канале (г,/).
Непосредственное применение робастной теории к модели объекта (2) приводит к регуляторам большого порядка. Так, например, для синтеза астатической робастной системы методами работы [7] при условии, что т = 2, а Ш'у(р) - передаточная функция первого порядка, понадобятся четыре регулятора 18 порядка. Эту цифру можно уменьшить, если использовать методы работы [3]. Тогда порядок каждого регулятора будет равен 10. Понятно, что непосредственное применение известных методов неактуально.
Из теории многосвязных систем [8] известно, что динамическое качество многомерной системы тем выше, чем точнее она отрабатывает входной сигнал %$) г = 1,..,т для каждой выходной величины у (г) и чем меньше при этом влияние управления и(г) на другие выходные переменные.
С этой точки зрения идеальной является автономная система, в которой за счет компенсации перекрестных связей исключается взаимное влияние отдельных каналов друг на друга. Для создания такой системы используют компенсатор на входе объекта так, чтобы было выполнено условие
(р) %к (р) = (р ) = , (3)
= (Пая { (р), Ш21 (р),..., Штт (р)}
где Шк(р) - передаточная матрица компенсатора.
Уі (Р) >11 (Р) >12() • • >1т (р)~ и1 (Р)
У 2 (р) = >21 (р) >22 (Р) • ■ >2т (Р) «2 (Р)
_Ут (Р)_ >т1 (Р) >т2 (Р) • ■ >тт (Р)_ «т (Р)_
1 Косарев Дмитрий Алексеевич, аспирант каф. автоматизации процессов химической промышленности, dmitro-kosarev@yandex.ru
2 Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности, remizova@yandex.ru
3 Сыроквашин Владислав Викторович, канд. техн. наук, доцент каф. автоматизации процессов химической промышленности
4 Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации процессов химической промышленности, fokin_sa@mail.ru
Дата поступления - 20 апреля 2012 года
Из (3) получаем передаточную функцию компенсатора
жк (р) = >0-1 (р^^^ (). (4)
Но, к сожалению, такой подход не всегда возможен. Его применение ограничено точным знанием передаточных функций, наличием неустойчивых и не минимально фазовых звеньев, физической реализуемостью (4), наличием запаздываний в (2).
Поэтому влияние перекрестных связей не всегда можно компенсировать, но его можно ослабить. Например, вместо (4) можно использовать формулу
Wк (0) = Wo-1(o)diagWo (). (5)
В этом случае компенсация гарантирована в статическом режиме. Интересный эмпирический подход был предложен в работе [9], когда матрица передаточных функций регулятора по отклонению ищется в виде
WF (р) = pWF 1 (р) + (1 -р^р2 (р), (6)
где WP(p) - матрица передаточных функций регулятора, Wrl (р) - диагональная матрица первого вспомогательного регулятора, которая предназначена для стабилизации объекта с передаточной матрицей diagW0 (р), Wf2 (р) -
передаточная матрица для стабилизации объекта, имеющего ту же матрицу коэффициентов передачи, что и исходный объект, и единую динамику по всем каналам управления, то есть, Wo(0)W'(p)exp(-тp), р - настраиваемый весовой коэффициент 0<р<1, а передаточная функция W'(p)exp(-тp) выбирается разработчиком.
Такой подход может быть использован для уменьшения размерности робастного регулятора. Но в данной работе для этой цели мы воспользуемся традиционным для автоматизации технологических процессов точным методом компенсации [10] перекрестных связей объекта с запаздыванием, который не предполагает обращения матрицы Wo(p). Две структурные схемы для т = 2, поясняющие данный подход, приведены на рисунках 1,
2. На рисунке 1 компенсаторы WKj(p) у = 1,..т действуют с выхода регулятора иу(р), на выход объекта уур), у ф i и предназначены для компенсации перекрестных связей Wij(p). Достоинством такой схемы является то, что здесь всегда выполняется принцип физической реализуемости для компенсаторов. Существенный недостаток состоит в том, что такую схему очень трудно реализовать технически.
Рисунок 1. Структурная схема многомерной системы с запаздыванием
Рисунок 2. Структурная схема многомерной системы с запаздыванием
Структурная схема на рисунке 2 предполагает включение компенсатора WKj(p) с выхода регулятора иу (р), на вход объекта и(р), у ф i. Технически такую схему можно реализовать всегда, а математические проблемы, связанные с правильностью передаточных функций компенсаторов могут возникнуть. Эта схема будет рассматриваться в дальнейшем.
Управления в схеме на рисунке 2 имеют вид
и1 (р) = ^(P)£І(р)-^у(р)иу(р) ' 1 = 1’"’т , (7)
У=1
j*i
где первое слагаемое и(р) = WPi(p)ei(p) -управление по отклонению в ^ м контуре, а второе слагаемое предназначено для компенсации перекрестных связей.
Таким образом, сигнал управления (7) на входе объекта формируется не только по отклонениям, но зависит от смежных управлений, которые вычисляются по измерениям смежных отклонений. Целью дальнейшего исследования является синтез передаточных функций WPi(p) и WKi(p), i = 1,..,т, которые обеспечивают робастность системы. При этом для широкого применения процедура синтеза должна быть максимально упрощенной.
Синтез робастных регуляторов по отклонению
Рассмотрим задачу синтеза передаточных функций регуляторов WPi(p), находящихся в первом слагаемом правой части (7). Такая задача при наличии компенсатора может решаться автономно для каждого контура также как она решается для одномерной системы. Робастность автономной системы в такой ситуации обеспечивает робастность исследуемой системы и в тем большей степени, чем точнее компенсация.
В качестве передаточной функции одномерного объекта рассматривается передаточная функция Wii(p), находящаяся на главной диагонали матрицы Wo(p). При этом могут быть использованы любые методы робастного управления в рамках линейной теории.
Основными требованиями здесь должны быть простота метода и его эффективность. Этим условиям удовлетворяют процедуры синтеза, разработанные в работах [6, 7]. В основе подхода лежит идея декомпозиции передаточной функции на звено чистого запаздывания и инерционную часть. Задача синтеза распадается на две подзадачи: сначала синтезируется регулятор для звена чистого запаздывания с целью обеспечения грубости по отношению к вариациям величины запаздывания, а затем с учетом полученного решения окончательно получается решение для всей задачи, грубое по отношению к изменениям параметров и запаздывания.
Задача синтеза на каждом из этапов может быть решена двумя путями. Первый (более сложный путь) предполагает последовательное применение И2 -
оптимального управления [7]. В этом случае решение на первом этапе достигается в классе ПИ законов управле-
ния. На втором этапе рассматривается расширенная модель объекта, которая получается благодаря искусственному разделению движений на две составляющие. После этого решается задача И2 - оптимального управления, которая вместе с решением исходной задачи также обеспечивает взаимную компенсацию движений расширенной модели, что и гарантирует робастность полученной системы.
Такой подход применим к любым передаточным функциям Wii(p), в том числе и неустойчивым и не минимально фазовым. Описанная процедура всегда позволяет построить систему управления. Но наиболее простое решение достигается, когда передаточная функция Wii(p) является устойчивой и минимально фазовой. Также она
может находиться на апериодической границе устойчиво-
сти. Эти условия выполняются для большинства технологических процессов. В таком случае можно использовать второй путь решения задачи, а именно оптимизацию по критерию апериодической устойчивости [6].
Здесь решение первого этапа для звена чистого запаздывания
Wт (р) = ехр(- тр), (8)
где т - запаздывание,
достигается в классе И законов регулирования и имеет вид
Wpl(p) = ^, (9)
р
где юс = 0.343/то - частота среза интегратора а>с/р,то -номинальное значение запаздывания, которое отличается от реального значения т в (8).
Характеристическое уравнение замкнутой системы (8), (9) имеет вид
л(р) = т0 р + 0.343ехр(-р = 0. (10)
В соответствии с критерием Л. С. Понтрягина [11], [12] умножим обе части этого уравнения на ехр(+тр) и получим F(p,eP) = трехр(тр) + 0.343 = 0.
Так как этот квазиполином имеет старший член, то необходимое условие устойчивости выполняется. При р = уш получим
Р(Уш ехР0'ш)) = р(ш) + уО(ш), где Р(ш) = 0.343 - шт08\пшт, Q(ш) = шт0СОБшт.
На основании теоремы Понтрягина об устойчивости рассмотрим неравенство
Р(ш)2' (ш)-Р'(шШЗ(ш)> 0, (11)
где производные Р'(ш) = - т0(£\пшт + штсовшт), Q'(ш) = т0(СОБшт - штзтшт).
Так как нули Р(ш), Q(ш) являются действительными, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно выполнение одного из трех условий: неравенство (11) выполняется хотя бы для одного значения частоты ш; для каждого нуля Р(ш) выполняется (11); для каждого нуля Q(ш) выполняется (11).
Поскольку Р(0) = 0.343, Р'(0) = Q(0) = 0, Q'(0) = т0, то для ш = 0 выполняется первое условие. Оно имеет вид 0.343т0 > 0. Рассмотрим также третье условие. Определим нули Q(ш) из уравнения тшсоьшт = 0. Тогда получим
ш0 = 0, тшк+1 = П2 + кж, к = 0,1,2," (12)
Для ш0 = 0 выполнение неравенства (11) уже было проверено. Теперь проверим его для остальных нулей шк+1. В соответствии с третьим условием на основании (11) получим неравенства
(0.343 - (ж/2 + кж)т0/т\- 1)т0(ж/2 + кж) > 0, к = 0,1,2,...
При к = 0 отсюда получим 0.343 - (п/2)т0/т<0. Таким образом, асимптотическая устойчивость системы имеет место, если выполняется неравенство
0.343 • 2
п
• т = 0.218г.
(13)
Из (13) видно, что ошибка в задании номинального значения запаздывания в сторону увеличения т0 > т не приводит к потере устойчивости. При ошибке в задании номинального значения запаздывания в сторону уменьшения граничное значение т0 = 0.218 т может быть почти в пять раз меньше, чем истинное зна чение запаздывания т. Это хорошие робастные свойства.
На втором этапе синтеза применяется метод динамической компенсации с тем, чтобы обеспечить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы совпадающей с передаточной функцией номинальной системы (8), (9). С точностью до малых постоянных времени она имеет вид
^ (р) = — ехР(- т0 р). (14)
р
Тогда передаточная функция регулятора будет
Wpii(р) = Wi-1Wl (р).
Для примера рассмотрим передаточную функцию
объекта
^11 (р)=к11 рр1p+1lexp(-т11 р). (15)
(Тг р +1)
На основании (9) и метода динамической компенсации для нее можно сразу написать передаточную функцию регулятора
Wpll(p)= 0343 ( ( ) ., (16)
к11т11 р(1 р1 + 1)Ер +1
где 7 - малая постоянная времени, Т<<т\п(Т1,Т2), введенная для обеспечения правильности WPll(p)
Если объект находится на апериодической границе устойчивости, то интегратор может быть аппроксимирован звеном первого порядка
1... 1 = У , у = б- ^ ж при Б ^ 0 .(17)
р р + Б ур + 1
Дальше применяется метод динамической компенсации. Пусть
>іі М =
ки
-----)р(- т11 р) (18)
р(р +1)
Тогда передаточная функция регулятора совпадает с ПИД законом
(р)__ 0343., (19)
кііУтіі РУТЕР +1) где у выбирается в 10 - 50 раз больше максимального из чисел Тц,Т.
Грубость полученного решения примерно такая же [6], как у системы (14), для которой выполняется условие (13).
Синтез компенсаторов
Будем рассматривать структурную схему системы, показанную на рисунке 2. Здесь для компенсации влияния перекрестной связи Шу(р), і Ф ], используется компенсатор ШК/р), на входе которого действует управление Uj (р), а
выход, которого подается на і - й вход объекта иі(р). Будем считать, что все передаточные функции Wij(p), і, ] =
1,.. т, устойчивы, но среди них могут быть не минимально фазовые.
т0 >
Вначале рассмотрим простой случай, когда диагональные передаточные функции Wiip) являются минимально фазовыми и выполняется условие
Лт у = Т у -ти ^ 0 , (20)
где ту - запаздывание в перекрестной связи, действующей на выходе звена Wi(p), ту - запаздывание в элементе Wi(p).
Условие (20) означает, что запаздывание в перекрестной связи больше, чем запаздывание в диагональном элементе, на выходе которого действует перекрестная связь.
При наличии этих условий задача построения передаточной функции компенсатора решается по упрощенной методике
Wкj(p) = w- (рУУ (р). (21)
Передаточная функция (21) содержит звено запаздывания на время Дту > 0 Если в (21) не выполняется условие физической реализуемости, то для обеспечения правильности передаточной функции WKjp) в знаменатель искусственно вводятся малые постоянные времени. Звено запаздывания в WKj(p) для обеспечения грубости лучше всего аппроксимировать рядом Паде первого порядка.
Теперь рассмотрим случай, когда среди диагональных передаточных функций Wii(p) не все являются минимально фазовыми и не всегда выполняется условие (20). Тогда для построения компенсатора WKjp) нельзя использовать формулу (21), но можно решить задачу минимизации Иь - нормы
(22)
min||Wii 0^)WKj (j«) - Wij
1 -ATijp/2.
(2б)
I + Лт у р/2
Тогда имеем только один правый нуль 72 равный г! =
2/Дту > 0.
2. Определяем единственное значение С1 = Т^) = 1.
3. Формируем эримитовые матрицы А, В вида
А ={ак + ад)-1}, В = ]скСд/(ак + ад }, (27)
где ак = гк, черта сверху означает комплексносопряженное число.
В данном случае число правых нулей 72 равно единице, поэтому матрицы А, В являются вещественными числами, так как г1 - вещественно. Они имеют вид
А = В = ЛТу/4. (28)
4. Ищем наибольшее (оно здесь единственное) собственное число матрицы А'1/2ВА'1/2. Оно равно уорЛ = В/А = 1. По теореме Пика у > уорЛ, где у - максимально допустимая ошибка решения (23).
5. Задаемся величиной у = 1.01 > уор,. Данными для решения проблемы Неванлинны-Пика являются, а1 = г1, Ь1 = а/у. Функция полного пропускания будет
Aa(s) =
1.
s + a1
б. Обратная функция Мебиуса будет
Z + b Z + b
Если ввести обозначения T = Wgj'w), T2 = Wh{jw), Q = WKJ(ja>), то задача (22) является задачей построения модели (model matching problem), известной из F - теории управления [2], [8], которая решается при помощи алгоритма Неван-линны-Пика. Требуется определить Q так, чтобы выполнялось неравенство
T - T2Qll „^, (23)
где у > 0 - максимально допустимая ошибка решения.
Покажем процедуру решения для случая, когда неравенство (20) не выполняется и в передаточной функции (21) появляется звено прогноза на время кги, вида exp^p), которое не реализуемо. В этом случае в соответствии с обозначениями принятыми в (2) и формулой (21) получим
WKj(p) = W (p)]-1 Wj (p)WKj (p), (24)
где W'Kj(p) - новая передаточная функция компенсатора, полученная после учета всех заранее известных элементов передаточной функции WKj(p) по аналогии с (21).
Таким образом, мы получили, что сигнал
Wii ( p )WKi ( p ) uj ( p ) =
= Wi (p )exp (-Tip )\_К (p )]-1 Wj (p )WKj (p )uj (p) =
= Wj (p )WKj (p) exp (-T«p ) uj
компенсирует на I -м выходе сигнал
Wij (Pfrj (Р) = Wj(p)exp(- Typ'jUj . Приравнивая эти выражения, получим
WKj (p)exp(- Tip) = exP(- Tvp)
или
WKj (p)exp(- ATjp) = 1. (25)
Из последнего выражения видно, что в данном случае компенсатор W'ij(p) выполняет функцию прогноза на время AXjj. Пусть теперь для определения W'Kj(p): Ti =1, T2 = exp(-ATp), Q = W'Kj(jm). Тогда задаваясь значениями у > 0 в
(23) можно решать задачу построения модели в соответствии со следующим алгоритмом [8].
1. Определяем нули T2 в открытой правой полуплоскости. Введем аппроксимацию Паде
1 + zb1 1 + zb1
Решение проблемы Неванлинны-Пика для одной точки задается множеством передаточных функций вида
о(р) = м- [а, (, (29)
где Оф) -произвольная правильная дробно-рациональная передаточная функция с (вообще говоря) комплексными коэффициентами, НОЦю < 1.
Дальше алгоритм Неванлинны-Пика можно не рассматривать, так как в этой задаче мы имеем всего одну точку в качестве исходных данных.
7. Решение задачи построения модели будет
Ті -О. (30)
W,
Kj
■Q = -
T2
Таким же образом может быть решена проблема построения компенсатора при наличии не минимально фазовых звеньев в Ші(р). Если число нулей в открытой правой полуплоскости будет больше одного, то решение проблемы Неван-линны-Пика необходимо искать не только для одной точки, но и для оставшихся точек. Во многих случаях не минимально фазовую передаточную функцию Шир) можно аппроксимировать по переходной характеристике при помощи минимально фазовой передаточной функции и использовать ее для построения компенсатора.
Пример
Рассмотрим в качестве объекта управления дистил-ляционную колонну для отделения метанола от воды с передаточной функцией вида [13]
(3l)
' 0.1153(l0p + l)exp(-0.1p) 0.2429exp (2 p)
У- (4 P +1)3 (33 p +1)2 u-
У2 0.0887exp(-12.6 p) 0.2429exp(-13.4 p) u2
_ (43 p + l\2.2 p +1) (53.1p + l) _
Передаточная функция регулятора ШРц(р) может быть получена по формуле (16). Она имеет вид
0.343_________(4 р +1)3 .
Wpll(p)-
0.1153 • 0.1 p(l0 p + l)0.1p +1)
Аналогично получается передаточная функция регулятора Шр22(р). Она имеет вид ПИ закона регулирования ^ (р)= 0343 ^ + 1. у ' 0.2429 -13 .4 р
Так как П2 > щ, то компенсация влияния перекрестной связи Шр)2р) может быть выполнена при помощи формулы (21). Она имеет вид
0.2429 (4р +1)3
р(-19 р)
0.1153 (10р +1)3р +1):
_ _ 0.2429 (4р +1)3 1 -1.9р/2 .
" 0.1153 (10р +1)33р +1)1 +1.9р/2
Так как т < Т22, то компенсация влияния перекрестной связи Ш2\(р) должна выполняться на основе формулы (24) при помощи алгоритма Неванлинны-Пика в соответствии формулами (26) - (30) для вычисления передаточной функции
('ф).
Формула (24) в данном конкретном случае имеет вид
0 0887 53 1р +1 и, (р). (32)
Щкі (р) 0.2429 (43р +1)—2р +1)
ЩКі (р).
Так как ДТ21 = Т22 - 121 = 13.4 - 12.6 = 0.8, то Т2 имеет один правый нуль равный г! = 2/ДТ21 = 2.5. В соответствии с п.5 алгоритма Неванлинны-Пика получим: сц = г1 = 2.5, Ь1 = 1/1.01 0.9901 и функцию полного пропускания
. / \ я - 2.5
С1 ()_ я + 2.5
Обратная функция Мебиуса из п.6 будет
, ,_и\ г + 0.9901 М (г)_--------------.
v ' 0.9901г +1
В качестве изменяемой передаточной функции Оф) для примера возьмем
О1(р)_°.ь ЮНю _0.1.
Тогда решение проблемы Неванлинны-Пика будет
о(р)_ 109р + 2225 .
у ’ 1.099р + 2.252
В этом случае передаточная функция дополнительного компенсатора (30) будет иметь вид
0.88 р2 + 4 р + 4.5 . (33)
0.4396 р2 + 2 р + 2.252 Из этой формулы видно, что (^(0) Ф 1. Это недостаток алгоритма Неванлинны-Пика, который следует из самой постановки задачи (23), где не требуется точного равенства Т1 и Т-£) в статике. Но для практического применения метода это необходимо. Поэтому далее формула (33) модифицируется и принимает вид
ЩК1 (р)~-
0.88 р2 + 4 р + в
(34)
0.4396 р2 + 2 р + в где в > 0 - настраиваемый параметр.
Параметр в достаточно просто настроить при имитационном моделировании управляемого процесса в ЭтиНпк В качестве критерия настройки можно взять интегральный квадратичный критерий для ошибки системы при ступенчатом возмущающем воздействии на входе или выходе объекта
(35)
3 -
где Т - конечное время управления, которое больше времени переходного процесса.
В данном случае оптимальное значение в = 0.25. В целом в соответствии с (32), (34) получим передаточную функцию компенсатора
ЩК1 (р) =
0.0887 53.1р +1 0.88 р2 + 4 р + 0.25 .(36)
0.2429 (43р +1)22р +1)0.4396р2 + 2р + 0.25 Здесь интересно сравнить вариант с компенсацией
(36) и тривиальный вариант, когда проблема Неванлинны-Пика вообще не решается, то есть в (32) Щ'п(р) = 1. В данном случае при компенсации вида (36) при Т = 400 получим 3 =
0.09438, а при тривиальном решении Щ'кф) = 1 будет 32 = 0.1. Таким образом, точность увеличивается на величину 3 = (32 -.Л)100//2 = 5.62%. При увеличении значения Дт21 показатель точности 3 только увеличивается.
На рисунках 3, 4 показаны реакции на первом и втором выходе структурной схемы, показанной на рисунке 2, при наихудшей комбинации воздействий: 1(?) на входе Шц(р) и -1(?) на входе ЩаСр). Возмущение на входе объекта является самым трудным видом возмущений. Как видно из представленных рисунков, система является астатической и обладает хорошим качеством стабилизации.
Рисунок 3. Переходная характеристика у1() при действии ступенчатых возмущений на входах передаточных функций //11(р) и \Л/22(р)
Рисунок 4. Переходная характеристика у_(Ь) при действии ступенчатых возмущений на входах передаточных функций //11(р) и \Л/22(р)
Заключение
В работе представлена методика синтеза робастной системы стабилизации для многомерного объекта с запаздыванием. Основное внимание было уделено качеству проектируемых систем и простоте процесса проектирования с тем, чтобы использовать ее для промышленных объектов. Данная методика является продолжением подхода, изложенного в [10]. Отличие состоит в робастном подходе и расширении допустимого вида передаточных функций в объекте управления.
Литература
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 203 с.
2. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 744 с.
3. Бороздин П.А., Сыроквашин В. В., Фокин А.Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН Т и СУ 2008. № 4. С. 41-49.
4. Климов А.П., Ремизова О.А., Рудакова И.В., Фокин АЛ. Уменьшение чувствительности н2 - оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 27-32.
5. Климов А.П., Ремизова О.А., Рудакова И.В, Фокин А.Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. № 7. С. 18-26.
6. Ремизова О.В., Рудакова И.В., Сыроквашин В.В, Фокин А.Л. Увеличение грубости оптимальных систем с запаздыванием // Изв. СПбГТИ(ТУ). 2011. № 10 С. 46-51.
7. Ремизова О.В., Рудакова И.В., Сыроквашин В.В., Фокин А.Л. Робастное управление линейным объектом с запаздыванием с применением квадратичных методов синтеза системы // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. №
12. С. 22-30.
8. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5 т. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. КА. Пупкова, Н.Д. Егупова. М. .: Изд-во МГТУ им. Н.
Э. Баумана, 2004. 616 с.
9. ЯковисЛ.М. Простые способы расчета типовых регуляторов для сложных объектов промышленной автоматизации // Автоматизация в промышленности. № 6. 2007. С. 51-56.
10. Дудников Е.Г. Автоматическое управление в химической промышленности. М.: Химия, 1987. 368 с.
11. Гурецкий Х Анализ и синтез систем управления с запаздыванием // М. Машиностроение. 1974. 328 с.
12. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1942. Т. 6. № 3. С. 115-134.
13. Спорягин КВ. Математическое моделирование, разработка методов и программного комплекса для настройки параметров типовых законов регулирования динамических систем с запаздыванием: дис. ... канд. техн. наук. СПб, 2010. 237 с.
