СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ В КЛАССЕ ТРАДИЦИОННЫХ ЗАКОНОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

Ivan V. Gogol1, Olga A. Remizova2, Vladislav V. Syrokvashin3,

Alexander L. Fokin4

SYNTHESIS OF ROBUST REGULATORS FOR CONTROL OF TECHNOLOGICAL PROCESSES IN TRADITIONAL CLASS OF CONTROL LAWS

St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia

A new method of construction of traditional PI, PID and related regulatory laws providing a high-quaiity robust stabiizzation of the system with a delay under the conditions of uncertainty of setting the delay value at the input and parameters of the inertia! part of the transfer function of the object is considered. It allows one to find a compromise between the rudeness and speed of the system. The problem of robust control for the case when parameters of an object model vary in time is also considered.

Keywords: robust system of traditional regulators, delay in control, rudeness, speed, payment method, stability margin in amplitude, robust stability, forbidden region, parametric perturbation of nominal system

001 10.15217/^п1998984-9.2018.44.98

Введение

Проблема синтеза систем управления с запаздыванием имеет давнюю историю. В настоящее время существует большое количество традиционных подходов к решению этой задачи [1-5]. Кроме этого можно отметить некоторые нетрадиционные подходы [6, 7]. Но в практике автоматизации технологических процессов большая часть систем управления (до 95%) построена с использованием ПИД законов регулирования [8], [9] поэтому дальше рассматривается только класс традиционных регуляторов.

Несмотря на большое количество публикаций открытым остается вопрос синтеза робастных ПИ, ПИД законов в условиях неопределенности задания величины запаздывания и параметрической неопределенности инерционной части передаточной функции объекта, обеспечивающих заданную грубость системы. Эта проблема рассматривалась в работах [10, 11] и настоящее исследо-

И.В. Гоголь1, О.А. Ремизова2, В.В. Сыроквашин3,

А.Л. Фокин4

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ В КЛАССЕ ТРАДИЦИОННЫХ ЗАКОНОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия

Рассматривается новая методика построения традиционных ПИ, ПИД и связанных с ними законов регулирования, обеспечивающая качественную робастную стабилизацию системы/ с запаздыванием в условиях неопределенности задания величины/ запаздывания на входе и параметров инерционной части пере-даточной функции объекта, которая позволяет найти компромисс между грубостью и бы/стродействием системы;; также рассмотрена задача робастного управления при изменении параметров модели объекта во времени.

Ключевые слова: робастная система, традиционные регуляторы, запаздывание по управлению, грубость, быстродействие, метод компенсации, запас устойчивости по амплитуде, робастная устойчивость, запретная область, параметрическое возмущение, номинальная система.

вание посвящено развитию и обобщению изложенного там подхода.

Актуальность робастного регулирования определяется тем, что в процессе эксплуатации свойства технологического объекта изменяются, что вызывает изменение параметров передаточной функции модели. Поэтому регулятор должен обеспечивать качественное регулирование в возможно более широком диапазоне изменения коэффициентов модели объекта. Это повышает надежность системы в период между двумя смежными перенастройками регулятора.

Далее предполагается, что параметры изменяются довольно медленно так, что за время переходного процесса этими изменениями можно пренебречь. Это соответствует условиям нормального режима работы и позволяет при синтезе регуляторов считать их постоянными. Но за время регулирования они могут изменяться значительно, что определяет актуальность робастного подхода.

1. Гоголь Иван Владимирович: аспирант, каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: morfean888@gmail.com .

Ivan V. Gogol, undergraduate, Chemical Engineering Control Department

2. Ремизова Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент, каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: remizova-oa@yandex.ru

Olga A. Remizova, Ph.D (Eng.), Associate Professor, Chemical Engineering Control Department

3. Сыроквашин Владислав Викторович, канд. техн. наук, доцент, каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: Syrokvashin@mail.ru

Vladislav V. Syrokvashin, PhD (Eng.), Associate Professor, Chemical Engineering Control Department

4. Фокин Александр Леонидович, д-р техн. наук, профессор, каф. автоматизации процессов химической промышленности, e-mail: fokin-sa@mail.ru

A^ander l. Fokin, Dr Sci. (Eng.), Professor, Chemical Engineering Control Department Дата поступления - 25 января 2018 года

Одновременно при изменении параметров во времени также появляется необходимость обеспечить постоянство выходного сигнала в установившемся режиме (проблема точности)

Увеличение грубости для систем этого класса обычно сопровождается потерей быстродействия. Поэтому актуальной является задача построения методики синтеза регуляторов, которая позволит обеспечить компромисс между быстродействием и грубостью системы с традиционными регуляторами. Эта задача решается в настоящей работе.

Одной из трудностей синтеза систем с запаздыванием является то, что передаточная функция инерционной части объекта с запаздыванием может иметь большой порядок и быть достаточно сложной; соответственно трудоемкость процедуры синтеза регулятора определяется этим обстоятельством. Это усугубляется в случаях, синтеза робастного регулятора, так как для практического использования результатов необходимо создание простых методик. Поэтому в основе развиваемой концепции синтеза регулятора предполагается использование метода динамической компенсации, как предложено в работе [12] и развито в работах [10, 11]. Похожий подход рассматривался в работе [13].

В работе при применении метода компенсации в передаточной функции объекта с запаздыванием выбирается базовая часть (базовая передаточная функция), которая определяет доминирующую составляющую переходного процесса, и для нее решается базовая задача управления. Остальная динамика объекта учитывается в методе компенсации.

Так как основная трудность связана с наличием звена запаздывания, то вначале можно решить задачу синтеза базового робастного регулятора для звена запаздывания, а динамику инерционной части объекта скомпенсировать дополнительной динамикой регулятора, если выполняются условия существования для такого подхода [10, 11].

В пользу этого следует отметить, что для синтеза традиционного регулятора передаточная функция инерционной части высокого порядка обычно упрощается аппроксимацией инерционной частью первого, второго или третьего порядков [10] с дополнительным звеном запаздывания, которая выполняется по переходной характеристике, соответственно, это увеличивает значимость звена запаздывания в переходном процессе. В этом случае при реализации закона управления методом компенсации компенсируется инерционная часть аппроксимирующей передаточной функции, а компенсации реальной динамики процесса не происходит.

Для получения базовых передаточных функций регуляторов можно рассмотреть два подхода:

1. В качестве базовой части передаточной функции выбирается звено запаздывания [10, 11], которое входит в аппроксимирующую передаточную функцию номинального объекта. Далее для этого звена запаздывания рассматриваются два базовых закона регулирования (И и ПИ законы). Интегральный (И) закон обеспечивает большую грубость системы, но меньшее быстродействие, а ПИ закон позволяет увеличить быстродействие, но с некоторой потерей грубости системы. Динамика инерционной части компенсируется динамикой регулятора.

2. Для дальнейшего увеличения быстродействия в качестве базовой части передаточной функции выбирается последовательное соединение инерционного звена первого порядка, которое входит в аппроксимирующую передаточную функцию объекта, используемую для син-

теза, и звено запаздывания, как раньше. В качестве базового закона регулирования здесь рассматривается ПИД закон, который позволяет дополнительно увеличить быстродействие системы, когда передаточная функция объекта содержит доминирующую постоянную времени, которая входит в базовую часть.

Цель работы заключается в разработке методики синтеза, обеспечивающей компромисс между грубостью и быстродействием системы, а также в обеспечении работоспособности системы при медленном изменении во времени коэффициентов модели объекта.

Постановка задачи

Рассмотрим передаточные функции объекта

Ко(р) = (1)

ап (р)

где ап(р),рт(р)- полиномы порядков п и т,

ап(о) = Рт(о) = 1, к0 — коэффициент передачи, ^ <к0 <ь~0,

Т — запаздывание т<т<т, коэффициенты полиномов ап(р),Ат(р) могут изменяться в заданных интервалах.

Будем считать, что корни полинома /Зт(р) расположены строго левее мнимой оси, а корни полинома ап(р) лежат левее мнимой оси, некоторые из них расположены в точке ноль.

Наряду с реальной передаточной функцией рассматривается номинальная передаточная функция объекта, которая по структуре совпадает с передаточной функцией (1), вида

К (р) = к0 Щ • ехр(—То р),

а„ ы

(2)

где к°,т0 - номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, (р) - номинальные полиномы числителя и знаменателя, (т < п, (о) = а° (о) = 1), корни полиномов Д0(р) расположены строго слева от мнимой оси, а корни полинома а(р) лежат левее мнимой оси,

некоторые из них расположены в точке ноль (число таких корней такое же, как в реальной модели), коэффициенты номинальной модели принадлежат интервалам, указанным в (1), < к0 < ~к0, т<Т<Т.

Заметим, что требование устойчивости и минимальной фазовости передаточных функций (1), (2) обусловлено последующем применением метода динамической компенсации для аппроксимирующей передаточной функции. В случае, когда передаточная функция объекта имеет полюса в точке ноль, при синтезе регулятора используется аппроксимация вида

1 „ = , (3)

р р + 8 ур +1 где 8 «1, у = е— »1.

Трудность построения указанной методики определяется тем, что сложно установить аналитическую связь между параметрами грубости и быстродействия. В данной работе предлагается использовать робастный критерий Найквиста [14]. Пусть в качестве аддитивной меры неопределенности передаточной функции разомкнутой системы используется неравенство

К Ы — К0 (1ш\<у, (4)

где к(а) = К{]тКо0®), к0(]ю) = к(¿а>К°{]ф)— частотные передаточные функции реальной и номинальной

разомкнутых систем, соответственно, щС/'®)- частотная передаточная функция регулятора, у> о - положительное число.

На рисунке 1 показаны типовые амплитудно-фазовые характеристики (АФХ) для систем с астатизмом первого и второго порядков. Кривая 1 (пунктирная) соответствует АФХ системы с меньшим значением запаса

устойчивости по амплитуде А0, чем кривая 2 (сплошная)

с К > К.

Рисунок 1. Виды АФХ для систем с астатизмом I и II порядков

Робастный критерий Найквиста [14] требует, чтобы АФХ разомкнутой номинальной системы щ0 (/т) не охватывала окружность радиуса у с центром в точке (- 1, /о). Из рисунка 1 видно, что грубость системы связана

с величиной запаса устойчивости по амплитуде К [15], но эта величина не является мерой грубости, так как возможна ситуация, представленная на рисунке 2, когда АФХ заходит в окружность радиуса К . Чтобы использовать запас устойчивости по амплитуде для оценки грубости, как видно из рисунка 2, нужно, чтобы выполнялось неравенство

(5)

Рисунок 3. Построение запретной области для определения грубости системы

На основании теоремы косинусов для треугольника 0АВ

СОЪф-

получим

А2(т) + с2 -у2 _ А2(т) +1 -у2

2А(т)с

2 А(т)

(6)

1-у <А®)<1 + у.

Отсюда граница запретной области может быть построена на основании соотношения

А2 (®) +1 -

у

Рисунок 2. Пример, когда невозможно использовать К в качестве меры грубости

В работе предлагается далее использовать величину запаса устойчивости по амплитуде К только в качестве критерия синтеза системы, так как ее легче связать с временем регулиро-вания и перерегулированием, чем радиус окружности у, который используется для оценки грубости

системы. На рисунке 3 показана процедура построения запретной области для ФЧХ, гарантирующей заданную величину радиуса у, которая аналогична известной процедуре построения запретной области, гарантирующей заданную величину показателя колебательности [16].

= ^ 2А{®) 1 -у< Л{®)< 1 + у. (7)

Если АФХ касается запретной области, то грубость системы оценивается величиной у . В качестве базовых передаточных функций объекта, как сказано раньше, выбираются две номинальные передаточные функции Щ (р) = кОехр {-Го р), (8)

щ (ч к°ехр {-Го р), (9)

0 ТоР + 1

где т - номинальное значение доминирующей постоянной времени.

Необходимо разработать методики синтеза И, ПИ и ПИД базовых робастных законов регулирования для передаточных функций (8), (9), обеспечивающих заданную грубость у, и при которой возможны вариации параметров регуляторов для обеспечения требований быстродействия и перерегулирования в предположении, что параметры модели постоянны и гарантируют решение проблемы точности стабилизации в установившемся режиме при изменении во времени параметров модели.

Синтез базовых интегральных и пропорционально-интегральных законов

регулирования

Для базовой передаточной функции (8) вначале рассмотрим интегральный (И) закон регулирования [10, 11] вида

Щп{р) =

к„

КГоР

(10)

где кР1 - настраиваемый коэффициент передачи регулятора.

При этом для устойчивости системы в пространстве параметров необходимо и достаточно выполнение условия

-l < о ■

(11)

Доказательство этого утверждения аналогично приведенному в [10].

Это условие позволяет определить аналитически область изменения параметров передаточной функции реального объекта —,т), где сохраняется устойчивость

системы, и которая изменяется при варьировании величины кР1. При увеличении кРХ увеличивается быстродействие системы, но уменьшается грубость, которая для закона управления (10) определяется не только по величине у, но и на основании неравенства (11).

Получим условие связи кР1 и к . Номинальная

передаточная функция базовой разомкнутой системы имеет вид

W0 (p) = - exp (-То p)' Р

(12)

где к коэффициент передачи разомкнутой номи-

То

нальной системы.

Запас устойчивости по амплитуде вычисляется при значении частоты, при котором ФЧХ составляет -180°. Поэтому должно выполняться условие

— ^•ю1 — ж/ 2 = —ж,

где щ — значение частоты, при котором вычисляется

величина запаса по амплитуде. Отсюда

ж

2т

, -pi

k = -PL = al exp

h

20 • 0.4343

(15)

W„

(p) = > •^'

где к — настраиваемый коэффициент передачи, у —

настраиваемая постоянная времени.

Для ПИ закона регулирования условие для границы устойчивости в пространстве параметров, аналогичное (11), очень сложно использовать на практике, здесь лучше рассмотреть условие (4) при у < к для неструктурированной неопределенности.

Для структуры с ПИ регулятором возможно решение задачи получения компромисса между быстродействием и грубостью. Передаточные функции регуляторов (10), (16) получены в результате обобщения результата [10, 11], где значения параметров регуляторов вычисляются по следующим формулам

кР1 = 0.343, кР2 = кР1 • 1 .5783 = 0.54 14, Т1 = т0/4. (17) Это важный частный случай, но далее предлагается общая концепция. Передаточная функция разомкнутой номинальной системы с базовым ПИ регулятором будет

К°(р) = к^ехрир), (18)

где - = -Р2/т0 ■

Частотная передаточная функция будет

W0(ja>) = -1 + jTl°exp(- jmio) = -(^ - j) exp(- joTo) ■ jrn \ со)

(19)

Получим фазовый сдвиг в зависимости от частоты

у°)= -arctg[-Н -т0.

(20)

(13)

Частоту, при которой вычисляется запас устойчивости по амплитуде, определим из условия

Запас по амплитуде в соответствии с (12) можно вычислить по формуле

к = —20^ — = —20—1п — = —20 • 0.4343 • 1п —. (14) щ 1п10 щ щ

Выбор величины к полностью определяет коэффициент передачи номинальной разомкнутой системы — , а, следовательно, и коэффициент передачи регулятора — в (10) при помощи экспоненциальной зависимости

y/(°l )=-arctg(jl-) - ТоО = -п

Отсюда

\Л- arctg (-1-

о \ То

(21)

После этого проверяется выполнение условия устойчивости (11) для заданных интервалов изменения

-0 и Т при выбранных номинальных значениях —0,т0 ■

Коэффициент передачи (15) выбирается из условия заданного быстродействия. Если при заданном значении h

оно не достигается, то уменьшается величина h ■ Таким образом, для заданного запаса устойчивости h можно определить коэффициент передачи - , а затем моделированием найти время переходного процесса. Недостатком здесь является невозможность независимого изменения величины перерегулирования и уменьшения времени регулирования при h = const ■

Поэтому для базовой передаточной функции (8) с целью увеличения быстродействия предлагается изменение структуры системы использованием базового пропорционально-интегрального (ПИ) закона регулирования

(16)

-о0То

Это уравнение относительно щ можно решить приближенными методами. Решением этой задачи будет значение частоты как функции постоянной времени щТ). Запас устойчивости по амплитуде в соответствии с (18) определяется по формуле

к=—20,8кЩШ, (22)

®1(Т1)

где к = кР2/т0.

Дальше происходит перебор значений Тх в выбранном диапазоне. Таким образом, для каждого значения коэффициента передачи кР2 получим значение Тх,

при котором получается заданное значение запаса устойчивости по амплитуде. Для этих параметров строится переходная характеристика, по которой определяются быстродействие и перерегулирование. Изменяя значение — ,

можно выбрать наилучший режим при заданном значении грубости у . Методика синтеза состоит из следующих этапов:

1. Задается величина желаемого значения запаса устойчивости по амплитуде к .

2. Задается коэффициент передачи регулятора: — .

3. В заданном диапазоне происходит перебор значений постоянной времени регулятора Тх, при этом для

г

каждого значения определяется значение частоты ю1 из уравнения (21) и вычисление h по формуле (22).

4. При совпадении значения h с заданным значением из п. 1 запоминается значение Т, и, таким образом, получаем пару параметров базового ПИ закона регулирования (kP2 ,т) ■

5. Для пары (кР2 ,Т) строится переходная характеристика, по которой определяется быстродействие и перерегулирование. При 5%-й погрешности определения времени регулирования наибольшее быстродействие во многих случаях можно получить при значении перерегулирования равном 5%. Далее определяется значение у

построением запретной области (7).

6. Если эти характеристики не устраивают разработчика, то происходит изменение значения кР2 из п. 2.

7. Если не найдется системы с характеристиками быстродействия и перерегулирования, которые устраивают разработчика, то уменьшается значение желаемого значения запаса устойчивости по амплитуде h из п. 1 и процедура повторяется.

Синтез базового ПИД закона регулирования

С целью дальнейшего увеличения быстродействия далее рассматривается базовая номинальная передаточная функция объекта вида (9). В качестве базового рассмотрим ПИД закон регулирования вида

WM-' (23)

Гоко P TeP +1

где k TT т - настраиваемые параметры, малая постоянная времени тг « min(т,Т) вводится для обеспечения условия физической реализуемости передаточной функции регулятора.

Определим запас устойчивости по амплитуде для системы (2), (23). Передаточная функция разомкнутой номинальной системы будет

W° (P)-*ШТРр++1) - (—)-cxp (-Vp)'

TTeP> + (T + TE ) p2 + P

При этом получим фазовый сдвиг

iy(a>) - arctg

(T + т щ

Q(l - тТЕЩ) 2 (T0 + Te )

Где

/ \ (T + Т2щ / \ (l-T0TEm2)

i Щ) - arctg v 1 ^2 ' «2 (Щ)- arctg v , 0 E /

l - TTщ

(To + Te )

для системы (2), (8) с первым базовым (И) законом, которое вычисляется на основании (13).

Тогда вместо формулы (28) получим приближенную формулу

т0-а2& + а (®1>Т Т )(ю2 + а (®1)(®2 -А)' (29)

где

n(m Т т) - d«1 Щ1) (Т1 + Т2)(l + Т1Т2Щ12) ' (30) 3l(ffll'Tl'T2) dm 1 + (т2 + Т2 + Т 2Т2щ2 )щ2

(щ\ d«2 Ы _ То + TE)(l + T0TEml2)

2V 1 dm l+(т2+т2 + т02т£2щ2 )щ2

■ (31)

_(То2+te + тх Решая уравнение (29) относительно щ, получим

_ (щ)—a (®i,T )-щ - a (щ)'щ

го - al(a>l,Tl,T2)- a2(щ)

(32)

Запас устойчивости по амплитуде можно вычислить по формуле

У(1 -чА)2+(т+Т)Ч2 . (33)

h - -20 lg к

V(т0 + te )2 щ24 + щ22 (l - Т0Т!®22 )2

(24)

где к = коэффициент передачи разомкнутой номинальной системы.

Частотная передаточная функция будет

(Я = к -ТТА; + А + 2)ехр(-V®). (25)

-То + Те а + М1 - ТТ> ]

(26)

Чтобы вычислить значение частоты, при котором определяется запас устойчивости по амплитуде, необходимо решить уравнение

у(ю1 )=-я-. (27)

Или по-другому

т0 • а = ^ + + = ^(А)' (28)

Для этого трансцендентного уравнения аналитически удобно получить решение в первом приближении, используя разложение правой части уравнения (28) в ряд Тейлора относительно аналогичного значения частоты

Методика синтеза состоит из следующих этапов:

1. Задается величина желаемого значения запаса устойчивости по амплитуде \ .

2. Задается коэффициент передачи регулятора: крз.

3. Задается постоянная времени Т .

4. В заданном диапазоне происходит перебор значений постоянной времени регулятора Т2, при этом для

каждого значения определяется значение частоты ю2 по

формуле (32) и вычисление по формуле (33).

5. При совпадении значения Л2 с заданным значением из п.1 запоминается значение Т2, и, таким образом,

получаем тройку параметров ПИД закона регулирования ).

6. Для тройки (кръ ,Т ) строится переходная характеристика, по которой определяется быстродействие и перерегулирование. При этом грубость зависит от выбранной пары (т ,Т2), а величина перерегулирования и

быстродействие в основном зависят от крз, далее вычисляется грубость у .

7. Если эти характеристики не устраивают разработчика, то происходит изменение значений ,Т из пп.2,3.

8. Если не найдется системы с характеристиками быстродействия и перерегулирования, которые устраивают разработчика, то уменьшается значение желаемого значения запаса устойчивости по амплитуде ^ из п.1 и процедура повторяется.

Точность в установившемся режиме

До сих пор при синтезе регулятора предполагалось постоянство параметров модели. Это соответствует гипотезе квазистационарности, когда за время регулирования параметры практически неизменны. Это обеспечивает качество переходного процесса, а при наличии ро-бастных регуляторов также и увеличение времени между изменениями настроек регулятора. При переменных параметрах возникает проблема обеспечения точности ро-бастной системы в установившемся режиме, так как в си-

Г„ ' щ

0

1 - TTщ

стеме присутствует ограниченное параметрическое возмущение.

Для увеличения точности в установившемся режиме в качестве решения можно использовать двухкон-турную систему, которая предложена для парирования внешних ограниченных возмущений [17], [18]. Такая структура представлена на рисунке 4. Введение второго контура, состоящего из следящей системы, позволяет уменьшить амплитуду колебаний на выходе, вызванную изменением параметров модели объекта, по сравнению с одноконтурной системой. Ранее [17], [18] показано, что такая система также обладает грубостью по отношению к параметрической неопределенности и запаздыванию, которая соответствует грубости одноконтурной системы с регуляторами из разделов 2, 3.

объекта

Рисунок 4. Структурная схема системы

Пример

Рассмотрим номинальную передаточную функцию

К (р)-

exp

(" 2р).

(34)

(7 Р +1)4

По переходной характеристике она допускает аппроксимацию

к(р)= exp(-13^ .

(35)

15 р +1

Заметим, что для применения базового ПИД закона регулирования передаточная функция (34) не показательна, так как она не содержит доминирующей постоянной времени , которую следует включить в базовую

передаточную функцию объекта (9). Тем не менее, рассмотрим этот наихудший вариант в качестве примера минимальной точки отсчета для применения ПИД закона. Наличие доминирующей постоянной времени будет рассмотрено позже.

В соответствии с базовыми законами регулирования (16), (23) и методом динамической компенсации для передаточной функции (35) получим следующие реальные передаточные функции регуляторов

К2(р)= ^ • • , (36)

13

0.1р +1

13 р 0.1р +1

(37)

где крх, кр2, кръ ,ТХ,Т2 — настраиваемые параметры.

В соответствии с методиками, изложенными выше для каждого случая, можно проследить изменение качественных показателей в зависимости от изменения запаса устойчивости по амплитуде (к). Эти данные для регуляторов (36), (37) приведены в таблицах 1, 2.

В столбце 5 таблицы 1 приведены данные для регулятора, оптимального по апериодическому критерию устойчивости (17), которые сравниваются с аналогичными данными столбца 6. Видно, что он (п. 5) по своим характеристикам уступает последнему регулятору (п. 6), что свидетельствует о преимуществе предлагаемой методики. Соответствующие переходные характеристики (п. 6) показаны на рисунке 5.

Таблица 1. Связь между грубостью и качественными показателями системы

к (дБ) 9 9,5 10 10,5 10,5 11 11,5 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

к (ед) 0,645 0,665 0,684 0,7 0,7 0,718 0,734 0,749

кР 2 (ед ) 0,57 0,55 0,535 0,5414 0,52 0,5 0,482 0,455

^ (<) 6,0 5,7 5,2 3,25 4,7 4,2 3,8 3

1р (с) 38 41 42 70 45 47 48 51

а (%) 5 5 5 10 5 5 5 5

и (ед) шах V / 0,58 0,585 0,595 0,615 0,6 0,62 0,63 0,65

У (ед) 0,6369 0,657 0,6764 0,665 0,684 0,7015 0,708 0,718

Таблица 2. Связь между грубостью и качественными показателями системы

к (дБ) 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 12,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

к (ед) 0,645 0,665 0,684 0,7 0,718 0,734 0,749 0,763

кР3 (ед) 0,625 0,6 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54

Т (с) 13,5 13,0 13,0 13,0 13,0 13,0 13,0 13,0

Т2 (с) 8,2 8,2 7,84 7,52 7,2 6,9 6,62 6,34

1р (с) 35 37 38 39 40 41 42 43

а (%) 5 5 5 5 5 5 5 5

\и\шах (ед) 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,58 0,59 0,595

У (ед) 0,63 0,659 0,678 0,6942 0,7116 0,7277 0,743 0,756

Рисунок 5. Переходная характеристика робастной системы с ПИ регулятором

Рисунок 6. Построение запретной области на логарифмической плоскости

Сравнивая данные таблиц 1 и 2, видим, что при применении базового ПИД регулятора получаем выигрыш по быстродействию и грубости, причем последняя зависит от соотношения постоянных времени регулятора Т/Т2 .

Здесь появляется возможность выбрать оптимальное соотношение, так как одинаковое быстродействие достигается для множества значений т/Т , то есть не однозначно определяется этим соотношением. Для определения грубости используется построение запретной области на основании формулы (7). Соответствующие графики для столбца 1 из таблицы 2 приведены на рисунке 6. Запретная область для ФЧХ базового ПИД закона показана пунктирной линией, ФЧХ обходит ее сверху, вверху также показана амплитудная логарифмическая характеристика.

Как отмечено выше, для ПИД закона пример (34) не показателен, здесь получилось незначительное увеличение быстродействия по сравнению с ПИ законом, изменим передаточную функцию объекта. Добавим доминирующую постоянную времени в (34)

ж о (_)= ехр (- 2 Р) . (38)

' °(Р) (50р +1)(7р +1)4 По переходной характеристике она допускает аппроксимацию, аналогичную (35), вида

К о (р)= ехр (-13 р) . (39)

К (Р) (50р +1)(15р +1) Базовая передаточная функция объекта (9) теперь получается при Т0 = 50 с. Реальная передаточная функция регулятора будет

ж (Р)=• ТъР±! • Т2Р+1 •15Р+1' (40) 13 Р 0.1р + 1 0.1р +1 где к ,т,Т - настраиваемые параметры.

Для системы (38), (40) при и = 9дБ получим

р = 50

с ст = 5 %, Y = 0,642 при Т = 30 с, Т2 = 12,72 с, к3 = 0,6. Д ля построения ПИ закона регулирования использована

аппроксимирующая для (38) модель, аналогичная (35), вида

W0°(p)= exp(-25P) . (41)

°v 7 60p +1

Реальный закон регулирования имеет вид, аналогичный (36)

w2 (p)=^. ZLPH . ^0P±i. (42)

y ' 25 p 0.1p +1

Для ПИ закона характеристики качества зависят от параметров kpl, T ■ Так для системы (38), (42) при h = 9дБ получим р = 175 с, ст = 0 %, y = 0,284 при Т1 = 24 с, kP3 = 0,7, а для Т1 = 27 с, kP3 = 0,65 получим р = 150 с ст = 0 %, Y = 0,2587.

Кроме закона управления (42) здесь на основании метода компенсации также возможно управление вида

W (p)= kîL. Tp+1. 15P +1 . 50P +1 . (43) P2W 13 p 0.1p +1 0.1p +1

При этом параметры ПИ закона регулирования Ki, T при h = 9дБ можно взять из таблицы 1. Получим р = 150 с ст = 10 %, Y = 0,284.

Видно, что при наличии доминирующей постоянной времени в передаточной функции объекта, как в (38), применение базового ПИД закона регулирования позволяет получить значительный эффект быстродействия и грубости по сравнению с ПИ законом.

Заключение

В работе предложена методика синтеза систем с запаздыванием, которая позволяет согласовать такие характеристики, как грубость и быстродействие, и найти компромисс между ними. Также предложен подход для уменьшения изменений выходной величины в установившемся режиме, вызванных изменением параметров объекта регулирования во времени.

Литература

1. O'Dwyer A. A summary of PI and PID controller tuning rules for processes with time delay. Part 1: PI tuning rules // Preprints of Proceedings of PID '00: IFAC Workshop on Digital Control. Terrassa. Spain. April 2000. Р. 175-180.

2. O'Dwyer Aidan Handbook of PI and PID controller tuning rules, 2 nd Edition. London: Imperial College Press, 2006.

3. O'Dwyer Aidan Handbook of PI and PID controller tuning rules, 3 nd Edition. London: Imperial College Press, 2009.

4. PID Control for Multivariable Processes.. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. 264 p.

5. Александров А.Г., Паленов М.В. Состояние и перспективы развития адаптивные ПИД - регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2014. № 2. С. 16-30.

6. Фуртат И.Б., Тупичин Е.А. Управление нелинейными объектами с запаздыванием на базе модифицированного алгоритма бэкстеппинга // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 9. С. 707-712.

7. Григорьев В.В., Бойков В.И., Бы/стров С.В., Рябов А.И., Мансурова О.К. Исследование процессов позитивных систем на основе качественной экспоненциальной устойчивости // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 43. № 4. С. 15-20.

8. Денисенко В.В.Разновидности ПИД-регуляторов //Автоматизация в промышленности, 2007, №6, С. 45 - 50.

9. ЯковисЛ.М. От единого информационного пространства к единому пространству управления производ-

ством // Автоматизация в промышленности. 2013. № 1. С. 20-26.

10. Фокин А.Л. Синтез робастных систем управления технологическими процессами с типовыми регуляторами // Известия СПбГТИ(ТУ). 2014. № 27. С. 101-106.

11. Ремизова О.А., Сыроквашин В.В., Фокин АЛ. Синтез робастных систем управления с типовыми регуляторами // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 12. С. 12-18.

12. Фокин А.Л., Харазов В.Г. Управление линейным объектом с запаздыванием // Автоматизация и современные технологии. 2002. № 5. С. 13-17.

13. Яковис Л.М. Простые способы расчета типовых регуляторов для сложных объектов промышленной автоматизации // Автоматизация в промышленности. 2007. № 6. С. 51-56.

14. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастный критерий Найквиста // Автоматика и телемеханика. 1992. Вып. 7. С. 25-31.

15. Сыроквашин В.В.Синтез робастных систем стабилизации на основе расширенной модели динамики: дис. ... канд. техн. наук. СПб. СПбГТИ(ТУ), 2008.

16. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

17. Ремизова О.А., Фокин АЛ. Робастное управление устойчивым техническим объектом при наличии запаздывания по управлению с компенсацией возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59. № 12. С. 10-17.

18. Гоголь И.В., Ремизова О.А., Сыроквашин В.В., Фокин АЛ. Управление техническими системами с запаздыванием при помощи типовых регуляторов с компенсацией возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60. № 9. С. 882-890.

References

1. O'Dwyer A. A summary of PI and PID controller tuning rules for processes with time delay. Part 1: PI tuning rules // Preprints of Proceedings of PID '00: IFAC Workshop on Digital Control. Terrassa. Spain. April 2000. Р. 175-180.

2. O'Dwyer Aidan Handbook of PI and PID controller tuning rules, 2 nd Edition. London: Imperial College Press, 2006.

3. O'Dwyer Aidan Handbook of PI and PID controller tuning rules, 3 nd Edition. London: Imperial College Press, 2009.

4. PID Control for Multivariable Processes.. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. 264 p.

5. AleksandrovA.G.. PalenovM.V. Sostoyaniye i per-spektivy razvitiya adaptivnykh PID - regulyatorov // Avtomat-ika i telemekhanika. 2014. № 2. S. 16-30.

6. Furtat I.B.. Tupichiin E.A. Upravleniye nelineynymi obyektami s zapazdyvaniyem na baze modifitsirovannogo algoritma beksteppinga // Izv. vuzov. Priborostroyeniye. 2015. T. 58. № 9. S. 707-712.

7. Grigoryev V.V.. Boykov V.l.. Bystrov S.V.. Ryabov A.I.Mansurova O.K. Issledovaniye protsessov pozitivnykh sistem na osnove kachestvennoy eksponentsialnoy ustoychivosti // Izv. vuzov. Priborostroyeniye. 2013. T. 43. № 4. S. 15-20.

8. Denisenko VV.Raznovidnosti PID-regulyatorov //Avtomatizatsiya v promyshlennosti. 2007. №6. S. 45 - 50.

9. Yakovis L.M. Ot edinogo informatsionnogo pros-transtva k edinomu prostranstvu upravleniya proizvodstvom // Avtomatizatsiya v promyshlennosti. 2013. № 1. S. 20-26.

10. Fokin A.L. Sintez robastnykh sistem upravleniya tekhnologicheskimi protsessami s tipovymi regulyatorami // Izvestiya SPbGTI(TU). 2014. № 27. S. 101-106.

11. Remizova O.A.. Syrokvashin V.V.. Fokin A.L. Sintez robastnykh sistem upravleniya s tipovymi regulyatorami // Izv. vuzov. Priborostroyeniye. 2015. T. 58. № 12. S. 12-18.

12. Fokin A.L.. Kharazov V.G. Upravleniye lineynym obyektom s zapazdyvaniyem // Avtomatizatsiya i sovremen-nyye tekhnologii. 2002. № 5. S. 13-17.

13. Yakovis L.M. Prostyye sposoby rascheta tipovykh regulyatorov dlya slozhnykh obyektov promyshlennoy avtomatizatsii // Avtomatizatsiya v promyshlennosti. 2007. № 6. S. 51-56.

14. Polyak B.T.. Tsypkin Ya.Z. Robastnyy kriteriy Naykvista // Avtomatika i telemekhanika. 1992. Vyp. 7. S. 2531.

15. Syrokvashin VV Sintez robastnykh sistem stabi-lizatsii na osnove rasshirennoy modeli dinamiki: dis. ... kand. tekhn. nauk. SPb. SPbGTI(TU). 2008.

16. Besekerskiy V.A.. Popov E.P. Teoriya sistem avtomaticheskogo regulirovaniya. M.: Nauka. 1972. 768 s.

17. Remizova O.A.. Fokin A.L. Robastnoye upravleniye ustoychivym tekhnicheskim obyektom pri nalichii za-pazdyvaniya po upravleniyu s kompensatsiyey vozmushcheniy // Izv. vuzov. Priborostroyeniye. 2016. T. 59. № 12. S. 10-17.

18. Gogol I.V.. Remizova O.A.. Syrokvashin V.V.. Fokin A.L. Upravleniye tekhnicheskimi sistemami s za-pazdyvaniyem pri pomoshchi tipovykh regulyatorov s kompensatsiyey vozmushcheniy // Izv. vuzov. Priborostroy-eniye. 2017. T. 60. № 9. S. 882-890.