Робастное планирование эксперимента в задачах моделирования технических объектов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

7. F. Ferrandi, G. Ferrara, D. Sciuto. Functional Test Generation for behaviorally sequential models // взять на сайте итальянцев

8. С. Paoli, M.-L. Nivet, and J.-F. Santucci. Use of constraint solving in order to generate test vectors for behavioral validation //Proc. IEEE Int'l High Level Design Validation and Test Workshop, IEEE CS Press, 2000, pp.15-20.

9. M. Abramovichi, M.A. Breuer, and A.D. Friedman. Digital system testing and testable desine. IEEE Press,1990.

10. D. Geist et al. Coverage-Directed Test Generation Using Symbolic Techniques.// Proc. 1st Int'l Conf. Formal Methods in Computer-Aided Design (FMCAD 96), Lecture Notes in Computer Science, vol. 1166, Springer,1996, pp. 143158

11. R.C. Ho et al. Architecture Validation for Processors.// Proc. 22nd Ann. Int'l Symp. Computer Architecture (ISCA 95), ACM Press, 1993, pp. 404-413

12. D. Lee and M. Yannakakis. Principles and Methods of Testing Finite State Machines - A Survey.// Proc. IEEE Trans. Computers, vol 84, no.8, Aug. 1996, pp. 1090-1123

13. Грунский И. С. Анализ поведения конечных автоматов. -Луганск; 2003. - 210 с.

14. S.M. Thatte, J.A. Abraham. Test generation for microproces-sors//IEEE transactions on computers, vol. C-29,1980, № 6, pp. 429-441.

15. J.A. Rowson and A. Sangiovanni-Vencentelli. Interface-Based Design.// Proc. Design Automation Conf. (DAC 97), ACM Press, 1997, pp.178-183

НадШшла 26.03.04

Розглянуто проблему верифшацп i тестування складных цифровых сыстем, представленых на мовах опису апарату-ри высокого pienH (VHDL, VERILOG). Дослгджено функ-цюналът модел{ несправностей цифровых сыстем, опысаных за допомогою цих мое.

The verification and testing problem is considered for complex digital systems, represented on high level languages of hardware (VHDL, VERILOG). The functional fault models are investigated for digital systems, represented with help these languages.

УДК 519.248

Г.В. Табунщик

РОБАСТНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрен метод робастного планирования эксперимента и особенности обработки результатов. Приведена реализация данного метода для приложений в области проектирования номинальных значений на параметры изделий (процессов) и назначении допустимых отклонений на проектируемые параметры.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

По„ робастным планированием эксперимента будем понимать метод планирования эксперимента, который позволяет обеспечить "нечувствительность" выходной характеристики сложного технического объекта (СТО) к различным шумовым воздействиям [1].

Введем единую классификацию шумовых воздействий (рис.1) по типу, направленности и по характеру воздействия.

По типу шумовые воздействия будем подразделять

- внешние - воздействия, влияющие на исследуемый СТО извне;

- внутренние - параметры исследуемого сложного технического объекта, являющиеся шум-факторами для входных параметров;

- комбинированные - шумы, возникающие внутри объекта исследования из-за воздействия внешних параметров.

По направленности воздействия будем различать:

- шум, воздействующий на СТО в целом - например, дополнительные параметры объекта, внешние воздействия (температура окружающей среды) (рис.2д);

- шум, воздействующий непосредственно на входные параметры - погрешность измерений, износ материала (рис.2а и 26);

- шум, воздействующий непосредственно на выходную характеристику - аддитивный временной дрейф (рис.2с).

Шум можно классифицировать также как управляемый, неуправляемый и неконтролируемый.

Рисунок 1 - Классификация шума

ь

л

-Ц

I

UJ1

тпт

тгтг

а)

б)

с)

д)

Рисунок 2 - Воздействие шумов на проектируемый объект: а), б) на проектируемые параметры; с) на выходную характеристику; д) на проектируемый СТО в целом

Г.В. Табунщик-. РОБАСТНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Управляемый шум возможно изменять и контролировать на определенных уровнях. Неуправляемый шум -можно контролировать с необходимой точностью, но нельзя изменять и поддерживать с заданной точностью. Информация о неконтролируемом шуме обычно отсутствует.

Анализ существующих методов планирования для ситуаций, когда шум направлен на входные параметры и выходную характеристику, показал, что разработанные подходы стремятся исключить влияние неоднородно-стей. Разработанные методики планирования экспериментов позволяют оценить значения параметров системы в чистом виде, исключая различные виды неодно-родностей.

В дальнейшем будем рассматривать сложный технический объект (рис. 3), где X - входные параметры, Н -контролируемые шумовые воздействия, направленные на СТО в целом, £ - неконтролируемые возмущения, У - выходная характеристика сложного технического объекта. Тогда его математическое описание возможно представить выражением

у =/(Хр...,Хт,Нр...,Нр)0 + г, (1)

где у - зависимая переменная, ®Т - вектор неизвестных параметров;

...,Нр)^{(Хр ...,ХтД„ ...,Нр ),...

...,/к(Хр ...,Хт\Н,[,... ,Нр )} - вектор известных функций; т - количество входных параметров, р - количество контролируемых шум-факторов.

введем матрицу плана для шум-факторов

111 н И

Рисунок 3 - Сложный технический объект

Результаты N наблюдений ур ...,у^, дают с ошибками ги(и = значения

Ъи<1 = ■■ >Хит''Нп> ■■■>Н1Р)>

(2)

где Хр...,Х - значения, которые принимают соответственно переменные Хр ..., Хт в гг-ом эксперименте;

- значения, которые принимают соответственно в 1-ом опыте переменные, соответствующие шум-факторам Нр ..., Нр.

При робастном планировании эксперимента кроме матрицы плана для контролируемых параметров

¿»V

X

Чт

(3)

Он =

я,

п21

я

1 р

я

п2р

(4)

где , и2 - соответственно количество опытов в матрицах планирования для входных параметров и шум-факторов. Тогда

/\{ХХр ...,Х1т; НХр -;НХр)

"'' Хп)т

н,

/к(ХХр ...,Х1т;

НП2\'->НП2Р)

fk(Xn^\> ■■■>Хп]т Нп21' ■•■'Яп2р)

'11' •••'Я1 р) Запишем модель робастного проектирования как 7 = Хяд + е,

(5)

(6)

где е - матрица неконтролируемых возмущений, для которых, как и ранее, б

Щ = о2 ¿,у

которых, как и ранее, будем полагать £е = 0; Ее^= 0;

У=

Л1

••• У/

"1«2

(7)

Следовательно, возникает проблема возможности проведения и анализа данных робастных экспериментов.

2 ВЫБОР УСЛОВИЙ ПРОВЕДЕНИЯ

РОБАСТНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Реализация многофакторного математического моделирования поведения сложных технических объектов требует затрат в пространстве и во времени с участием исполнителей, материалов, энергоносителей, привлечения необходимого исследовательского оборудования, которые должны взаимодействовать между собой по определенному плану.

Число необходимых опытов в плане эксперимента зависит от числа факторов, сложности поведения каждого фактора и сложности поведения моделируемой системы. Сложность поведения фактора в математическом моделировании формализованно описывается степенью полинома, необходимого для адекватной аппроксимации результатов опытов.

Известно, что полный факторный эксперимент соответствует многим хорошим критериям качества. Однако практика прикладных исследований показывает, что следует использовать дробный факторный эксперимент, в особенности в ситуациях, когда область планирования расширяется за счет исследования влияния шумовых

воздействий (количество опытов будет равняться И] Уп^)■ Дробный факторный эксперимент будет наиболее близок по статистическим свойствам к свойствам полного факторного эксперимента, если для него будет выполняться условие пропорциональности частот уровней факторов. Такие планы соответствуют критериям ортогональности (для моделей главных эффектов); О -, {')- оптимальности, если планы равномерные; возможно разбиение плана на ортогональные блоки; близость к насыщенному плану. В таких планах можно изучить как количественные так и качественные факторы одновременно в одном плане эксперимента. На число уровней каждого фактора ограничения не накладываются.

Дробные реплики это не только путь сокращения перебора вариантов как такового, но и средство борьбы с "проклятием размерности". Чем больше факторов, тем больше размерность пространства, в котором ведется описание объекта, так как каждый фактор задает координатную ось в факторном пространстве. Описывая с помощью дробных планов несущественные или малосущественные факторы, удается значительно понизить размерность пространства.

Если в качестве матриц планирования для контролируемых факторов и шум-факторов выбирать ортогональные таблицы, то в этом случае получим прямое произведение двух ортогональных таблиц, а прямое произведение двух ортогональных планов ТС ^ и %2 Дает новый ортогональный план ТС. Также обеспечиваются свойства ортогональности, сбалансированности, й- и £)- оптимальности [2]. Обеспечение данного условия позволяет проводить анализ полученной ортогональной таблицы классическими методами. Далее рассмотрим метод анализа результатов экспериментов, когда данное условие может и не выполняется.

3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫХОДНОЙ

ИНФОРМАЦИИ

Традиционный подход к обработке экспериментальных данных не применим, так как между средним (I и стандартным отклонением а у возникают различные виды зависимостей. И как следствие МНК оценки получаются смещенными.

Эффективность обычных методов анализа в единицах

и Т7- статистик, а также эффективность дисперсионного анализа (ДА) возможно повысить с использованием трансформации данных. Рассмотрим возможность такой трансформации.

Там где известно заранее или можно оценить эмпирически, что стандартное отклонение а у непреоб-разованного отклика у , связано некоторой определенной функцией /(|Я) со своим средним значением, Ц = Е{у), можно получить подходящее преобразование непосредственно, воспользовавшись преобразованным значением g(y) из выражения [3]:

Другими словами, возможно получить g(y) , интегри-1

руя ^ по у. Например, если > то наилучшим

преобразованием, стабилизирующим дисперсию, будет у1 -1.

Применим данный подход для анализа результатов робастных экспериментов.

В дальнейшем будем рассматривать только подмножество входных факторов х = (х^,х2), где х^ - факторы, влияющие только на и у ■ х2 ' факторы, влияющие только на (1.

Предположим, что общий вид g(y), стабилизирующего дисперсию

(9)

при этом будем считать, g(y) является функцией только подмножества из множества входных параметров х . Тогда g{y) - величина стабилизирующая дисперсию, а х2 - вектор регулируемых факторов, который можно изменять без изменения дисперсии.

То в том случае для минимизации дисперсии выходной характеристики мы можем независимо отрегулировать Х| относительно g(y) и отрегулировать х2 так чтобы удовлетворяла уравнению |Я0 = X -/(Ц0)/' х х(Ио)*00-

Величина /(М^/ЧМ-о^ОО измеряет расстояние от номинала X . Данная величина обычно небольшая.

Для примера рассмотрим частный случай /(¡л) = , для которого

|л2а

и соответственно

Но =

(10)

(11)

ду Яу) '

(1 + ауо2)' где у0 - коэффициент вариации.

Если а = 0 , то О у не является функцией от Ц и = X. И анализ можно проводить без использования трансформации.

а2 9

Если а = 1 , то g(y) = —~ = у и в соответствии с пре-цг

дыдущим предположением минимизация g{y) соответствует максимизации отношения сигнал/шум SNT [1]. Общее среднеквадратическое отклонение тогда может быть получено установкой g(y) в его минимальное значение g(y(x\Q)) = у2 или установкой отношения сигнал/шум в значение -Ю1с^у0 [4]. При этом регулируемые значения х2 могут быть использованы для перемещения среднего значения р. как к заданному х , так и к минимизированному значению

х

(8)

(1 + Уо)

Г.В. Табунщик: РОБАСТНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

4 ОЦЕНКА ВКЛАДА ФАКТОРОВ В ВЫХОДНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ

Использование ортогональных таблиц позволяет отнести исследуемый вид планирования к планам дисперсионного анализа. Следовательно, для анализа используем следующую схему ДА, для которого в качестве отклика используем у - вектор преобразованных выходных, результаты анализа заносим в табл. 1, где й/ - количество степеней свободы, к - количество уровней варьирования, 55 - сумма квадратов, МБ - среднеквадратическое отклонение, а- - передаточное отношение [5].

Таблица 1 - Таблица дисперсионного анализа

Источник дисперсии df SS MS ayi(%)

xl к-1 ssxl SSxi SSX i

dfxi SS общ

х2 к-1 SSx2 SSX2 dfX2 SS x2 SS06ui

хт к-1 SSxm dfxn SS xm SS06ut

Общая сумма квадратов т-1 SS общ SSобщ d/общ 100

Следовательно, возможно получить традиционные МНК оценки

л, п2 п2 пх

I I УиМЫ I I Ч,(Ъц)Уи1

ы =

л, л2

I IW«,-)*

и= 1/= 1

.. bg = 1=\и=\ ' uhj л2 л,

I I wxw

1=\и=\

S2{WX}

i "1 Л2

I z ВД

и = 1/= 1

fo_ 2rwi _

-^Щ} = —-

"l «1 n

N

I y«WM.

IU JU

bqg = JLüJ-..2

У N

■J2{MS}

1 "2 I I

и = 1/= 1

>0

X [0?ue/J2

u = 1

4 1 N

I

и = 1

5 ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

Для задач робастного планирования эксперимента, в которых шум-факторы не коррелированны с входными факторами, возможно получить оценки коэффициентов регрессии.

Следовательно, если обе матрицы планирования и Ох и ортогональны, то можно получить полиномиальную модель

* = ¿0+ I ЬЧМХХ(Х,)+...+ £ Ь$тЩт(хт) + ?=1 г=1

г, -1 г, - 1

+ I I ^(йр + П+е, (13)

V = 1 г = 1

где (х), 6 У (й ■) - ортогональные полиномы Чебыше-

1 "у ]

ва <7~й и »-й степени соответственно для г-го проектируемого параметра и /-го шум-фактора, с помощью которых оцениваются главные эффекты факторов, П - соответствует взаимодействиям главных эффектов. В случае полного факторного эксперимента член П содержит все возможные произведения функций 0?(х), 9У (А .). Для

Х1 1 "у 1

планов с /?=/// член П отсутствует, для плана с Н= V он

содержит парные произведения функций Щ (х,) и

Х1 1

6У (й.) по одной для каждого фактора х- и й ■.

/ ] 'У

где i,j = \, к, i Фj, q = l,s(-l,g = 1,^ -1. Доверительные интервалы для оценок параметров определяют

обычным образом АЬ^ = .

Если хотя бы одна из матриц планирования является ортогональной, то система уравнений МНК разбивается на соответствующее число независимых систем уравнений, равных числу параметров модели ортогонального плана.

АТА= N^ I (АхВ){АхВ)т= ААТхВВт =NxIpxBBl, Т = [(АхВ)'(А ХВ)]~1(АХВУУ = =[{NxIp){BBT)Y\AxB)TY=[{BBT)-xBT] х^^7^].

Видно, что МНК оценки коэффициентов модели L итогового плана можно получить с помощью обычных формул для не ортогонального плана, в которых вместо значений откликов подставлены оценки коэффициентов

ATY

модели ортогонального плана L^ = . Сначала

определяют оценки параметров модели вспомогательного плана по соответствующей стандартной схеме, а затем эти оценки рассматриваются как отклики в основном ортогональном плане.

l = cy = (ere)-1e7Y.

6 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НОМИНАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ

Так как основное требование этапа проектирования -при минимуме информации максимально увеличить вариабельность системы для максимизации вероятности выбора оптимального варианта решения задачи, то роба-

стное планирование эксперимента является одним из наиболее эффективных инструментов, обеспечивающих заданное разнообразие.

После проведения эксперимента определение оптимальных уровней факторов свести к выполнению следующих шагов:

Шаг 1. Вычислить критерии оптимизации С^ ..., = 1,

Шаг 2. Рассчитать среднее значение каждого критерия

^гтаху для каждого /-го уровня ¿-го фактора.

Шаг 3. Рассчитать ранг каждого фактора Rgf =

= Сг8тахГСгетШ > гДе Сг1ах1 > Сг1ш " максимальное и минимальное значение g-гo критерия для г-го фактора. Ранг Rgf указывает степень вклада г-го фактора в исследуемый g-й показатель выходной характеристики. Шаг 4. Для max{Rgj ...Rgzi} выбираем уровень г-го фактора с заданным значением Сг%.

Например решения задачи назначения оптимальных параметров с использованием критерия сигнал-шум на основе данного алгоритма:

Шаг 1. Пусть в качестве выбираем и Кг2 — у . Шаг 2. Рассчитываем среднее значение отношения $N7

для каждого /-го уровня г-го фактора и У у - среднее значение выходной характеристики для /-го уровня г-го фактора.

Шаг 3. Рассчитываем ранг RgfN = Сг^х{ ,

который указывает степень вклада г-го фактора в разброс выходной характеристики.

Шаг 4. Рассчитываем ранг RgУ = СгУта . ■ , ко-

торый указывает степень вклада г-го фактора в отклонение выходной характеристики

Шаг 5. Если для г-го фактора RgfN > RgУ то выбираем уровень г-го фактора с максимальным отношением , иначе выбираем уровень г-го фактора, для кото-

рого Iytj

■ X\min .

7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДОПУСКОВОГО АНАЛИЗА

Решение задач анализа и синтеза точности допусков можно свести к решению выражения

А = V а2-А2., у . L-. yi XV

(14)

где а- функция чувствительности, отражающая степень воздействия входных параметров на выходную характеристику.

Если область работоспособности - выпуклая, в

этом случае поиск допусковой области возможно проводить с помощью методов планирования эксперимента.

Так как вклад фактора - это величина, определяющая степень воздействия отклонения входного параметра на дисперсию выходной характеристики, то для оценки

функции чувствительности а2; можно использовать ДА

(см. табл. 1).

Дальнейшая оптимизация допусков выполняется в зависимости от выбранного критерия - функции потерь, процента выхода годных или величин рисков [6].

ВЫВОДЫ

Робастное планирование эксперимента представляет удобный математический аппарат для исследования сложных технических объектов в условиях шумовых воздействий. Данный тип планирования эффективен, когда не выполняется предпосылка относительно распределений ошибок, вызванных контролируемыми шум-факторами. Использование предложенной в работе трансформации выходных данных позволяет повысить эффективность анализа робастных экспериментов когда в результате планирования стандартное отклонение выходной характеристики пропорционально её среднему значению.

Использование робастного планирования эксперимента позволяет заложить устойчивость показателя качества сложного технического объекта к различным вида шумовых воздействий на этапе проектирования.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Офлайновые методы управления качеством // Радюелектрожка, 1нформатта, Управлшня. - 1999. - № 1. -С. 120-123.

2. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. -М.: Наука, 1976.

- 345 с.

3. Дрейпер Н., Смит Г. Прикландой регрессионный анализ: В 2х книгах, Кн.1. - М.: Финансы и статистика, 1986. -366 с.

4. Dubrovin V., Tabunshchik G. Design Model of Compound Technical Object under Noise Influence // Proceedings of International Conference TCSET'2002. Lviv-Slavsko (Ukraine). - 2002. - P. 72-73.

5. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Проектирование качества: допусковый анализ // Радюелектрожка. 1нформатика. Управлшня. - 2000. - № 1. -С. 149-152.

6. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Информационные технологии проектирования допусков с учетом шумовых воздействий // Матер1али Мжнародно'Г конференци з управлшня "Автоматика-2002" в2-х т. - Т.2. - Донецьк. - 2002.

- С. 107-108.

НадШшла 2.03.04 Шсля доробки 26.03.04

Розглянутий метод робастного планування експеримен-ту та ocoÔAueocmi обробки результат1в. Наведено реал1за-щю даного методу при проектувант номтальних значенъ на параметры eupoôie (npou,ecie) та при прызначенш допустимых вгдхилень на параметры, що проектуютъся

Robust experimental design and data analysis method modification are considered in the article. Usage of this method in parameter and tolerance design is described by the author.