Проектирование качества: допусковый анализ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.753

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАЧЕСТВА: ДОПУСКОВЫЙ АНАЛИЗ

В. И. Дубровин, Г. В. Табунщик

Предложен метод решения задачи синтеза точности при проектировании с использованием дисперсионного анализа и стоимостного анализа, основанного на применении функции потерь.

Запропоновано метод вирШення задач1 синтезу точност1 при проектувант з використанням дисперсгйного аналгзу i варт1сного аналiзу, заснованого на застосуванн функцИ збиттв.

The technique of solving the problem of precision synthesis based on the analyze of variance and cost analyze based on Loss Function are offered in the article.

ВВЕДЕНИЕ

Эффективным средством решения проблемы качества отечественной продукции являются офлайновые методы - методы, не встроенные в процесс производства, позволяющие улучшить качество изделий и их технологичность, а также снизить стоимость разработки, изготовления, эксплуатации и ремонта. Эти методы являются техническим средством обеспечения качества на стадии проектирования изделий и разработки технологического процесса [1].

Одной из главных задач, которые должны быть решены для реализации методики офлайнового управления качеством, является задача определения оптимальных значений и допустимых отклонений параметров.

оптимизации допусков рассматривались как круг задач теории точности. Хотя, возможно, данные задачи должны составлять отдельный круг задач и являться базисом для взаимодействия между конструктором и технологом в деле непрерывного совершенствования создаваемого изделия.

Из проблем, рассматриваемых теорией точности, для решения задач допускового анализа выделим:

- задачу синтеза точности при проектировании

- задачу анализа точности при проектировании.

В задаче синтеза точности при проектировании по заданным значениям предельных отклонений ESy и Ely (ES - верхний предел, EI - нижний предел) выходной характеристики y, требуется найти предельные отклонения ESxi и EIxi и, следовательно, Дх = ESx -EIx i i xi xi xi

допусков входных параметров xi .

В задаче анализа точности при проектировании по значениям предельных отклонений входных параметров ESxi и EIxi , номинальных значений хн , yK необходимо определить ESy и EIy или значение поля допуска

Ду выходной характеристики.

y

Запишем аналитический вид зависимости между выходной характеристикой и входными параметрами с помощью выражения:

ЗАДАЧА СИНТЕЗА ТОЧНОСТИ ПРИ

ПРОЕКТИРОВАНИИ

Проблема установления допусков является очень важной и освещена в значительном количестве публикаций, среди которых большой удельный вес занимают работы, посвященные анализу и расчету допусков определенных типов изделий.

Теория определения и оптимизации допусков возникла при переходе от ремесленного к серийному, а затем и к массовому производству как теоретическая основа взаимозаменяемости [2]. Впервые принцип оценки годности изделия на основе контроля его параметров предельными размерами был разработан Ф. Тейлором и в дальнейшем получил развитие в машиностроении, радиоприборостроении, приборостроении.

Среди фундаментальных работ, посвященных решению задачи анализа и расчета допусков, в первую очередь, следует назвать труды Н.Г. Бруевича [3], Н.А. Бо-родачева [4], М.Л. Быховского [5].

В отечественных разработках задачи определения и

y f(x\, x2, xm) .

(1)

Используя классификацию, предложенную в [6], будем рассматривать многомерные множественные зависимости (одна выходная характеристика и несколько входных параметров) по характеру как линейные так и нелинейные, по природе как детерминированные так и стохастические.

При решении задач оптимизации допусков на стадии проектирования возникает ряд трудностей - на данном этапе не известен аналитический вид функции распределения входных параметров. Кроме того, не известны дисперсии и стандартные отклонения. Следовательно, конструкторы оперируют не дисперсиями О;, а полями

допусков А; . Последние приравниваются к полям рассеивания 8;, которые в нормально протекающем производстве равны или меньше полей допусков. Зависимость между параметрами 8; и О; выражается следующей зависимостью:

Sx - tx °x ,

(2)

где tx - положительное число, которое задает вероятность того, что значение х будет вне границ поля рассеяния.

Для решения задач определения допусков на практике широко используются метод максимума-минимума и метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло, при котором с помощью датчика случайных чисел аргументам задаются случайные значения, используется для моделирования распределения случайной величины.

Однако для нелинейных и многомерных задач расчет по принципу максимума-минимума не разработан. Метод Монте-Карло имеет ряд недостатков, достаточно полно описанных в литературе [6, 7].

Для использования вероятностных методов определения допусков необходимо знать законы и параметры распределения как выходной характеристики так и входных параметров, которые при нелинейных исходных зависимостях традиционными методами получить довольно трудно.

Классический метод решения задач анализа и синтеза точности при проектировании можно свести к решению выражения:

Ay -

I

i - 1

а2 А2.

yi Xi

(3)

где йу{ - функция чувствительности, отражающая степень воздействия входных параметров на выходную характеристику. Наиболее широко используемое выражение для определения значения данной функции -

а = ^

V Ъх% '

Использование данного метода требует наличия следующих условий:

а) знания исходной зависимости (1);

б) только одной выходной характеристики у;

с) допустимости линеаризации зависимости (1).

В настоящее время методика формализованного решения задач синтеза точности при проектировании разработана недостаточно [6, 8], и интуиция и опыт конструктора и технолога при решении данного круга задач играет главную роль. Разработанные методы распространяются только на линейную исходную зависимость (1), кроме того возникают трудности при определении количественной оценки влияния каждого входного параметра на выходную характеристику и нет метода, позволяющего выбрать наилучшее решение из множества возможных.

Следовательно, разработка методики решения задачи синтеза точности при проектировании с учетом нелиней-

ных исходных зависимостей между входными параметрами и выходной характеристикой является актуальной.

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ

ВЫХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ И

ВХОДНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Пусть задана функциональная зависимость (1), известны номинальные значения входных параметров, полученных на этапе проектирования параметров [9], известны допустимые отклонения выходной характеристики y - ESy и Ely или Ay . Будем считать, что превышение границ допусков ведет к отказу и, следовательно, требуется ремонт или регулировка параметров, что приводит к потерям Aq .

Так как в реальных процессах доминируют нелинейные зависимости между входными параметрами и выходными характеристиками, то для решения задачи синтеза точности при проектировании требуется выполнить преобразование исходной зависимости (1).

Для линеаризации нелинейных зависимостей традиционно используется разложение Тейлора, при котором выражение (1) линеаризуется в окрестности некоторой точки (ш+1)-мерного пространства. Величина этой области определяется допусками параметров. Однако разложение Тейлора имеет ряд недостатков [6]:

1) требуется наличие непрерывных производных в рассматриваемой области;

2) при разложении в ряд в окрестности точки с абсциссами (mx i, mx2, •••, mxm) (где mxi , mx2, mxm - математические ожидания аргументов Xi, X2, •.., xm (m+1)-

мерного пространства) ошибка приближения на концах заданных интервалов достигнет максимума;

3) затруднен анализ сходимости ряда.

Кроме того, для некоторых задач линеаризация исходной зависимости недопустима. В этом случае используется приближение функций полиномами. Для решения задачи допускового анализа наиболее эффективным инструментом является использование ортогональных многочленов Чебышева, которые в общем виде представляются как полиномиальные функции от уровней варьирования входных параметров. Степень полинома не может быть выше, чем число уровней варьирования минус 1. Разложение Чебышева сходится быстрее, чем разложение Тейлора, т.е. точность аппроксимации полиномами Чебышева выше, чем при любом другом приближении при одинаковом количестве членов [1q].

Таким образом, для каждого входного параметра выбирается число уровней его варьирования, которое должно быть на 1 больше максимальной степени полинома, необходимой для описания этим параметром поверхности отклика.

Для определения границ допусков не требуется более трех уровней варьирования, значения которых приведе-

m

ны в табл. 1, где Х;н - номинальное значение г-го входного параметра, / - номер уровня:

Таблица 1 - Уровни варьирования параметров к

MS„; =

SS„

dfxi '

(8)

j / k k=2 k=3

1 xm - °i XiE -'J372 X°i

2 xi н + °i xm

3

где - степень свободы;

5) для каждого входного параметра вычисляем степень влияния на выходную характеристику:

SS

ауг ? ? .

Результаты ДА сводятся в табл. 2.

Таблица 2 - Таблица дисперсионного анализа

(9)

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

В качестве планов для проведения экспериментов предлагается реализовать "Латинский квадрат" или "Ортогональные таблицы" [9,11], что позволяет использовать традиционную схему дисперсионного анализа (ДА), которая состоит из следующих шагов.

Для проведения дисперсионного анализа вычисляем:

1) фактор коррекции

( n \2

I У:

CF =

\u = 1 7

где n - количество опытов, u = 1, n ; 2) общую сумму квадратов

n

^общ = I y2 - CF ;

u = 1

3) суммы квадратов для исследуемых параметров

SSxi = bi I XiuVu - CF = b2n - CF ,

u=1

где bi = I (хшУиn , i = 1,1

u=1

4) вычисляем общий средний квадрат MSC^

MS = S S о бщ MS общ

dfобщ

и, соответственно, MSxi для каждого параметра:

(4)

Источник дисперсии df SS MS ayi (%)

x1 k-1 SSx 1 S S x1 dfx1 SSx 1 SSобщ

x2 k-1 SSx2 SSx 2 dfx 2 SSx 2 ^общ

x m k-1 SS xm SS x m dfxn SS x m SSобщ

Общая сумма квадратов m - 1 ^общ SS общ dfобщ 100

(5)

(6)

(7)

В результате ДА мы получаем степень воздействия каждого параметра на выходную характеристику.

СТОИМОСТНОЙ АНАЛИЗ

Так как мы рассматриваем задачу синтеза точности при проектировании, то в качестве исходных данных рассматриваются отклонения ESy и Ely выходного параметра. Обозначим ДУ = ESy-EIy . Так как при реше-

y y y

нии задач синтеза существует множество решений, то в качестве критерия оптимальности допускового решения примем затраты. Пусть Ay - потери, когда выходная

характеристика y не соответствует установленным допускам.

Для дальнейших вычислений воспользуемся функцией потерь [11]:

L = уД2

(10)

Поставив в выражение (10) значения Ay и Д.., найдем

yy

n

n

значение y:

АУ.

(11)

Для определения потерь для г-го параметра [12] воспользуемся данными, полученными в ходе дисперсионного анализа, в результате получим выражение:

теории планирования эксперимента позволяет на данном этапе решения задачи синтеза при проектировании использовать компьютерное моделирование, используя пакеты статистической обработки данных (Statistica, Stat-graphics, SPSS, Mathlab и т.д.). Использование функции потерь позволяет ввести единый экономический критерий оптимальности допусковых решений - стоимость (потери).

= A Х ауг Х М^бщ АУ

(12)

На основании полученных потерь принимается решение о расширении или уменьшении границ допуска. Если принимается решение об изменении границ допуска, то допуск для входных параметров возможно определить из выражения:

А,.- =

, ^ х А-.

I Ап ayi

(13)

Уравнение (13) является модификацией выражения (3) для решения задачи синтеза точности при проектировании.

выводы

Методика, предложенная в данной работе, предоставляет удобный математический аппарат для решения такого круга задач допускового анализа, как задача синтеза точности при проектировании. Использование дисперсионного анализа и ортогональных полиномов Чебышева позволяет определить степень воздействия входных параметров на выходную характеристику. Применение

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Офлайновые методы управления качеством //Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлш-ня, - 1999. - №1. - С.120-123.

2. Карепин П.А. От погрешности к допуску от допуска к погрешности //Надежность и контроль качества, - 1998. -№10. - С.24-34.

3. Бруевич Н.Г., Правоторова Е.А., Сергеев И.В. Основы теории точности механизмов. М.:Наука, 1988. - 238с.

4. Бородачев Н.А. Основные вопросы точности производства. М.:Изд-во АН СССР, 1959. -416с.

5. Быховский М.Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1958. -315с.

6. Фридлендер И.Г. Расчеты точности машин при проектировании. - К.: Вища школа, 1980. - 184с.

7. Brayton, R. K., Hatchet. G. D., Sangiovanni-Vincentelli A. L. 'A survey of optimization techniques for integrated-circuit design'.// Proc. IEEE, 1981, Vol. 69. pp. 1334-1362.

8. Иншаков А.Н., Иншаков С.А. Допусковый анализ при проектировании сложных технических систем //Информационные технологии. - 1997. - №1. - С.34-39.

9. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Робастное проектирование по Тагути //Надежность и качество. Инновационные технологии производству XXI века/Книга докладов международного симпозиума, посвященного 275-летию Российской Академии наук. - Пенза: ПГУ, 1999, С.149-151

10. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. Изд-е 3-е. - М.: Наука, - 1983. - 416с.

11. Taguchi G. Introduction to Quality Engineering: Designing Quality Into Products And Process. Tokyo. Asian: Productivity Organization, 1986, 191p.

12. Dubrovin V., Tabunshchik G. Loss Function as Tolerance Optimization Criteria //Proceedings of International Conference on Modern Problem of Telecommunications, Computer Science and Engineers Training TCSET'2000, February 14-19, 2000, Lviv-Slavsko, Ukraine, pp. 45-46.

Надшшла 07.02.2000 П1сля доробки 17.03.2000

Y

УДК 621.3.05: 519.2

УНИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК РЕАКЦИИ ОБЪЕКТА НА СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

Э. Г. Куренный, Ю. И. Чепкасов, Л. В. Черникова

Рассматривается задача определения реакций при воздействиях случайных помех на объекты. Линеаризацию предлагается осуществлять методом параметрической идентификации. Для расчета характеристик искомой реакции система представляется в виде параллельно включенных инерционных звеньев. Эффективность методов иллюстрируется на примере оценки влияния изменений напряжения, подаваемого на синхронный электродвигатель.

Розглядаеться задача визначення реакцгй у зв'язку з дгян-ням випадкових завад на об'екти. Л1неар1защю пропонуеться виконувати методом параметричног 1дент1ф1кацп. Для розра-хунку характеристик шуканоЧ реакцп система зображаеться

у виглядг паралельно увгмкнених гнерцгйних ланок. Ефектив-нгсть методгв глюструеться на прикладг оцгнки впливу змгн напруги на синхронному двигунг.

The task of reactions determination by influence of random interferences on objects is considered. It is suggested to accomplish linearization by method of parametric identification. System is presented in the form of connected in parallel linear inertial links for calculation of unknown reaction characteristics. The effectiveness of methods is illustrated on example of estimation of voltage alterations influence on synchronous electric motor.