CC BY
43
Выпуск 2
4. Погодаев Л. И. Моделирование процессов изнашивания материалов и деталей машин на основе структурно-энергетического подхода / Л. И. Погодаев // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 1998. — № 5. — С. 94-103.
5. Ломухин В. Б. Испытания модификатора трения «Форум» / В. Б. Ломухин, Л. В. Ломухина, И. Г. Мироненко [и др.] // Трение, износ, смазка. — 2002. — Вып. 13. — С. 19-24.
УДК 621.313 А. В. Саушев,
канд. техн. наук, доцент, СПГУВК
ОТОБРАЖЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОЛИНОМИНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
DISPLAY OF STATIC AND DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTROTECHNICAL SYSTEMS BY POLYNOMINAL FUNCTIONS
Рассматриваются принципы, необходимые условия и особенности построения факторных моделей для исследования статических и динамических свойств электротехнических систем. Определены требования, предъявляемые к параметрам системы, и область применения моделей.
The principles, necessary conditions and features of construction offactorial models for research of static and dynamic properties of electrotechnical systems are considered. The requirements for parameters of a system and a field of models application are defined.
Ключевые слова: факторная модель, электротехническая система, отображение свойств.
Key words: factorial model, electrotechnical system, display of properties.
ПРИНЦИПЫ построения факторных моделей. Для решения задач параметрического синтеза и диагностирования электротехнических систем (ЭТС) достаточно часто требуется знать характер изменения оценки свойств системы в зависимости от значений ее внутренних параметров. Для получения такой модели удобно воспользоваться иной, отличной от классической, формой представления информации о свойствах ЭТС.
Следуя работе [1], определим ЭТС как отношение S с W х D над абстрактными множествами W и D. Входящие в определение системы множества W и D являются соответственно множеством входов ^} и множеством выходов {у}. При заданном начальном состоянии ЭТС а можно представить как отображение Sа : W ^ D абстрактного множества W в абстрактное множество D. Отображение Sa ставит в соответствие каждому элементу w е W единственный элемент у е D. Такое отображение называется функциональным.
Для иллюстрации введенной формы представления ЭТС рассмотрим достаточно часто имеющий место на практике случай, когда ЭТС является непрерывной детерминированной системой с сосредоточенными параметрами, и ее свойства могут быть описаны следующей системой линейных дифференциальных уравнений «-го порядка с постоянными коэффициентами:
И,=ви,+м,-
где В — матрица коэффициентов системы; \/'\1 — координатный столбец векто-
ра регулируемых величин Z1(t), 22(0, ..., 2(), ..., 2(), являющихся фазовыми переменны-
ми ЭТС; [ц]?— координатный столбец вектора возмущений ц^), ц2(/). ц(/). В общем случае
[и], = {“1 (0.и2(0»•••,«*(О»•• •»“«(0»(0.МО,...,ур(0.-»у/(0}. При заданном возмущении и начальных условиях при ^ = О решение системы уравнений имеет вид
И,=^И„о+1^"'М,л
о
Таким образом, если вектор возмущений определен в пространстве Я , а вектор Z в пространстве Яс, то полученная зависимость представляет собой отображение Sа: Я ^ Яс, где индекс а обозначает заданные начальные условия.
Анализ рассматриваемого в работе класса ЭТС показывает, что информация о свойствах практически всех элементов этих систем для заданных начальных условий может быть представлена в виде отображения S то есть в виде связи некоторого подмножества входных воздействий со стороны внешней среды ц с Wс множеством реакций D системы на эти входные воздействия. Математическая модель, которая получается в результате такого отображения, называется факторной моделью.
Задача построения отличной от классической формы представления результатов исследования ЭТС связана с изменением входных и выходных множеств системы или с изменением формы связи между этими множествами.
В работах А. М. Ляпунова при исследовании устойчивости динамических систем в качестве множества входных сигналов рассматриваются параметры этой системы, а в качестве возмущающих воздействий приняты отклонения параметров системы от некоторых исходных значений, при которых происходит движение системы. Следуя А. М. Ляпунову, представим входное множество таким образом, чтобы оно состояло лишь из внутренних параметров системы.
Пусть множество входных сигналов W представимо в виде декартова произведения W = Бх х и семейства множеств значений внутренних параметров системы DX = {X}, которые также называют первичными параметрами, и множества входных задающих сигналов и = ^}, где X = {Х1, Х2, ..., X, . ., Хм}, u = {м1, и2, ..., ик, ..., ие }. Тогда отображение фа: DX х и ^ D также будет описывать свойства системы, но в ином виде..
Преобразуем множество входов системы следующим образом: зафиксируем некоторый задающий сигнал u е и и рассмотрим для него отображение / Тогда можно принять этот вход за внешние начальные условия и исключить его из множества входных сигналов. При этом множество входов будут составлять только первичные параметры системы.
Таким образом, в работе предлагается использовать в качестве возмущающих воздействий не сигналы ^ а изменение значений первичных параметров системы X. Подобное представление входного множества отличается от представлений (по А. М. Ляпунову). В данном случае за начальные условия принимаются не значения параметров системы, рассматриваемой в некотором свободном движении, а внешний сигнал u е и, вносящий возмущение в движение системы при заданном значении а.
Преобразуем выходное множество. Учитывая, что при решении задач параметрического синтеза и диагностирования ЭТС обычно используются не просто переходные функции, годографы или фазовые траектории, а оценки этих функций, то есть показатели качества, введем следующее отображение.
Пусть имеется множество выходных сигналов системы DZ с D, где DZ = ^} и семейство множеств оценок выходных сигналов DY с D, где DY = ^}. Тогда между ними можно определить множество отображений Р. DZ ^ DY . При этом задание оценки выходного сигнала сводится к < выбору отображения /. е Р, /. : DZ ^ {У. }. Рассмотрим связь полученных входного и выходного множеств, то есть построим отображение, ставящее каждому элементу входного множества элемент выходного множества.
В общем случае каждый первичный параметр ЭТС X е X влияет на выходной сигнал Z через некоторую координатную функцию отображения ф Окончательный результат его действия на
Выпуск 2
сигнал X будет определяться по совокупному влиянию через все координатные функции. Таким образом, отображение фи можно представить в виде некоторой комбинации координатных функ-
где Zjv — семейство множеств сигналов Z^, посредством которых координатная функция фи‘ сопрягается с другими координатными функциями отображения фи; X. — множество выходов /-й координатной функции.
Поскольку сигналы Ziv зависят от вектора первичных параметров X с DX и вектора внешних начальных условий u с и, то их можно определить как результат отображения д. : X х u ^ и которое будет определять вклад данного параметра в порожденную им координатную функцию, то есть д^, и) есть функция распределения влияния вектора параметров по всем координатным функциям.
*
Обозначим отображение, определенное на множестве DX х Zv, как Ф„. Для обоснования возможности представления отображения фи через координатные функции у>и сформулируем следующее предположение: изображение фи состоит из связанных между собой координатных функций ф^, если для любых векторов Z с DZ и Xс DX при заданном входном воздействии и с и выходной сигнал может быть представлен отображением
Выполнение данного условия означает, что выходной сигнал должен быть представлен в виде с компонент вектора Z = Z1 х ... х X.
Аналогичным образом отображение/. : ^ У. можно представить в виде некоторой комбина-
Такое представление отображения /. позволяет его рассматривать как функцию веса для каждого выхода координатных функций отображения фи в зависимости от поставленной задачи, а построенная функция Zu = / фи будет определять степень влияния каждого параметра на выбранную оценку исследуемого процесса при заданных внешних начальных условиях.
Введем критическую оценку Y степени влияния первичных параметров ЭТС на ее выходную переменную. В результате разобьем все множество этих параметров на два подмножества Х= Хц ПХнц: целевых (определяющих достижение поставленной цели) параметров Xц, для каждого из которых /и{Хь)> 7^,2 =1,и, и нецелевых (не определяющих) параметров Xнц, для которых это неравенство может не выполняться. Параметры Xнц могут рассматриваться как внутренние начальные условия, для которых будет проводиться исследование. Среди целевых параметров Xц ЭТС можно выделить множество настраиваемых параметров Xн (или XV ). При этом все остальные первичные параметры будут составлять множество не настраиваемых параметров Xнн (или Xс ).
Введем отображение, определенное на множестве Xц. Пусть множество всех отображений, заданных на множестве значений первичных параметров DX ЭТС, есть Фи = {фи }. Рассмотрим подмножество Ф,^с Фи, такое что Ф,^ = {фиХщ}, где ФмХщ : Хц —>
* Отображение Ф1жщ устанавливает связь между целевыми параметрами системы и оценка-
упы ми ее исследуемых свойств. Оно может рассматриваться как форма представления информации
ш о свойствах ЭТС для заданных внешних и внутренних начальных условий. При этом множество
параметров Xнц интерпретируется как внутренние начальные условия, а возмущение со стороны окружающей среды при заданных начальных условиях рассматривается как внешние начальные условия.
Рассмотрим методику построения отображения ФиХщ. Зададимся внутренними начальными условиями и подадим на вход ЭТС управляющее воздействие. На выходе системы будет наблюдаться сигнал Z. Вид этого сигнала определяется внутренними и внешними начальными усло-
г=ф*(х,9(х,и),и) или г=фн(х,и).
виями, а также значениями целевых параметров, то есть отображением Ф „х^. В зависимости от постановки задачи полученному выходному сигналу Z посредством отображения /. ставится в соответствие некоторый вектор У как элемент множества . При этом У с . Оценкой состояния ЭТС может быть, например, какой-либо показатель качества ее работы.
Композиция отображений ФнХщ и /. будет определять перенос выбранной оценки в пространство целевых параметров, то есть каждому сочетанию значений целевых параметров соответствует одна и только одна точка рассматриваемого пространства. Положение этой точки относительно какого-либо базисного вектора будет определяться вкладом соответствующего целевого параметра в оценку исследуемого свойства ЭТС по схеме: координатная функция ^ выход координатной функции ^ оценка этого выхода при определенных внешних и внутренних начальных условиях.
Изменим значение вектора целевых параметров, то есть внесем в систему некоторое возмущение (по А. М. Ляпунову), и зафиксируем предыдущие внешние начальные условия. В соответствии с видом отображения Ф,^ некоторым образом перераспределится между целевыми параметрами их вклад в суммарную оценку выходной переменной ЭТС. При этом будет получена новая точка в пространстве целевых параметров, причем ее относительное смещение будет определяться только изменением сочетания значений целевых параметров. Получив необходимый минимум точек, можно построить некоторую гиперповерхность (отображение Ф ), форма которой будет передавать поведение выбранного критерия в пространстве целевых параметров для заданных начальных условий. Используя методы аналитической геометрии, можно исследовать поведение вектора оценок выходного сигнала, а следовательно, и поведение интересующих свойств ЭТС в пространстве целевых параметров.
Таким образом, динамические свойства ЭТС могут быть описаны при помощи факторных моделей, то есть функций £ которые в зависимости от решаемой задачи характеризуют одно из следующих отображений:
Ф«хнц: Хц или ф^: \^Щ;
<*« : Хн -> Ог или ^ : Хн -> Щ\
ФмХ„ц: Хц ->!>!■ или Ф^ХщГ Хц -*Щ\
^«Хнн ■ Хц —> или : Хц —>£)/.
Здесь = ^2,0*2,Щ, Бу =^Пу,Пу,...,0^,...,0у.
На рис. 1 на основе введенных отображений приведены взаимосвязи между внутренними и выходными параметрами ЭТС, а также параметрами внешних воздействий на систему, определяющие множество V = {у}, V = V2, ..., V ..., Vf).
Аналогичным образом могут быть построены функции £ которые отображают допуско-вую область пространства параметров Я™ в допусковую область Мг пространства параметров Я", то есть Ф™ : ^ Мт , допусковую область пространства параметров Яс в допусковую область Му пространства параметров Яс, то есть фс: —» Му, а также область работоспособности
О пространства параметров Я" в допусковую область пространства параметров Яс, то есть
Ф": С-^.
Необходимые условия построения факторных моделей. Рассмотрим необходимые условия построения функций £ Область их использования зависит от возможности построения гео- ' метрического образа ЭТС, что равносильно возможности построения отображения ФиХщ • Хц —>Оу для заданных внешних и с и и внутренних Хнц с Ох начальных условий. Исходя из условия существования отображения Ф^х , можно сформулировать требования: для множества значений вектора целевых параметров Xц; множества оценок Б}Г ; внешних начальных условий и; внутренних начальных условий X .
нц
Выпуск 2
Выпуск 2
Рис. 1. Взаимосвязь между множествами внутренних и выходных параметров ЭТС
Отображение ФнХщ существует в том случае, если может быть построена композиция отображений fj ■ фиХ . Область применения функций £а полностью зависит от ограничений, которые накладываются на существование отображений/., и ФиХщ для заданных внешних и с и и внутренних Xнц с Вх нормальных условий, причем область значений отображения ФиХщ должна совпадать с областью определения отображения /. : УХ £ Бх при заданных и с и, Xн с Dх . При этом
Фи^Хнц = Л ' ФиХнц ^ з ФиХд^ 3 /. .
Рассмотрим условия реализуемости отображения Фих^. Условия, при которых невозможно существование рассматриваемого отображения ФиХщ • —> Вг, определяются физической реали-
зуемостью его компонентов. При этом возможны следующие варианты:
1) имеются такие недопустимые значения вектора целевых параметров, для которых не существует выходного сигнала Z:
ФиХнц фиХнц
(УХц с Вх, 3 Ъ с : Х ^ ), ^ 3 Хц с Вх: У Ъ с В2, Х ^ Вт
Отсюда следует ограничение, которое накладывается на множество Xц:
Это ограничение определяет работоспособное состояние ЭТС;
2) выполняется одно из двух условий:
(X є Хц: ^ = фиХщ (X),Ъ2 = фиХщ (XZ1 = Z2) ,
З Х Є Хц : Z1 = ф„Хнц (Х), Z2 = фиХнц (Х)^ Z1 Ф Z2'
В общем случае всегда возможна следующая ситуация: 3 Х1 ^ Z1, X2 ^ Z2, ^ Z1 ^ Z2, и избежать такого явления можно только при наличии ряда ограничений:
— вектор целевых параметров должен быть наблюдаем в любой точке множества Хц;
— исследуемая ЭТС должна быть «грубой», то есть малые изменения параметров не должны существенно изменять характер движения системы или, что то же самое, топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений.
Рассмотрим условия существования отображения /. . Существование данного отображения выдвигает требования к множеству , которые должны быть такими, чтобы
Задание внешних начальных условий при детерминированном возмущении требует конгруэнтности кривых вектора возмущений. Это условие значительно слабее принятого в теории автоматического управления требования эталонных возмущений — единичного скачка, импульсной функции или синусоидального сигнала. Необходимым условием является требование того, чтобы функция £а строилась при каком-то одном, наиболее характерном для условий работы исследуемой ЭТС возмущении.
При наличии внешних начальных условий случайной природы следует использовать методы теории случайных процессов для оценки вероятностных характеристик возмущения и стабильность этих оценок принимать в качестве требований к внешним начальным условиям.
Задание внутренних начальных условий не означает обязательную стабильность значений первичных параметров ЭТС. В общем случае единственным условием, которое накладывается на значения параметров Хнц, является требование конгруэнтности кривых, описываемых вектором Хнц при определении каждой точки функции £
Поясним сформулированное условие на примере ЭТС с переменными параметрами. Пусть система описывается следующим линейным дифференциальным уравнением
где т т к к2 — некоторые постоянные коэффициенты.
В результате семейство переходных характеристик можно минорировать определенной функцией, например показательной, и оценку качества ЭТС определять по минорирующей кривой.
то есть оценки должны быть однозначными.
Требования к внешним начальным условиям Z с
Требования к внутренним начальным условиям Хнц с Вх
где ґ — начальный момент приложения возмущающего воздействия.
Решение подобных уравнений при подаче на вход системы единичного скачка:
г стп-1 ст2
^ (г; -*о) = { (ч -ст„ ав-1 | ... 122 (СТ2; -ст) • 2Х (^; ч0) й^
го го го
может мажорироваться следующим выражением:
г г
2 (і; -і0 ) = 122 (і;-стп-1 )2Х (ст1; -г0 )йст < т1т21 е к ( ст) • е к(г ст =
г0
г0
Выпуск 2
Выпуск 2
Таким образом, нестабильность значений параметров исследуемой системы при построении функции Sa может рассматриваться как некоторое «шумовое поле», которое накладывается на прохождение входного сигнала /. е Р
Основные особенности построения функций 5а для описания свойств ЭТС можно свести к следующим требованиям:
— построение функций может проводиться только для множества значений вектора целевых параметров, в котором ЭТС сохраняет работоспособное состояние;
— вектор целевых параметров должен быть наблюдаем;
— исследуемая ЭТС должна быть «грубой» (к таким системам относится большинство используемых на практике систем);
— оценки выходных сигналов ЭТС должны быть однозначными;
— построение функций 5а следует проводить для заданных внешних и внутренних начальных условий;
— кривые, описываемые векторами Z е и Хнц с Вх , при определении каждой точки функции 5а должны быть конгруэнтны между собой;
— функции 5а не могут быть использованы для отображения свойств ЭТС, у которых не существует однозначной оценки выходного сигнала.
Особенности отображения свойств ЭТС систем полиноминальными функциями. К основным задачам анализа и синтеза ЭТС, учитывающих параметрическую нестабильность первичных параметров, относятся задачи параметрического синтеза и контроля состояния ЭТС в процессе эксплуатации. В рамках этих задач отображение статических и динамических свойств ЭТС функциями вида 8а требуется прежде всего при решении задач построения границы области работоспособности и выбора оптимальных значений целевых параметров системы. Анализ исследования разнообразных ЭТС показал, что с этой целью в качестве факторных моделей наиболее удобно и практически целесообразно использование полиномиальных (регрессионных) моделей, которые могут быть построены на базе методов теории планирования эксперимента [2]. К достоинствам таких моделей следует отнести: универсальность, которая позволяет использовать модели для широкого класса ЭТС; удобство их практического применения и простоту анализа степени влияния того или иного первичного параметра на выходную переменную или показатель качества системы; достаточно высокую точность, которая может быть оценена и при необходимости повышена за счет увеличения степени полинома.
К первичным параметрам ЭТС относятся геометрические размеры элементов ЭТС. сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, индуктивности катушек, функции от перечисленных параметров, имеющие определенный физический смысл — коэффициенты усиления, постоянные времени и т. д.
Выходные параметры характеризуют свойства ЭТС, интересующие потребителя. Они, как отмечалось, представляют собой параметры-функционалы, то есть функциональные зависимости фазовых переменных (токи, напряжения, угловые скорости и т. п.), и параметры, являющиеся граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность ЭТС. К выходным параметрам на стадии параметрического синтеза относятся показатели назначения (производительность, время переходного процесса, удельный расход электроэнергии и т. п.), параметрической надежности (вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, запас работоспособности и т. п.) и экономичности [3].
Выделим виды эксперимента, которые можно использовать при исследовании и оптимизации свойств ЭТС.
Натурный эксперимент. Предполагает проведение эксперимента на реальной ЭТС. Это возможно как на стадии производства, когда производится наладка системы, так и на стадии эксплуатации. Достоинством эксперимента является то, что математическая модель, полученная на его основе, учитывает реальные физико-химические процессы, протекающие в системе, и тем самым характеризуется высокой потенциальной адекватностью. Для удобства проведения натурного эк-
сперимента следует использовать разработанный автором прибор, обеспечивающий возможность варьирования параметров элементов, выбранных в качестве факторов, без нарушения монтажа схемы [4; 5, с. 64].
Математический эксперимент. Предполагает проведение эксперимента на математической модели ЭТС. Этот эксперимент может быть реализован на всех стадиях исследования, оптимизации и диагностирования ЭТС. Однако в силу того, что он характеризуется меньшей потенциальной адекватностью по сравнению с натурным экспериментом, его целесообразно использовать в основном лишь на стадии проектирования.
С точки зрения организации эксперимента преимущество имеет активный эксперимент, который выполняется по заранее составленному плану и позволяет существенно упростить процесс получения математической модели по сравнению с пассивным экспериментом.
Выделим основные этапы использования теории планирования эксперимента для отображения свойств ЭТС.
Выбор плана эксперимента. Под планом эксперимента обычно понимают совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов [2]. Для установления функциональной зависимости отклика У от факторов X используется прием адекватного представления функции отклика У = ф(Х) некоторой приближенной аналитической моделью ф(Х). Наибольшее распространение для построения аналитических моделей получило многочленное приближение ф(ВХ), где В — вектор коэффициентов приближающего полинома, которые определяются с помощью метода наименьших квадратов. Для построения аналитических моделей необходимо провести ряд опытов и расчетов в определенных точках факторного пространства параметров Х{, i =1 ,п.
Выбор оптимального плана эксперимента зависит от вида аппроксимирующей зависимости ф(Х), числа факторов п, а также от критерия оптимальности, предъявляемого к этому плану. Опыт исследования разнообразных ЭТС показывает, что для абсолютного большинства решаемых задач оказывается достаточным ограничиться представлением функции отклика полиномом не выше второго порядка [2]. Например, для решения задач параметрического синтеза ЭТС целесообразно использовать разработанный автором метод сужающихся областей [6, с. 103-111; 7, с. 34—41], который предполагает применение факторных моделей для аппроксимации отдельных гиперповерхностей, составляющих область работоспособности. Вместе с тем каждая отдельно взятая гиперповерхность в общем случае представляет собой гиперповерхность второго порядка. Если вид модели заранее неизвестен, следует воспользоваться принципом постепенного усложнения вида моделей [2] и использовать первоначально линейное приближение.
Известно большое разнообразие планов первого и второго порядка. При выборе того или иного плана, в зависимости от вида ЭТС и решаемой задачи, целесообразно воспользоваться таблицей сравнительной характеристики планов, приведенной в работе [2].
При практической реализации планов первого и второго порядков появляются задачи выбора центра планирования, определения шагов варьирования АХ по каждому фактору, установления общего числа опытов, определения порядка реализации плана, то есть последовательности проведения опытов. Для решения задач параметрического управления состоянием ЭТС [3] центр выбранного плана следует совместить с центром области действия, то есть с центром области Вх , которая также определит диапазон варьирования факторов. Рекомендации по выбору шагов варьирования факторов ЭТС изложены в работе [2].
Проверка адекватности аналитической модели. Полученную математическую зависимость, связывающую первичные и выходные параметры ЭТС, необходимо проверить на адекватность действительным значениям, полученным в результате опытов и расчетов. В том случае если модель окажется неадекватной, необходимо продолжить эксперимент и провести дополнительную серию опытов (расчетов) для определения коэффициентов новой модели, с целью получения более полной математической зависимости У = ф(Х). При этом, как правило, осуществляется переход от планов первого порядка к планам второго порядка. Проверка адекватности эксперименталь-
Выпуск 2
Выпуск 2
но полученных полиномиальных моделей производится с помощью известных статистических процедур [2]. При выборе уровня значимости для оценки полученной модели следует обращать внимание на содержание решаемой задачи. Так, например, если аналитическая зависимость требуется лишь для определения первой точки, принадлежащей области работоспособности, то нет необходимости в построении модели высокой степени точности.
В том случае если отклик определяется в каждом опыте без ошибки, например при проведении математического эксперимента и расчетах на ЦВМ, появляется сложность в проверке адекватности полученной модели, связанная с отсутствием дисперсии воспроизводимости. В настоящее время известно несколько специальных приемов, позволяющих выйти из этого положения. Наиболее простым из них можно считать введение искусственной дисперсии опытов как доли нулевого коэффициента модели. Если полученная полиномиальная функция является полиномом второго порядка, но не адекватна уравнению У = ф(Х), целесообразно воспользоваться специально разработанными процедурами, не требующими повышения порядка полученного полинома.
При использовании полиномиальных функций для решения задач, связанных с определением состояния ЭТС, построением границы области работоспособности и т. п., точность полученных моделей может быть оценена при помощи разработанной автором методики [3]. Накопленный опыт использования упрощенных полиномиальных уравнений для решения задач анализа и синтеза разнообразных по своему функциональному назначению и структуре ЭТС показывает, что они позволяют успешно решать поставленные задачи при исследовании ЭТС как в статических, так и в динамических режимах их работы, а в ряде случаев такие модели являются незаменимыми и единственно возможными.
1. Месарович М. Общая теория систем: Математические основы / М. Месарович, Я. Такаха-ра. — М.: Мир, 1978. — 312 с.
2. Саушев А. В. Планирование эксперимента в электромеханике / А. В. Саушев. — СПб.: СПГУВК, 2008. — 216 с.
3. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем / А. В. Саушев. — СПб.: СПГУВК, 2004. — 126 с.
4. А. с. 1206754. Имитатор режимов контроля технического объекта // Бюл. изобр. — 1986. —
5. Саушев А. В. Микропроцессорный автомат для управления состоянием электротехнических устройств транспортных систем / А. В. Саушев // ТВАНСКОМ—94: материалы Всерос. науч.-техн. конф. — СПб., 1994.
6. Саушев А. В. Оптимизация судовых электротехнических устройств на максимум запаса работоспособности: сб. науч. тр. / А. В. Саушев; ЛИВТ. — Л.: ЛИВТ, 1984.
7. Саушев А. В. Аналитическое описание областей работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2009. —
Список литературы
№ 3.
Вып. 4.
