CC BY
7
значение y:
АУ.
(11)
Для определения потерь для г-го параметра [12] воспользуемся данными, полученными в ходе дисперсионного анализа, в результате получим выражение:
теории планирования эксперимента позволяет на данном этапе решения задачи синтеза при проектировании использовать компьютерное моделирование, используя пакеты статистической обработки данных (Statistica, Stat-graphics, SPSS, Mathlab и т.д.). Использование функции потерь позволяет ввести единый экономический критерий оптимальности допусковых решений - стоимость (потери).
= A Х ауг Х М^бщ АУ
(12)
На основании полученных потерь принимается решение о расширении или уменьшении границ допуска. Если принимается решение об изменении границ допуска, то допуск для входных параметров возможно определить из выражения:
А,.- =
, ^ х А-.
I Ап ayi
(13)
Уравнение (13) является модификацией выражения (3) для решения задачи синтеза точности при проектировании.
выводы
Методика, предложенная в данной работе, предоставляет удобный математический аппарат для решения такого круга задач допускового анализа, как задача синтеза точности при проектировании. Использование дисперсионного анализа и ортогональных полиномов Чебы-шева позволяет определить степень воздействия входных параметров на выходную характеристику. Применение
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Офлайновые методы управления качеством //Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлш-ня, - 1999. - №1. - С.120-123.
2. Карепин П.А. От погрешности к допуску от допуска к погрешности //Надежность и контроль качества, - 1998. -№10. - С.24-34.
3. Бруевич Н.Г., Правоторова Е.А., Сергеев И.В. Основы теории точности механизмов. М.:Наука, 1988. - 238с.
4. Бородачев Н.А. Основные вопросы точности производства. М.:Изд-во АН СССР, 1959. -416с.
5. Быховский М.Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: Изд-во АН СССР, 1958. -315с.
6. Фридлендер И.Г. Расчеты точности машин при проектировании. - К.: Вища школа, 1980. - 184с.
7. Brayton, R. K., Hatchet. G. D., Sangiovanni-Vincentelli A. L. 'A survey of optimization techniques for integrated-circuit design'.// Proc. IEEE, 1981, Vol. 69. pp. 1334-1362.
8. Иншаков А.Н., Иншаков С.А. Допусковый анализ при проектировании сложных технических систем //Информационные технологии. - 1997. - №1. - С.34-39.
9. Дубровин В.И., Табунщик Г.В. Робастное проектирование по Тагути //Надежность и качество. Инновационные технологии производству XXI века/Книга докладов международного симпозиума, посвященного 275-летию Российской Академии наук. - Пенза: ПГУ, 1999, С.149-151
10. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. Изд-е 3-е. - М.: Наука, - 1983. - 416с.
11. Taguchi G. Introduction to Quality Engineering: Designing Quality Into Products And Process. Tokyo. Asian: Productivity Organization, 1986, 191p.
12. Dubrovin V., Tabunshchik G. Loss Function as Tolerance Optimization Criteria //Proceedings of International Conference on Modern Problem of Telecommunications, Computer Science and Engineers Training TCSET'2000, February 14-19, 2000, Lviv-Slavsko, Ukraine, pp. 45-46.
Надшшла 07.02.2000 П1сля доробки 17.03.2000
Y
УДК 621.3.05: 519.2
УНИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК РЕАКЦИИ ОБЪЕКТА НА СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ МАЛОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
Э. Г. Куренный, Ю. И. Чепкасов, Л. В. Черникова
Рассматривается задача определения реакций при воздействиях случайных помех на объекты. Линеаризацию предлагается осуществлять методом параметрической идентификации. Для расчета характеристик искомой реакции система представляется в виде параллельно включенных инерционных звеньев. Эффективность методов иллюстрируется на примере оценки влияния изменений напряжения, подаваемого на синхронный электродвигатель.
Розглядаеться задача визначення реакцш у зв'язку з дгян-ням випадкових завад на об'екти. Л1неар1защю пропонуеться виконувати методом параметричног 1дент1ф1кацп. Для розра-хунку характеристик шуканоЧ реакцп система зображаеться
у виглядг паралельно увгмкнених гнерцшних ланок. Ефектив-нгсть методгв глюструеться на прикладг оцшки впливу змгн напруги на синхронному двигунг.
The task of reactions determination by influence of random interferences on objects is considered. It is suggested to accomplish linearization by method of parametric identification. System is presented in the form of connected in parallel linear inertial links for calculation of unknown reaction characteristics. The effectiveness of methods is illustrated on example of estimation of voltage alterations influence on synchronous electric motor.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В общем случае математические модели радиотехнических устройств и электротехнических комплексов представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых затруднено даже при периодических помехах. При помехах Х(£) малой интенсивности возможна линеаризация моделей [1].
Обычно осуществляют прямую линеаризацию путем замены нелинейной модели соответствующей системой линейных дифференциальных уравнений. Однако при этом сохраняется громоздкая структура исходной модели и высокий порядок системы уравнений. Кроме того, даже при одном уравнении с порядком п > 3 определение характеристик реакции У( £) объекта на помеху сопряжено с громоздкими выкладками.
В статье рассматриваются две задачи: выбор линеаризованной модели методом параметрической идентификации и унификация линейных моделей с целью существенного упрощения расчетов. Для систем простой структуры параметрическая идентификация может и не потребоваться. Для определенности эффективность методов иллюстрируется на примере оценки электромагнитной совместимости (ЭМС) по отклонениям напряжения электротехнического комплекса "сеть электроснабжения - синхронный двигатель", в котором затрагиваются все аспекты проблемы. Помеху будем считать стационарной, но все выводы очевидным образом распространяются и на нестационарные помехи.
МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
Среднее значение Ус и корреляционная функция (КФ) Ку (т) процесса на выходе линейной модели определяются по соответствующим характеристикам Хс и Кх(т) помехи через переходную Н(£) или весовую д(£)
функции модели. Поэтому при линеаризации необходимо воспроизвести именно эту функцию. Сущность предлагаемого метода состоит в подборе простой линейной модели по переходной функции, рассчитанной по исходной модели. Количество переходных функций равно количеству выходов модели. Переходные функции могут быть получены экспериментально или методами имитации.
Для реализации метода вначале доказывается возможность линеаризации. С этой целью по нелинейной модели находятся реакции рассматриваемого объекта на скачкообразные возмущения разной величины и знака. По совокупности реакций устанавливается диапазон изменения помехи, в пределах которого реакции пропорциональны величине скачка. В этом диапазоне допустимо использовать понятие переходной функции.
Достоверность метода обеспечивается тем, что пере-
ходные функции Ни( £) рассчитываются по исходной модели и с заданной точностью аппроксимируются простыми аналитическими выражениями Н(£)~ Ни(£) . В первую
очередь целесообразно проверить возможность аппроксимации в виде линейной комбинации экспоненциально-синусоидальных и экспоненциальных функций.
По Н(£) находится преобразование Лапласа в виде изображения Н(5) . Это позволяет определить функцию
Ш( 5) = 5Н( 5)
искомой линейной модели и ее структуру.
Основной эффект упрощения анализа реакций заключается в следующем. При прямой линеаризации получается одна линейная система с несколькими выходами и внутренними связями между ее структурными блоками. Предлагаемый метод приводит к нескольким системам, количество которых равно количеству выходов. Но эти системы просты и не имеют взаимных структурных связей. Это позволяет получать аналитические решения задач, избегая численных методов. Следует отметить, что между выходными процессами сохраняются такие же связи, как и в исходной модели, но они проявляются неявно через параметры линейных систем.
Рассмотрим пример с электротехническим комплексом, ограничившись лишь анализом изменения отклонений активной мощности от заданного значения при изменении напряжения и в сети. Полная модель только одного синхронного электродвигателя с учетом насыщения является довольно сложной [2]. К ней нужно добавить модели электропривода, сети электроснабжения и системы возбуждения. При наличии нескольких синхронных двигателей сложность модели возрастает еще больше.
Расчеты численными методами по исходной нелинейной модели комплекса показали, что в допускаемом стандартом [3] диапазоне изменения напряжения ±5% линеаризация возможна. На рис. 1 показана переходная характеристика Ни(£) . Оказалось, что изменение условий протекания переходных процессов (режим возбуждения, сопротивление сети, момент на валу) сказывается только на числовых параметрах переходной функции. Вид же переходной функции не изменяется и определяется выражением
Н(£) = Ве а1 £8Шюц£ ,
(1)
в котором параметры В, а1 и юц подбираются по Ни( £) . Угловая частота юц = 2я/£ц вычисляется по длительности любого цикла. Остальные два параметра находятся по любым двум точкам Ни(£) , которые дают легко решаемую систему двух алгебраических уравнений.
$) =
ВТ^
Т|52 + Т15 + 1 '
которая соответствует функции времени (1).
X Т3в Б 7
Т2 з2 +7] я+1
а1
я + 1
а)
Л
Д2
г + 1
Таким образом, исходная нелинейная система заменена простой линейной системой, состоящей из двух элементарных звеньев: дифференцирующего с постоянной времени Т3 и колебательного с коэффициентом передачи В и постоянными времени Т и Т2 (рис. 2, а).
МЕТОД "ПАРЦИАЛЬНЫХ РЕАКЦИЙ"
При стационарной случайной помехе характеристики реакции линейной системы могут быть определены по общим формулам теории случайных процессов [1]
УД Ь) = Хк (Ь) ,
(3)
Рисунок 1 - Переходная характеристика
Выражение (1) используется и для аппроксимации переходных функций нескольких синхронных двигателей.
Обозначив а| = а2 + юц , Т = 2, Т2 = 1 /а| и Т3 = юц/а|, по таблицам преобразований Лапласа найдем передаточную функцию
ь. и
(2)
б;
Ку(¿1, ¿2) = IIд(и)д(V)Кх(т + и - V)йийю , (4) 0 0
где и и V - переменные интегрирования, т = ¿2 - ¿1 .
При большом порядке линейного дифференциального уравнения (например, фильтр фликерметра [4] имеет п = 4 ) применение формулы (4) затруднено.
Упрощение расчетов возможно путем применения метода "парциальных реакций", предложенного в [5] для периодических помех. Идея метода состоит в том, что исходная линейная система (рис. 2, а) представляется в виде п параллельно включенных инерционных (апериодических звеньев) звеньев первого порядка (рис 2, б). Метод применим для систем с передаточной функцией Ш(з) , знаменатель г($) которой имеет простые корни $1 , ..., и порядок п , меньший порядка т числителя
д($) . Если т > п или имеются кратные корни знаменателя, система разделяется на две или более подсистем, а метод применяется последовательно.
Знаменатель при г = 1, ..., п представляется в виде произведения множителей $ - ^ с коэффициентом Т'п . В этом случае коэффициент передачи и постоянная времени г -го звена определяются выражениями
X а1 У\
^ 5+1
«4 У4 \
74 5 + 1
в)
-д ( $ )
- (з - *)
Тп$г П( $ - )
I = 1
, 3 = -
(5)
которые могут быть комплексными. Переходная и весо-
1
вая функции звена при у. = — = составят
а: =
Рисунок 2 - Преобразование исходной системы (а) при частичной (б) и полной (в) унификации
кг( Ь) = аг( 1 - е^) , дг( Ь) = а^е4 ■ (6)
Искомая реакция равна сумме парциальных реакций у(Ь) инерционных звеньев. Эти реакции коррелирован-
ны, так как на вход каждого звена поступает одна и та Т г \
' 1 ством и другими параметрами а и J (символ ~) - за счет
же помеха. Зависимости реакций не сказываются на среднем значении
n
.-V)
добавления т звеньев от W^(5) .
Для воспроизведения среднего значения помехи необходимо, чтобы белый шум имел среднее значение
Ус(Ь) = Хс I аг( 1 - е^1) , (7)
г = 1 ^с = X/ ,
но должны учитываться при определении КФ реакции. где - переходная функция гипотетической систе-
Взаимная КФ между г -ой г -ой реакциями, с учетом
(6), определяется по формуле Среднее значение реакции определяется по аналогич-
ной (7) формуле
к1Г{Ь1, Ь2) = а1агу1уг Ц е^е^К^т + и - V)йпйю , (8)
0 о
п + т
ус = %с I аг . (1)
{ = 1
по структуре аналогичной (4). КФ г -ой реакции найдем
согласно (4); Так как КФ белого шума равна пс8(т) , то при Ь
интегрирование согласно (8) и (9) дает следующие вы-Ь1Ь2 ражения для КФ и взаимных КФ парциальных реакций:
.. I t . If I - a Т Y ~ I 1/° Y- ( ) i
Vi
00
ky (t?) - a?y? JJ e Yi(u + 01 Kx(t + и - v)dudv . (9)
2 --
ki(T) - п c ^e-^ , kir(T) - п c~a~ar ;-Щ- e"^ . (12)
y + Y
Искомые КФ реакции
С учетом (10), искомая КФ реакции
nnn
Ky(ti, t?) - X ky(ti, t?) +X k-r(ti, t?) + X k„(ti, t?) .(10)
i - 1 i Ф r r Ф i
Ky(T) - Пc
Г n + m
1 X a?^1 T + X //^T-(+e^|т|)
i - 1 i ^ r У i + Уг
(13)
В последующих выкладках постоянная с сокращается, поэтому можно сразу положить с = 1 с размерностью
Формулы (8) и (9) для каждого вида КФ помехи дают аналитические выражения, которые являются исходными для применения метода. Тем самым достигается существенное упрощение расчетов, так как
пользователю уже не нужно применять формулы (3) и спектральн°и плотности.
(4) Простота и универсальность формул (1?) и (13) еще
Унификация расчетов по формулам (7) - (9) не больше упрощает расчеты, несмотря на увеличение
<-> т/, т количества звеньев является полнои, поскольку каждому виду КФ соответствуют разные выражения. Если рассматривать толь- Пример. Оценить дополнительные потери активн<ж
ко стационарные режимы, то можно достичь полнои мощности в синхронном двигателе от изменении
унификации. Для этоИ цели используется известное по- напряжения в сети. Параметры передаточнои функции
ложение о том, что стационарная помеха есть результат (?) следующие-
прохождения белого шума £,(t) с постоянной спектраль- B - 11?, 8кВт/(%), a1 - 4?, 6с , Юц - 314 с , T1 -ноИ плотностью c через гипотетическую линеИную сис- - 8, 485 ■ 10-4с, T? - 3, 156 ■ 10-3с, T3 - 3, 1?7 ■ 10-3с. тему, передаточная функция W^( s) котороИ определяет- Напряжение в сети имеет КФ ся видом помехи. С учетом этого вместо исходноИ системы получаем "составную" линеИную систему с переда- Ku(t) - DUe-a^(cosю0т + — sinю0|т|1 (14) точноИ функциеИ 0
Wc(s) - W^(s) W(s) , с параметрами DU - o2u - 9(%)?, a - 0, 8 с-1,
Ю0 - ? с-1.
Искомые дополнительные потери в среднем равны стандарту oAp процесса на выходе модели. Решим зада-
на вход которой поступает не помеха, а белый шум. Применяя к Wc(5) метод "парциальных реакций",
также получим систему параллельно включенных инерционных звеньев (рис. 2, в), но с большим их количе- чу методом полной унификации. Гшотетическая система, соответствующая КФ вида (14), при а| = а2 + ю^
представляет собой колебательное звено с постоянными времени
T ^ = 2 а/а|, T2^ = 1 /«з , коэффициентом передачи
_ 2аи !ac
и^ — -
5 а 3 V П
и корнями знаменателя $12 = - а1 ±/юц , где / = . Передаточная функция составной системы аР ВТ
Ш ($) = -5-3-
с (Т2 $2 + Т1$ + 1)(Т^ + Т1%э + 1)
имеет полюса ^ , ^ и $34 = - а±/Ю0 .
Так как п = т = 2 составную систему представим четырьмя инерционными звеньями с параметрами
71,2 = 2, Т3,4 = -$3 4 и коэффициентами передачи
a\ -
-Д i; B T3
T2 T\( s1 " s2 )( s1 " s3 )( s1 " s4 )'
a4
~a 1B T3
T2l T%( s4 " s1)( s4 " s2 )( s4 " s3 ) Дисперсия реакции вычисляется по формулам (12) и
(13) при т = 0.
При заданных числовых значениях получим стандарт оАР = 0, 495 кВт.
ВЫВОДЫ
1. При решении задач статистической динамики в рамках корреляционной теории линеаризацию сложных моделей целесообразно выполнять методом параметрической идентификации с использованием переходной функции, рассчитанной по исходной модели.
2. Метод "парциальных реакций" позволяет получить аналитическое решение задачи определения характеристик реакции линейной системы на случайную помеху при существенном упрощении расчетов.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.
2. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. - М.: Высшая школа, 1985. - 536 с.
3. ГОСТ 13109-87 "Электрическая энергия. Требования к качеству электрической энергии в электрических сетях общего назначения". - Введ. 01.01.89.
4. Flickermeter. Functional and design specification. - Geneva: IEC Report. - Publication 868. - P. 31.
5. E. Г. Кур/нний, 0. M. AMiTpieBa, Абу С. Сам! "Ушфтований анал1тичний метод розрахунку процеав на виход1 лшшних систем тд час перюдичних д1янь" // Тези 1-Т М1жнародноТ науково-техшчноТ конференцп "Математичне моделювання в електротехниц i електроенергетицГ. - Льв1в: Льв1вська полтехшка, 1995. - С. 16-17.
Надшшла 13.03.2000 Шсля доробки 20.03.2000
УДК 681.513
Ф0РМУВАННЯ КЕРУЮЧИХ ВПЛИВ1В ЕЛЕКТР0МЕХАН1ЧНИХ СИСТЕМ НА 0СН0В1 ПРИНЦИП1В НЕЧ1ТК01 Л0Г1КИ
А. О. Лозинський
У cmammi розглянуто принципы формування керуючих впливгв на ocHoei правил Henimnoi логiки, onucaii можливi nidxodu для синтезу вiдnoвiднux рeгуляmoрiв та проведено ix noрiвняння з icнуюnuмu мemoдaмu керування eлeкmрoмexa-нтними cucmeмaмu.
В cmamъe рaccмomрeны принципы формирования управляющих вoздeйcmвuй на ocнoвe правил нenemкoй логики, опжа-ны возможные подходы для cuнmeзa coomвemcmвующux регу-ляmoрoв и проведено ux cрaвнeнue c cущecmвующuмu мemo-дами управления элeкmрoмexaнunecкuмu cucmeмaмu.
In a paper the principles of shaping of control based on rules of fuzzy logic are considered, the possible approaches for synthesis of the appropriate controllers are described and their comparison with existing methods of electromechanical systems control is conducted.
ВСТУП
Будь-яку електромехашчну систему в загальному ви-падку можна описати системою матрично-векторних piâ-нянь виду:
X - А ■ X + вк ■ Mk + вс ■ Uc, y = C-X + D-u,
(1)
де x - вектор змшних стану системи, u^ - вектор керуючих впливiв, uc - вектор збурюючих впливiв, u - [u^, uc] , y - вектор вихщних координат, A, B, C, D - матрищ, що визначаються на основi паpаметpiв i
