РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ОБЩИМ НАБОРОМ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Such hyperstrips are shotly denoted by Hr (L) . Representation of hyperstrip Hr (L) in a frame of the first order is given and the existence theorem is proved: In an n-dimensional proective space regular hyperstrips Hr (L) exist and are defined with arbitrariness of 2(n-r-1)+(n-m-1)(m-r)+1 functions of r arguments. The conditions of invariance of normalizations of the hiperstrip Hr (L) in the sence of Norden-Chakmazyan and distributions associated to it: -distributions of equipped planes L(A); L-distributions of planes

n_m_i (A) = Nn_m (A) n X n _ r _ (A) are determined. The equipping objects of hyperstrip Hr (L) which define not only the invariant normalization in the sence of Norden-Chakmazyan for the hyperstrip, -distribution and L -distributions but also point {Mj} and tangential {xK} invariant frames respectively are introduced. Scopes of equipping objects in differential neighborhoods of the first, second and third orders of a generating element of the hyperstrip Hr (L), which make it possible in the interior invariant way to join fields of dual to each other normals of the first and the second order in the sence of Norden-Chakmazyan to the hyperstrip Hr (L) , L-distribution, -distribution are constructed. The point {MJ} and tangential {xK} frames are joined in an interior way in the differential neighborhood of the third order to the hyperstrip Hr (L).

УДК 514.76+514.85

РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ОБЩИМ НАБОРОМ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

А.А. З а й ц е в

(Калининградский государственный университет)

Изучается следующее бинарное отношение в классе римановых пространств, снабженных общими координатными системами: пространства M и ll таковы, что метрика ММ является первым интегралом уравнений геодезических в M.

Выводится уравнение, связывающее метрики M и мМ , и доказывается симметричность изучаемого отношения (его рефлексивность очевидна). Подробно анализируются 2 случая: 1) метрика M постоянна, 2) специальный вид метрики двумерного пространства M. Отмечена связь изучаемой проблемы с теорией интегрируемых гамильтоновых систем, рассматриваемых в механике и теоретической физике.

1. Проблема, которая изучается в данной работе, естественным образом связана с некоторыми вопросами теории натуральных гамильтоновых систем, рассматриваемых в механике и теоретической физике. К ним относятся задача

Дарбу-Уиттекера построения интегрируемых гамильтонианов с двумя степенями свободы (ее постановка и полное решение имеются в книге [1, с.152]; см. также [2; глава 1]), задача о геодезических на эллипсоиде в R3 , решенная Якоби [3], и на многомерных квадриках (этот случай проанализирован Мозером [4] -[6]), а также их обобщения, исследованные автором в [7] - [10]. Представляется, что эта проблема имеет также самостоятельный геометрический интерес. Ряд задач, сходных по постановке с той, которая изучается здесь, рассмотрел Э. Кар-тан в части 2 книги [11].

2. Пусть M - п-мерное риманово пространство с метрикой ёБ2 = gij(x)dx1dxJ ,

у^^р^е^!!^,...^} (эта и все другие метрики, которые дальше встречаются в тексте, считаются невырожденными). Тогда геодезический поток в М продолжается до гамильтонова потока в кокасательном расслоении Т*(М) с гамильтонианом

1 1 Ь(х,у) = ^У^ , У1 = — , Т(х,у) = , х = (х1) , у = (У1). (1)

Канонические (гамильтоновы) уравнения этого потока имеют вид

ди ди 1

Л = g1Уl , & = -т-т ; (2)

аук ахк 2 ахк -1

будем называть их уравнениями геодезических в гамильтоновой форме, а функции Т(х,у) и Кх,у), следуя [12] - [16], - кинетической энергией.

Пусть ММ - другое п-мерное риманово пространство, снабженное тем же набором координатных систем х=(х* ), что и М, и имеющее метрику ёБ = у 1: (x)dx1dxJ. Тогда значение кинетической энергии в Т*( М) есть

^У) = 1У ^У^ . (3)

2

Задача А. Найти условия, при которых уравнения (2) имеют первый интеграл вида (3).

В исходной форме искомые условия выражаются через скобки Пуассона, определяемые равенством

я аи д£ аи

{Г,Ь> = —------ . (4)

дx1 дУ1 дУ1 дx1

Функция f(x,y) будет первым интегралом канонических уравнений с (произвольным, а не только вида (1)) гамильтонианом Кх,у) тогда и только тогда, когда

{ад=о. (5)

Проанализируем условие (5) для функций А(х,у) и Кх,у) ,определенных формулами (3) и (1) соответственно. Сначала докажем вспомогательное

Предложение 1. Если функции А(х,у) и Кх,у) заданы формулами (3) и (1), то

= ^ V!У JkylУJУk . (6)

2

Доказательство. Используя (4), получаем

11 1 ЯуJk 1 ^ к1

= ёУ1-—ГУJУk гУ1У'У Ук

1 Яр4

= 1У * -Г'у-Гр1^,УУk1)УlУJУk =

1 1 Яа1'

= гё"V1У JkУlУjУk - ^ЯОт + Г;РЕИ +Г;Е1р)У k1УlУJУk =

2 2 Ях

= ^ V1У JkУlУJУk -1V 1ё1'У k1УlУJУk = ^ V1У JkУlУJУk•

Предложение 2. Для того, чтобы функция Д(х,у) вида (3) была первым интегралом уравнений (2), необходимо и достаточно, чтобы контравариантный метрический тензор у« был решением уравнений

ё1(1 V1 у ^ = 0. (7)

Доказательство следует из формул (5), (6).

Замечание 1. Уравнения (7) есть переопределенная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных относительно уч . Анализ условий ее разрешимости приводит к решению задачи A.

Следствием кососимметричности скобок Пуассона, и равенства

(6) является соотношение (оно может быть доказано также непосредственными вычислениями, не прибегая к формуле (6))

ё1(1 V1 у ^ =-у1(1 V ^ , (8)

где символом обозначена ковариантная производная в римановом пространстве ММ. Следовательно, если выполнено (7), то из (8) и предложения 2 получаем

у1(1 ' = 0 . (9)

Это означает, что справедливо

Предложение 3. Если функция Д(х,у), заданная равенством (3), является первым интегралом уравнений геодезических (2) в римановом пространстве М , то функция Кх,у) , определенная формулой (1), есть первый интеграл уравнений

геодезических в римановом пространстве с метрикой ёБ2 = у ^ (х)ёх^х'.

Таким образом, в классе всех римановых пространств одинаковой размерности с общими координатными системами возникает бинарное отношение между парами римановых пространств, определяемое тем, что их метрики связаны равносильными соотношениями (7) и (9). Оно рефлексивно и симметрично, но не транзитивно (последнее показывают конкретные примеры). Следовательно, это отношение не является отношением эквивалентности, поэтому соответствующие классы пересекаются. Поскольку функции Д(х,у) и Кх,у),

связанные равенством (5), в теории гамильтоновых систем и симплектической геометрии принято называть находящимися в инволюции ([12], [16]), то будем

говорить, что римановы пространства Ми ММ находятся в инволюции (а также,

что ММ инволютивно к М), если они подчиняются указанному бинарному отношению.

Множество всех метрик, являющихся решениями уравнения (7), образует векторное пространство, поэтому можно говорить о линеале римановых пространств, инволютивных к данному пространству М (это корректно, впрочем, лишь с точки зрения локальной геометрии, так как в общем случае некоторые ненулевые линейные комбинации невырожденных метрик вырождаются в отдельных точках). Максимальный элемент этого линеала есть риманово пространство, метрикой которого является общее решение уравнения (7); назовем его полным пространством, инволютивным к М.

Задача В. Для данного риманова пространства М найти полное пространство, инволютивное к М.

Ниже эта задача будет решена для римановых пространств произвольной размерности с постоянной метрикой и для специального семейства двумерных пространств.

Замечание 2. Несколько задач, сходных по постановке с задачей В, рассмотрел Э. Картан [11; часть 2].

Решение задачи В является необходимым шагом к решению другой, более специальной и важной задачи. Чтобы ее сформулировать, дадим

Определение 1. Семейство римановых пространств {Ма } называется инво-лютивным, если каждая пара элементов этого семейства находится в инволюции. Каждое максимальное инволютивное семейство римановых пространств (т.е. не являющееся собственным подмножеством некоторого другого инволютивного семейства) называется полным инволютивным семейством.

Задача С. Определить полное инволютивное семейство римановых пространств, содержащих данное пространство М.

Замечание 3. С задачей С связано решение проблемы построения полного набора (по Лиувиллю) первых интегралов уравнений геодезических в гамильтоновой форме (2), проблемы их интегрирования, а также большого количества других задач теории интегрируемых гамильтоновых систем и их приложений.

3. Переходим к решению задачи В для случая, когда метрика риманова пространства М постоянная (другими словами, М есть либо евклидово, либо

псевдоевклидово пространство). Тогда все коэффициенты связности Г;к обращаются в нуль и уравнения (7) приобретают вид

g1(l^т- = 0 . (10) Для

1

ах1

решения задачи В в случае постоянной метрики полезно ее обобщить следующим образом.

Задача D. Найти все первые интегралы F(x,y) (не обязательно сводящиеся к виду (3)) уравнений геодезических (2) в пространстве с постоянной метрикой.

Для решения задачи D вернемся к уравнению (5). Справедливо равенство

{Р,Ь> = у1, у1 - glJyJ , ах

поэтому функция F(x,y) является решением следующего линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами:

у1 аЬ = о (11)

ах

(величины у входят в уравнение (11) в качестве параметров).

Уравнение (11) решаем методом характеристик. Уравнения характеристик имеют вид

стч =у dxi -Х ёу =0 . (12)

Замечание 4. Формы стч линейно зависимые, как следует из легко проверяемого тождества g1(ly1 ст 'к) = 0. Среди этих форм имеется в точности п-1 линейно независимых, в качестве которых можно выбрать формы ст^ , i=2,...,n, но для инвариантности формулировок результатов будут использованы все стч .

Первыми интегралами характеристической системы (12) являются функции

ю1 = х1у' - х'у1 . Следовательно, справедливо

Предложение 4. Общее решение уравнения (11), а значит, и решение задачи D, даются формулой

Б(х,у) = ф(ю 1',Ук) , (13)

п(п +1)

где ф = ф^) -- произвольная дифференцируемая функция от К =---

независимых переменных, zeRK .

Замечание 5. Из замечания 4 следует, что для каждого фиксированного первого интеграла F(x,y) выбор функции ф(2) в представлении (13) неоднозначен:

фактически все такие представления приводятся к виду Б(х,у) = ф0 (ю 11,у ) с

единственной функцией ф0 от 2п-1 независимых переменных, z0 eR2n-1 , -но для целей данной работы это существенного значения не имеет.

Предложение 5. Общий первый интеграл Дх,у) вида (3) уравнений геодезических (2) в римановом пространстве с постоянной метрикой дается выражением

^х,у) = ат ш ^ш к1 + Ьк ш+ c1Jy1yJ , (14)

где а ук1, Ьк, С1' -- произвольные тензоры, постоянные в рассматриваемой системе координат и удовлетворяющие условиям

аЧк1 = ащ = -алк1 , Ьк = -Ц , с1' = С'1 . (15)

Доказательство. Любой первый интеграл Дх,у) вида (3) является однородной функцией степени 2 по переменным у . С другой стороны, как показывают

несложные рассуждения, любая функция ф(ш ч,ук ),

однородная степени 2 по ук , может быть записана в виде выражения в правой части формулы (14).

Формула (14) позволяет утверждать, что множество всех первых интегралов Дх,у) вида (3) для уравнений геодезических (2) в римановом пространстве с постоянной метрикой образует векторное пространство, являющееся линейной

оболочкой интегралов ш 1'шк1,ш 1'ук,у1ук, однако эта система образующих не

является базисной, т.к. имеет место тождество ш 1'шк1 — ш^ш' +ш11 ш'к = 0. Анализ вопроса о базисе линеала всех первых интегралов вида (15) необходим для решения задачи С и решения прикладных задач, упомянутых в п.1, но здесь он не приводится с целью сокращения объема статьи. Ограничимся формулировкой результата.

Предложение 6. Если первый интеграл Дх,у) вида (3) является однородной функцией степени 2 как по переменным х1, так и по переменным у (по отдельности), то он имеет представление

Цх,у) = а р^х^У' , (16)

где а чк1 -- произвольный тензор, удовлетворяющий условиям

ардк1 = адрк1 = ард1к , ардк1 +аркд1 +арЦк = 0 . (17)

Для доказательства нужно подставить (16) в (10).

Замечание 6. Число произвольных констант арчк 1,Ьк,С1',

удовлетворяющих условиям (15), (17), есть размерность линеала всех римано-вых пространств, инволютивных к пространству М с постоянной метрикой.

4. В случае общего положения для любой пары римановых пространств М и м! существует координатная система х=(х1 ), в которой их метрики одновременно диагональный =у У =0, . Тогда система уравнений (7) приводится к следующей системе Пфаффа:

¿У11 =Е-4 У к^хк , ¿хк а ¿х1 * 0 , к * 1 ; (18)

к Л ох

здесь и далее отказываемся от соглашения о суммировании по повторяющимся индексам.

Замечание 7. Система Пфаффа (18) непротиворечива, так как она имеет следующее решение:

уи, (19)

где с -- произвольная константа.

Если метрики двух римановых пространств пропорциональны, то сами пространства подобны, а, значит, геодезические имеют одинаковую конфигурацию. Для целей данной работы этот случай бессодержателен, поэтому он исключается из рассмотрения. Аналогичная, но несколько более сложная ситуация возникает, если равенство (19) выполняется не для всех, но только для некоторого семейства индексов ^ а с есть функция, не зависящая от координат с этими индексами. Тогда соответствующие подпространства подобны и интерес представляет лишь взаимная геометрия геодезических на дополнительных подпространствах. Анализ этой геометрии ничем не отличается от того, который дан ниже.

Определение 2. Инволюция римановых пространств М и называется нетривиальной, если не существует индекса i такого, что выполнено равенство (19).

Предложение 7. Если римановы пространства М и

находятся в нетривиальной инволюции, то система Пфаффа (18) интегрируема по Фробениусу, а метрические коэффициенты gii являются решением следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных:

т 1 а^11 1 аg11 аgkk 1 ^ ^ Л

Ьк1 = . --гг--^—,---Г-^Т-ЛГ = 0 , к*1 . (20)

к1 ахк ах1 gkk ахк ах1 g11 ах1 ахк ()

Доказательство. Обычной процедурой получаем квадратичные уравнения чистого замыкания системы (18) (об определении этого понятия см. [17], [18]) в виде

Е

к,1

^у11 у кк^

„11 _.кк V g g У

Ьк1ёхк л ёх1 = 0

В силу базисности форм dxk лёх1 и антисимметрии коэффициентов при них получаем

^у11 у ккЛ

„11 „кк V g g ;

Ьи = 0.

Допустим, что уи =c(x)gii для некоторого подсемейства N с N значений индекса I Подставляя эти выражения в систему Пфаффа (18), получаем кк gkk с)^ (Зс

ёс(х)= Е -г—Гк--гёхк . Следовательно,—г = 0 , а это противо-

кеКШ0 g11g ах ах1

речит условию доказываемого утверждения. Значит, имеет место (20). В свою очередь, это означает выполнение условия теоремы Фробениуса.

Замечание 8. В силу свойства взаимности (см. уравнение (9)) метрика также подчиняется уравнению (20).

Система уравнений (20) переопределена, но может быть упрощена. Предложение 8. Система (20) равносильна следующей системе уравнений:

г11

1к „11 „кк

0хк

= а1кл11лкк , 1 ф к

1к Яя* (21)

г = %11а11(а1к — а1к) , к ф 1 , ^ = 0 .

Ох1 Ох1

Доказательство. Пусть выполнены уравнения системы (20). Выделим из нее подсистему, для которой 1=1. Тогда получим систему

52 „11 ^„11^1 'Л—Ц 1

Ох1 Охк Охк

1 Ой11 1

V й11 Ох1 йкк Ох1

= 0 , 1 ф к .

Эти уравнения могут быть записаны в виде

а

Ох1

' 1

V й11йкк Охк у

= 0 ,откуда следу-

ет существование функций а1к =а1к (х) , таких что -- = 0, и выполнена первая

Ох1

группа уравнений (21), а также та часть второй, для которой к = 1. Подставляя полученный результат в уравнения (20), получаем при кф1

Т 1 0 ✓ ж 11 ккч 1 „ 1к_11_кк к1 кк 11 1 „ ¡1 11 1к 11 „кк

Ьк1 = —г(а й й )— й й а й й —"Га в в а в в = Ох в в

„11 „кк Оа , „ _кк °в , „1к „11 Ов 11 кк 11 / 1к к1 „ 11 1к ч

в в —г +а в —т+ а в —г— в в в (а а +а а ) =

Ох Ох Ох

11 кк Оа , „кк 1к 11 11„ 11 , „11„ 1к к1„кк„11 „11„кк„ 11 ✓ 1к к1 , „ 11 1к -

11 кк кк 1к 11 11 11 11 1к к1 кк 11 11 кк 11 1к к1 11 1к -в в + в а авв + в а а в в — в в в (а а + аа ) =

ох

__и кк /Оа , „11„11/„1к „1кчч

-в в + в а (а — а )),

ох

откуда, после соответствующей переиндексации, получается вторая группа системы уравнений (21).

Обратно, пусть выполнены уравнения системы (21). Исключая из нее величи-

■к 1 Ов11 вивкк ахк

ны а1к , получаем а1к = —г—---— , и далее

11 кк к

а^—^^—а'к) =Л ^ а^—ав^ ам:

Л^Л о V / 4 „11 „кк к ; ° „11 „11 4 „11 „кк ^к

Ох ОхввОх в в ах й в Ох

i ag\ = a2g11 i ag^ ag11 i ag^ ag^k

gügkk axk) gllgkk axkax1 (g11)2gkk axk ax1 g11(gkk)2 axk ax1

i ag11 ag11 , i ag11 ag11 L1ki

„11 „кк „11 1 к / „11 \2 „кк к 1 „11 „кк ' g g g ах ах (g ) g ах ах g g

откуда следует справедливость системы (20).

Решение системы (21) существует и может быть получено в виде явных, но громоздких формул. Ограничимся в качестве примера двумерным случаем (п=2), тогда имеем следующую систему двух уравнений:

а^ = а12(х2^^22 , £ = а21(х^2 . (22)

ах2 ах1

а(а21(хУ) = а(a12(x2)g22) ах2 ах

функция ^(х1 ,х2 ), такая, что

„21, К 11 _ а 1п( V(х1,х2)) а 1п( У(х1,х2))

а (х )g =--г-1- , а (х )g =--г-2-.

ах ах

а2у(х\х2) Л

Подстановка этих равенств в уравнения (22) дает--—-— = 0 , откуда

ах'ах2

находим общее решение системы (22) в виде

g11 = Ь1(х1)р , g22 = Ь2(х2)р , р = (с1(х1) - с2(х2))-1,

Из нее получаем---=---. Следовательно, существует

bi(xi) =__' dC'(xi) b2(x2) i dc2(x2) (23)

b(x) = a2i(xi) dxi ' b (x) = ai2(x2) dx2 ' Существование двух первых интегралов позволяет получить методом разделения переменных решение уравнений геодезических в обоих римановых пространствах.

Библиографический список

1. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937.

2. Лихтенберг А.Дж., Либерман М.А. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

3. Якоби К.Г. Лекции по динамике. М.; Л.: ОНТИ, 1936.

4. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // УМН. 1981. Т.36. Вып.5. С.109-151.

5. Moser J. Integrable Hamiltonian systems and spectral theory. Lezione Fermiane. Pisa, 1981. P.157-229.

6. Moser J. Geometry of quadrics and spectral theory. The Chern symposium. 1979. P. 147-188.

7. Zaitsev A.A. On one integrable systems family of interacting oscillators // Proceedings of the 8th International Workshop Nonlinear Equations & Dynamical Systems. Needs'92 / ed. V. Makhankov et al. Singapore: World Scientific, 1993. P.463-466.

8. Зайцев А.А. Теория конфокальных квадрик и интегрируемые гамильтоновы системы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1993. Вып. 24. С. 57-64.

9. Зайцев А.А. Интегрируемые динамические системы в кокасательном расслоении над сферой // Там же, 1994. Вып. 25. С. 44-48.

10. Зайцев А.А. К теории натуральных гамильтоновых систем, интегрируемых в эллиптических координатах // Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. С. 205-207.

11. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962. 240 с.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная дифференциальная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 760 с.

13. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 384 с.

14. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664

с.

15. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. 412 с.

16. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 416 с.

17. Малаховский В.С. Введение в теорию внешних форм: Учеб. пособие / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1978. 84 с.

18. Малаховский В.С. Картана метод внешних форм // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т.2. С. 732-735.

A.A.Z a i t s e v

RIEMANN SPACES WITH THE COMMON SET OF FIRST INTEGRALS OF THE EQUATIONS OF GEODESICS

In the class of Riemann spaces with common coordinate systems the following relation R is introduced: M, e R , if the metric of MM is the first integral of the equations of geodesics in M. This relation is reflexive and symmetric, but is not transitive

as well. M and MM are called in the involution, if M,

MM e R. Some results are

submitted as following.

Proposition 0. Geodesic flows in the involutive Riemann space are commute.

Proposition 2. For the involution of M and

it is necessary and sufficient that their metric coefficients g1J and y 1J satisfy the conditions (7).

Let for Riemann spaces M and M$M there exists a coordinate system (x1) in which their metrics are simultaneously diagonal, giJ=yiJ=0, i^j. Then the equations (7) reduce to the Pfaffian system (18). Let us call the involution of Riemann spaces nontrivial, if their metrics are not proportional.

Proposition 7. Riemann spaces M and MM are in the nontrivial involutuion if and only if, the Pfaffian system (18) is integrable by Frobenius; in this case the diagonal metric coefficients g11 are the solutions of the partial differential equations (20).

One is notices that the solution of the system (20) exists and could be obtained in an explicit form; in the two-dimensional case it is defined by the formulas (23). Solutions of the equations of geodesics in Riemann spaces, being in the nontrivial involution, are obtained in quadratures by the separation of variables. The problem, considered in the article, has numerous applications in the theory of integrable systems, mechanics and theoretical physics.