CC BY
13
УДК 530.12:531.51
МЕТРИКИ И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 6-МЕРНЫХ ^-ПРОСТРАНСТВ ТИПОВ
[3(21)], [(32)1], [(321)]
З.Х. Закирова1
В настоящей статье найдена метрика шестимерных h-пространств типов [3(21)], [(32)1], [(321)], а затем, определены квадратичные первые 'интегралы уравнений геоде-h
Ключевые слова: общая теория относительности, псевдоримановы пространства.
1. Целью дшшои h -пространств
типов [3(21)], [(32)1], [(321)], т. е. псевдоримановых пространств V6, допускающих нетривиальные решения уравнения Эйзенхарта, а также нахождение квадратичных первых интегралов уравнений геодезических рассматриваемых пространств.
Решение задачи основано на предложенной А. В. Аминовой [1] технике интегрирования в косонормальном репере и развитом ей общем подходе к нахождению и исследованию проективных преобразований псевдоримановых многообразий.
h
мановом многообразии Mn удовлетворяет уравнению Эйзенхарта, если условие
Vh(X, Z, W) = 2g(X, Z)Wp + 2g(X, W)Zp + 2g(Z, W)Xp (1)
выполняется для некоторой 0-формы р в Mn и произвольных векторных полей X, Z, W Е TMn.
После замены переменных
h = a + 2pg, (2)
где a - симметричная билинейная форма той же характеристики, что и h, уравнение (1) перепишется в виде [1]
Va(X,Z,W ) = g(X,W )Zp + g(W,Z )Xp, (3)
1 Казанский государственный энергетический университет, 420066, Казань, ул. Красносельская, 51; e-mail: [email protected].
где Х, Ж, ^ - произвольные векторные поля, определенные в области V.
2. Уравнения Эйзенхарта в косонормальном репере в случае Н-пространств типов [3(21)], [(32)1], [(321)]. Если {Х1} - косонормальный репер, то имеет место уравнение [1]
п
Хгард + ^ ен(анд чЯрг + арн^) = дрг у + ддг Хрр (4)
Н=1
(р,д,т,Н = 1,... ,п), эквивалентное уравнению (1). Здесь
у _ £1 ___ £ £1
ХГу = Ц д г , —1ярт Ц г,3 ,
т ОХ р цт
Ц3 - компоненты косонормального репера, ат и дрт являются каноническими значени-
г
аг3 дг3
Н
дз йхгйх3 = е3 (2йхМх3 + йх22) + 2е5йх4 йх5 + е6йх62, (5)
агз йхгйх3 = е3А3(2йх1йх3 + йх22) + 2е3йх2йх3 + 2е5А5 йх4йх5+
+е5йх52 + е6А6йх62, (е1 = е2 = е3, е4 = е5), ег = ±1,
А1 = А2 = А3 А4 = А5 А6
рактеристического уравнения det(Нiз• — Адгз) = 0. В случае Н-пространств типа [3(21)] А4 = А5 = А6, для Н-пространств типа [(32)1)] А1 = А2 = А3 = А4 = А5, в случае Н-пространств типа [(321)] все Аг (г = 1,..., 6) совпадают.
Подставив в уравнение (4) вместо дрд и аря соответствующие канонические значения из (5) и учитывая, что в рассматриваемых пространствах 1 = 3, 2 = 2, 3=1, 4 = 5, 5 = 4, 6 = 6, получим системы п2(п + 1)/2 уравнений, которые после ряда преобразований приводятся к следующему виду. Характеристика Хю = [3(21)]:
ХтА3 = 0 (г = 3), ХтАб = 0, Х3(А3 — 2/3у) = 0, (6)
7213 = 2 е3Х3у, 7312 = 7321 = —е3Х3у, е5 Х3У ебХ3у
7345 = 7354 = Т-Г", 7366
А3 А5 366 А3 А6
произвольны^ остштьныб инвсХрисШты ^рцг р&вны нулю. Характеристика Хи = [(32)1]:
ХтЛ5 = 0, ХтЛб = 0 (г = 6), Хб(Аб - 2у) = 0, (7)
_ _ _ е3х6у _ _ взХбР
7163 = 7262 = 7361 = Т-7 , 7263 = 7362
Л Л > /263 /362 /л > -,2
Л5 — Л6 (Л5 — Л6)
_ 63 Х6У _ _ в5Х6^ _ в5Х6^ 7363 = ТГ-7-^3 , 7564 = 7465 = Т-Г" , 7565 = — ^-Т"^ ,
(Л5 — Л6)3 Л5 — Л6 (Л5 — Л6)2
125т = 734т ,
^35г произвольны^ остальные инвсХрисШты 'Урцт р&вны нулю. Характеристика х12 = [(321)]:
Хт Л6 = 0 , 725т = 734т, (8)
(к, в = 3, 5, 6, к = в) произвольны, остальные инварианты равны нулю. 3. к-пространства типа [3(21)]. Известно, чтобы система линейных дифференци-
шгьных уравнении в частных производных
Хд9 =С дгв = 0, ^ = 1,...,ш,г = 1,...,6),
где компоненты введенного выше репера, была вполне интегрируемой, т. е. что-6—ш
коммутаторы операторов системы ([3], см. также [1])
6
(Хд, Хт)9 = ХяХт9 — ХтХя9 = ^ ер(Ъдт — ^ртя)Хр (9)
р=1
линейно выражались через операторы Х9.
Вычислив с помощью (6) коммутаторы операторов Хг для к-пространства типа
[3(21)]:
(Х1Х2) = (ХЬХ4) = (Х2,Х4) = 0, (10)
(Х1, Х3) = в2(7213 — 7231)Х2, (Х2,Х3) = 61(7123 — 7132)Х3,
(Х3,Х4) = 657534Х4, (Х1, Х5) = —667651Х6, (Х1,Х6) = —657561Х4,
(Х2, Х5) = —667652Х6, (Х2,Х6) = —657562Х4,
(Х3,Х5) = 647435Х5 — 667653Х6, (Х4, Х5) = —667654Х6,
(Хз,Хб) = вб7б3бХб - 657563X4, (X4,X6) = -657564X4,
(X5,X6) = -657565X4 + бб7б5бХб,
после преобразования координат хг' = 9г(х), получим
ег= Ра(х)баг, е=е=е=е5= о, (п)
3566
где а = 1, 2, 4, 7 = 1, 4, 5,6, в = 1, 2, 3. Здесь 9г являются решениями вполне интегрируемых систем из (10) Xp9 = 0 (p = 3) Xq9 = 0 (q = 5) Xr9 = 0 (r = 1), Xi0 = X29 = Хз9 = X49 = 0 Xi9 = X49 = X59 = X%9 = 0 и Xi9 = X29 = Хз9 = 0.
Первые три системы имеют по одному решению, соответственно 93, 95 и 91, четвертая
система - два независимых решения 95 и 96. Пятая система имеет два решения 92 и 93,
94 95 96
С помощью этих равенств из уравнений (6), не содержащих YPqr> найдем
3
^ =2 f3 + С, /г = Аг, (12)
где /1 = /2 = /3(х3) - произвольные функции указанного переменного, /4 = /5 = /6 = А - const.
Интегрируя систему уравнений, полученную из (10). с учетом формул (6), (11) и (12), а также [1]
6
дгз = Y, 6h еге, h=i h h
после преобразования координат найдем
е1 = е2 =1, е2= -2х1, е3=21т, е4=е5=(/3 - а)-3/2, 1 2 3 2A 3 2A 4 5
g44 = 64(/3 - А)-3(Е + 9(х5,х6)), g45 = 64(/3 - А)-3, g66 = 66(/3 - А)-3.
Вычислив компоненты тензоров gj, получим
gjj dxldxj = 63 {(dx2)2 + 4Adx1dx3 + 2tx1dx2dxA + (ex1)2(dx3)2}+ (13)
+64(/3 - A)3{2dx4dx5 - (E + u)(dx5)2} + 66(/3 - A)3(dx6)2.
Здесь
A = ex2 + 9(x3), E = 3(/3 - А)-1, (14)
a
/3 = ех3, е = 0,1, в(х3),ш(х5 ,x6) - функции своих переменных^ с, Х - const. Из полученных результатов, используя формулы [1]
С i = gij С3, aij = ehei ahl С £ j ' h - -
h,l=l
найдем
а.ц йхгйхц = ¡3дг1^ dxгl йхц1 + (15)
+2д13йх2йх3 + 4Аех1(йх3)2 + Лдг2 ь йхг2 йхь + д45(йх5)2,
кгц = агц + (3ех3 + с)дгц, (16)
где %1,]1 = 1, 2, 3 %2,]2 = 4,5, 6.
4- к-пространства типа [(32)1]. В этом случае коммутаторы операторов имеют вид
(Х1Х2) = —657521Х4, (Х1, Х3) = —647431Х5 — 657531Х4, (17)
(Х1,Х4) = —637341Х1, (Х1Х5) = —627251Х2 — 637351Х1, (Х1 ,Х6) = —637361Х1, (Х2 ,Х3) = 657523Х4 — 647432 Х5 — 657532Х4, (Х2, Х4) = 657524Х4 — 637342Х1,
(Х2, Х5) = 657525Х4 — 627252Х2 — 637352Х1, (Х2 ,Х6) = —637362Х1 — 627262Х2 + 657526Х4,
(Х3,Х4) = —637343Х1 + 647434Х5 + 657534Х4, (Х3,Х5) = —627253Х2 + 647435Х5 — 637353Х1 + 657535Х4, (Х3,Х6) = —617163Х3 — 627263Х2 — 637363Х1 + 647436Х5 + 657536Х4,
(Х4, Х5) = —627254Х2 + 63(7345 — 7354)ХЬ
(Х4,Х6) = 637346Х1 — 657564Х4,
(Х5,Х6) = 627256Х2 + 637356Х1 — 647465Х5 — 657565Х4.
Ясно, что системы Хр9 = 0 (р =3) Х99 = 0 (д = 6) вполне интегрируемые и имеют по 93 96 Х19 = Х29 = Х49 = Х69 = 0 Х19 = Х49 = Х69 = 0
Х19 = Х69 = 0 Х69 = 0
93 95 92 93 96 92 93 94
95. Уравнен не X69 = 0 имеет реше ние 9q (q = 6). Сделав преобразования координат хг' = 9г (х), в новой координатной системе, опустив штрихи, получим
ег= p(х)53г, ег = е5= е6= ег = е2= е5= ег = 0, (is)
s 2234445
где S = 1, 6, r = 3, 6.
Из уравнений (7), не содержащих Yvqfi найдем
V =2 /6 + С, /г = Аг, (19)
/6 х6 /1 = /2 = /3 = /4 = /5 = А const
д
Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных 7— в соотношениях (17).
дхг
мы получим систему из 60 уравнений на компоненты векторов репера, из которой после п одходя ще го преобразования координат получим
е1= е2= е3=(/6 - а)-1/2, е6=1,
1 2 3 6
g11 = 63(/6 - А)-1{(/6 - А)-2 + 9(х3,х5)}, g12 = 63(/6 - А)-2, g44 = 65(/6 - А)-1{(/6 - А)-1 + u(x3,x5)}, g45 = 65(/6 - А)-1.
Из предыдущего следует, что тензоры gj, a^ и hj имеют вид
gj(1хг dxj = 63(/6 - A){(dx2)2 + 2dx1dx2 + u(dx3)2}- (20)
-263dx2 dx3 + 64(/6 - А){2dx4dx5 - u(dx5)2} - 65(dx5)2 + 66(dx6)2,
aгj dxгdxj = Аgг1j1 dxгl dxjl + 2g22dx2dx3+ (21)
3 2 5 2 6 2
+g23 (dx3)2 + g45^5 )2 + 66/6(dx6)
hj = aгj + (/6 + с)gгj, (22)
где /6(х6), 9(х3, х5), u(x3,х5)- произвольные функции указанных переменных, с,А const i1,j1 = 1, 2, 3, 4, 5.
5. h-пространства типа [(321)]. В случае h-пространства типа [(321)] функция V = const, отсюда тензор hj является ковариантно-постоянным. Опуская дальнейшие вычисления, выпишем результат:
gijdxгdxj = 63{(dx2)2 + 2dx1dx3 - 2dx2dx3 + 9(dx3)2}+ (23)
+e4{2dx4dx5 — u(dx5)2} + e6(dx6)2, aij dxidxj = Xgij dxidxj + 2e3dx2dx3 + e3(dx3)2 + e4(dx5)2, (24)
hij = aij + cgij, (25)
где в, и - произвольные функции переменных x3,x5,x6, с, Х - const.
Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы Теорема 1. Если тензор hij типов [3(21)], [(32)1], [(321)] и функция р удовлетворяют в V6 уравнениям Эйзенхарта (1), то существует голономная систем,а, координат, в которой тензоры gj, hj и функция, р определяются формулам,и (12)-(16), (19)-(22), (23)-(25).
h
[3(21)], [(32)1], [(321)]. Каждому решению hij уравнения (1) соответствует квадратичный первый интеграл уравнений геодезических
(hij — 4pgij )xixj = const, (26)
где x1 - касательный вектор геодезической.
Следовательно. h
пространств типов [3(21)], [(32)1], [(321)] определяются формулой (26), где тензоры hij, gj и функция р определены в Теореме 1.
Автор благодарен профессору А. В. Аминовой за постановку задачи и за советы в ее решении.
Работа частично поддержана грантом РФФИ Л"2 10 02 00509.
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. В. Аминова, УМН 50(1), 69 (1995).
[2] А. 3. Петров, О геодезическом отображении римановых пространств неопределенной метрики. Уч. зап. Казан, ун-та. 109(3), 7 (1949).
[3] Л. П. Эйзенхарт, Риманова геометрия, (Москва, ИЛ. 1948).
Печатается по представлению Отделения Поступила в редакцию 4 июля 2011 г.
теоретической физики
