CC BY
4
4. Столяров А.В. Двойственная теория регулярных гиперполос и ее приложения. Чебоксары, 1994. 116 с.
S.Yu.Volkova DUAL IMAGE OF REGULAR HIPERSTRIP SHm
The study of regular tangentially-equipped hyperstrips SHm is continued. It is shown that in the differential neighborhood of the second order regular hyperstrip SHm induce a projective space, dual to the original with respect to some involute transformation, generated by the hyperstrip SHm. Dual image of the hyperstrip SHm is introduced with respect to an involute transformation i.e. normally skewequipped hyperstrip SH m. Representation of the hyperstrip SH m is given and described its geometric structure.
УДК 514.76+514.85
О РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
А. А. З а й ц е в
(Калининградский государственный университет)
Рассматривается семейство римановых многообразий, обладающих свойством : в каждом из них уравнения геодезических допускают первый интеграл, выражающийся через метрику другого многообразия. Этого свойства достаточно для вычисления их метрик в предположении, что метрики диагональны. Уравнения геодезических в них интегрируются в квадратурах.
1. Рассмотрим множество Ьп ^мерных римановых многообразий, удовлетворяющих условию: Мп е Ьп, если уравнения геодезических в Мп допускают первый интеграл вида Б(х,х) = 1Ъу(х)х*х], причем в каждой точке Т(М): ёР(х,х)л ёТ(х,х)^ 0, Т(х,х) = *х] - кинетическая энергия в Мп (-
компоненты метрического тензора в Мп). Их исследованными случаями явля-
n Idx' I П / Л
ются многообразия Лиувилля с метрикой ds = v(x)^ V, ', , v(x) = ^ v1( x1)
[1,c.170], [2,c.91]; эллипсоиды, уравнения геодезических на которых проинтегрировал Якоби [3], а также римановы многообразия с метрикой Штеккеля
[2^93].
В [4] установлен следующий результат: если § ^ = §1к§-'1Ък1, то
§».оа тй№)_ §...(> а т§№ ) = 0, а ^ . (1)
ах
Соотношения (1) ковариантны, т.е. не меняются при переходе в другую систему координат. Если тензоры g1J и §4 диагональны в некоторой системе координат, то уравнения (1) в этой координатной системе сводятся к виду
(§11 Г15§11)-1 а (2)
(здесь и дальше нет суммирования по повторяющимся индексам). Полагая §11 = §11и1, получаем из (2)
а у = о, а 3ф13 = о, (3)
где
ф 13 =( и1 - и) §11. (4)
Таким образом, для определения метрик рассматриваемых многообразий требуется решить задачу: найти набор функций и1, ф31, не зависящих от координаты х1 и удовлетворяющих соотношению (4). В данной работе ставится цель получить решение этой задачи для размерности п=2,3, а затем показать, что
2 3
уравнения геодезических в М еЬ2 и М е Ь3 интегрируются сведением к квадратурам.
2. При п=2 общее решение системы (3) есть и1 = V2 (х2), и2 = у1(х1), ф12 = б1 (х1), ф21 = б2 (х2), где б1 (х1), V1 (х1), 1=1,2 - произвольные гладкие функции. Учитывая равенства (4) и ^ = 1 / §11, получаем
§11 =( V2 ( х2 )- V1 ( х1)) /б1 (х1), §22 =( V1 (х1)- V2 (х2 )) / Б2 (х2 ) . (5)
Это есть общая формула для диагональных компонент метрического тензора на многообразиях из Ь2. Она показывает, что элементами Ь2 являются только поверхности Лиувилля.
Для интегрирования уравнений геодезических в М е Ь2 нужно записать первые интегралы этих уравнений, используя формулы (5):
(V2 (х2)- V1 (х1))((х1)2/Б1 (х1)-(х2)2/Б2 (х2 )) = -2Г.
(6)
(V1 (х1) - V2 (х2))(V2 (х2)(х1)2 / Б1 (х1) - V1 (х1)(х2)2 / Б2 (х2)) = -2Б,
где величины Т и F принимают постоянные значения вдоль геодезических. Ре-
1 . 2
шая систему (6) относительно х и х и разделяя переменные, получаем ах1 ёх2 V1 (х1 )ёх1 V2(х2)ах2 _
г1 (х1) г2 (х2 )= 0 ^ (7)
где г1 (и) ^ . Интегрируя равенства (7), находим известное
решение уравнений геодезических на поверхностях Лиувилля в квадратурах.
Решение Якоби задачи о геодезических на эллипсоиде также получается по формулам (7) следующим образом. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве с прямоугольной системой координат (с ,с2,С,31 задан эллипсоид
(с1, с2, с3)
(1\2 1 / 2\2 2 /з\2 3 1 2 3
С ) /а + (С ) /а + (С ) /а = 1, 0 < а < а < а. Введем на нем координаты (х1,х2), определив их как положительные корни уравнения (относительно Я)
(С1) / (а1 -Я)+(с2) / (а2 -Я)+(с3) / (а3 -Я) = 1; они удовлетворяют нера-
112 2 3
венствам а < х < а < х < а. Метрика на эллипсоиде, индуцированная обыч-
»-» »-» т> 3 /12\
ной евклидовой метрикой в К , в координатах (х , х ) имеет вид
ав2 = §11 (х)( ах1)2 + §22 (х)( ах2)2, где §11 = -( х1 - х2) / б( х1), §22 =-(х2 - х1) /Б(х2 ) , б(и) = 4(и - а1)(и - а2)(и - а3) / и.
Эти формулы являются частными случаями формул (5) при V1 (х1) = х1, поэтому интегрирование уравнений (7) решает задачу Якоби.
3. При п=3 из (3) следуют зависимости и1 = и1 (х3,хк), ф13=ф 13(х1,хк),
причем тройка (у,к) есть циклическая перестановка набора (1,2,3) (это условие предполагается выполненным в п.3). Если из соотношений (4) исключить величины §11, и1 и обозначить Фк = ф ^ / ф3к, то для новых функций получается функциональное уравнение
Ф1( х2,х3 )ф2 (х3,х1 )ф3 (х1,х2 )=-1. (8)
Лемма. Общее решение функционального уравнения f^1 (х3,хк^) = 0 (фигурная скобка обозначает циклирование) дает формула Г1 (х3,хк) = И3(х3) - Ик(хк), где И1 (х1) - произвольные функции.
Используя лемму, с помощью подстановки Г1 = 1п(-Ф1) получаем общее решение уравнения (8) в виде
Фк(х1,х3)=-Б3(х3) /Б1 (х1) , (9)
где Б1 (х1) - произвольные функции.
После подстановки (9) в (4) и ряда преобразований получаем
(б1 (х1 )ф13 (х1,хк ))-1 + (б3 (х3 )фзк (х'.х1)) 1 + (вк (хк )ф к1 (хк,х1 ))-1 = 0.
Решение этого уравнения снова получается с помощью леммы и имеет вид
Ф*(х\хк)=(^(х1 (х1)_ vk(хк)))_! (10)
(v1 ( х1 ) - новые произвольные функции с непересекающимися интервалами значений). Отметим, что формула (10) получена в предположении, что индексная тройка (у^) представляет собой циклическую перестановку (1,2,3), но вычисление ф( х\хк ) для других троек различных индексов с помощью (9), (10) и
определение функций Фк (х1,х]') показывает ее справедливость в общем случае. Упрощая систему (4) с помощью (10), получаем
(у1 (х1) _ у** (х ))ик (х\х) + (у' (х') _ Ук (хк ))и1 (х', хк ) +
+ (ук (хк)_ у' (х1 ))и' (хк,х1 ) = 0 . (11)
Уравнение (11) также решается с помощью леммы; в результате находим
и1 (х',хк) = (wJ(х') _ wk(хк))(у'(х') _ ук(хк))_', (12)
w1 (х1) - произвольные функции. Далее из (4), (10), (12) находим значения диа-
гональных элементов метрического тензора
ws1 (х1) wJ (х')_ wk (хк)
§11 = у' (х)_ ук (хк), Ъ11 = у' (х')_ ук (хк) 8й (х), (13)
где w = у1(х1) w2 (х2) - у2 (х2) w1(х1) + у2 (х2) w3(х3) - у3 (х3) w1(х1) --
у1 (х1) w3 (х3). Метрика с диагональными элементами ^, определяемыми первой из формул (13), получена Штеккелем в предположении, что соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется разделением переменных [2,^93]. Таким образом, показано, что если метрика многообразия из Ь2 диаго-нальна, то она является метрикой Штеккеля.
Предложение 1. Преобразование у1 у1 ) , w1 ^ w1 (у1) , s1 ^ у1s1 не меняет метрического тензора ^, а диагональные компоненты тензора Ъи оно переводит в
Ьй = (у'(х')wk(хк) _ ук(хк) wJ(х'))(у'(х') _ ук(хк))_1^1.
Доказывается прямым вычислением. Из предложения 1 следует
Предложение 2. Функции
3 / \2 Ет (х,х) = 1 ^ уЩ1 (х)Вп (х1) (m=1,2,3), (14)
1=1
где уи = 1, v2i = (wj(xJ) - wk(xk))(vJ(xJ) - vk(xk))-1,
v3l = (V3(х3)wk(хк) - vk(хк)w3(х3))(V3(х3) - vk(хк)) являются первыми ин-
3
тегралами уравнений геодезических в М е Ь3.
Решая уравнение (14) относительно х1 и разделяя переменные, получаем
3 Нх1 /-
Еа Ш1 (х) а = -л/28^, (15)
_1=1 Г Iх )
где г1 (х1 , а 11 (х1 ) = 1,
а2;(х2) = V1 (х1), а31 = w1 (х1). Интегрируя уравнения (15), получаем решение
уравнений геодезических в квадратурах.
4. Полученные результаты переносятся на случай любого п. Основное
утверждение: если первым интегралом геодезического потока в М п является кинетическая энергия другого ^мерного риманова многообразия и метрики
обоих многообразий диагональны, то метрика в М п штеккелева и уравнения геодезических интегрируются в квадратурах. Иными словами, для интегрируемости геодезических потоков достаточно существования единственного дополнительного интеграла движения, а не п, как в теореме Лиувилля об интегрируемых гамильтоновых системах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 96-01-01408.
Библиографический список
1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматгиз, 1960. 296 с.
2. Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990. 240 с.
3. Якоби К.Г. Лекции по динамике. М.; Л., 1936. 279 с.
4.Зайцев А.А. Римановы пространства с общим набором первых интегралов уравнений геодезических // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. Вып.27. С.33-42.
A.A.Zaitsev
ON RIEMANN MANIFOLDS WITH INTEGRABLE GEODESIC EQUATIONS
It is considered a set of Riemann manifolds with a property: in each of them equations of geodesics have a first integral expressing by a metric of another manifold. This property is sufficient for a calculation its metrics in an assumption that both metrics are diagonal. Equation of geodesics may be integrated in quadratures.
