CC BY
73
Заключение. Таким образом, построив множество вариантов конфигурации КД4, на практике можно моделировать инженерные сети такими кратчайшими деревьями, и построить сеть, удовлетворяющей наперед заданным требованиям. Очевидно, при различных значениях q получит другие топологии. Для построения кратчайших связывающих заданное множество точек линий разработана программа POLSET на языке Турбопаскаль.
Библиографический список
2
1. Куспеков К.А. Минимальное деревья на Е с полярной метрикой. Материалы 6-Международной науно-практической конференции, посвященной 125-летию Национального технического университета «Харьковский политехнической институт» и 10-летию Украинской ассоциации по прикладной геометрии. 21-24 апреля 2009 г. -Харьков, С.93-97.
2. Есмухан Ж.М., Куспеков К.А. Проблемы Штейнера и её прикладной алгоритм. Научный журнал «ПОЙСК» №1, 2006, С.227-231.
Definition of optimum topology of the shortest tree for four points of the plane with polar metrics
K.A. Kuspekov, V.J. Volkov
In article the technique of construction of an optimum configuration of the shortest tree for four points of a plane with the polar metrics is considered. The weight is enclosed to each point - the factor considering indicators of an engineering network.
Волков Владимир Яковлевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Начертательной геометрии, инженерной и машинной графики» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований -геометрическое моделирование многокомпонентных многофакторных процессов. Имеет более 200 опубликованных работ. E-mail: volkov vv39@mail.ru
Куспеков Кайырбек Амиргазыулы - канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Начертательной геометрии и графики» Казахского национального технического университета. Основное направление научных исследований - геометрическое моделирование инженерных объектов. Имеет более 66 опубликованных работ.
E-mail: kuspekov k@mail.ru
УДК 621.87; 681.5
РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА АЛГОРИТМОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА С УЧЕТОМ ЕГО УГЛОВЫХ КООРДИНАТ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С ПРЕПЯТСТВИЯМИ
В.С. Щербаков, М.С. Корытов
Аннотация. Приводятся некоторые результаты сравнительного анализа алгоритмов планирования оптимальной траектории перемещения объекта произвольной формы с учетом его угловой ориентации в трехмерном пространстве с произвольными препятствиями, заданными в дискретном виде.
Ключевые слова: планирование оптимальной траектории, поиск пути, трехмерное пространство, препятствия, угловые координаты
Введение
Проблема оптимизации траектории перемещения объекта в трехмерном пространстве с препятствиями является актуальной. В качестве такого объекта может рассматриваться груз, перемещаемый грузоподъемными машинами, роботами и манипуляторами.
Авторами были разработаны алгоритмы оптимизации траектории перемещения объекта с учетом его угловой ориентации на основе наиболее эффективных современных вычислительных подходов: роевого интеллекта, генетического, вероятностной дорожной карты, декомпозиции линейных и угловых координат, направленного волнового [1,2,3,4,5,6].
Задача сравнения алгоритмов имеет практическое применение: необходимо определить, насколько быстро алгоритмы реализуются при помощи средств вычислительной техники, какой объем памяти для них требуется, и насколько они точны.
Сравнительный анализ алгоритмических и программных реализаций методик планирования траектории
Для сравнительной оценки использовалось 3 частных критерия оценки эффективности ал-
горитмов и методик расчета на их основе: Тр -
математическое ожидание значения времени расчетов, с; Ме - информационная длина исследуемого алгоритма (требуемый объем памяти, занимаемой всеми массивами и переменными алгоритма при его реализации),
байт; дLусл - математическое ожидание значения относительной погрешности к условному глобальному оптимуму целевой функции, % (таблица 1).
Таблица 1 - Принятые критерии оценки эффективности алгоритмов и методик
Название критерия Аналитическое выражение Параметры
1. Математическое ожидание значения времени расчетов Тр тр=Пе-Іт і Тр - время расчетов для отдельного эксперимента, с; пе - число независимых экспериментов
2. Информационная длина исследуемого алгоритма Ме (требуемый объем памяти, занимаемой всеми массивами и переменными алгоритма при его реализации) те ре Ме =Ътт\ +2Ы j=1 к=1 тт - объем памяти, занимаемый отдельным массивом данных, байт; те - количество массивов данных алгоритма; тр - объем памяти, занимаемый отдельной переменной, байт; ре - количество переменных алгоритма
3. Математическое ожидание значения относительной погрешности к условному глобальному оптимуму 8іусл 1 пе ^л = ^ -Ц^сл ), Пе І=1 6LyCЛ - относительная погрешность к условному глобальному оптимуму для отдельного эксперимента, %
Указанные три частных критерия использовались для сравнительного анализа предложенных методик путем сравнения численных значений критериев при программной реализации соответствующих алгоритмов, т.е. при применении метода эталонных тестов и проведении вычислительных экспериментов [7,8].
Было проведено несколько серий вычислительных экспериментов со случайным расположением препятствий в пределах области рассматриваемых перемещений объекта. Положение объекта в пространстве описывалось 3 линейными координатами и 2 углами поворота. Данное сочетание координат, рассмотренное в качестве примера, описывает довольно распространенный частный случай положения объекта в форме тела вращения (например, цилиндра).
Наиболее часто при работе грузоподъемных машин на строительных площадках, в цехах и складских помещениях встречаются препятствия в виде стен, перекрытий, стеллажей, контейнеров, столбов и свай, которые
могут быть описаны в форме параллелепипедов различных размеров [9].
Методом эталонных тестов производилось сравнение разработанных методик поиска оптимальной траектории объекта на основе: 1 -направленного волнового алгоритма; 2 - алгоритма роевого интеллекта; 3 - генетического подхода; 4 - алгоритма декомпозиции линейных и угловых координат; 5 - алгоритма вероятностной дорожной карты; 6 - распараллеленного алгоритма роевого интеллекта; 7 - распараллеленного алгоритма декомпозиции линейных и угловых координат. Для этого были проведены несколько серий вычислительных экспериментов, моделирующих процесс поиска оптимальной по значению целевой функции траектории перемещения объекта в среде с полидистантными поверхностями, построенными вокруг реальных поверхностей препятствий [10].
В качестве целевой функции использовалось среднее взвешенное длин линейных и угловых перемещений, выражение которого для отдельной траектории перемещения имеет вид:
= | ^1(ХІ - ХІ-1 )2 + (уі - уі-1 )2 + (іІ - 2І-1 )2 + ^
где Ітах - число точек отдельной дискретной траектории (/тах=20); суш - весовой коэффициент угловых координат (суш=1); х, у, г, у, о -соответственно три линейные и две угловые координаты, характеризующие положение объекта.
Исходные поверхности препятствий формировались случайным образом из сочетания нескольких параллелепипедов, каждый из которых имел случайные размеры. Для всех экспериментов рассматривалось рабочее пространство в виде куба с размерами 10x10x10 условных линейных единиц (УЛЕ) (рисунок 1).
Рис. 1. Рабочее пространство размером 10x10x10 УЛЕ с детерминированным (а) и стохастическим (б, в) расположением препятствий
Линейные координаты начальной и конечной точек положения условного центра груза (начала локальной системы координат груза 0дХдУд2д) принимались постоянными для всех экспериментов. Начальная точка имела линейные координаты (УЛЕ): [х^; Ун0; 7н0]=[0; 2; 5], конечная - [х^; у0 г,ю]=[10; 2; 5]. Начальные и конечные значения угловых координат также принимали постоянные нулевые значения (рад): [ун0; ^нй]=[0; 0], [7*0; <^0]=[0; 0].
Количество разбиений каждой траектории на кусочно-линейные участки вдоль оси Х0 неподвижной системы координат принималось равным: /тах=20. Соответственно, максимальные значения индексов остальных координат груза при поиске траектории принимались равными: Утах=20; ктах=20; 1тах=5; ттаХ=17 (индексы /, у, к, I, т соответствовали координатам х, у, z, у, ы).
Сочетание линейных и угловых координат груза позволяет представить область перемещений груза в виде гиперкуба с размерами равномерной сетки индексов (РСИ): 20x20x20x5x17. То есть, полный граф состояний объекта при поиске траектории состоял из 680000 вершин.
В то же время для задания исходной поверхности препятствий, построения полиди-стантных поверхностей вокруг препятствий и для проведения дискретной локальной оптимизации найденных траекторий, использовалось более подробное описание рабочей области в трехмерном пространстве, в виде куба
с размерами (РСИ): 100x100x100. То есть, использовался иерархический подход, при котором задание исходной поверхности и локальная оптимизация траектории проводились с более мелким шагом описания препятствий (0,1 УЛЕ), а собственно поиск траектории с использованием разработанных методик - с более крупным шагом описания препятствий (0,5 УЛЕ). Это позволило более точно провести локальную оптимизацию.
Применение иерархического подхода вызвано большой размерностью задачи, сложность которой экспоненциально возрастает при уменьшении шага дискретизации координат. Переход от исходного к укрупненному описанию линейных координат выполнялся методом редукции. Использовался коэффициент масштабирования км линейных координат, значение которого принималось равным:
км=5.
Для методик, использующих элементы вероятностного выбора (на основе алгоритмов № 2, 3 и 5), предварительно были проведены несколько серий экспериментов, по 1200 независимых экспериментов для каждого сочетания значений варьируемых параметров, на рабочей области с одинаковым, детерминированным расположением препятствий, задаваемых высотами поверхности препятствий Упр(/,к) и описываемых следующими условиями на РСИ 100x100 (см. рисунок 1,а):
пр
(І,к)=2,5 УЛЕ - при (29<І<31) и (20<к<80);
Упр(/,к)=8,0 УЛЕ - при (49</<51) и (50<к<100);
Упр(/,к)=8,0 УЛЕ - при (79</<81) и (1<к<50);
Упр(/,к)=0,0 УЛЕ - в остальных случаях.
Груз в форме цилиндра с габаритными размерами: габаритный диаметр 0,5 УЛЕ, и высота 2,0 УЛЕ, был представлен в виде набора точек (с3=12) на поверхности объемного тела с координатами в УЛЕ: {Ё1д }={[0,25;0;1;1];
[0,25;0;0;1]; [0,25;0;-1;1]; [-0,25;0;1;1]; [-
0,25;0;0;1]; [-0,25;0;-1;1]; [0;0,25;1;1];
[0;0,25;0;1]; [0;0,25;-1;1]; [0;-0,25;1;1]; [0;-
0,25;0;1]; [0;-0,25;-1;1]}.
Для каждой траектории объекта, найденной в отдельном независимом эксперименте (рисунок 2),определялись собственные значения целевой функции ^ до локальной оптимизации, L* после локальной оптимизации), информационной длины исследуемого алгоритма Ме и времени поиска Тр.
Проведение вычислительных экспериментов на тестовом примере с детерминированным расположением препятствий позволило обосновать рациональные значения основных внутренних параметров соответствующих алгоритмов с элементами вероятностного выбора для решения поставленной задачи и для последующего сравнения с детерминированными алгоритмами. Ввиду ограниченного объема статьи результаты вычислительных экспериментов на тестовом примере с детерминированным расположением препятствий не приводятся.
Была проведена серия из 10000 компьютерных экспериментов, моделирующих процесс поиска оптимальной траектории перемещения объекта в среде с полидистантными поверхностями, построенными вокруг реальных поверхностей препятствий [Упр], сформированных случайным образом из сочетания нескольких параллелепипедов, каждый из которых имел случайные размеры.
Число параллелепипедов п в каждом эксперименте генерировалось по равномерному закону распределения случайной величины в интервале от 1 до 15. Размеры каждого параллелепипеда формировались в пределах (ххух7) от 0x0x0 УЛЕ до 4x5x4 УЛЕ также по равномерному закону распределения. Допускалось перекрытие объемов и поверхностей параллелепипедов при их наложении.
Для каждого эксперимента определялись путем непосредственных вычислительных измерений, реализованных программно, значения Тр и
б)
Рис. 2. Примеры найденной алгоритмом на основе генетического подхода (№ 3) траектории: а) до локальной оптимизации ^); б) после локальной оптимизации (І*)
Ме, и рассчитывалось по результатам вычислительных измерений значение діусл\
діусл= (^усл)-100%,где 1-ус11 - условный глобальный оптимум решения задачи, определяемый как минимальное значение из множества значений целевой функции, полученных при использовании различных методик, но для одних и тех же численных значений исходных данных задачи ^пРУ
^сл=тіп{(0,}, і є [1; 5],где і - номер применяемой методики на основе: 1 - направленного волнового алгоритма; 2 - алгоритма роевого интеллекта; 3 - генетического подхода; 4 - алгоритма декомпозиции линейных и угловых координат; 5 - алгоритма вероятностной дорожной карты.
Некоторые результаты сравнительного анализа методик и алгоритмов по принятым критериям оценки эффективности приведены на рисунке 3. Исследования проводились на программных реализациях методик и алгорит-
мов в среде MS Visual C++ на ПК средней производительности (AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 5600+ 2.90 GHz, RAM 4,00 ГБ).
Поскольку использовалось 3 самостоятельных критерия оценки алгоритмов и методик, ре-
Рис. 3. Результаты сравнительного анализа методик и алгоритмов по принятым критериям оценки эффективности: 1 - направленный волновой алгоритм; 2 - алгоритм роевого интеллекта; 3 - алгоритм на основе генетического подхода; 4 - алгоритм декомпозиции линейных и угловых координат; 5 - алгоритм вероятностной дорожной карты; Ш -математическое ожидание значения времени расчетов распараллеленных алгоритмов 2 и 4, верхний пределДля этого было проведено масштабирование отображаемых результатов экспериментов по максимальным полученным значе-
зультаты анализа были интерпретированы графически в удобном для восприятия и наглядном виде, как совокупность векторов в трехмерном пространстве координат [ Тр Ме 31-усл ].
ниям каждого критерия. Векторное представление разработанных алгоритмов и методик по принятым критериям эффективности как компонентам векторов, а также проекции векторов на три плоскости ([ Тр Ме], [ Тр 31-усл ], [Ме
31-усл ]) приведены на рисунке 4.
Рис. 4. Векторное представление критериев эффективности разработанных алгоритмов и методик
При сравнении алгоритмов по принятым критериям оценки эффективности, в трехмерном пространстве положений векторного критерия эффективности могут быть выделены отдельные области, соответствующие оптимальному значению какого-либо одного, двух или всех трех компонент вектора, определяемые условиями вида:
Тр <( Tp )max; Me<(Me) max; SLyon <( SLyon ) max, где
( Tp )max; (Me)maxi ( )max - максимальные пре-
дельно допустимые (заданные) значения критериев.
Соответственно можно выделить область условно быстрых алгоритмов, область условно точных алгоритмов и область условно компактных (т.е. занимающих малый объем в памяти ПК) алгоритмов (рисунок 5, а, б, в).
Рис. 5. Области условно быстрых (а), условно точных (б), условно компактных (в) алгоритмов и их пересечения (г): ©- последовательные алгоритмы, попадающие в соответствующую
область оптимальности
В качестве примера, при (Тр)тах=5 с; ется его точностью 31-усл, и сложностью алго-
(Ме)тах=2 Мб; ( $1-усл )тах=5% к условно быстрым алгоритмам могут быть отнесены 1, 3 и 5 алгоритмы, к условно точным 1 и 4 алгоритмы, к условно компактным 2, 3 и 5 алгоритмы. В случае распараллеливания алгоритмов 2 и 4, они также попадают в область условно быстрых.
Заключение
Ни один из разработанных алгоритмов не удовлетворяет условию оптимальности по всем трем критериям одновременно, т.е. не входит в область пересечения условно быстрых, условно точных и условно компактных алгоритмов (см. рисунок 5, г), однако отдельные алгоритмы оптимальны по двум критериям. В частности, алгоритмы 3 и 5 одновременно быстрые и компактные, причем алгоритм 3 в большей степени. Алгоритмы 1 и распараллеленный 7 одновременно быстрые и точные, причем алгоритм 1 в большей степени.
Результаты сравнения алгоритмов подтверждают предположение о том, что существует взаимосвязь между оптимальностью алгоритма, которая в данном случае выража-
ритма (временной или пространственной), которая в данном случае выражается через критерии Тр и Ме. Т.е. невозможно упростить алгоритм (временную либо пространственную сложность, которые также взаимосвязаны между собой), не жертвуя при этом его оптимальностью, что хорошо иллюстрируется алгоритмом на основе генетического подхода (№ 3).
Учитывая, что при современном уровне развития компьютерной техники требование компактности не является критичным в диапазоне значений всех рассматриваемых алгоритмов (не более 6 Мб), следует отметить направленный волновой алгоритм (№ 1) как наиболее точный и в то же время достаточно быстрый. В пользу его перспективности для решения поставленной задачи говорит и тот факт, что это детерминированный алгоритм в отличие от всех остальных, кроме алгоритма № 7. Этот алгоритм находит единственно возможное и постоянное решение задачи при од-
них и тех же численных значениях исходных данных.
Библиографический список
1. Щербаков, В.С. Использование алгоритмов поиска пути перемещения груза автокраном на графах / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2009. - Т.5. - № 5. - С. 37-41.
2. Щербаков, В.С. Поиск оптимальной траектории груза, перемещаемого автокраном, в среде с произвольными препятствиями, с учетом координат угловой ориентации в трехмерном пространстве / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Вестник Брянского государственного технического университета, 2009. -№ 4 (24). - С. 48-51.
3. Щербаков, В.С. Методика поиска субопти-мальной траектории движения объекта в трехмерной среде с произвольными препятствиями с учетом координат угловой ориентации / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Вестник СибАДИ, 2009. - Вып. 4 (14). - С. 5-10.
4. Корытов, М.С. Декомпозиция обобщенных координат при решении задач оптимизации траектории перемещения груза // Вестник МАДИ (ГТУ), 2010. -Вып. 3(22). - С. 32-35.
5. Щербаков, В.С. Использование генетических алгоритмов для поиска оптимальной траектории перемещения груза / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. - № 3. - С. 155-158.
6. Щербаков, В.С. Об одной модификации алгоритма муравьиных колоний для планирования траектории перемещения груза в пространстве с препятствиями с учетом угловой ориентации / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2010. - № 3. - С. 143-151.
7. Кормен, Томас X. Алгоритмы: построение и анализ: пер. с англ. / Томас X. Кормен, Чарльз И. Лей-зерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2005. - 1296 с.
8. Рассел, С. Искусственный интеллект: современный подход: пер. с англ. / Стюарт Рассел, Питер Норвиг. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2006. - 1408 с.
9. Щербаков, В.С. Влияние стохастических параметров пространства с препятствиями на длину траектории груза, перемещаемого грузоподъемным краном / В.С. Щербаков, М.С. Корытов // Вестник СибАДИ, 2009. - Вып. 3 (13). - С. 13-17.
10. Корытов, М.С. Использование полидистант-ных поверхностей в задаче поиска пути перемещения груза в среде с препятствиями // Материалы 64-й научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ». -Омск: СибАДИ, 2010. - Кн. 1. - С. 302-306.
A comparative analysis of scheduling algorithms trajectory of an object given its angular coordinates in three-dimensional space with obstacles
V.S. Shcherbakov, M.S. Korytov
Some results of comparative analysis of algorithms for planning optimal trajectories move an object of arbitrary shape, given its angular orientation in three-dimensional space with arbitrary obstacles, given in a discrete form.
Щербаков Виталий Сергеевич - доктор техн. наук, профессор, декан факультета «Нефтегазовая и строительная техника» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований -совершенствование систем управления строительных и дорожных машин, общее количество публикаций - более 200, адрес электронной почты - sherbakov vs@sibadi.org.
Корытов Михаил Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, докторант Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - автоматизация планирования рабочих процессов мобильных грузоподъемных машин, общее количество публикаций - более 80, адрес электронной почты - kms142@mail.ru.
