CC BY
13
Резонатор с хиральным заполнением
Ю. В. Мухартова
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: muhartova@yandex.ru
Статья поступила 19.05.2009, подписана в печать 08.07.2009
Рассматривается теория электромагнитных экранированных резонаторов, заполненных однородным хиральным веществом. Предложен алгоритм расчета таких систем. В качестве примера исследован сферический хиральный резонатор, для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей. Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственные колебания, чистые Е- и Я-колебания не возбуждаются.
Ключевые слова: хиральные среды, сферический резонатор, собственные частоты, собственные колебания.
УДК: 517.958; 621.372.8. PACS: 41.20.Cv.
Введение
Естественные хиральные среды были известны с начала XIX века. Термин «хиральный» введен Уильямом Томсоном и означает свойство объекта не совмещаться со своим зеркальным отображением (в плоском зеркале) ни при каких перемещениях и вращениях.
Естественными хиральными объектами являются молекулы Сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров. К числу искусственных хиральных объектов можно отнести спирали, лист Мебиуса, неправильный тетраэдр и т.д. [1-3].
Известно [4], что в случае хиральной среды, изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных и равномерно распределенных в нехиральном веществе проволочных пружинок, потерями в которых можно пренебречь, материальные уравнения для гармонических по времени полей имеют вид
D = eE+i£B, Н -¡£,Е- ц~хВ.
(1)
где е, ¡л, £ — действительные постоянные, представляющие собой диэлектрическую проницаемость, магнитную проницаемость и хиральный адмитанс среды соответственно. Более того, было показано [5], что эти материальные уравнения остаются справедливыми для любой хиральной среды без потерь, произведенной из хиральных объектов произвольной формы.
Настоящая работа посвящена исследованию резонаторов с идеально проводящими стенками, заполненных однородным хиральным веществом. Сферические и цилиндрические резонаторы находят широкое применение в различных областях науки и техники [6-8]. Математическое решение задачи для сферических резонаторов, заполненных обычной средой, было получено достаточно давно [9-11]. В последние годы наблюдается особое внимание к искусственным хиральным средам микроволнового диапазона, в которых хиральность уже не является малой поправкой. В связи с этим представляется интересным обобщить решение задачи на случай хирального резонатора.
1. Ограниченная область с хиральным заполнением
Предположим, что некоторый объем V, ограниченный поверхностью £, заполнен однородным хиральным
веществом, которое характеризуется материальными уравнениями (1) С учетом этих соотношений уравнения Максвелла во внутренних точках области V можно записать в виде
с dt
, „ и дН if и дЕ с dt с dt /it divH - divE = 0,
(e + div E + /£/Lt div H = Airp.
(2)
(3)
(4)
(5)
Рассмотрим поверхность, разделяющую две хиральные среды с параметрами , щ, £1 и е2, Ц2, £2 соответственно. Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из второй среды в первую. Тогда на границе раздела выполняются следующие условия:
[п, (Hi - Я2)] = [п, (Ei - Е2)] = 0,
ßlHl ,п — i£,lßlEl,n = Ц2Н2 ,п — {(<4 +Üßi)Ei,n + iilß\Hhn} -- {fe + Üß2)E2,n + = 4тrpsud,
где /sur[ — плотность поверхностного тока, р&шf — плотность поверхностного заряда. В случае, когда вторая среда является идеальным проводником, т. е. поле внутри нее равно нулю, на границе выполняются условия
[п,Н] = ^ф [п,Е\= 0, р(Нп - i£En) = 0, (е + C2ß)En + i£pHn = 4^,
(6)
;ind
где — плотность наведенного поверхностного тока, ^slirf плотность наведенного поверхностного заряда.
Если от уравнений (2)-(5) первого порядка перейти к дифференциальным уравнениям второго порядка, подействовав на (2) и (3) еще раз оператором rot, то, в отличие от случая обычной среды, оба получаемых в итоге уравнения будут содержать как вектор Е, так и вектор Н. В полученных уравнениях можно таким
13 ВМУ. Физика. Астрономия. М 6
образом сгруппировать слагаемые, что для линейных комбинаций
i ту/г
£Л = ^Еу1 £ + + /Яу//7. £/2 = е + + Я//7
уравнения окажутся несвязанными.
Предположим, что индуцирующие электромагнитные колебания, плотность тока и заряда зависят от времени, как / = и р = . Тогда искомые
векторы ¿¡1 и П2 также будут гармоническими функциями вида £Л =ие^1ш( и V2 = , а их комплексные амплитуды будут удовлетворять уравнениям
divu = • divî» =
47Г/90
Ve + Pv-îy/ïï'
^iripo
Из данной системы видно, что для векторов и и v нельзя получить на границе S условия, не содержащие наведенных токов и зарядов. Тем не менее можно предложить следующий алгоритм исследования хираль-ного резонатора: для того чтобы получить собственные частоты и собственные колебания резонатора, найдем сначала общее решение однородных уравнений, соответствующих (7)—(10) при отсутствии возбуждающих колебания зарядов и токов; затем выразим векторы Е и H через найденные и и v и подставим их в однородные граничные условия. Это позволит получить характеристическое уравнение для нахождения собственных частот ш.
2. Сферический хиральный резонатор
Используем предложенную методику для исследования сферического резонатора с хиральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса R с идеально проводящей границей. Находя решение однородных уравнений, соответствующих (7)—(10) в сферической системе координат, и учитывая, что комплексные амплитуды ей h полей Е и H связаны с векторами ы и как
е=—. ^ (i.j) — u)i h=-^—(v — iu), 2 V^+Wil 2уТГ
получаем общее решение вида
+ Bnm^Jn+l/2(kir)^P?( cos в)
1 т 4z(AnmVrJn+l/2{hr)
cos rrnp sin mp
2y/e+WJj- rsine
^BnmV~rJn+m(kir))pnm(cos9) rmmip , / — cos rrnp
2y/e + £2p r sin0
{Anmk2Jn+l/2{k2r) +
+ BnmklJn+w(klr))Pnm(cos9)
{sin mp> — cos mip
7 4z(Anmy/rJn+l/2(hГ) ~
2у/е + £ц r
AiriJJl. с /0' (7) „пт кг
4тгу71. с /0' (8)
О) И
(10) /гГ Y
2 V^+Wiï r
n(n+ 1) r
-5-V r(AnmJn+1/2(«2r)
BnJn+l/2(kir))Pnm(cos9)
sin mp
cos mp sin mp
4+1/2(^2'*) ■
1
m d
-jzÎAnmVrJn+idhr) +
2y/jl r sin в dr\
+ BnmV?Jn+w(kir))Pnm(cos9) rmmip , / — cos rrnp
hT " 2^/ц -
-Bnm^i/„+i/2(^ir))P„m(cos0) 1 1 d
sin mp
- cos mip
2+
+ BnmV~rJn+U2(kir))4-nPnm(C0Se) { C°SmiP ,
h"m =
1 n(n+ 1)
2 y/JI r2
4 dd
y/r(AnmJn+U2(k2r) +
sin rrnp
+ BnJn+w (h r))P™ (cos в) i ■
В этих выражениях ^ = ^ + у/р{е +
и = ± у/р(е + е[!.))■
Так как поверхность шара является идеальным проводником, то для вектора е должно выполняться граничное условие [г, е] | д = 0. Потребуем, чтобы компонента обращалась в нуль при г = Я. Для этого должна быть справедлива система
" Аптк21п+1/2(к2й) + 5„т^1/„+1/2(^1 Д) = О, ^ (Апту/Л1п+1/2(к2Я) - В^^п+^Ш) =0.
(П)
Но если данная система справедлива, то и компонента епт также обращается в нуль при г = Я. Кроме того,
при этом также автоматически выполняется условие (5) на нормальные составляющие векторов е и й.
Однородная система (11) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Это условие позволяет получить характеристическое уравнение для нахождения собственных частот шпр резонатора:
а21п 11/2 {~а'2К) -¡¡Л (У^^п I 1/2 ) +
+ "14 11/2 ^ 11/2 =0' (12)
где = + л/ц{£ + ц) И а2 = + Мг + £2м) ■
Результаты численного решения уравнения (12) приведены на рисунке. Как можно видеть, с ростом параметра £ значения собственных частот уменьшаются, и происходит их сближение.
Ю/Юо 2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0 0.5 1.0 1.5 Е, 2.0
Зависимость собственных частот от хирального адми-танса £ для п = 1. На графике приведены отношения частот к значению — наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствии хиральности (£ = 0). Индексы £ и Я у частот означают, что в пределе при £ = 0 они стремятся к собственным частотам Е-и Я-колебаний соответственно
Заметим, что в случае обычной среды, т. е. при условии £ = 0, характеристическое уравнение (12) вырождается в два уравнения
^(^Я1пП/2{коЯ))=0 (13)
И /я,1/2(« = 0, (14)
где = ^уЩх, так как при этом а у = а2 = VЩ■ Уравнения (12) и (13) — это характеристические уравнения на собственные частоты Е- и Я-колебаний обычного сферического экранированного резонатора соответственно. На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса (см., напр., [12]) можно показать, что решения уравнения (11) непрерывно зависят от параметра Обозначим как шпЕр те из них, которые при равном нулю параметре хиральности совпадают с частотами £-колебаний обычного сферического резонатора.
Воспользуемся первым уравнением системы (11) для того, чтобы найти связь между коэффициентами Апт и Впт. В результате получим выражения для комплексных амплитуд собственных колебаний хирального резонатора, которые в пределе Ç = 0 с точностью до множителя kn0pEJn 11/2(^0совпаДУт с £-колебаниями обычного сферического резонатора.
Обозначим как ui"f решения характеристического уравнения (12), совпадающие при равном нулю параметре Ç с собственными частотами, отвечающими Я-колебаниям обычного резонатора. Найдем связь между коэффициентами Апт и Впт с помощью второго уравнения системы (11). В результате получим еще одну серию решений для хирального сферического резонатора, которые в пределе при равном нулю параметре хиральности £ с точностью до множителя jß {y/RJn 11/2(^0//^)) совпадают с Я-колебаниями
обычного сферического резонатора. Таким образом, в хиральном резонаторе поддерживаются только гибридные собственные колебания.
Заключение
В работе предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных хиральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический хиральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот. Проведенный анализ показал, что в хиральном резонаторе могут формироваться только гибридные собственные поля, которые при обращении в нуль параметра хиральности вырождаются в обычные Е- и Я-колебания. Собственные частоты хирального резонатора оказываются меньше соответствующих частот резонатора, заполненного обычной средой.
Список литературы
1. Боголюбов А.Н., Мосунова H.A., Петров Д.А. // Математическое моделирование. 2007. 19, № 5. С. 3.
2. Кацеленбаум Б.З., Коршунова E.H., Сивов А.Н., Шатров АД. // УФН. 1997. 167. Р. 1201.
3. Pelet Р. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1990. 38, N 1. P. 90.
4. Bahr A.J., Clausing K.R. // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1994. 42, N 12. P. 1592.
5. Jaggard D.L., Mickelson A.R., Papas C.H. // Appl. Phys. 1979. 18. P. 211.
6. Tobar M.E., Mann A.G.// IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. 39. P. 2077.
7. Guillon P., Jiao X. // Proc. IEEE. Part H. 1987. 134.
8. Schiller S., Beyer R.L. // Opt.Lett. 1991.16. P. 1138.
9. Фел С.С., Левинсон И.Б., Фридберг П.Ш. // Радиофизика и электроника. 1962. 6, № 11. С. 1125.
10. Julien A., Guillon Р. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1986. 34. P. 723.
11. Tobar M.E., Anstie i.D., Hartnett J.G. // IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2003. 50, N 11. P. 1407.
12. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М., 1962.
14 ВМУ. Физика. Астрономия. „М' 6
Resonator with chiral filling Yu.V. Mukhartova
Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow6 119991, Russia.
E-mail: muhartova@yandex.ru
The theory of electromagnetic shielded resonators with the uniform chiral filling is considered. The algorithm for determining the parameters of such systems is proposed. As an example a spherical chiroresonator is investigated for which the dispersive equation and the eigenfields are obtained. It is shown that only the hybrid eigenfields may exist in such resonator, and the pure E- and Я-oscillations are not supported.
Keywords: chiral media, spherical resonator, eigenfrequencies, eigenfields. PACS: 41.20.Cv. Received 19 May 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2009).
Сведения об авторе
Мухартова Юлия Вячеславовна — канд. фнз.-мат. наук, науч. сотр.; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: muhartova@yandex.ru.
