CC BY
5УДК 517.538
Резонансная динамика как причина жесткого возбуждения колебаний в некоторых задачах
теории упругой устойчивости
А. Н. Куликов
Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова, Ярославль 150000. E-mail: anat_kulikov@mail.ru
Аннотация. В работе рассмотрен класс абстрактных нелинейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, который включает в себя нелинейные краевые задачи, встречающиеся в теории упругой устойчивости. Например, при изучении флаттера пластины в сверхзвуковом потоке газа. Рассматривается вариант малого демпфирования. Показано, что в случаях близкх к резонансу 1:1 собственных частот линеаризованной задачи могут бифурцировать неустойчивые периодические решения. Для обоснования результатов использован метод интегральных многообразий в сочетании с аппаратом нормальных форм для динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством. Ключевые слова: нелинейные эволюционные уравнения, нелинейный панельный флаттер, жесткое возбуждение колебаний.
Введение
Математическим аспектам исследований колебаний тел в потоке газа или жидкости посвящено большое число исследований. Достаточно обратиться, например, к монографиям и работам [1-6,23-24], а также к списку цитируемой там литературы. Простейшие варианты постановки таких задач в случае цилиндрического изгиба приводят к необходимости исследования краевых задач для уравнения
Уравнение (0.1) приведено в перенормированном виде, коэффициент c > 0 пропорционален скорости набегающего потока газа, g0 > 0 — коэффициент демпфирования. Наконец, w = w(t, x) — нормированный прогиб серединной поверхности пластины. Скорость потока газа направлена вдоль оси x. Функция w(t,x) не зависит от у. Это означает, что рассматривается вариант цилиндрического изгиба пластинки [1; гл. 4]. В правой части уравнения (0.1) находятся слагаемые, которые учитывают нелинейный характер задачи. Так например, в монографии В.В. Болотина (см.[1;§4.12]) предложен следующий вариант
где Ь0, к2, к3, к4 > 0, а М - число Маха. Если обратиться к монографии [2;§7.6], то в соответствующей краевой задаче учтена лишь «геометрическая нелинейность» [1]. В первом варианте учтена аэродинамическая нелинейность на основе закона плоских сечений («поршневой» теории) [1]. Уравнение (0.1) необходимо дополнить краевыми условиями,
wtt + gowt + w xxxx + cwx = F (wt,wx ,wxx).
xxxx
(0.1)
1
© А. Н. КУЛИКОВ
отражающими характер закрепления концов пластины. Например, в случае шарнирного опирания
w(t, 0) = w(t, 1) = wxx(t, 0) = wxx(t, 1) = 0. (0.2)
Краевые условия (0.2) могут быть заменены на иные [1],[2]. Например, уравнение (0.1) можно рассмотреть вместе с условиями жесткого закрепления
w(t, 0) = w(t, 1) = wx(t, 0) = wx(t, 1) = 0.
В работе предполагается рассмотреть вопрос о колебаниях пластинки в предположении, что коэффициент go мал (go ^ 1). Эта статья служит естественным дополнением к работе автора [7]. В работе [7] были изучены бифуркационные задачи, возникающие при реализации внутренних резонансов 1:2,1:3. Ниже будет рассмотрена задача о бифуркации малых колебаний в случае близком к резонансу 1:1.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L(c) = vIV + cv, определенный на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих краевым условиям v(0) = v(1) = v"(0) = v"(1) = 0. В работах [8-9,25] было показано, что при c € [0, ci)(0 < ci < c*) линейный дифференциальный оператор L(c) имеет счетное множество простых собственных значений 0 < af(c) < a%(c) < ... При c = c1 собственное значение of О становится двукратным. Наконец, можно указать такие положительные постоянные c2,c3, что c3 < c2 < ci и 02(c2) = 2oi(c2), 02(c3) = 3oi(c3).
Итак, при c ~ c-3,c ~ c2,c ~ ci для точек спектра устойчивости краевой задачи (0.1), (0.2) реализуются случаи, близкие к резонансам 1:3,1:2,1:1. Напомним, что комплексное или действительное число А(А € C(R)) принадлежит спектру устойчивости, если краевая задача
wtt + gowt + wxxxx + cwx = 0, w(t, 0) = w(t, 1) = wxx(t, 0) = wxx(t, 1) = 0
допускает нетривиальные решения вида w(t,x) = exp(At)v(x).
В теории упругой устойчивости величина ci, при которой реализуется резонанс 1:1, играет особую роль и носит специальное название «нижней скорости флаттера» [1,§4.9]. При малых go величина ci дает достаточно хорошее приближение для величины c* — скорости флаттера. Далее ограничимся рассмотрением случаев, когда приведенная скорость потока газа c близка к c1.
В работе будет рассмотрен класс абстрактных нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве, который включает в себя многие нелинейные эволюционные краевые задачи из теории упругой устойчивости. Например, краевую задачу (0.1), (0.2). Для абстрактных уравнений из указанного класса будут рассмотрены задачи о бифуркации малых периодических решений в случаях близких к резонансу 1:1. Как правило, эти решения оказываются неустойчивыми и, следовательно, имеет место жесткое возбуждение автоколебаний.
Для систем, состоящих из двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно считать двучленным галеркинским приближением для краевых задач подобных (0.1), (0.2), излагаемые результаты были получены в работах [10-11]. В работе [12] эти результаты были распространены на системы обыкновенных дифференциальных уравнений размерности n > 2. В работе [8] была рассмотрена краевая задача (0.1), (0.2) без использования конечномерных приближений. Аналогичные результаты были
получены в работе [13], где была рассмотрена краевая задача близкая к (0.1), (0.2). Там была изучена нелинейная краевая задача, в которой учитывалась лишь «геометрическая нелинейность» (см. [2;§7.6]).
1. Описание рассматриваемого класса абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве
Пусть Н действительное сепарабельное гильбертово пространство. В этом пространстве рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
зависящее от параметра с € [0, то). Операторы, входящие в правую и левую части уравнения (1.1), удовлетворяют ряду ограничений, которые индуцированы видом уравнений теории упругой устойчивости [1-3]. Эти ограничения сведены в серию предположений.
Предположение 1. Будем считать, что А — замкнутый линейный оператор, область определения которого Нд плотна в Н, а линейный оператор В подчинен А[14,гл. 1,§7]. Дополнительно будем предполагать, что линейный оператор А имеет своим обратным вполне непрерывный (компактный) оператор А-1.
Предположение 2. Линейный оператор гА — производящий оператор группы класса (Со) [14; гл. 1, §2] в комплексном расширении Н.
Через Нд обозначим подпространство Н, состоящее из тех и € Нд, для которых определена норма ||и||д = ||Аи||. Аналогичным образом определено и подпространство Нд2 : и € Нд2, если определена норма ||и||д2 = ||А2и||. Наконец, комплексное расширение Н ниже будем обозначать через Нк.
Предположение 3. Нелинейный оператор /(и,ь,с) действует из шара 5(г) пространства Нд х Нд х Я в Н и имеет сильно непрерывную производную Фреше /'и(и, V, с), сильно непрерывную Н-расширенную [15] производную Фреше /V(ис). Эти производные удовлетворяют условию Липшица в шаре Б(г). Считаем, что нелинейный оператор /(и, V, с) гладко зависит от параметра с в метрике пространства Н.
Предположение 4. Нелинейный оператор /(и, V, с) имеет по совокупности переменных и^ в нуле порядок малости выше первого. В частности, при всех рассматриваемых с справедливы неравенства
Первые три предположения гарантируют локальную разрешимость задачи Коши для уравнения (1.1), если (см. [15],[26])
u + g0u + (A2 + cB)u = f (u, u, c),
(1-1)
f (u,V,c)\u=0,v=0 = fu(u,V,c)\u=0,v=0 = fv (u,V, c)\u=0,v=0 = 0-
u(0) = u0 £ HA2, u(0) = uо £ Ha-
(1.2)
Четвертое предположение дополняет первые три. Пусть ||ио||д2 < а, ||ио||д < а, то задача Коши имеет единственное решение (см. [15])
и(1) € С2((-Та,Та), Н) П С 1((-Та, Та), Нд) П С((-Та, Та), НА2),
где Та ^ ж, если а ^ 0. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Метод последовательных приближений в работе [15] применялся к интегральному уравнению, заменяющего задачу Коши (1.1), (1.2). Для интегрального уравнения гладкая зависимость от начальных условий и параметров исследуется достаточно стандартным способом. В работе [15] приведен достаточно полный список работ, где рассмотрены схожие задачи. Аналогичные результаты получены в широко известной работе [26].
Следующие предположения носят более специальный характер.
Предположение 5. Линейный оператор А2 + сВ при всех с € [0, с1) имеет положительные и простые собственные значения
а2(с) < а2(с) <
а при с = с 1 также имеет счетное множество собственных значений а2, а"2, а"2,... (а2 = а2(с 1)). Будем считать, что собственные значения а2(3 = 2, 3,...) простые и им соответствуют собственные элементы е)(3 =2, 3,...). Собственное значение а2 двукратно и ему соответствует собственный элемент е 1 и присоединенный ео. Пусть Ао = А2 + с 1В, тогда Аое 1 = а2е 1, Аоео = а2ео + е 1. Через Ад обозначим сопряженный к Ао линейный оператор, а через Н) его собственные элементы, отвечающие а2(3 =2,3,...). При у = 1 выполнены равенства АдНо = а2Но, АоН1 = а2Н1 + Но. Будем также предполагать, что системы элементов {ео, е1, е2,...} , {Но, Н1, Н2,...} формируют биортогональные базисы (базисы Бари-Рисса) [16; гл. 6],[17;гл. 2,§5]. В частности, (е),Ни) = 5), где 5) — символ Кронекера.
Предположение 6. В рамках данной работы будем считать, что
/(и, V, с) = /2(и, V, с) + ¡з(п, V, с),
где /2(и, V, с), /з(и, V, с) — билинейный и трилинейный операторы по совокупности переменных и, V при всех рассматриваемых с. Будем считать, что они зависят от параметра с аналитически в метрике пространства Н.
В большинстве приложений
то
/) (и, V, с) = ^ /зт(и^)ст, 3 = 1, 2.
т=о
Очень часто /)т = 0, т = 1, 2,..., то есть они от с не зависят. Так будет, например, если ограничиться рассмотрением задач, где учитывается лишь «геометрическая нелинейность» [2; гл. 7, §7.6].
Предположение 7.
аи = 2а1, ат = 3а1, \аи — ат ± а 11 > ао,
где к,т = 2, 3,..., а ао — положительная постоянная.
Последнее предположение в прикладных задачах обычно проверяется достаточно просто. Например, если рассмотреть в качестве примера краевую задачу (0.1), (0.2),
то роль линейного дифференциального оператора А0 там играет оператор Ь^(х) = vIV + с^', определенный на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих условиям шарнирного опирания ^(0) = v(1) = Vй(0) = v"(1) = 0). В работе [8] спектр дифференциального оператора Ьо был в достаточной мере изучен. В частности, приближенно вычислены первые собственные значения а'2(с1), а20, а20,.... Для собственных значений с большими номерами указана их асимптотика, позволяющая проверить содержательность предположения 7.
В рамках данной работы будем предполагать, что с = с1 + ае2, до = 2ед, где а,д € Я,д> 0, а е — малый положительный параметр (е € (0,ео), где ео — некоторая положительная постоянная. Выбранная нормировка до подчеркивает с математической точки зрения, что коэффициент демпфирования (трения) достаточно малая величина. Предположение о малости до вполне допустимо. Это уже отмечалось ранее. В большом числе примеров в теории упругой устойчивости численное значение до << 1. Отклонение приведенной скорости от нижней скорости флаттера будем нормировать величиной е2.
Предположения 1-6 и нормировки параметров с и до задачи позволяют переписать уравнение (1.1) в модифицированном виде
и + 2деи + Аои + е2аВи = ¥2(и, и) + Г3(и, и) + е2(В2(и, и, е2) + В3(и, и, е2)). (1.3)
Линейный оператор В подчинен линейному оператору А и, следовательно, Ао (см., например, [14; гл. 1, §7]). Наконец,
Р2(и,и) = /2 (и, и ,с1), Г3(и,и) = /з(и, и ,с1), /2(и, и, с) = Г2(и, и) + е2В2(и, и, е2), /3(и, и, с) = (и, и) + е2В3(и, и, е2).
Через В2(и,и,е2),Вз(и,и,е2) обозначены билинейный и трилинейный операторы, которые гладко зависят от е2 в метрике Н.
Как обычно, фазовым пространством решений уравнения (1.3) будем называть пространство начальных условий (1.2), при которых задача Коши локально разрешима. Здесь речь идет о пространстве Нд2 х Нд(ио € Нд2,ио € Нд). Обозначим через Нк, НкА, Нкд2 комплексные расширения пространств Н, Нд, Нд2, соответственно, и рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение
и + 2деи + А(е)и = 0, (1.4)
где А(е) = Ао + е2аВ. Для определения устойчивости нулевого решения положим и^) = exp(Лt)v, V € Нд2 (V € Нд). Откуда А(е^ = ¡IV, где / = —X2-2ед\. Поэтому Л находим как корни характеристического уравнения
Л2 + 2едЛ + ¡(е) = 0, (1.5)
где ¡(е) — собственное значение линейного оператора А(е). Подчеркнем, что /к(0) = ак, Лк(0) = ±гак,к = 1, 2,....
Пусть е > 0. При к = 2, 3,... находим [27; гл. 8], что /к(е) = а2(1 + о(е)). При обосновании последнего равенства используется простота собственных значений ак2 оператора Ао. В частности, отсюда вытекает равенство Лк12 (е) = ±гак — де + о(е). Поэтому, ЯеЛк12 (е) < 0, если е € (0,ео), а ео - достаточно малая положительная постоянная. При к = 1 ситуация более сложная в силу двукратности собственного значения .
Лемма 1. Пусть e € (0,e0), e0 = const > 0. Тогда
¡±1(e) = о? + о(е)
и соответствующие четыре точки спектра устойчивости могут быть вычислены приближенно по одной из четырех формул
Л1(е) = —ge ± ia1[1 ± О.Б^аа-1?е] + о(е).
ai
Собственные значения ¡±1(e) соответствуют собственным элементам
е1(е) = е1 ±ел/аав0 + о(е), а = (Be1,h0).
Действительно, собственный элемент и соответствующее собственное значение будем искать в виде сумм [27; гл. 8]
е1(е) = е1 + ep1 + e?p? + о(е2), ¡11(e) = о? + 71e + 71e1 + о(е2),
где p1,p? € ИА2,71,7? € C. Тогда для определения p1,p? получим два неоднородных уравнения
A0P1 = о?Р1 + 71еь Aopi = o?pi + 71Р1 + Y?e1 — aBe1.
Первое из них имеет решение p1 = 71ео, а из условия разрешимости второго(оператор Ao — о?Е не имеет обратного)
(71Р1 + 7?е1 — аВе1,^) = 0
находим, что 71 = а(Ве1^0) = аа. При выводе последней формулы учтено, что (е1 ,h0) = 0, (e0,h0) = l. Уместно и необходимо различать два случая: 1)аа > 0, 2)аа < 0. В первом из них ¡1(e) € R и более того при малых е гарантировано неравенство ¡1(e) > 0. Поэтому для обоих корней уравнения (1.5) выполнены неравенства Re^1j(e) < 0,j = 1, 2.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
U + A0u = 0. (1.6)
В силу предположения 5 уравнение (1.6) имеет два линейно независимых периодических решения u(t) = e1 exp(±io1t), период которых равен 2п/о1. Наряду с линейным однородным уравнением (1.6) рассмотрим неоднородное
U + A0u = q(exp(±ika1t)), (1.7)
где k = 0,1, 2, 3,q € И. Напомним хорошо известное условие разрешимости неоднородного дифференциального уравнения в классе 2п/о1 периодических функций u(t) со значениями в И или И.
При k = 0, 2, 3 уравнение (1.7) имеет периодическое решение вида
u(t) = V exp(iko1t) + v exp(—ika1t),
где v € Нкд2 (ИА2) находим как решение уравнения
(—(kai)2 + Ao)v = q.
При к = 1 уравнение (1.7) имеет периодическое решение, если (q, ho) = 0. В частности, при q = ei таким решением будет u(t) = e0 exp(±faii). Равенства
2ж/а1
j (u(t),hi exp(±iait))dt = 0. (1.8)
o
выделяет одно подходящее решение дифференциального уравнения (1.7).
В работе будут рассмотрены вопросы о существовании и устойчивости малых по норме периодических решений уравнения (1.3). Речь пойдет о таких решениях u(t,e), для которых выполнены предельные равенства
2п
lim u(t, е) = 0, lim T(е) = —. £—^o £—^o ai
Здесь T(е) период искомого решения, а первый предел следует понимать в смысле нормы фазового пространства решений уравнения (1.3).
2. Алгоритм построения малых периодических решений
Периодические решения уравнения (1.3) с периодом близким к 2n/ai будем искать в следующем виде
u(t, е) = eui(t, s) + e2u2(t, s) + e3u3(t, s) + o(e3), (2.1)
где s = et, ui(t) = [zi(s) exp(iait) + zi(s) exp(—iait)]ei, u2(t,s),u3(t,s) € Ид2, по переменной t имеют период 2n/ai. Комплекснозначные функции zi(s),Zi(s) будут выбраны в процессе реализации алгоритма. В данном разделе ограничимся алгоритмом, позволяющим определять zi(s),Zi(s), u(t, е) приближенно. Подстановка суммы (2.1) в дифференциальное уравнение (1.3) с последующим приравниванием членов при одинаковых степенях е до е3 включительно позволяет сформировать два линейных неоднородных дифференциальных уравнения для определения u2(t, s),u3(t, s). При их формировании следует учесть, что
^ = v + еу', d2dts = v + 2еу' + е2уv = ^,
dt cdt ~ ~ dt
. dv(t,s) . d2v(t,s) д v(t,s) „ d2v(t,s)
v = —-—-, v =--—-, v =--—-, v ' =--—-.
ds dsdt dt2 ds2
Так для u2(t,s) получаем неоднородное дифференциальное уравнение
u2 + A0u2 = —2iai[z'l(s) exp(iait) — zi(s) exp(-iait)]ei — —2giai[zi(s) exp(iait) — zi(s) exp(—iait)]ei + F2(ui(t, s),ui(t, s)).
При этом
F2(ui(t,s),ui(t,s)) = F22Z2(s) exp(2ia11) + F2oZi(s)zi(s) + F22~z2i(s) exp(—2ia it),
(2.2)
где F22, F22 € Hk, F2o € H. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.2) представим в виде суммы частных решений
U2(t, s) = U2l(t, в) + U22(t, s)
двух вспомогательных неоднородных дифференциальных уравнений
U21 + Aou21 = -2ia1[Z1(s) exp(ia1t) — zl(s) exp(-ia1i)]e1--2giai [z1(s)exp(i^1t) — Z1(s) exp(—i^1t)]e1, U22 + A0U22 = F2(u1(t,s),U 1(t,s)).
Положим
U21 (t,s) = (zo(s) exp(i^t) + Zo(s) exp(—i^1t))eo. Подстановка U21(t, s) в первое из двух последних уравнений показывает, что
zo = — 2ia1 (z1 + gz1). (2.3)
Частное решение второго из них можно записать в виде суммы
U22(t, s) = U22(t,z1,z1) = P2Z2 exp(2i^t) + poZ1Z1 + p2z2 exp(—2iait),
где p2,p2 € HkA2, po € HA2 и могут быть найдены как решения уравнений
(Ao — 4a1)p2 = F22, (Ao — 4^2)p2 = F22, Aopo = F2o.
Их разрешимость вытекает из предположения 7. Просто проверяется, что для таким образом выбранного решения U2(t, s) условие (1.8) выполнено. Приравнивая коэффициенты при е3, можно сформировать неоднородное уравнение для u3(t,s). В результате имеем
U3 + AoU3 = F3(U1,U1) + Ф3(U1, U2,U 1,U2) — [z'{ exp(i^t) + z'[ exp(—i^1t)]e1 — —2ia1[z'o exp(ia1t) — zo exp(—ia1t)]eo — 2ia1 g[zo exp(ia1t) — zo exp(—ia1t)]eo — —a[z1 exp(ia1t) + z1 exp(—ia1t)]5e1,
где, как и ранее, начиная с формулы (2.2), использованы обозначения z1 = z1(s), zo = zo(s), U1 = U1(t,s), U2 = U2(t,s), U3 = U3(t,s). Наконец, Ф3(u1,u2,U 1,U2) = д
—F2(u1 + ßU2,U 1 + ßU2)L=o. Первые два члена в правой части последнего неоднородного dß
дифференциального уравнения можно записать в виде суммы
F3(u1,U 1) + $3(u1,u2,uu 1,112) = Q3z3 exp(3i^11) + Q1z2z1 exp(i^t) + +Q1 z1z2 exp(—ia1t) + Q3z3 exp(—3ia1t) + Q2z1zo exp(2ia1t) + +Qozz + Qoz1zo + Q2z1zo exp(—2iait),
где Qj, Qj € Hk,j = 0,1, 2, 3. Последнее равенство - следствие структуры u1,u2 и свойств F2,F3. Из условий разрешимости неоднородного уравнения для u3(t, s) следует справедливость равенства
—2ia1z'o — 2ia1gzo — aaz1 + (71 + i72)z2z1 = 0, (2.4)
где (71 + iY2) = (Q1, ho), a = (Beb ho).
Если теперь продифференцировать равенство (2.3) по s, а затем из равенств (2.3),
(2.4) исключить zo, то получим одно дифференциальное уравнение второго порядка для комплекснозначной функции zi(s)
zi' + 2gz[ + (g2 + ai)zi — (j5 + ij6)zi\zi\2 = 0, (2.5)
где Y5 + = (y1 + iY2)/(4a2), ai = (aa)/(4a2). Уравнение (2.5), будем называть нормальной формой (квазинормальной формой).
Рассмотрим также линейное дифференциальное уравнение
z'{ + 2gz[ + bzi =0(b = g2 + ai), (2.6)
которое получено из уравнения (2.5) путем его линеаризации на нулевом состоянии равновесия.
Лемма 2. Пусть b = g2 + ai > 0. Тогда нулевое решение дифференциального уравнения (2.6) и дифференциального уравнения (2.5) асимптотически устойчиво. Если b < 0, то оно неустойчиво.
Исследование устойчивости уравнения (2.6) базируется на анализе характеристического уравнения X2 + 2gX + b = 0. Равенство b = 0 выделяет критический случай при исследовании устойчивости нулевого решения уравнения (2.5). Этот вариант выбора b рассматривать не будем. Рассмотрим функцию
zi(s) = п exp(ius),
где п,и € R,n > 0. Данная 2п/и периодическая функция будет решением уравнения
(2.5), если ее параметры удовлетворяют системе алгебраических уравнений
—и2 + b — j^n"2 = 0, 2gu — чец2 = 0.
Будем считать, что y5 + Y = 0. Пусть сначала y5 = 0. Выделим два случая: 1)y6 = 0, 2)^6 = 0. В первом из них и = Yen2/(2g), а для определения п2 получим биквадратное уравнение Pi(n2) = 0, где Pi(£) = y7£2 + Y5£ — b, Y7 = (Y6/(2g))2 > 0, £ = n2. Во втором — находим, что и = 0, а для п имеем уже уравнение P2(n2) = 0
(P2(£) = Y5£ — b). Условие п > 0 не сужает класс рассматриваемых автомодельных решений в силу автономности дифференциального уравнения (2.5).
Далее будем рассматривать только простые и положительные корни уравнения Pi(rj2') = 0. Это уравнение имеет два простых положительных корня, если выполнены неравенства b < 0,75 < 0,y2 — 4bY7 > 0. Данное уравнение имеет один положительный простой корень, если b > 0.
Пусть п = п* положительный простой корень уравнения Pi(п2) = 0. Тогда соответствующее ему решение обозначим через zi*(s). При этом zi*(s) = п* exp(iu*s), где и* = ^Ye/^g).. Для исследования данного решения положим
zi(s) = п* exp(iu*s)(1 + v(s)).
После подстановки данной функции zi(s) в уравнение (2.5), элементарных преобразований и линеаризации, для вспомогательной функции v(s) получим линейное дифференциальное уравнение в C
v" + 2(g + iu*)v' — п*Ы + iYe)(v + v) = 0. ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 3(31), No.1-2
При формировании этого уравнения было учтено, что п* exp(iw*s) удовлетворяет уравнению (2.5). Пусть теперь v(s) = vi(s) + iv2(s). Действительные функции v1(s),v2(s) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
v" + 2(gv' - u*v'2) - 2nhbv 1 = 0, v'2 + 2(gv'2 + u*v') - 2n*J6vi = 0.
Ответ на вопрос об устойчивости решений данной системы сводится, как обычно, к анализу расположения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения для последней системы дифференциальных уравнений
ДЫ = det( Ы + 2gß - ^ -2ш*Ы \ = 0 Д(ы) = det^ 2w*ß - 276П2 Ы2 + 2gß ) = 0
После преобразований получаем уравнения Д(ы) = ыД 1(ы) = 0, где
Д 1 (ы) = Ы3 + РЫ2 + ЯЫ + r, Р = 4g > 0, q = 4g2 + 4ш2 - 2^ß, r = -4gßn2, ß = РЧО^ (ß = 0)-
Один из корней характеристического уравнения ц = 0. Это следствие линеаризации на периодическом решении z 1 *(s) = п* exp(iw*s).
Теорема 1. Пусть ß < 0, то периодическое решение z 1*(s) дифференциального уравнения (2.5) устойчиво (орбитально асимптотически устойчиво). Если ß > 0, то оно неустойчиво.
Если ß < 0, то выполнены неравенства q > 0, r > 0, pq - r > 0. Следовательно, для корней уравнения Д1(ы) = 0 справедливы неравенства Reßj < 0,j = 1, 2, 3. Более подробно доказательство изложено в работах [10-11]. Там же рассматривается второй случай, когда y6 = 0. Тогда ш* = 0, а п* — положительный корень уравнения Р2(п2) = 7бП2 - b = 0.
Теорема 2. Пусть bj5 > 0. Тогда у уравнения (2.5) существует одномерное инвариантное многообразие, составленное из ненулевых состояний равновесия
Z1*(s) = п* exp(ih), h G R, п* =
Это многообразие устойчиво, если b < 0 и неустойчиво при b > 0.
В заключение этого фрагмента отметим, что при 75 = 0 один из существующих циклов l неустойчив (z1 G l, если z1 = п* exp(iw*s)). Действительно, если уравнение Р1(п2) = 0 имеет только один положительный корень п*, то ß = Р1({)|^=^2 > 0 и, следовательно, r < 0 и соответствующий ему цикл седловой.
Пусть уравнение Р1(п2) = 0 имеет два положительных корня щ < Щ. Тогда из элементарного анализа квадратного трехчлена Р1(£) вытекает, что
РШ^щ < 0, Р1Ш1?=п! > 0.
Цикл, отвечающий меньшему корню щ устойчив, а большему корню п2 отвечает неустойчивый (седловой) цикл.
Разберем теперь особый случай, когда Y5 = 0. Но тогда y6 = 0. Уравнение (2.5) имеет периодическое решение ^i(s) = r¡* exp(iu*), где и*2 = b, то есть соответствующее и* существует, если b > 0. При этом п* = 2gu*/Ye, а знак и* (и* = Vb или и* = —Vb) выбираем таким образом, чтобы было выполнено неравенство Yeu* > 0. При Ye < 0 данное периодическое решение устойчиво и неустойчиво при Ye > 0. Получили результат аналогичный теореме 1.
Теорема 3. Существует eo > 0, что при всех е € (0, eo) каждому периодическому решению 21*(s) уравнения (2.5), отвечающему простому положительному корню п* уравнения Р1(п2) = 0, соответствует периодическое решение уравнения (1.3) с наследованием свойств устойчивости.
Для периодического решения справедливо асимптотическое представление
u(t, е) = еп* [exp(¿(a1 + eu*)t) + exp(—i(a1 + eu*)t)]e1+ +e2[—2in*&1(g + iu*) exp(i(a1 + eu*)t) + 2in*01(g — iu*) exp(—i(a1 + eu*)t)]eo+ +е2п*[Р2 exp(2i(u1 + u*e)t) + po + p2 exp(—2i(a1 + u*e)t)] + o(e2).
Элементы p2,p2,po были определены в процессе реализации алгоритма построения нормальной формы.
Эта теорема сформулирована для общего случая Ye = 0. Если Ye = 0, то фразу «каждому периодическому решению» заменить на — «каждому состоянию равновесия» (и* = 0). Уравнение Р1(п2) = 0 следует заменить на уравнение Р2(п2) = 0. Уравнение Ръ(п2) = 0 может иметь только простой положительный корень, если, конечно, таковой существует.
Нормальную форму (2.5) можно записать в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Сначала положим 21 (s) = w1(s),^1(s) = w0(s), а затем возвратим к старой независимой переменной t(s = et). В результате получим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
W1 = ewo, Wo = e[—2gwo — bw1 — (y5 + iYe)W1\w1\2].
Положим теперь w1(t) = y1(t) exp(—ia1t), w0(t) = y0(t) exp(—ia1t). В результате получим систему
У1 = ioy + eyo, yo = + e[—2gyo — by1 + (y5 + iYe)y1\y1\2] (2.7)
- иной вариант записи для нормальной формы. Наконец, для дальнейших построений удобно систему дифференциальных уравнений (2.7) переписать в тригонометрической форме, положив
y1 = р1 exp(iip1), yo = ipo exp(ipo), (2.8)
где pj = pj(t), фj = фj(t) (j = 0,1). Для новых переменных p1, po, Q = ф1 — фo получим замкнутую систему дифференциальных уравнений
p1 = epo sin Q, po = —e(2gpo + bp1 sin Q) + (y6 cos Q + y5 sin Q)p1,
Q = e(cos Q — bp— cosQ — (Ye sin Q — Y5 cos Q)p1), p1 po po
которую следует дополнить уравнением
, Ро ^ ф i = ai + £— cos в.
Р1
Замкнутая подсистема дифференциальных уравнений (2.9) при Y6 = 0 имеет состояние равновесия
в = в*, pi = п*,Ро = По = ^Ш,
2g
где п*, в* — корни уравнений Pi(n2) = 0, sin в = 0. При этом в* = 0, если y6 > 0 и в* = п, если y6 < 0, так как знак произведения y6 cos в* должен совпадать со знаком слагаемого 2gp0 (p0,g > 0).
Пусть теперь Y6 = 0. Тогда при переходе от системы дифференциальных уравнений (2.7) к системе аналогичной (2.9) вместо замены (2.8) лучше использовать следующую
yi = pi exp(í^i), yo = iuo exp(i^i), uo = ui + iu2, <fii = ф (t) € R.
В результате имеем систему дифференциальных уравнений в R3
pi = -£u2, ui = £(— — 2g)ui,
uiu2 r n p\ 3l (2.10)
u 2 =---+ £[—2gu2 + bpi — y5piJ.
Pi
которую следует дополнить уравнением
Ф i = ai + (£ui)/pi.
Замкнутая подсистема (2.10) имеет состояние равновесия ui = u2 = 0, pi = \Jb/j5, если конечно, bj5 > 0. Более детальное изложение исследования нормальной формы в тригонометрическом виде можно найти в работе [10].
3. Обоснование основного результата
В этом разделе речь пойдет о доказательстве теоремы 3, которая была сформулирована в п. 2. Для этого потребуются некоторые преобразования, связанные с необходимостью переписать дифференциальное уравнение (1.3) в иной форме.
В силу предположения 5 и разрешимости задачи Коши (1.3), (1.2) любое ее решение может быть записано в виде
(■t,£) = uk(t,£)ek,
и
к=0
где ик(¿,£) = (и(Ь,£),Нк). Функции ик(¿,£) дифференцируемы. Разрешимость задач Коши (1.3), (1.2) влекут также за собой сходимость рядов
те те те
3 = 2 3=2 3=2
Последние утверждения вытекают из предположений 3,4. Сходимость рядов понимаем в смысле нормы пространства Н.
В предыдущих разделах было построено приближенное периодическое решение дифференциального уравнения (1.3) с точностью до о(е2). Для этого была использована сумма (2.1), в которой к настоящему моменту определены первые два слагаемых. Рассмотрим сумму из них, но в другой форме записи. Положим,
иа(у1,У1,Уо,Уо,£) = еиг(у1,у1) + е2П2(у1,Ш,Уо ,Уо), (3.1)
где, как уже отмечалось ранее,
У1 = У1(Ь) = Ш1(еЬ) ехр(1а1г), Ш1(в) = г1 (в), Уо = Уо(Ь) = шо(ег)вхфа1г), шо(в) = г[(в), и^УьУ^ = У + У1У1, и2(У1,У1 ,Уо,Уо) = Р2У21 + Р0У1У1 + Р2У1 - 2гя1[(Уо - Уо) + д(У1 - У{)]ео,
а элементы р2,р0,р2 были определены в п. 2.
Из построений п. 2 вытекает справедливость утверждения.
Теорема 4. Пусть у1 = У1(Ь),У0 = У0(Ь) решения системы дифференциальных уравнений (2.7). Тогда сумма (3.1) задает приближенное решение уравнения (1.3). Функция иа(Ь) удовлетворяет уравнению (1.3) с точностью до слагаемых, имеющих порядок о(е2).
Из этого утверждения вытекает, что если У1*(Ь),Уо*(Ь) периодическое решение системы (2.7), то иа(Уи(1),У1*(1),Уо*(Ь),Уо*(Ь),е) приближенное решение уже уравнения (1.3). Равенство (3.1) задает «приближенное» интегральное многообразие для решений уравнения (1.3).
Будем искать такие точные решения дифференциального уравнения (1.3), для которых справедливо равенство
и(Ь,е) = иа(У1,У1,Уо,Уо,е) + е2ш(Ь,е),
где ш(Ь,е) = ^^ ш(Ь,е)ез, комплекснозначные функции у0 = у0(Ь,е),У1 = У1(Ь,е) удовле-
3=3
творяют уже не системе дифференциальных уравнений (2.7), а уточненной системе
Vi = гагуг + eyo + e2^i(yi,yl,y0,yQ,w,w,e), уо = iaiyo + s[-2gyo - byi + (75 + iY6)yi\yi\2} + s2^o(yi,yi,yo,yo,w,w,s),
а шз(Ь,е), в свою очередь, счетной системе дифференциальных уравнений
Шз + а2шз + 2деШз = Фз, (3.3)
где ] =2, 3,...,к = 0,1, 2,... Наконец,
Фк (У1,У1,Уо ,Уо,ш,Ш,е) = (Ф,Нк), к = 0,1,2, 3,..., ш = (ш2,ш3,...), Ш = (ш2,Ш3,...).
Наконец, при е = 0
Ф = Ф(У1,У1,Уо,Уо,ш,Ш,е) = е-2^ (и, и) - ¥2^1,^1) + Г3(и,и) + +е2(Ь2(и,и,е2) + Ьз(и,и,е2))}, У1 = еУ + У^еь
д _ _
В последней формуле положим Ф2] = (Ф(У1,У1,У0,У0,г,гг, е))|£=0. Тогда дифференциальные уравнения (3.3) можно переписать в уточненной форме
% + 2дегю^ + а^г^ - еФ2] = е2^], (3.4)
где Ф] = Ф](у1,у1 ,У0,У0,г,гг,е), w = (w2,Wз,...), гг = (г«2,гоз,---)- Подчеркнем, что в силу предположений 3,4 и выбора г,гг (имеется в виду сходимость соответствующих рядов) у функционалов Ф] существуют непрерывные частные производные дФ, дФ7-
——, ——, к, 1 = 2, 3,... Эти производные удовлетворяют условию Липшица относитель-дги дъ)к _ _
но векторных переменных г = (г2,г3,...), гг = (гЬ2,ги3,...), а также У0,У0,У1 ,У1.
От системы дифференциальных уравнений второго порядка (3.4) достаточно традиционным способом перейдем к системе уравнений первого порядка. Положим
г, = ——, г, = У]2, ] =2,3,... а]
В результате получим систему
У]1 = -а]У]2, У]2 = о,У]1 + еФ2] + е2Ф], (3.5)
Ф2] = Ф2](У1,У1,У0,У0,^1,У1,У2,У2), Ф] = Ф](У1,У1,У0,У0,У1,У1,У2,У2), У1 = (У21,У31, . . .), У2 = (У22,У32, . . .), У1 = (^21,^31, . . .), У2 = (^22 ,У32, . . .).
Подчеркнем, что в силу предшествующих предположений и замен сходятся ряды
те те
е], , т = l, 2
]=2 ]=2
в смысле нормы Ик. Продолжим преобразования и положим
К - ^ - 1
~2(Я] + Ъ), У]2 = 2,
Vj = vji + j nj = vji - j vji = ^(Vj + Vj ), vj2 = ^(Vj - Vj), i = 2, 3,....
В результате последних взаимооднозначных замен получим систему уравнений для ком-плекснозначных функций П] = П] (¿) эквивалентную системе (3.5)
= оъ - едп] + едП] + ^ + £2С3], (3 6)
П = О П] - едП] + едпз + + е2^, '
где, конечно, ] =2, 3,..., С3] = гФ], и, следовательно,
С33 = С33(yl,Уl,yо,Уо,n,n,е), П = (n2,nз,...), П = (П2,Ъ,...). Наконец, С2] = гФ2]. Поэтому
тете
С2] = У1 ^ д^к т + У1 ^ 1]к Пк + к.с., к=2 к=2
где 1]к,д]к € Ик. Через к.с. обозначены комплексно сопряженные слагаемые по отношению к выписанным в явном виде.
Еще одно преобразование касается системы дифференциальных уравнений (3.6). Положим
те те
Пз = Уз + Фз Уз + У1Е взк У к + 7зк Ук + к.с.], (3.7)
к=2 к=2
где через к.с. обозначены слагаемые, которые комплексно сопряжены к последним четырем слагаемым в правой части замены (3.7), з =2, 3,...
Пусть П = (П2,Пз,...),П = ^Пз^.^ У = (У2, Уз,.. (, У = (У2,Уз,...). Будем ^тать что У,п € Ш1, если в Нк сходятся ряды
тете тете
^2 гПз аз ез, ^ -гщз аз ез ^ гУз аз ез, -гуз ез,
з=2 з=2 з=2 з=2
то есть Ш1 дискретный аналог НкА.
Замены (3.7) приводят систему дифференциальных уравнений (3.6) к системе уже следующего вида
Уз = газ Уз - едУз + е2н± (3 8)
уз = -газУз - едУз + е2нз, '
если коэффициенты в формулах (3.7) выбрать таким образом, чтобы выполнялись равенства
-гак Vк = гак Vк + д, к = 2, 3,..., (га1 + гак )взк = газ взк + дзк, (3.9)
(-га1 + гак )Ък = газ 1зк + Ьк, к = 2, 3,...
дополненные сопряженными равенствами. Первое уравнение системы (3.9) имеет решение Vз = -(д/(2аз)), а второе и третье -
д з к Iз к
взк = -.-^, ^зк ~
г(а1 + ак - аз)' г(-а1 + ак - аз)'
Знаменатели последних равенств отличны от нуля и при этом квалифицированно в силу предположения 7. Напомним, что в силу этого предположения справедливы неравенства \аз - ак ± а1\ > ао > 0, где ао — положительная постоянная.
Систему дифференциальных уравнений (3.8) дополним уравнениями (3.2). В результате получим счетную систему дифференциальных уравнений
yi = iaiyi + syo + s2Hi, Уо = iaiyo + s[-2gyo - byi + (75 + i7e)yi\yi\2} + s2Ho
21 , „2„ (310)
Уз = газУз - едУз + е нз. ^Л^
Здесь 3 = 2,3,...,Но = Фо(у1,У1,Уо,Уо,У,У,е),Н1 = Ф1(у1,у1,уо,Уо,У,У,е), Нз = Нз(У1 ,У1,Уо,Уо,У,У,е). Наконец, у = (у2,у3,..) € Ш1. Подчеркнем, что систему дифференциальных уравнений (3.10), (3.11) дополняют уравнения для комплексно сопряженных функций ут(Ь), т = 0,1, 2,....
Наряду с системой (3.10), (3.11) рассмотрим ее «укороченный» вариант
уз = газУз -едУз, з = 2,з^... (3.12)
Уо = i°iVo + £—2gyo - byi + (75 + ÍYe)yi\yi\2), í1 = iay + ey0, (3.13)
которая получена отбрасыванием в системе (3.10), (3.11) последних слагаемых.
Система дифференциальных уравнений (3.12), (3.13) имеет периодическое решение (см. п. 2)
y1 = п* exp(i(a1 + u*e)t), y0 = гш*п* exp(i(a1 + u*e)t), yj = 0, j = 2, 3,----
Здесь п* — простой положительный корень уравнения Р1(п2) =0, ш* = (j6п*)/2д, если 7б = 0. При 76 = 0, ш* = 0, а п*- положительный корень уравнения Р2(п2) = 0.
Покажем, что система (3.10), (3.11) имеет цикл близкий к циклу «укороченной» системы (3.11), (3.12). Для этого воспользуемся результатами работ [18-21]. Преобразуем обе системы (3.10), (3.11), а также (3.12), (3.13), переписав их в тригонометрической форме. В результате этих преобразований получим две следующие системы. Первая из них соответствует «укороченной» системе (3.12), (3.13)
yj = iajyj— zgyj, yj = —iajyj— zgyj, (3.14)
p1 = eÜ1, po = eGo, в = SÜ2,
/ , Po n (3.15)
щ = a 1 + e— cos©, v '
P1
где
G1 = p0 sin в, G0 = -2gp0 — p1b sin в + (j5 sin в + j6 cos в)р1,
3
G2 = — cos в — b^— cos в — (y6 sin в — y5 cos в) —. P1 P0 P0
Система дифференциальных уравнений (3.14), (3.15) имеет инвариантный тор
76 cos в* 2
yj = 0, pi = п*, Po = no = ——V*,
Ф1(t) = (01 + e— cos e*)t + фо, фо € R, п*
где, как и ранее, п* — простой (или один из них) корень уравнения P1(n2) = 0, sin в* = 0. Напомним, что в* =0 при j6 > 0 и в* = п при j6 < 0. Случаи j6 = 0 и 75 = 0 разбираются отдельно и аналогично.
Полная система дифференциальных уравнений (3.10), (3.11) перепишется в аналогичной форме
yj = oyj- £gyj + £2Hj, y = -iojyj- £gyj + е2Н,
Pi = eGi + e2Gio, Po = eGo + e2Goo, в = eG2 + e2G2o, (3.16)
ф1 = o 1 + e— cos в + e2G3o, Pi
где теперь Hj = Hj (y,y,p1,po, в,ф{), j = 2,3,..., Goo = Goo(y,y, p1, po, в,ф1), G1o = Gw(y,y,p1,po, в,ф1), G2o = G2o(y,y,p1,po, в,ф1), G3o = G3o(y,y, P1, po, в,ф1), y = (y2,y3,...), y = (y2,y3,...). Все эти функции по переменной ф1 имеют период 2п. Положим
yj = Zj, j = 2, 3,...,p1 = n* + ev1, po = no + evo, в = в* + ev_1, v = colon(v1,vo,v-1).
В новых переменных Zj,vi,v0,v-i,^i система дифференциальных уравнений (3.14), (3.15) приобретает вид
Zj = iojZj — egZj, Zj = —iojZj — egZj, (3-17)
V = sBov + e2Pi(v,e), = oi + e— cos&* + e2Qi, (3-18)
п*
(dp л
где B0 = { -—— ? , (m,k = 1, 0, —1), а через F1,F0,F-1 обозначены правые части
I 9vk Jv=0
замкнутой подсистемы из трех первых уравнений системы (3.15). Через eBo обозначена матрица Якоби подсистемы (3.14), вычисленная в точке р1 = п*, Po = По, & = &*-Аналогично перепишется и система дифференциальных уравнений (3.15)
Zj = ioj Zj — egZj + e2Pj,
j jL (3-19)
Zj = —iojZj— egZj +e pj,
v = eBov + e2Po, фi = oi + e— cos & + e2Q2. (3-20)
п*
В равенствах (3.18),(3.19),(3.20) j = 2, 3,...,Pj = Pj (v,Z,Z,^i ,e),Pj (v,Z,Z,^i,e), Qi(v, Z,Z,^i,e),Q2(v, Z,Z,^i,e) - гладкие функционалы (функции) своих переменных, Z = (z2, z3, - - -),Z = (Z2,Z3, - - -)- Наконец, Pi = Pi(v,Z),P0 = P0(v, Z,Z,^i, e) гладкие вектор-функции со значениями в R3- При этом Po,Pj по переменной ф i имеют период 2п-
Систему дифференциальных уравнений (3.19), (3.20) можно для удобства дальнейших ссылок на результаты работ [18-21] переписать как абстрактное дифференциальное уравнение в Wi- Положим
Zj = Xj + iyj, j = 2, 3,---, q = (vi,vo,v-i,X2,V2,X3,V3, - --) € Wi-Напомним, что q € Wi означает, что сходится ряд
те
J2(xj+yj )oj ej -j=2
Норму в пространстве Wi можно определить равенством
12 2 2 I 2 2 I 2 I V^ h 2 , 2\
I = vo + + v-i + + 2•
j=2
После введения таких обозначений систему (3.19), (3.20) можно переписать еще один раз. Итак
q = B(e)q + e2Q(q,ф i,e), (3-21)
фi = (oi + e— cos&*) + e2Qi(q, фi, e)- (3-22)
п
В силу предшествующих предположений нелинейный оператор Q и функционал Ql непрерывно дифференцируемы по переменным д, ф\ в смысле Фреше и соответствующие производные удовлетворяют условиям Липшица. Линейный оператор В(е) действует из пространства Ш в Ш (дискретный аналог Н) и определен равенством В(е) = diag (еВо, В2(е), В3(е),...), где трехмерная матрица Во была определена ранее, а
В(е)= ( ^9 ) ^ =2,3,...
Линейный оператор В(е) порождает группу линейных ограниченных операторов класса Со [14;§3,п.7,§7, п.2]. В частности, этот оператор имеет счетное множество собственных значений р-1, ро, р1, р2, р3, ■ ■ ■, где = —ед, . = 2,3,..., а р-1, ро, ц1 определяются как собственные значения матрицы еВо. Для всех выполнено условие Кер^ = 0.
Из всего выше отмеченного вытекает, что если отбросить последние слагаемые, в обоих уравнениях системы (3.21), (3.22), то она имеет инвариантное многообразие
д = 0, ф\ = (^1 + е— сов 0*)Ь + фо, фо € К. п*
Система дифференциальных уравнений (3.21), (3.22) имеет инвариантный тор. (см. теорему о возмущениях инвариантных торов из работ [18-21]) д = е2М(ф1 ,е), где функция М со значениями в Ш непрерывно дифференцируема по ф1 и е. По переменной ф1 имеет период 2п. В переменных уо,у1,у2 ,Уз,..., соответствующий тор будет определяться уравнениями
У1 = п* ехр(гф1)+ е2У1(ф1,е), уо = Що ехр(гф1) + е2Уо(фь е), у,- = е2У)(ф1,е), . =2,3,...
Здесь функции У^ (ф1,е) зависят непрерывно дифференцируемым образом от ф1,е, а также по переменной ф1 имеют период 2п. Выше везде речь шла об «одномерном» торе, который обычно называют циклом. Последнее означает, что результаты работ [18-21] были использованы в относительно частном случае.
Результаты, изложенные в работах [18-21], предполагают определенную гладкость потока (нелинейной группы или полугруппы), порождаемого решениями задачи Коши для абстрактного уравнения (системы) (3.21), (3.22). Отметим, что она входит в класс абстрактных уравнений, рассмотренных, например, в работе [15]. Иные ссылки можно найти в упомянутой работе (см. также [26]). В работе [15] вопрос о разрешимости задачи Коши и свойствах ее решения сведен к исследованию существования решения достаточно стандартного интегрального уравнения, которое изучается на базе применения метода последовательных приближений и, следовательно, необходимые утверждения о гладкости по параметру е и начальным условиям доказываются стандартным образом (см., например, §3.1, с. 64-67 из учебного пособия [18], а также §3 из монографии [21]).
Прикладные аспекты данной задачи были изложены в докладах на IX, X съездах по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Нижнем Новгороде (см. [22], где изложены материалы последнего из этих двух докладов).
4. Заключение
В работе показано, что в случае близком к резнансу 1:1 могут возникнуть незатухающие колебания. Это происходит при скоростях меньших чем скорость флаттера. При
этом с формальной точки зрения нулевое состояние равновесия остается устойчивым. Аналогичная картина имеет место при реализациях резонансов 1:2 и 1:3 (см., например, [7]). Подчеркнем, что такие эффекты имеют место при малом демпфировании (трении). Выводы этой работы, а также работы [7], не противоречат данным экспериментов. В монографии [1;гл. 4] отмечалось, что незатухающие колебания пластинки в сверхзвуковом потоке газа возникали и при докритических скоростях. Более детальное изложение прикладных аспектов полученных результатов можно найти в работах [8, 22, 25].
Список цитируемых источников
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматлит, 1961. — 337 с.
2. Гукенхеймер Дж.,Холмс Ф. Нелинейные колебания динамических систем и бифуркации векторных полей. — Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. — 559 с.
3. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. — М.: Наука, 1979. — 320 с.
4. Монвель Л.,Чуешов И.Д. О колебаниях кармановесной пластинки в потенциальном потоке газа // Известия РАН, сер. матем. — 1999. — Т. 63. — №2 — C. 3-28.
5. Куликов А.Н., Либерман Б.Д. О новом подходе к исследованию задач нелинейного панельного флаттера // Вестник Яросл.-го ун-та. / Под ред. Ю.С. Колесова. — Ярославль: ЯрГУ, 1976. — С. 118-133.
6. Колесов В.С., Колесов Ю.С., Куликов А.Н., Федик И.И. Об одной математической задаче теории упругой устойчивости // Прикл. математика и механика. — 1978. — Т. 42. — №3. — С. 458-465.
7. Куликов А.Н. Бифуркации малых периодических решений в случае близком к резонансу 1:2 для одного класса нелинейных эволюционных уравнений // Динамические системы. — Т.2(30). — №3-4. — С. 241-258.
8. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом коэффициенте демпфирования в свехзвуковом потоке газа // Прикл. математика и механика. — 2009. — Т. 73. — №2. — С. 271-281.
9. Куликов А.Н. Резонанс 1:3 — одна из возможных причин нелинейного панельного флаттера // Журнал вычислительной математики и мат. физики. — 2011. — Т. 51. — №7. — С. 12661279.
10. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28. — №6. — С. 1080-1082.
11. Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теоремы Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29. — №5. — С. 780-785.
12. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Резонансная динамика нелинейных флаттерных систем // Труды МиАН. — 2008. — Т. 261. — С. 154-175.
13. Куликов А.Н. Жесткое возбуждение колебаний характерно для флаттера при малом коэффициенте демпфирования // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 29. — №11. — С. 131-134.
14. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Нау-ка,1977. — 464 с.
15. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Труды МиАН. — 1970. — Т. 23. — С. 154-175.
16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. — М.: Нау-ка,1965. — 448 с.
17. Неймарк М.А. Линейный дифференциальные операторы. — М.: Наука,1969. — 526 с.
18. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений. — Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та, 2003. — 105 с.
19. Колесов А.Ю.,Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: принцип кольца // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39. — №5. —С. 584-601.
20. Колесов А.Ю.,Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: сохранение инвариантного тора при возмущениях // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39. — №6. —С. 738-753.
21. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: Физ-матлит,2004. — 405 с.
22. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонансы собственных частот — одна из возможных причин жесткого возбуждения колебаний // Вестник Нижегородского ун-та. — 2011. — Т. 4. — №2. — С. 193-194.
23. Dowell E. Flutter of panels at high supersonic speeds // AIAAJ. Vac. Technol. — 1964. — V. 2. — №10. — P. 1113-1119.
24. Holmes P.J,Marsden J.E. Bifurcations to divergence and flutter in flow induced oscillation - an infinite dimensional analisis // Automatica. — 1978. — V. 14. — №4. — P. 367-384.
25. Kulikov A. N. Resonance of proper frequence 1:2 as a reason for hard excitation of oscillations for the plate ultrasonic gas // Тр. Междунар. конгресса EN0C-2008. — Russia,Saint-Petersburg: Saint-Petersburg, 2008. — P. 1636-1643.
26. Segal I. Nonlinear Semigroups // Ann. of Math. — 1963. — V. 78. — P. 339-364.
27. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag,1966. — 740 c.
Получена 10.04.2013
