CC BY
10Динамические системы, том 2(30), No. 3-4, 241-258 УДК 517.538
Бифуркации малых периодических решений в случае близком к резонансу 1:2 для одного класса нелинейных эволюционных уравнений
А. Н. Куликов
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль 150000. E-mail: anat_kulikov@mail.ru
Аннотация. В работе рассматривается широкий класс нелинейных эволюционных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве. Этот класс уравнений включает в себя краевые задачи, встречающиеся в теории упругой устойчивости. Например, при изучении такого явления как нелинейный панельный флаттер пластинки в сверхзвуковом потоке газа. Из результатов данной работы вытекает, в частности, что флаттер может быть обусловлен жестким возбуждением колебаний при близости собственных частот к резонансам 1:2. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством. Использован аппарат нормальных форм, а также алгоритм их построения, который ведет свое начало от работ А. Н. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского и А. М. Самойленко. В работе также приведены некоторые результаты, которые относятся к резонансу 1:3. Введение содержит пример краевой задачи, моделирующей явление панельного флаттера. Ключевые слова: нелинейные эволюционные уравнения, нелинейный панельный флаттер, жесткое возбуждение колебаний.
Введение
Одной из наиболее известных задач теории упругой устойчивости считается задача о колебаниях упругих тел в потоке газа или жидкости, а самой популярной из них задача о нелинейном панельном флаттере в сверхзвуковом потоке газа. Аналогичные задачи возникают и при изучении колебаний трубы, по которой протекает жидкость или газ. В теории упругой устойчивости есть иные примеры математических моделей, которые приводят к бифуркационной задаче, рассматриваемой ниже.
Математическим аспектам исследований колебаний тел в потоке газа или жидкости посвящено большое число исследований. Достаточно обратиться, например, к монографиям и работам [1-4,24-26], а также к списку цитируемой там литературы. Простейшие варианты постановки таких задач в случае цилиндрического изгиба приводят к необходимости исследования краевых задач для уравнения
wtt + gowt + wxxxx + cwx = F(wt, wx,wxx). (0.1)
© А. Н. КУЛИКОВ
Уравнение (0.1) приведено в перенормированном виде, коэффициент с > 0 пропорционален скорости набегающего потока газа, д0 > 0 - коэффициент демпфирования. Наконец, т = х) - нормированный прогиб серединной поверхности пластины. Скорость потока газа направлена вдоль оси х. Функция не за-
висит от у. Это означает, что рассматривается вариант цилиндрического изгиба пластинки [1; гл. 4]. В правой части уравнения (0.1) находятся слагаемые, которые учитывают нелинейный характер задачи. Так например, в монографии В.В. Болотина (см.[1;§4.12]) предложен следующий вариант
где Ь0,к2,к3,ш > 0, а М - число Маха. Если обратиться к монографии [2;§7.6], то в соответствующей краевой задаче оставлена лишь "геометрическая нелинейность"^]. В первом варианте учтена и аэродинамическая нелинейность на основе закона плоских сечений ("поршневой"теории) [1]. Уравнение (0.1) необходимо дополнить краевыми условиями, отражающими характер закрепления концов пластины. Например, в случае шарнирного опирания
Краевые условия (0.2) могут быть заменены на иные [1,3,25].
Если коэффициент демпфирования д0 относительно велик, то математическая часть исследования содержит две части. В линейной постановке определяется критическое значение с = с* (скорость флаттера), при которой спектру устойчивости линеаризованной задачи принадлежит пара простых чисто мнимых собственных значений ±га(а > 0), а остальные остаются в левой полуплоскости комплексной плоскости. При превышении критической скорости с = с* происходит потеря устойчивости нулевого состояния равновесия. Анализ поведения решений соответствующей нелинейной краевой задачи базируется на распространении бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующий класс нелинейных краевых задач (нелинейных эволюционных уравнений в банаховом или гильбертовом пространстве). Этому были посвящены работы [25,5-7].
Иная задача возникает, если коэффициент д0 мал (д0 << 1). Следует отметить, что такой вариант не является исключительным, так как речь идет о коэффициентах после перенормировок, а тогда коэффициент д0 пропорционален Е-1, где Е модуль упругости. Обычно Е величина достаточно большая. Так для стали Е = 2 х 1011 Н/м2. До перенормировок все физические величины приводятся в одной системе. Как правило, это система Си. Добавим, что после перенормировок во многих работах (см., например, [25], а также §4.6 из [1]) для д0 приведены типичные численные значения. В большинстве примеров д0 < 0.02, а очень часто справедливо неравенство д0 << 0. 01.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Ь(с) = у1У + су, определенный на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих краевым условиям
1
о
w(t, 0) = w(t, 1) = wxx(t, 0) = wxx(t, 1) = 0.
(0.2)
г>(0) = г>(1) = г;"(0) = г>"(1) = 0. В работах [8-10,27] было показано, что при с Е [0, Сх)(0 < с1 < с*) линейный дифференциальный оператор Ь(с) имеет счетное множество простых собственных значений 0 < ^(с) < 0"|(с) < ... При с = С1 собственное значение о^О становится двукратным. Наконец, можно указать такие положительные постоянные с2,с3, что с3 < с2 < с1 и а2(с2) = 2а1(с2),а2(с3) = 3^1 (сз). При указанных значениях параметра с иные младшие резонансы собственных частот отсутствуют.
Итак, при с ~ с3,с ~ с2,с ~ с1 для точек спектра устойчивости краевой задачи (0.1), (0.2) реализуются случаи, близкие к резонансам 1:3,1:2,1:1. Напомним, что комплексное или действительное число А(А Е С (Я)) принадлежит спектру устойчивости, если краевая задача
допускает нетривиальные решения вида 'ш(1,х) = ехр(А£)^(х).
В работе будет рассмотрен класс абстрактных нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве, который включает в себя многие нелинейные эволюционные краевые задачи из теории упругой устойчивости. Например, краевую задачу (0.1), (0.2). Для абстрактных уравнений из указанного класса будет рассмотрена задача о бифуркациях малых периодических решений в случае, близком к резонансу 1:2. Иные резонансные задачи были рассмотрены несколько ранее (см., например, [8-14]).
С точки зрения приложений такие результаты дают возможность иного объяснения феномена нелинейного флаттера, отличного от традиционного (см., например, [2,5-7]). Если коэффициент демпфирования мал, то флаттер может наступить при скоростях близких к с3 или с2 или с1 меньших чем с*. Иногда значительно. Так в задаче (0.1), (0.2) оказалось, что с2 ~ (1/л/2)с1; а с1 < с* (см.[8-10,27]). Величина с1 при малом демпфировании дает некоторое приближение для скорости флаттера с*. Поэтому в механике [1;§4.9] принято называть величину с1 "нижней"скоростью флаттера.
1. Описание рассматриваемого класса абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.
Пусть Н действительное сепарабельное гильбертово пространство. В этом пространстве рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
зависящее от параметра с Е [0, то).
Операторы, входящие в правую и левую части уравнения (1.1) удовлетворяют ряду ограничений, которые индуцированы видом уравнений теории упругой устойчивости [1-2,25]. Эти ограничения сведены в серию предположений.
wtt + gowt + wxxxx + cwx = 0, w(t, 0) = w(t, 1) = wxx(t, 0) = wxx(t, 1) = 0
xxxx
ü + goü + (A2 + cB)u = f (и, ü, c),
(1.1)
Предположение 1. Будем считать, что A - замкнутый линейный оператор, область определения которого Ha плотна в H, а линейный оператор B подчинен A. Дополнительно, будем предполагать, что линейный оператор A имеет своим обратным вполне непрерывный (компактный) оператор A-1 .
Предположение 2. Линейный оператор iA - производящий оператор группы класса (C0) [15; гл. 1, §2] в комплексном расширении H, которое далее будем обозначать Hk.
Предположение 3. Через Ha обозначим подпространство H, состоящее из тех u £ Ha, для которых определена норма ||u||a = ||Au||. Аналогичным образом определено и подпространство Ha 2 : u £ Ha2 , если определена норма ||u||a2 =
IIA2uH
Предположение 4. Нелинейный оператор f (u, v, c) действует из некоторого шара S(r) пространства Ha х Ha х R в H и имеет сильно непрерывную производную Фреше f U(u, v, c), сильно непрерывную H - расширенную [16] производную Фреше fV (u,v, c), которые удовлетворяют условию Липшица в шаре S(r). Считаем, что оператор f (u,v,c) гладко зависит от параметра c в метрике пространства H.
Предположение 5. Нелинейный оператор f (u,v,c) имеет по совокупности переменных u,v в нуле порядок малости выше первого. В частности,
fu(u,v,c)|u=0,v=0 = fu(u,v,c)Iu=0,v=0 = fv (u,v,c)Iu=0,v=0 = fv (u, v, c)|u=0,v=0 = 0.
Первые три предположения гарантируют локальную разрешимость задачи Ко-ши, для уравнения (1.1), если (см. [16],[28])
u(0) = u0 £ Ha2 , ui(0) = ii0 £ Ha. (1.2)
Четвертое предположение дополняет первые три. Пусть ||u0||a2 < о, ||Ü0||a < о, то задача Коши имеет единственное решение (см. [16])
u(t) £ C2((-Ta,Ta),H) n C\(-Ta,Ta),Ha) n C(( Ta,Ta),Ha2),
где Ta ^ ж, если о ^ 0. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Метод последовательных приближений в работе [16] применялся к интегральному уравнению, заменяющего задачу Коши (1.1), (1.2). Для интегрального уравнения гладкая зависимость от начальных условий и параметров исследуется достаточно стандартным способом. В работе [16] приведен достаточно полный список работ, где рассмотрены схожие задачи. Аналогичные результаты получены в широко известной работе [28].
Следующие предположения носят более специальный характер.
Предположение 5. Линейный оператор A2 + cB при c = c2,c2 £ (0,c1) имеет положительные и простые собственные значения
о2 < о2 < ... , ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 2(30), No.3-4
При этом о2 = 2o1, ok/о1 = 2, \ok — Oj ± om\ > D > 0, D = const > 0, j = 3, 4, 5,.... Предположение 6. В рамках данной работы будем считать, что
f (u,v,c) = f2(u,v,c) + /э (u,v,c)
где f2(u,v,c), f3(u,v,c) - билинейный и трилинейный операторы по совокупности переменных u,v при всех рассматриваемых c. Будем считать, что они зависят от параметра c аналитически в метрике пространства H. В большинстве приложений
mo
fj(u,v,c) = fjm(u,v)cm, j = 1, 2
m=0
Очень часто fjm = 0, m = 1, 2,..., то есть они от c не зависят. Так будет, например, если ограничиться рассмотрением задач, где учитывается лишь "геометрическая нелинейность"[2; гл. 7, §7.6].
Положим g0 = 2eg(g > 0), c = c2 + ae,a £ R и рассмотрим линейный оператор
Ä2(e) = A2 + (c2 + ae)B, a,e £ R,e £ (0, eo).
Положим Ä2 = Ä2 (0), а через A2 обозначим сопряженный ему линейный оператор. Через ek будем обозначать собственные элементы линейного оператора Ä2, а через hk - собственные элементы Ä2- Будем считать, что hj,ek биортогональны, то есть (ek, hj) = 6kj -символ Кронекера.
Наконец будем считать, что система собственных элементов {ej}, как и система {hj}, образует базис Бари-Рисса [17-18]. В указанных монографиях изложены соответствующие определения и результаты (см., например, гл. 6 из монографии [23]). В монографии [18] эти результаты применяются к исследованию несамосопряженных дифференциальных операторов.
Линейный оператор Ä2(e) = Ä2 + aeB имеет собственные числа и собственные элементы [29;гл. 8]
Xk(e) = а2к + evk + o(e), ek(e) = ek + eeH + o(e).
Итак в рамках данного параграфа будем изучать уравнение (1.1), записанное следующим образом
u + 2egu + Ä2u + aeBu = F2(u, u) + F3(u, u) + eG2(u, u, e) + eG3(u, u, e). (1.3)
Здесь F2(u,u) = f2(u,u,c2),F3(u,u) = f3(u,u,c2), а G2,G3 билинейный и трилинейный операторы (см. п. 1.1), которые гладко зависят от параметра e.
Замечание 1. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение
u + Ä2u = q exp(iut), q £ HK.
При ш = Oj (j = 1, 2) оно всегда имеет периодическое решение с периодом 2п/ш. Если же оказалось, что ш = о1 или ш = о2, то данное неоднородное уравнение имеет периодическое решение с периодом 2п/о1 или 2п/о2, если выполнены
равенства ) = 0 или (д,к2) = 0 соответственно. Последние два равенства принято называть условиями разрешимости для соответствующего неоднородного дифференциального уравнения в классе периодических функций.
2. Алгоритм построения нормальной формы в случае близком к резонансу 1:2 собственных частот
Введем в рассмотрение семейство решений уравнения (1.3), для которых справедливо представление
u(t, s) = £[z1(s) exp^t) + z1(s) exp(-wt)^ + e[z2(s) exp(2iоt) + +Z2(s) ехр(-2о)]в2 + s2u2(t,Z1,Z1,Z2,Z2) + O(s3),
где в = еЬ,а = а1(а2 = 2а1 = 2а). Комплекснозначные функции г1(в),г2(в) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (нормальной форме). Структура её главной части будет определена ниже. Для этого подставим сумму (2.1) в дифференциальное уравнение (1.3) и выделим слагаемые, имеющие порядок е2. Для и2(Ь,в,г1 ,~г1,г2,~г2) получим неоднородную краевую задачу
и2 + А2и2 = —аВи1 + Е2(и1,и1) — 2гад[г1 ехр(гаЬ)) — г1 ехр(—га^)]е1-
—4гад[г2 ехр(2гаЬ)) — г2 ехр(—2га1)]е2 — 2га[^1 ехр(гаЬ)— (2.2)
—г[ ехр(—гаЬ)]в1 — 4га[^2 ехр(2гаЬ) — ~г'2 ехр(—2гаЬ)}е2,
где г1 = г1(в), г2 = г2(в), и1 = и1(Ь,в) = [г1 ехр(гаЬ)+г 1 ехр(—гаЬ)]в1+[г2 ехр(2гаЬ) + г2 ехр(—2гаЬ)]е2. Здесь точкой обозначена частная производная по Ь, а штрихом по в. Билинейный оператор Е2(и1 ,и1) можно переписать в иной форме:
Е2(щ,и 1) = ехр(2гаЬ)г^р2 + 1р0 + ехр(—2гаЬ)г^{р2 + ехр(ЗгаЬ) г1г2р3+
+ ехр(—3гаЬ)г 1г2р3 + ехр(гаЬ)г1г2р1 + ехр(—гаЬ)г1г2р1 + + ехр(4га^)г|р4 + г^® + ехр(—41а1)г^2р4, Р1 ,Р2,Рз,Р4 ^ Нк, ро,Яо ^ Н.
Условия разрешимости неоднородного уравнения в классе 2п/а периодических по Ь функций позволяют получить систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений для комплекснозначных функций г1(в),г2(в). В данном случае укороченный её вариант (квазинормальная форма) приобретает следующий вид
z1 = (-g + ia1)z1 + (¿1 + ic1 )z2Z 1, z'2 = (-g + ia2)z2 + (¿2 + ic2)^2.
(2.3)
Здесь
а1 =----, а2 =----, (й1 + гс1) = —--, (¿2 + гс^) = —:-.
2га 4га 2га 4га
Квазинормальную форму (2.3) можно записать и иначе, положив у1(Ь) = г1(еЬ) ехр(гаЬ), у2(Ь) = г2(еЬ) ехр(2гаЬ).
Откуда получаем новую систему
У1 = %оух + е[(-д + ъа^ + (й + ге^ухух ], У2 = 2гау2 + е[(-д + ъа2)у2 + (4 + ¿С1)у2].
2 (2-4)
В свою очередь, систему дифференциальных уравнений (2.4) можно и целесообразно переписать в тригонометрической форме. Положим
у1 = 11Р1 ехр(1 + 181), уъ = ЪР2 ехр(1 + ъ82),
где 71,^2,81,82 е Я и 71,^2 > 0, ф- = ф-(Ь), р- = р-(Ь), ] = 1, 2. Наконец,
й1 + ъс1 = Х1 ехр(гА^, й2 + ъс2 = Х2 ехр(ЪА2), 0(Ь) = ^(Ь) - 21 (Ь), А+А е 0 е А 2 - А1 2 А = -2-, 82 - 281 = -2-,ЪХ1 = 1, Х2 = 72.
Отметим, что аргументы А1, А2 можно выбрать так, чтобы А е [0; п).
В результате получим замкнутую систему дифференциальных уравнений для р1 (Ь), р2 (Ь), 0(Ь) следующего вида
р1 = е[-др1 + р1р2 еов(0 + А)], р2 = е[-др2 + р\ еов(0 - А)],
0 = е[ао - Р1 81п(0 - А) - 2р2 81п(0 + А)], (2.5)
р2
где а0 = а2 - 2а1. Систему (2.5) следует дополнить уравнением для (Ь)
11 = а + ер2 в1п(0 + А). (2.6)
Рассмотрим сначала замкнутую подсистему (2.5) и найдем состояния равновесия, отличные от тривиального (р1 = 0,р2 = 0). Координаты такого состояния равновесия находим как решения системы уравнений
р2 еов(0 + А) = д, р\ еов(0 - А) = др2,
Р1 81п(0 - А) + 2р2 яп(0 + А) = ао. (2.7)
р2
Из двух первых уравнений системы (2.7) находим, что
2
д 2 д2
Р2 =-, л^, Рг ~
еов(0 + А)' оов(0 + А) ео8(0 - А)'
Из двух последних равенств, в частности, вытекает, что
еов(0 + А) > 0, еов(0 - А) > 0. (2.8)
Поэтому при А = п/2 система (2.7) решений не имеет и далее этот вариант исключен из рассмотрения. Случай А = 0 тривиален, так как приводит к уравнению
tgO = a0/3g. У него следует выбрать решение в = в*, для которого cos в* > 0. Перейдем к общему случаю (А = 0,п/2).
После исключения р1, р2 получим уравнение для определения в
tg(e - А) + 2tg(e + А) = a4, aA = ao/g.
Преобразования приводят к квадратному уравнению для y = a tge (а = tg А)
P2(y) = (1 + aa4)y2 + 3(1 + a2)y + (a2 - aa4) = 0, (2.9)
у которого, как вытекает из неравенств (2.8), следует искать решения y £ (-1; 1). Из условий P2(1) > 0, P2(-1) < 0 вытекает, что уравнение (2.9) имеет ровно один подходящий корень y*. Уравнение tge = y*/a имеет на полуинтервале [0, 2п) два корня. Подходит тот корень в*, для которого cose* cos А > 0.
Лемма 1. Пусть А = п/2. Система дифференциальных уравнений (2.5) имеет одно седловое состояние равновесия S. Ему соответствует цикл системы дифференциальных уравнений (2.5),(2.6) и, следовательно, (2.4). При А = п/2 состояния равновесия отсутствуют,.
Завершение доказательства предполагает проверку устойчивости S. Это можно сделать стандартным образом. Линеаризуем (2.5) на состоянии равновесия S. Теоремы об устойчивости по первому (линейному) приближению сводятся к исследованию спектра матрицы Якоби, вычисленной в точке с координатами состояния равновесия. В данном случае приходим к характеристическому уравнению
А3 + PA2 + QA + R = 0,
P = 4g, Q = g2[1 - 4^^ +
a2(1 — y2) a2(1+y*)2
R = -g3[6 + 4 ^y*^ + 2 ^y-^].
a2(1 - y*)2 a2(1 + y*)2
а y*- корень уравнения (2.9). Ясно, что всегда P > 0,R < 0. Поэтому состояние равновесия S всегда седловое.
Теорема 1. Существует такое £0 > 0, что при всех е £ (0; е0) нелинейное дифференциальное уравнение (1.3) имеет неустойчивое (седловое) периодическое решение. Для него справедливо асимптотическое представление
U(t,e) = e(yi + yl)ei + e(y2 + y2)e2 + e2U2 (yi,Vl,y2,V2) + (2.10)
период которого равен 2п/а(е), где а(е) = а + еш1 + о(е). В свою очередь,
д(у* + «2)
ш1 = —--— при а =
а(1 — у2)
корень уравнения (2.9).
g(y* + а2)
ш1 = —г*-— при а = tgА = 0 (А = 0) и ш1 = a0/3 при а = 0. Наконец, y*
a(1 - y2)
В равенстве (2.10) у^), у2(^) — периодическое решение системы дифференциальных уравнений (2.4), а и2 — решение вспомогательной неоднородной задачи (2.2), в которой следует положить у^) = г\(е1) ехр(гаЬ), у2(Ь) = ехр(2го^).
3. Доказательство теоремы.
В предыдущем разделе было построено приближенное периодическое решение с периодом близким к 2п/о. Первые три слагаемые в правой части равенства (2.10) определяют такое решение, которое удовлетворяет уравнению (1.3) с точностью до о(е2). Поэтому положим
и(г,£) = £(уг + у1)ег + £у + У2)е2 + £2и2^,У1,УъУ2,У2) + £2w(t,£), (3.1) где последнее слагаемое может быть представлено в виде сходящегося ряда, то
есть
w
(t,e) = ^2 Wkek, Wk = Wk(t,e), (w,hj) = 0, j = 3, 4, 5,...
к=3
Напомним, что в нашем случае предполагается также сходимость рядов
j=3 j=3 j=3
в смысле нормы в пространстве Н. Для Шк при £ = 0 получим последовательность дифференциальных уравнений
те
2„
Wk + o2kWk + £gWk + £a ^ ajkWj = Фк,
j=3
где к = 3, 4,..., ajk = (Bej, hk),
Фk = "4(F2(u,u) + F3(u, u) + £Ü2(u,il,£) + £G3(u,Ü,£),hk),
£2
а u = u(t, £) задано в виде суммы (3.1). Поэтому
Фk = Фk (yi,yl,V2,V2,W,VÜ ,£), W = (W3,W4,. . .), W = (W3, W4, . . .). Последние уравнения удобно переписать иначе:
те
Wk + vk,Wk + £gW k + £a^2 akj Wj =
j=3
= £F2k (Уl,Уl,У2,У2,W, W) + £2F0k (Уl,Уl,У2,У2, w, W, £),
(3.2)
где Р2к = —ф |£=о. Откуда следует уточнение структуры функционала Р2к. Его де
можно представить в виде суммы
те те
?2к (у1 ,у1,у2,у2^,й)) = /Зщ Ш3 + 'Ш, +
3=3 3=3
те те те
+у2^ в2к, + у2 ^ в2к, Ш3 + ШХ 3 +
3=3 3=3 3=3
тетете
+у1 X ^ кШ3 + у^ X ^2к3 ШШ3 + X ^2к3Ш3.
3=3 3=3 3=3
Коэффициенты вк ,^2к3, , V2к3 е С.
При формировании системы дифференциальных уравнений (3.2) учтено, что первые три слагаемых в равенстве (3.1) формируют приближенное решение уравнения (1.3). Их сумма удовлетворяет этому уравнению с точностью до членов, имеющих порядок о(е2). В частности, поэтому в левой части уравнений системы (3.2) отсутствуют слагаемые еаак1у1 ,еаак2у2 и им сопряженные. Наконец, пусть
те
Фок = Фок (ш) = а^2,ак3 Ш3.
3=3
Положим
Шк = — —, Шк = У2к, Пк = Vlk + гУ2к, к = 3, 4, 5,..., ак
У1 = (У13,У14, . . .),У2 = (У23,У24, ...), П = (П3,П4,П5, . . .).
Система дифференциальных уравнений (3.2) сначала перепишется в виде следующей системы первого порядка
V 1к = —акУ2к,
V 2к = акУ1к — 2едУ2к + еР2к (уьу^,^, Vl, V2)+ (3.3)
+е2Рок (уъу^^^^е) — еФок,
а затем система (3.3) перепишется уже в комплексной форме
'Пк = i°kШ - sgnk + едцк+
± Ыл
Здесь k = 3, 4, 5,..., а
+isF2k (V1,V1,V2 ,У2, , ) + is^ok + O(s2). (3.4)
F2k (V1,V1,V2,V2,n-+-n ) = a1kj Пз + Ь1кЗ Пз +
i 3=3 3=3
те те те те
+V1 X c1k3 П + У1 X d1kj П3 + V^ X a2kj Пз + X b2kj П +
3=3 3=3 3=3 3=3
тете
+V2 X c2kj % + +V2 X d2kj Пз,
3=3 з=з
где комплексные коэффициенты в правой части последнего равенства могут быть явно выражены через коэффициенты функционала Г2к, но приводить их здесь не будем, так как они не будут далее использоваться. Однако отметим, что при любом наборе индексов справедливы равенства
= а1к], = Ьщ, d2kj = а2к], = Ь2^ ■ Наконец, после замен и перехода к комплексной форме записи в формуле (3.4)
ia akj , akj _
= "2 ^ П + Т ^ — П
j=3 j j=3 j
Систему дифференциальных уравнений (3.4) можно еще раз преобразовать, положив для этого
Пк = Ук + е (Y Yjyj + Y6kjy
j) + (yl Yl 7lkjyj + yl Y; ^lkjyj + кХ.) +
j=3 j=3 j=3 j=3
+ (y2 Y Y2kj yj + y^Y Ö2kj yj + к.с.)
j=3 j=3
(3.5)
k = 3, 4, 5,....,
где через к.с. обозначены комплексно-сопряженные слагаемые к двум им непосредственно предшествующим.
При соответствующем выборе коэффициентов замены (3.5) систему дифференциальных уравнений (3.4) можно привести к виду
Ук = гак Ук + е(-9 + гак )Ук + е2Ок (у1,у1,у2,у2,у,у,е), (3.6)
где к = 3, 4, 5,... ,ак = акк/(2а к ),у = (уз,у4,у5, ■■■),у = (уз, у4, у5, ■■■), а функционалы Ок = Ок(у1 ,у1,у2,у2,у,у,е) гладко зависят от своих аргументов. Все производные первого порядка функционала Ок непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют по у1 ,у1,у2,у2,у,у условию Липшица. Соответствующие производные (производные Фреше) действуют из НкА в Нк■ Для вывода уравнения (3.6) следует коэффициенты в заменах (3.5) выбрать как решение ниже указанного семейства уравнений. Правую группу этого семейства составляют уравнения вида
, • а^
га j ^ = гак + га-—, 2аj
если ] = к,], к = 3,4,Из этих уравнений Yкj находим однозначно. При ] = к напротив соответствующее уравнение решений не имеет. Поэтому второе слагаемое в правой части (3.6) осталось неизменным.
Вторая группа для определения коэффициентов 5^, при ] = к
-гаj 5^ = гак 5^ + га^ ■
2аj
Эти уравнения разрешимы при всех ],к. При ] = к имеем уравнение
-Юкйкк = гак $кк + гаакк + д,
2ак
которое также имеет решение. Остальные коэффициенты находятся как решения следующих уравнений
(гох + га у - гак)Ъзк = а^к, (-го\ + га у - гак= Ь^к, /„
(га 2 + га у - гак )Ъзк = а2ук, (-га 2 + га у - гак ^к = Ъук, ( ' )
а также им сопряженных. Здесь ], к = 3, 4, 5,... Все уравнения (3.7) разрешимы в силу предположения 5.
Полная система может быть получена, если систему (3.6) дополнить уравнениями для у1,у2,у1,у2. Укороченный вариант этих уравнений был выписан в преду-дущем разделе (см. систему (2.4)). Итак имеем
yi = iay + е У2 = га2У2 + е
(-g + rni)yi + (di + ic\)y2yi + e2Gi(yi,yi,y2,y2,y,y,e), / ч
] _ _ _ (3-8)
(-g + ia2)y2 + (d2 + ic2)y2 + e2G2(yi,yi,y2, y2,y, y,e),
Ук = гак Ук + е(-д + гак )Ук + е2Ск (УъУ\,У2,У2,У,У,£), к = 3, 4, 5,... (3.9)
Систему уравнений для у1,у2,у3,у4,... разделили на две части: подсистему (3.8) и (3.9). Подсистему (3.8) удобно переписать в переменных р1,р2, ©,ф1, как это было сделано при переходе от систему дифференциальных уравнений (2.4) к системе (2.5). Это было сделано в предыдущем разделе. В результате система (3.8), (3.9) перепишется следующим образом при р1,р2 > 0 (р1 = 0,р2 = 0)
р1 = е[-др1 + Р1Р2 еов(© + А)] + £2Ql, р2 = £[-др2 + Р2 еов(© - А)] + £2Я2,
© = £[ао - Р1 яп(© - А) - 2р2 яп(© + А)] + £2Qo, (3.10)
Р2
Ук = гак Ук + £[-д + гак ]ук + £2Qk. (3.11)
Здесь постоянные А, ао были определены в предыдущем разделе, функционалы Qp = Qp(p1,p2, ©,ф1,У,У,£) гладко зависят от своих аргументов при р1, р2 >
™ \у-\
0, ©,ф1 € Я, а также всех у, для которых конечна норма > ——. От переменных
а7 1=1 7
©,ф1 они зависят периодическим образом, имея при этом период 2п. Добавим к системе уравнение для ф1
1 = а 1 + £Р2 яп(© + А) + £2Яо, (3.12)
где R0 = R0(pi,p2, 0,ф1,У,У,е) и свойства этого функционала аналогичны свойствам функционалов Qp. Вместе с системой (3.10), (3.11),(3.12) рассмотрим «укороченную» систему дифференциальных уравнений
pi = e[-gp\ + Р1Р2 cos(0 + А)], р2 = e[-gp2 + pi cos(0 - А)],
0 = e[ao - — sin(0 - А) - 2р2 sin(0 + А)], (3Л3) Р2
Vk = iokVk + e[-g + iakУ к = 3, 4, 5,..., (3.14)
фi = ai + ep2 sin(0 + А). (3.15)
Укороченная система дифференциальных уравнений (3.13), (3.14) имеет седловое состояние равновесия S0 :
р2 = Р20 =-Pi = Р1° = / ' Vk = 0, (3.16)
cos(0* + А) Vcos(0* + А) cos(0* - А)
где 0* — корень, найденный с помощью анализа вспомогательного уравнения (2.9), если, конечно, А = п/2,к = 3, 4,5. Собственные значения оператора Якоби, полученного после линеаризации системы (3.13),(3.14) обозначим через Л0(е),Л^е), Л2(е), Л3(е),.... При этом Re Лk (е) = -eg < 0, к = 3, 4, 5,..., а собственные числа Лз (е) = e¡j, где j = 0,1, 2, а ¡j собственные числа матрицы Якоби вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.5), вычисленная в точке р1 = pi0, р2 = р20, 0 = 0*, то есть на ее состоянии равновесия S. Состояние равновесия (3.16) системы дифференциальных уравнений (3.13),(3.14) порождает цикл l0 «полной» системы (3.13),(3.14), (3.15). Из результатов работ [19-21] вытекает, что грубому циклу l0 соответствует цикл возмущенной системы (3.10),(3.11),(3.12) и, конечно, системы дифференциальных уравнений (3.8), (3.9). При использовании результатов работ [19-21] следует учесть, что речь идет о тех их разделах, где изучается вопрос о сохранении инвариантных торов при возмущении, (см. [21], а также §2 из [19]) а также то обстоятельство, что система дифференциальных уравнений (3.8), (3.9) может быть включена в класс рассматриваемых там уравнений. Уместно, пояснить, что в упомянутых работах изучен вопрос о сохранении торов произвольной размерности. В данной работе ситуация даже проще, так как изучается вопрос о о сохранении цикла, то есть "одномерного"тора. Подробное изложение вопроса о сохранении инвариантных торов при возмущениях можно найти в монографии [22] (см. §2 и §4 гл. 1).
4. О резонансах 1:1 и 1:3
В предыдущих разделах работы показано, что для широкого класса динамических систем с распределенными параметрами, которые могут быть включены в класс абстрактных дифференциальных уравнений (1.1) возможно жесткое, до-критическое возбуждение колебаний в случаях близких к реонансу 1:2. В такой класс дифференциальных уравнений входят многие нелинейные краевые задачи
теории упругой устойчивости (см., например, краевую задачу (0.1), (0.2)). Жесткое возбуждение колебаний может иметь место и в случаях близких к резонансу 1:1 [8,11-14] и к резонансу 1:3 [9]. При рассмотрении последнего варианта, то есть вблизи резонанса 1:3 следует возвратиться к рассмотрению дифференциального уравнения (1.3) при иных предположениях.
Будем считать, что при с = с3 > 0 линейный оператор А3 = А + с3В имеет простые собственные числа 0 < а^ < а^ < аЗ, < ... и а2 = 3а1. Наконец, будем предполагать, что
- = 2(^ , ак1 = 3(Т) ,
ат \2/ ат \3/
ак = ат ± а1, ак = ат ± а2, ак = ат ± 2а1
ни при каких к,т € N за одним ранее отмеченным исключением.
Будем предполагать, что
Е2(п, и) = F2(u), Е3(и, и) = F3(u), Ьу(и, и,£) = Ьу(и,£), ] = 2, 3,
то есть все слагаемые правой части уравнения (1.3) не зависят от и. Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
и + 2£ди + (Аз + £аВ) и = ^(и) + ^з(и) + £ [Ь2(и, £) + Ьз(и, £)] , (4.1)
Пусть еу собственные элементы линейного оператора А3, отвечающие собственным числам а2,] = 1, 2, 3,.... Через Ну обозначим собственные элементы сопряженного оператора А1, соответствующие тем же собственным числам а2, ] = 1, 2, 3,.... Будем предполагать что {еу} базис Рисса и его элементы биортого-нальны элементам системы {Нк} : (еу, Нк) = Ьку - символ Кронекера [17-18].
Для того, чтобы найти решения с периодом близким к 2п/а1, будем искать те решения, для которых справедливо представление (в = £Ь)
и(ь, в) = £1/2и1(г, в) + £и2(г, в) + £3/2и3(г, в) + £2и4(г, в) + 0(£5/2), (4.2) 2
и1(Ь, в) = ^^(г, (в) ехр^а^ Ь) + гу (в) ехр(-га у Ь))еу, у=1
Подставляя сумму (4.2) в уравнение (4.1) и, последовательно приравнивая коэффициенты при £1/2,£, £3/2,..., получим рекуррентную последовательность неоднородных краевых задач. Условия их разрешимости в классе тригонометрических многочленов по переменной Ь, а также построения близкие к фрагментам доказательств теоремы 1 приводят к системе дифференциальных уравнений в Ш1
<х
к2
к=1
а точнее их главную часть, удается записать в виде [9]
(а € Ш1, если а = (а1,а2,а3,...),У к2\ак\2 < то). В данном случае эти уравнения,
z'i = (-g + ißi)zi + iaiizi\zi\2 + iai2zi\z2\2 + ia^z^ z'2 = (-g + iß2)z2 + ia2iz2\zi\2 + ia22z2\z2\2 + ia23z3,
2 , „•„ „ U 12 , „•„ ,3 (4-3)
4 = (-9 + ißk) + izk (ак1\гг\2 + afc2|z2Í2), fc = 3, 4, 5,... . (4.4)
Здесь ßk E R, ajk E R. Эти коэффициенты определяются в процессе реализации алгоритма построения квазинормальной формы.
Замечание 2. Случай, когда нелинейные слагаемые в уравнении (4.1) не зависят от i достаточно типичен. Например, в задаче о нелинейном панельном флаттере он реализуется, если учет аэродинамических сил был произведен по "квазиста-ционарному"варианту закона "плоских сечений"[1,24]. В более общем варианте постановке задачи, когда нелинейные слагаемые зависят от ii, получаем нормальную форму (4.3), в которой ее коэффициенты ajk E C, а не R, как в работе [9]. В таком случае требуется более детальное изучение системы уравнений (4.3) по сравнению с изложенным ниже.
Замены zk(s) = рк (s) exp (i0k (s)) (к = 3, 4, 5 ...) позволяют записать группу уравнений (4.4) в виде
Pk = -9Pk, ö'k = ßk + aki\zi\2 + ak2\z2\2.
Откуда получаем pk(s) = pk(0)exp(-gs) и, следовательно, lim zk(s) = 0.
Для изучения замкнутой подсистемы (4.3) целесообразно сделать замены
т = 9s, zj(т) = YjPj(т) exp(í0j(т)), j = 1 2,
где Yi,Y2 E R и будут выбраны ниже. В обобщенных полярных координатах уравнения (4.3) перепишутся в виде
Pi = -Pi + YoP2P2 sin 0, p2 = -p2 + fP{ sin 0,
01 = bio + biiP2 + bi2P2 - Y0P1P2 cos 0, (4 5)
02 = b20 + b2iP2 + b22P2 + — cos 0,
P2
где 0 = 0(т) = 02(т) — 301 (т). Вычитая из последнего уравнения утроенное предпоследнее, получаем замкнутую подсистему дифференциальных уравнений
J — 1 „2- J _ „ 1^3,
Pi = -Pi + YoP2iP2 sin 0, p'2 = -P2 + p) sin 0
■2 I b_ P2 +
^ \p2
0' = bo + bip) + b2p2 +(— + 3YoPiP^ cos 0. (46)
Здесь и в системе (4.5)
222 , _ anYi2 , _ ai2Y2 , _ a2iYi , _ a22Y2
b11 = -, b12 = -, b21 = -, b22 = -:
9 9 9 9 , ß^ ß2 ai3YiY2 bio = —, b20 = —, Yo =--,
9 9 9
bi = Ьц - 3bn, b2 = Ьц = -3bi2, bo = Ью - 3bio.
При а13, а23 = 0 постоянные 71,72 выбираем так, чтобы были выполнены равенства
| | л а2312!
Ы = 1, 12 = -.
д
Если а13а23 = 0, то анализ системы дифференциальных уравнений (4.3) аналогичен. Поэтому ограничимся изложением общего случая.
Система дифференциальных уравнений (4.6) [9] имеет одно состояние равновесия, если выполнено одно из трех условий
а) (Ь1 + Ь2)2 < 16, Ь) (Ь1 + Ь2)2 = 16, Ьо(Ь1 + Ь2) < 0, с) Ь2 + 16= (Ь1 + Ь2)2, Ьо(Ь1 + Ь2) < 0.
Их два, если (Ь1+Ь2)2 > 16, Ь0(Ь1+Ь2) < 0, (16+Ь0)2 > (Ь1+Ь2)2. При иных вариантах выбора Ь0,Ь1,Ь2 состояния равновесия отсутствуют. В работе [9] также показано, что если состояние равновесия одно, то оно неустойчиво, если их два, то одно из них обязательно неустойчиво. Как и ранее, каждому грубому состоянию равновесия нормальной формы (3.6) соответствует цикл дифференциального уравнения (4.1) с периодом близким к 2п/а1 с наследованием свойств устойчивости. Всё это вместе означает, что для уравнения (4.1) при указанных ограничениях характерно жесткое возбуждение колебаний (бифуркации неустойчивых периодических решений в докритическом случае).
В случае близком к резонансу 1:1 задача о бифуркациях малых периодических решений может быть сведена к исследованию нелинейного дифференциального уравнения второго порядка [8,14]
г" + дг' + (д1 + гд2)г + + гQ2)z\z\2 = 0
для комплекснозначной функции г(в) (в = £Ь). У последнего дифференциального уравнения для достаточно широкого набора параметров д1,д2^1 ^2 € Я существует неустойчивое периодическое решение.
Отметим, что случай резонанса 1:2 имеет отличия от иных резонансов (1:1, 1:3). В случае близком к резонансу 1:2 практически всегда существуют неустойчивые периодические решения.
5. Заключение
В работе показано, что в случае близком к резонансу 1:2 для достаточно широкого класса дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве реализуется жесткое и докритическое возбуждение колебаний. Этот вывод, в частности, означает, что "практическая"неустойчивость может проявить себя ранее того момента, когда нулевое решение потеряет устойчивость в строгом математическом смысле. Если обратиться к задаче о нелинейном панельном флаттере, то при скоростях потока газа меньших скорости флаттера возможно жесткое возбуждение колебаний. В монографии [1;гл. 4] отмечалось, что докритические колебания часто наблюдались в экспериментах.
Прикладные аспекты данных результатов были изложены в докладах на IX и X съездах по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Нижнем Новгороде (см. [23], где изложены материалы последнего доклада). Часть результатов была изложена в докладе на Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (Рязань, 2006, см. [14]).
Список цитируемых источников
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физ-матлит,1961. — 337 с.
2. Гукенхеймер Дж.,Холмс Ф. Нелинейные колебания динамических систем и бифуркации векторных полей. — Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследова-ний,2002. — 559 с.
3. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. — М.: Наука,1979. — 320 с.
4. Монвель Л.,Чуешов И.Д. О колебаниях кармановесной пластинки в потенциальном потоке газа // Известия РАН. Сер. матем. — 1999. — Т. 63. — №2. —P. 3-28.
5. Куликов А.Н., Либерман Б.Д. О новом подходе к исследованию задач нелинейного панельного флаттера // Вестник Яросл.-го ун-та. / Под ред. Ю.С. Колесова. — Ярославль: ЯрГУ, 1976. — С. 118-133.
6. Колесов В.С., Колесов Ю.С, Куликов А.Н., Федик И.И. Об одной математической задаче теории упругой устойчивости // Прикл. математика и механика. — 1978. — Т. 42. — №3. —С. 458-465.
7. Куликов А. Н. Исследование некоторых классов уравнений гиперболического типа, встречающихся в теории упругой устойчивости и радиофизике: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. — Ростов-на-Дону, 1977.
8. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом коэффициенте демпфирования в свехзвуковом потоке газа // Прикл. математика и механика. — 2009. — Т. 73. — №2. — С. 271-281.
9. Куликов А.Н. Резонанс 1:3 - одна из возможных причин нелинейного панельного флаттера // Ж. вычисл. матем. и мат. физики. — 2011. — Т. 51. — №7. — С. 12661279.
10. Бекбулатова А.О.,Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонанс 1:2 как источник жесткого возбуждения колебаний // Совр. пробл. математики и информатики — 2002. — №5. — С. 22-27.
11. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28. — №6. — С. 10801082.
12. Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теоремы Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Дифференц. уравн. — 1993. — Т. 29. — №5. — С. 780-785.
13. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Резонансная динамика нелинейных флат-терных систем // Труды МиАН. —2008. — Т. 261. — С. 154-175.
14. Куликов А.Н. Жесткое возбуждение колебаний характерно для флаттера при малом коэффициенте демпфирования // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 29. — №11. — С. 131-134.
15. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука,1977. — 464 с.
16. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Труды ММО. —1970. — Т. 23. — С. 154-175.
17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. — М.: Наука,1965. — 448 с.
18. Неймарк М.А. Линейный дифференциальные операторы. — М.: Наука,1969. — 526 с.
19. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений. — Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та, 2003. — 105 с.
20. Колесов А.Ю.,Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: принцип кольца // Дифференц. уравн. — 2003. — Т. 39. — №5. — С. 584-601.
21. Колесов А.Ю.,Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: сохранение инвариантного тора при возмущениях // Дифференц. уравн. — 2003. — Т. 39. — №6. — С. 738-753.
22. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: Физматлит, 2004. — 405 с.
23. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонансы собственных частот — одна из возможных причин жесткого возбуждения колебаний // Вестник Нижегородского ун-та. — 2011. — Т. 4. — №2. — С. 193-194.
24. Dowell E. Flutter of panels at high supersonk speeds // AIAAJ. Уас. TeAnol. — 1964. — V. 2. — №10. — P. 1113-1119.
25. Holmes P.J.,Marsden J.E. Bifurcations to diverge^e and flutter in flow indeed osrillation - an infinite dimensional analisis // Automatka. — 1978. — V. 14. — №4. — P.367-384.
26. Paidoussis M.P. Dynam^al of flexible slender cy1inders in axial flow //J. Fluid Me^. — 1966. — V. 26. — №4. — P. 737-751.
27. Kulikov A.N. Resonate of proper f^ue^e 1:2 as a reason for hard exritation of osrillations for the plate ultrasonk gas // Тр. Междунар. конгресса EN0C-2008. — Russia,Saint-Petersburg: Saint-Petersburg, 2008. — P. 1636-1643.
28. Segal J. Nonlinear Semigroups // Ann. of Math. — 1963. — V. 78. — P. 339-364.
29. Kato T. Perturbation theory for linear operators. — Berlin: Springer-Verlag, 1966. — 740 с.
Получена 30.09.2011 Переработана 03.12.2012
