Нелинейный панельный флаттер. Резонансы собственных частот − одна из возможных причин жесткого возбуждения колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 193-194

УДК 533.6013.42:534.1

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПАНЕЛЬНЫЙ ФЛАТТЕР. РЕЗОНАНСЫ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ -ОДНА ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ПРИЧИН ЖЕСТКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

© 2011 г. А.Н. Куликов

Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

[email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Предложен новый механизм возбуждения колебаний пластины под воздействием сверхзвукового потока газа при малом коэффициенте демпфирования. Жесткий режим возбуждения колебаний возможен при скоростях, близких к тем, при которых реализуется резонанс собственных частот 1:1, 1:2, 1:3. Эти скорости существенно меньше, чем скорость флаттера в традиционной ее трактовке.

Ключевые слова: флаттер, резонансы, нелинейная краевая задача, докритические бифуркации, жесткое возбуждение колебаний.

Введение

Математическое моделирование колебаний прямоугольной пластины, которая обтекается сверхзвуковым потоком газа со скоростью V приводит к необходимости исследования нелинейной краевой задачи [1-3]. В случае цилиндрического изгиба она принимает следующий вид:

+ + §2^(хххх + ^хххх + ™х =

= Р(Щ, ™х, wxx X (1)

=ао)=^,1)=wxx (и)=о. (2)

Здесь t > 0, х е [0, 1], м>(^, х) - нормированное трансверсальное перемещение серединной поверхности пластины, g1 > 0 — нормированный ко -эффициент демпфирования, коэффициент g2 > 0 характеризует вязкоупругое трение. Неотрицательный коэффициент с пропорционален V2, если для учета аэродинамических сил использована формула Аккерета, или V, если такой учет опирается на закон пло ских сечений А. А. Ильюшина («поршневой» теории). Наконец, Р — достаточно гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого. Следуя [1-3], обычно полагают

Г 1 1 Л

Р (^ ^ ^ ^ )=

V V х' Чх? хх>

\\ +Ь21

V 0 0

-Ъъ /с„ + М^х)2 - ЪЛ(wt/+ Ы^х )3,

где с„ - скорость звука в невозмущенной среде, М - постоянная Маха, коэффициенты Ъ] > 0, ] = = 1, 2, 3, 4, зависят от параметров обтекающего газа. Далее будем считать, что коэффициенты g1, g2 малы. Предположение естественно, так как они

пропорциональны Е-1, где Е - модуль упругости - достаточно большая величина для многих материалов (Е = 2 1011 Н/м2 для стали). Поэтому положим gl = , g2 = 2е^4 , gз , g4 > 0, е - малый неотрицательный параметр.

Анализ задачи в линейной постановке

Линеаризация дифференциального уравнения (ДУ) (1) при £ = 0 приводит к уравнению

Wtt + А(с) w = 0, Л(с)м> = ^хххх + с^х. (3)

Пусть ц(с) точка спектра устойчивости краевой задачи (3), (2) а ^(с) - собственное значение (СЗ) линейного дифференциального оператора (ЛДО) А (с). Тогда ц2 (с) + Ц( с) = 0.

В работах [4-6] было показано существование таких положительных постоянных с3 < < с2 < с1 , что

1) при с е [0, с1] все собственные значения ЛДО А (с) действительные и простые;

2) при с = с1 существует двукратное собственное значение > 0;

3) при с = с2 у ЛДО Л(с2) существует пара СЗ Х1(с2), ^2(с2) для которых ^1(с2):^2(с2) = 1:4;

4) при с = с3 у ЛДО А (с3) существует пара СЗ Х1(с3), ^2(с3) для которых ^1(с3):^2(с3) = 1:9.

При выборе краевых условий шарнирного опирания (2) оказалось, что

с1 = 343.36, с2 = 225.04, с3 = 121.10.

Вопрос о существовании таких с] и соответствующих Хк(с;) может быть сведен к исследованию системы уравнений. При выборе краевых условий шарнирного опирания (2) приходим к

194

А.Н. Куликов

системе вида:

Р(а,р) = 0, c = 4а(р2 -а2), Х = (а2 +Р2)(Р2 -3а2), Р(а,Р) = (За2 + р2о2 )sh о sin р + + 2aPc(ch2a- cosР ch с), с = ^/р2 - 2а2 .

Нелинейная краевая задача

Пусть c = С3 + a§&, ao е R, т.е. рассмотрим краевую задачу (1), (2) вблизи резонанса собственных частот 1:3. Используя идею и технику метода квазинормальных форм [4-7], исследование аттракторов варианта краевой задачи (1), (2) можно свести к аналогичным вопросам уже для системы ДУ для двух комплексных функций Zj (s), j = 1,2, s = st:

Z1 = (-&3 + ia0a10) Z1 + a11z11 z1l2 + + a12 Z1 1 Z2|2 +a13 Z12 z2'

z2 = (-&3 + ia0a20)z2 + a21z2 |z1 | + 2З + a22z2 | z2 | +a23Z1 ,

(4)

где a10a20 e R, ajk e C, j = 1, 2, k = 1, 2, 3. Они определяются в процессе реализации алгоритма получения нормальной формы (4). Система ДУ (4) допускает автомодельные периодические решения вида

zi(5)=pi exp(zas), Z2(s)=p2 exp(zas+фо),

Фо eR,

одно из которых с необходимостью неустойчиво. Последнее означает, что в достаточно малой окрестности состояния равновесия краевой задачи (1), (2) есть неустойчивый цикл и, следовательно, граница устойчивости состояния равновесия «опасная». В случаях, близких к резонан-сам собственных частот 1:2, 1:3, получены анало-

гичные результаты. И здесь в окрестности состояния равновесия существуют неустойчивые циклы. Анализ краевой задачи (1), (2) также сводится к анализу обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений — соответствующей резонансной нормальной форме.

Напомним, что при c > c0 происходит потеря устойчивости нулевого состояния равновесия линеаризованной краевой задачи (3), (2), где c0 принято называть скоростью флаттера. Отметим, что c3 < c2 < c1 < c0 , и поэтому можно утверждать, что при малом коэффициенте демпфирования возможно жесткое возбуждение колебаний при скоростях, меньших c0.

Список литературы

1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1991. 337 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

3. Holmes PJ., Marsden J.E. Bifurcation to divergence and flutter in flow — induced oscillations : an infinite-dimensional analysis // Automatica. 1978. V. 14, No 4. P 367—384.

4. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа при малом коэффи -циенте демпфирования // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 271—281.

5. Kulikov A.N. Resonance of proper frequencies 1:2 as a reason for hard excitation of oscillations for the plate in ultrasonic gas flow // EN0C-2008. Saint - Petersburg, Russia. P. 1638—1643.

6. Куликов А. Н. Нелинейный панельный флаттер. Резонанс 1:3 как одна из причин жесткого возбуждения колебаний // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. Воронеж, 2010. С.111—118.

7. Мищенко Е.Ф. и др. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 430 с.

NON-LINEAR PANEL FLUTTER. RESONANCES OF EIGENFREQUENCIES ARE ONE OF THE POSSIBLE CAUSES OF HARD EXCITATION OF OSCILLATIONS

A.N. Kulikov

A new mechanism of hard excitation of oscillations of a plate with slight damping in a supersonic flow is proposed. A hard excitation of oscillations is possible if the speeds close to those when the resonances of eigenfrequencies 1:1, 1:2,1:3 are realized. These speeds are sufficiently lower, than the speed of a flutter in its conventional understanding.

Keywords: flutter, resonances, non-linear boundary value problem, subcritical bifurcations, hard excitation of oscillations.