CC BY
5Динамические системы, том 2(30), No. 3-4, 259-272 УДК 517.956.4
Неоднородные диссипативные структуры в задаче о формировании нанорельефа1
Д. А. Куликов
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Ярославль 150000. E-mail: kulikov_d_a@mail.ru
Аннотация. Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение уравнение с частными производными с отклоняющейся (преобразованной) пространственной переменной. Данное уравнение известно под названием «нелокальное уравнение эрозии» и служит одной из математических моделей формирования рельефа на поверхности пластины под воздействием потока ионов. В работе рассматривается периодическая краевая задача. Предложен механизм формирования волнового нанорельефа как результат потери устойчивости плоского рельефа. Волновой рельеф находится в результате решения бифуркационных задач, для исследования которых использован аппарат теории нормальных форм, метод инвариантных многообразий. Для решений, описывающих волновой нанорельеф, приведены асимптотические формулы. Ключевые слова: бифуркации и устойчивость,волновой нанорельеф, пространственно - неоднородные решения.
Введение
В работе рассматривается нелинейное уравнение с частными производными с отклоняющимся аргументом, которое моделирует формирование нанорельефа при бомбардировке ионами плоской поверхности мишени. Этот технологический процесс имеет широкое применение в микроэлектронике (наноэлектронике) при обработке полупроводниковых материалов. Математические модели базируются на основополагающих идеях П.Зигмунда (см., например, [14-15]). В настоящее время широкую известность получила математическая модель, предложенная Брэдли-Харпером [16,1-2]. В данной работе математическому анализу будет подвергнута иная модель, которая также получена на развитии идей П.Зигмунда, но учитывает нелокальные эффекты, возникающие при ионной бомбардировке (см.[3-4]). В работах [3-4] можно найти вывод этого уравнения, а также постановку задач, возникающих при исследовании этой математической модели процесса формирования неоднородных наноструктур.
Приведем уравнение нелокальной эрозии уже в перенормированном виде
ut = auxx — cwx + u — w + b\(u — w)wx + b2(wx)2 + b3(u — w)(wx )2, (0.1)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы
© Д. А. КУЛИКОВ
где и = и(Ь, х) — нормированное отклонение от плоского фронта мишени, т = = и(Ь,х — к), к € Я. Коэффициенты а, с, Ъ1, Ъ2, Ъ3 характеризуют условия, при которых происходит обработка мишени. Все они зависят от угла в между направляющей потока ионов и нормалью к недеформированной поверхности (см. рис. 1).
Здесь PQ — нормаль. Стрелками указано направление пучка ионов. Наконец, а, с > 0. Положительный коэффициент а обратно пропорционален интенсивности потока ионов, то есть а = а(., в) и при фиксированном в данная функция убывает при возрастании .], где .. интенсивность потока.
Как и в работах [16,1-3], уравнение (0.1) будем рассматривать вместе с периодическими краевыми условиями. С учетом нормировок можно считать, что при всех х,Ь > 0 выполнено равенство
и(г,х + 2п) = и(г,х). (0.2)
В данной работе рассмотрим два случая: к = п и к = 2п/3. При этом, в первую очередь, остановимся на разборе более сложного с математической точки зрения случая с к = 2п/3.
Далее рассмотрим вопрос, связанный с описанием структуры окрестности нулевого решения. Краевую задачу (0.1),(0.2) следует дополнить начальными условиями
и(0,х) = / (х). (0.3)
В этом случае считаем, что /(х) € Н1, где через Н1 обозначено пространство, состоящее из 2п-периодических функций /(х) € ^21[0; 2п], где через ^2[0; 2п] обозначено пространство Соболева [5]. При таком выборе / (х) из результатов работы [6] вытекает локальная разрешимость смешанной задачи (0.1)-(0.3).
Уравнение (0.1) входит в класс абстрактных параболических уравнений с преобразованным пространственным аргументом. Исследования похожих краевых задач можно найти в работах [7-9]. Как правило, рассматриваемые там уравнения имеют приложения в нелинейной оптике.
Отметим в заключение этого раздела, что краевая задача (0.1)-(0.3) наряду с решением и(Ь,х) допускает решение и(Ь,х) + С, где С — произвольная постоянная. Далее будем рассматривать окрестность нулевого решения в смысле нормы фазового пространства. Окрестность иных состояний равновесия и(Ь,х) = С в силу выше сказанного может быть заменена на окрестность нулевого решения. С физической точки зрения замена и ^ и + С означает смену системы координат.
Рис. 1
1. Линейный анализ
Для исследования устойчивости нулевого состояния равновесия рассмотрим вспомогательную краевую задачу, которая возникает после линеаризации краевой задачи (0.1)-(0.2) в окрестности тривиального состояния равновесия. В результате получим линейную краевую задачу
ut = A(a)u, u(t,x + 2п) = u(t,x), (1.1)
где линейный дифференциальный оператор A (а) имеет в качестве области определения достаточно гладкие 2п периодические функции v(x). При этом
A(a)v(x) = av" — cVh + v — vh, vh = v(x — h).
В силу полноты семейства функций {exp(ikx)} в пространстве L2(0; 2п) собственные значения линейного дифференциального оператора A(a) определяются равенством
An = —an2 — icnexp(—inh) + 1 — exp(—inh), n = 0, ±1, ±2,... (1.2)
Элементарно проверяется, что lim Re(An) = 0, lim ^m^ = 0 при любом выборе
п^ж п^ж Re(An)
h. Из этих соотношений, в частности, вытекает, что линейный дифференциальный оператор A(a) является производящим оператором аналитической полугруппы линейных ограниченных операторов [10], а краевую задачу (1.1) можно проинтерпретировать как абстрактное параболическое уравнение в L2(0; 2п). Добавим, что вне зависимости от выбора h справедливо равенство Ao = 0. Расположение остальных точек спектра на комплексной плоскости изучим детально при специальном выборе отклонения h.
Пусть сначала h = 2п/3. Тогда из равенства (1.2) вытекает, что
. 2 . 2nn 2nn
ReAn = —an2 — cn sm ——+ 1 — cos ——,
2nn 3 . 2nn 3 (1.3)
lmAn = —cn cos —---+ sin —-—, n E Z.
33
Сразу отметим, что при достаточно большом a при всех n = 0 справедливо неравенство
ReAn < —y0 < 0, y0 = const > 0. (1.4)
Последнее означает, что нулевое решение краевой задачи (1.1) устойчиво в норме фазового пространства, но не может быть асимптотически устойчивым в силу наличия простого собственного значения Ao = 0 у линейного оператора A(a). Критический случай в задаче об устойчивости выделяется неравенством
ReAn < 0, n = 0,
а также наличием таких n = n\ = 0, при которых ReAni = 0. Переход к критическому случаю в задаче об устойчивости можно обеспечить уменьшением a
(увеличением интенсивности потока ионов). При этом следует ограничиться наибольшим а. Критическое значение а = а* = тах а, где П множество тех а, при
«еп
которых у линейного оператора А(а) есть собственные значения А(а), у которых И,еА(а) = 0, если п = 0.
Перейдем к выбору а*. Отметим, что если п = —к, к Е М, то А-к = Ак. Поэтому ограничимся рассмотрением п Е N (п = 1, 2, 3,...). Рассмотрим три варианта выбора п : п = 3к, п = 3к + 1, п = 3к + 2, к Е N.
Пусть п = 3к. Тогда при любом к = 0 справедливо неравенство
ИеАзк = —а(3к)2 < 0.
В остальных двух случаях имеем
л/3 3
КеАзк+1 = —а(3к + 1)2 — с^(3к + 1) + -,
л/3 3
КеАзк+2 = —а(3к + 2)2 + с^(3к + 2) + -.
Рассмотрим неравенство И,еА3к+1 < 0. Наибольшее а, при котором может реализоваться знак равенства обозначим а^_*. Если же рассмотреть второй случай и неравенство И.еА3к+2 < 0, то наибольшее а, при котором возможна реализация равенства, обозначим через а2*. Ясно, что а* = тах{а1*,а2*}. Осталось определить а1*, а2*.
Если изучить более детально неравенство И,еА3к+1 < 0, то при (3 — /2 < 0 справедлив уже строгий его вариант. Поэтому при с Е [\/3; то) величина а1* не определяется. Пусть теперь с Е (0; \/3/2). В этом случае будет выполнено неравенство И,еА3к+1 < И,еАь Поэтому а1* определяется из анализа неравенства
^3 3 —а — с— + - < 0. 22
Равенство реализуется при а = а1* = (3 — \[Ьс)/2. Рассмотрение второго варианта (п = 3к + 2) приводит к анализу последовательности неравенств
а > —г^—^ + с—^—т, к = 0,1, 2,... " 2(3к + 2)2 2 (3к + 2)' ' ' '
Следовательно, при всех с > 0 выполнено равенство а2* = (3 + 2л/3с)/8.
Напомним, что при с Е [\/3; то) а1* не определяется. Поэтому здесь критическое значение а* = а2*. Если с Е (л/3/2; л/3), то выполнено неравенство а2* > а1* и опять а* = а2*. При с Е (0; л/3/2) получаем, что а* = а1*.
Пусть с Е (л/3/2; то) линейный дифференциальный оператор А* = А(а*) имеет собственные значения Ао = 0, А1 = ги2,А-1 = —го2, где а2 = с — л/3/2, а остальные собственные значения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости,
выделяемой неравенством (1.4). Собственному значению Ао = 0 соответствует собственная функция е0(х) = 1, а чисто мнимым собственным значениям А±1 = ±%о2 соответствуют собственные функции е2 = ехр(2гх),е2 = ехр(—2%х).
При с Е (0; л/3/2) получаем, что а* = а1* = (3 — л/3с)/2, А0 = 0, А±1 = ±%о1, где о1 = (с + \/3)/2, которым соответствуют собственные функции
е0(х) = 1, е1(х) = ехр(гх), е_1(х) = ехр(—%х).
Для остальных собственных значений выполнено неравенство (1.4).
Особый случай реализуется, если с = л/3/2. При таком выборе с имеет место равенство а* = а1* = а2*. Поэтому линейный оператор А* = А*(а*) имеет трехкратное собственное число А = 0, которому отвечают собственные функции
е0(х) = 1, е2(х) = ехр(2гх), е_2(х) = ехр(—2%х),
а также А±1 = ±10],, где о1 = (3\/3)/4. Последним двум собственным значениям А±1 соответствуют собственные функции
е1(х) = ехр(гх), е_1(х) = ехр(—гх).
Пусть к = п. Такой вариант выбора пространственного отклонения приводит к аналогичной ситуации. В данном случае линейный дифференциальный оператор А(а) имеет собственные числа
Ап = —аи2 — гси ехр(гпп) + 1 — ехр(гпп).
Если и = 2к, к = 0,1, 2,..., то
А2к = —4к2 а + %2кс.
Следовательно, А0 = 0 и ИеА2к < 0 при остальных к. Пусть теперь и = 2 к + 1, то
А2к+1 = —(2к + 1)2а + 2 + гс(2к + 1).
Откуда получаем, что ИеА2^+1 = 2 —(2к+1)2а. Критический случай возникает, если к = 0, а = а* = 2. При таком выборе а линейный дифференциальный оператор А* = А(а*) (к = п) имеет собственные числа А0 = 0,А±1 = ±го3, где о3 = с. Им соответствуют собственные функции
к0(х) = 1, к1(х) = ехр(гх), к_1(х) = ехр(—гх).
Вариант с к = п похож на тот случай, когда к = 2п/3, а с Е (0; -\/3/2).
2. Нормальные формы нелинейных краевых задач
Как и в разделе 1 сначала рассмотрим вариант, когда к = 2п/3. Более того, пусть с Е (0; (л/3/2) — > 0. Тогда в краевой задаче (0.1), (0.2) положим
а = а* — 71е, а* = (3 — сл/3)/2. Подчеркнем, что линейный дифференциальный оператор
имеет собственные числа
А0 = 0, А±1(е) = 71е ± га1, А±1(0) = ±га1, а1
A(e)v = A*v — £Y\v"
c +
2
Здесь малый параметр е Е (0; е0), а 71 = ±1. Следовательно, поведение решений краевой задачи при достаточно малых начальных условиях определяется поведением решений трехмерной системы дифференциальных уравнений на центральном инвариантном многообразии (см., например, [11-12]). Эту систему, если она записана в специальном и удобном виде, принято называть нормальной формой, а иногда и квазинормальной формой [13].
Для построения нормальной формы на трехмерном инвариантном многообразии воспользуемся аналогом метода Крылова - Боголюбова - Митропольского - Самойленко (см.[13,2]). Решение нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2) (при к = 2п/3, а = а* — 71е, с Е (0; (л/3/2) — л)) будем искать в виде суммы
п(Ь,х; в,е) = ф(в) + е1/2п1(Ь,х, в) + еп2(Ь,х, в) + е3/2п3(Ь,х, в) + 0(е2), (2.1)
где в = еЬ, 0 < е ^ 1,Ф(в) = ф(в,е),щ(Ь,х, в) - достаточно гладкие функции, которые по переменной х имеют период 2п (удовлетворяют краевым условиям (0.2)), а по Ь - период 2п/а1. Уместно для дальнейших построений отметить, что
д , дщ дщ
- {Uj (t,X,£t)) = — + —£-
Наконец, Wj(Ь, х, в) = п^(Ь, х — к, в), ] = 1, 2, 3, к = 2п/3.
Подстановка суммы (2.1) в краевую задачу (0.1), (0.2) с последующим приравниванием выражений при одинаковых степенях е приводит к линейным краевым задачам для определения пj (] = 1, 2, 3). При их формировании и изучении будем интерпретировать в как параметр. Итак получаем
пи = А*т, (2.2)
п1(Ь,х + 2п, в) = п1(Ь,х,в), (2.3)
Ф + П21 = А*П2 + 61 (п1 — W1)W1ж + 62 (wlx )2, (2.4)
п2(Ь,х + 2п, в) = п2(Ь,х,в), (2.5) П31 = А*П3 + 61 (П1 — wl)w2x + 61 (П2 — W2)Wlx +
+ 262WlxW2x + 63 (П1 — )(Wlx)2 — ъепх, — (2.6)
—г'(в) exp(гx + га1Ь) — г '(в) exp(—гх — га1Ь),
п3(Ь,х + 2п, в) = п3(Ь,х,в). (2.7)
Для всех трех краевых задач рассмотрим вопрос о существовании 2п/о1 периодических решений по переменной Ь.
В качестве решения краевой задачи (2.2), (2.3) выберем функцию
и1(Ь, х, в) = г(в) ехр(гх + %о1 Ь) + г(в) ехр(—гх — %о1Ь), (2.8)
где функции г (в) = г(в,е),г(в) = ~г(в,е) будут определены ниже. Замечание 1. Рассмотрим неоднородную краевую задачу
VI = А*у + д(Ь,х), ь(Ь,х + 2п) = ь(Ь,х),
где д(Ь,х) достаточно гладкая функция, которая имеет по переменной х период 2п, а по Ь - период 2п/о1. Тогда данная неоднородная краевая задача имеет 2п/о1 периодическое решение по переменной Ь, если выполнены условия разрешимости
1 g(t,x)dxdt = 1 д(Ь, х) ехр(±гх ± = 0.
{2n)2JJ (2п)2
0 0 0 0
Равенства
2 7т/<г1 2п 2тг/ст1 2п
1 v(t,x)dxdt = \2 v(t, x) exp(±ix ± ia1t)dxdt = 0
(2п)2 У У (2п)2
0 0 0 0
выделяют одно подходящее решение.
Обратимся сначала к неоднородной краевой задаче (2.4), (2.5). Из условий ее разрешимости и способа выбора решения краевой задачи (2.2),(2.3) (см. (2.8)) получаем, что справедливо равенство
ф' = (л/3&1 + 262) | г |2. (2.9)
При таком выборе ф(в) функция
и2(Ь, х, в) = пг2(в) ехр(2гх + 2го1Ь) + пг2(в) ехр(—2гх — 2го1Ь)
будет решением краевой задачи (2.4), (2.5). Здесь
П = П1 + %П2, П1 = — 6с)61 — л/^с],
П2 = — + (2^3 — 3с)б2], А = 18(с2 + 1 — с^Э).
Условия разрешимости для неоднородной краевой задачи (2.6), (2.7) приводят к уравнению для г :
г' = 71 г +^1 + гд1)г|г|2, (2.10)
где
¿1 = —л/361 П1 + 2Ъ2(^Ч2 — П1) + 363, 01 = — л/361П2 — 262(^2 + л/3щ).
Для г' получаем естественно комплексно сопряженное уравнение к уравнению (2.10). Уравнения (2.9),(2.10) формируют систему дифференциальных уравнений, которую принято называть нормальной формой. Часто ее называют укороченной нормальной формой или квазинормальной формой. Система дифференциальных уравнений (2.9), (2.10) выписана с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в исходной системе.
В данной системе (2.9), (2.10) положим
г (в) = р(в) exp(гф(в)). (2.11)
Замена (2.11) приводит изучаемую нормальную форму к системе из трех уже действительных уравнений
ф' = p2, ф' = д^Р2, (212)
р' = 71 р + ¿1Р3. ( . )
Напомним, что 71 может принимать два значения 1 или -1.
Если 71 = 1, то нулевое решение краевой задачи при а = а* — 71 е неустойчиво. Равно как неустойчиво состояние равновесия р = 0 третьего уравнения (2.12). Если при этом ¿1 < 0, то третье уравнение системы (2.12) имеет ненулевое состояние равновесия
р(в) = р1 = л/—^/¿1,
которое асимптотически устойчиво как решение дифференциального уравнения для р(в). Откуда заключаем, что справедливо утверждение.
Лемма 1. Пусть ¿1 < 0,71 = 1, тогда система дифференциальных уравнений (2.12) имеет устойчивое решение
Ф(в) = д1р21 в + фо, ф(в) = д1р1в + фо, Я1 = (61^+262),
р(в) = Р1 = у/ — ^/¿1.
При ¿1 > 0 и 71 = —1 данное решение также существует, но в этом случае оно неустойчиво.
Из результатов, изложенных в монографии [13], вытекает, что справедливо утверждение, которое относится к краевой задаче (0.1), (0.2), если а = а* — 71е, а с Е (0; (л/3/2) — л), л > 0.
Теорема 1. Существует такое е0 > 0, 'что при всех е Е (0; е0) (е = \а* — а|) краевая задача (0.1), (0.2) имеет решение
п(Ь,х,е) = Ш1(е)Ь + е1/2(—71/^1)1/2 [exp[г(x + (о — ед1^1/^)1)] + к.с.] +
+ е(—71мнП exp[2г(x + (о — ед^/^Щ + к.с.] + о(е),
где знак «к.с.» заменяет комплексно сопряженную функцию к слагаемому непосредственно ему предшествующему, ш1(е) = [(—q171/d1)£ + о(е)],71 = вгдп(а* — а).
Это решение существуетесли 7^ < 0. При d1 < 0 оно устойчиво и оно неустойчиво, если d1 > 0.
Сделаем некоторые пояснения к формулировке теоремы. Отметим, что указанное решение в теореме 1 часто называют периодическим решением второго рода относительно Ь (по переменной х оно имеет период 2п то есть периодическая функция в обычном смысле): разность и(Ь,х,е) — ш1(е)Ь - периодическая функция по Ь с периодом близким к 2п/о1.
Уместно подчеркнуть, что если указанное решение и(Ь,х,е) существует, то наряду с ним существует периодическое решение второго рода и(Ь,х,е) + С, где С Е К, то есть имеем двупараметрическое семейство решений
и(Ь + а, х, е) + в, а, в Е К.
Это двупараметрическое семейство решений формирует двумерное интегральное многообразие, которое асимптотически устойчиво, если d1 < 0. Все решения из малой окрестности этого многообразия стремятся к нему в норме фазового пространства решений краевой задачи (0.1), (0.2).
Напомним, что
di = - 9)62 + (15с - 12^)М2 + 4(2л/3с - 3)Ь2] + 3Ьз
18А
gi = -biV3^2 - 262(^2 + V3%).
Так, например, если 61 и 62 близки к 0, то знак d1 определяется знаком коэффициента 63. Отметим, что в приложениях, обычно, 63 < 0.
Второй достаточно типичный случай состоит в том, что 62 = 0, 63 = 0. Тогда
(2^3с — 3)6?
d1
6(с2 — v/3c + 1)'
В этом случае всегда d1 < 0 в силу выбора с.
Перейдем теперь к случаю, когда с Е ((л/3/2) + /; ж),/ > 0. Напомним, что в таком случае а* = (3 + 2л/3с)/8, а линейный дифференциальный оператор А* в такой ситуации имеет собственные числа А0 = 0, А±2 = ±го2,о2 = с — л/3/2, которым отвечают собственные функции
е0(х) = 1, е2(х) = ехр(2%х), е2(х) = ехр(—2%х).
Положим а = а* — 72е, е Е (0; е0) и в этой ситуации выпишем нормальную форму исследуемой нелинейной краевой задачи. Построения этого фрагмента в значительной мере повторяют построения предыдущего. Поэтому ограничимся сокращенным вариантом изложения. Как и в предыдущем случае решения на трехмерном инвариантном многообразии будем искать в специальном виде
и(Ь,х,в,е) = 6(в) + е1/2и1(Ь,х, в) + еи2(Ь,х,в) + е3/2и3(Ь,х,е) + 0(е2), (2.13)
(2-16)
где в = еЬ, в(в) = в(в,е) Uj = Uj(Ь,х, в) - достаточно гладкие функции. При этом пj периодически зависят от Ь и х. По Ь они имеют период 2п/о2, а по х они имеют период 2п. Наконец, в данном случае положим
п1(Ь, х, в) = г(в) exp(2гx + го2Ь) + г(в) exp(—2гх — го2Ь),
где функции г (в) = г(в,е),г(в) = г (в,е) подлежат определению как решения системы дифференциальных уравнений - нормальной формы. Подставляя сумму (2.13) в краевую задачу (0.1), (0.2) при
а = а* — 72е, с Е ((л/3/2) + ¡; то), 72 = ±1, л > 0,
а затем приравнивая члены полученного равенства при одинаковых степенях е получим две неоднородные краевые задачи для п2,п3. Итак, в данном случае они имеют вид
©' + п21 = А* п2 + 61 (п — Wl)Wlx + b2(wlx)2, (2.14)
п2(Ь,х + 2п, в) = п2(Ь,х,в), (2.15)
п1 + Щг = А*п3 — 72Ulxx + 61 [п1 — wl]w2x+ +61 [п2 — W2]Wlx + 2Ъ2WlxW2x + 63 [п1 — Wl](Wlx)2,
п3(Ь,х + 2п, в) = п3(Ь,х,в). (2.17)
Здесь штрихом обозначена частная производная по в. Из условий разрешимости неоднородной краевой задачи (2.14), (2.15) в классе периодических по Ь функций с периодом 2п/о2 находим, что в(в) подчиняется уравнению
©' = д2\г\2, (2.18)
где д2 = 862 — 2у/361. Тогда решение этой задачи следует выбрать виде суммы
п2(Ь, х, в) = £г2(в) exp(4гx + г2о2Ь) + £г2(в) exp(—4гх — г2а2Ь),
где
л 4^2 — 3(4с+ л/3)61 Г = 6 + ^ 6 = 9(1 + 2^3с + 4с2) , . _ 4(л/3 + 3с)62 — 361
Г 2 — -
9(1 + 2л/3с + 4с2)
В свою очередь, из условий разрешимости неоднородной краевой задачи (2.16), (2.17) выводим справедливость равенств
г' = 72 г + (¿2 + гд2)ф|2, (2.19)
где
¿2 = 1263 — 862(6 + ^36) + 2^3661, 02 = 2^36^2 — 862(6 — ^Э^).
Если теперь в системе уравнений (2.18),(2.19) сделать замену (2.11), то нормальная форма (2.18),(2.19), как и в предыдущем случае запишется в действительной форме
в' = q2p2, ф = g2p2, (2 20)
р' = 72р + d2p3. ( .
Лемма 2. При d2 < 0,72 = 1 система дифференциальных уравнений (2.20) имеет, устойчивое решение
в(в) = q2р2в + в0, ф(в) = д2Р2в + ф0, р(в) = р2 = л/—ъ/й2.
При d2 > 0,72 = —1 данное решение также существует, но оно неустойчиво.
Как и для первого случая сформулируем утверждение для краевой задачи (0.1), (0.2).
Теорема 2. Пусть а = а* — 72е, 'то ест,ь е = 1а* — а1,72 = вгди(а* — а), с Е ((л/3/2) + /;0),/ > 0. Существует такое е0 > 0, что при всех е Е (0; е0) краевая задача (0.1), (0.2) имеет решение, для которого справедлива асимптотическая формула
и(Ь,х, е) = Ш2(е)Ь + е1/2(—■72М)1/2[ехр[%(2х + (^ — ед272М)Ь)] + к.с.] +
+ е(—72/d2)[i ехр[2%(2х + (^ — еg272/d2)t)] + к.с.] + о(е),
где знак «к.с.» обозначает слагаемое, которое комплексно сопряжено предшествующему и выписанному явно, а ш2(е) = [(—q272/d2)е + о(е)].
Это решение существует, если 72d2 < 0. При d2 < 0 оно устойчиво и неустойчиво при d2 > 0.
Здесь речь идет о семействе решений и(Ь + а, х, е) + в, а, в Е К, как и в случае теоремы 1. Поэтому справедливы аналогичные замечания, что были сделаны в конце теоремы 1.
Отметим, что в более детальной записи
1
А1
А = 9(4с2 + 2л/3с +1).
d2 = 12Ь3 + х [6л/3(4с + v/3)b2 - 24(5с + 2^3>)Ь1Ь2 + 32^(4с + >/3)Ь2],
Как и в предыдущем случае величина d2 может принимать значение любых знаков при соответствующем выборе коэффициентов Ъ1,Ъ2,Ъ3.
Как отмечалось ранее, аналогичная задача возникает, если Н = п. При таком выборе Н в предыдущем разделе был выявлен критический случай в задаче об устойчивости тривиального состояния равновесия и а* = 2. Как и при Н = 2п/3 воспользуемся версией метода Крылова-Боголюбова-Митропольского-Самойленко и решения краевой задачи (0.1), (0.2) при а = а* — 73е, (73 = ±1, 0 < е ^ 1). Для этого решение этой версии краевой задачи будем искать в виде
и(Ь,х,в,е) = х(в) + е1/2щ(Ь, х, в) + еи2(Ь,х,в) + е3/2и3(Ь, х, в) + 0(е2), (2.21)
гДе s = et, x(s) = x(s,e) а
ui(t,x,s) = z exp(ix + ia3t) + z exp(—ix — ia3t), z = z(s,e), z = z(s,e),
а a3 = с. Для u2,u3 получаем, как и ранее, неоднородные краевые задачи. Условия их разрешимости позволяют сформировать нормальную форму для такого варианта краевой задачи
X = gs|zI2, z = 73z + (4 + i^s)z|z|2. (2.22)
Здесь
Q3 = 2b2,73 = ±1,d3 = 2Ьз — 4(62(1 + 61(2), дз = 4biZi — 462(2,
/ _ 62 + bic 62с — 4bi
z = Zi + iC2, Zi = — 2(4TC2), Z2 = 2(ITC2).
Подставляя замену (2.11) в нормальную форму (2.22), как и в предыдущих случаях, получаем следующую систему
22
x = q3P , ф = g33p , (2.23)
Р= 73 Р + d3p3-
Лемма 3. При 73 = 1,d3 < 0 система дифференциальных уравнении (2.23) имеет, устойчивое решение
x(s) = q3p3s + xo, ^(s) = g3p3s + Фo, p(s) = Р3 = X—73/d3-
При 73 = — 1,d3 > 0 данное решение также существует, но оно неустойчиво.
Если h = n,a = a* — 73e, то справедливо утверждение.
Теорема 3. Существует такое e0 > 0, что при всех e Е (0; e0) краевая задача (0.1), (0.2) имеет решение
u(t,x,e) = ^(e)t + ei/2(—73/d3)i/2[exp[i(x + (с — e73g3M)t)] + к.с.]+
+ e(—73/d3)[Z exp[2i(x + (c — e73g3/d3)t)] + к.с.] + o(e),
Соответствующее решение существует, если 73d3 < 0. При d3 < 0 оно устойчиво и неустойчиво, если d3 > 0. Здесь
e = Ia* — aI, 73 = sign(a* — a), ^(e) = [(—q373^)e + o(e)].
В заключение изучения случая h = п выпишем значение величины d3 в явном виде
, 0, , 86? + 2c6i62 + 262
d3 = 263 +-т—2-.
4 + с2
Отметим, что величина d3 может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Так, например, если с достаточно велико, то знак d3 совпадает
со знаком Ь3. В стандартных вариантах Ь3 < 0. Другой крайний случай реализуется, если Ь3 ~ 0, то знак d3 совпадает со знаком числителя второго слагаемого, то есть со знаком числа Ь2 + сЬ1Ь2 + 4Ь^. Данная сумма положительна, если постоянная с мала. Пусть
, , , л/с2 — 16 + с., , . л/с2 — 16 — с.,
с> 4, Ь1 > 0, -(-—2-)Ь1 <Ь2 < (-—2-)Ь1-
Тогда справедливо неравенство Ь2 + сЬ1Ь2 + 4Ь1 < 0 и, следовательно, d3 < 0.
Подчеркнем, что наряду с указанными решениями (2.1), (2.13), (2.21) нелинейная краевая задача имеет решения вида
Uj (t, x, е) = Uj (t, x + hj, e) + сj, hj, сj E R,
где j = 1, 2, 3 и указывает на номер теоремы, в рамках которой рассматривается данное решение. Все эти решения описывают волновой рельеф, который зависит от x периодическим образом.
3. Заключение
При бомбардировке плоской мишени потоком ионов могут при определенных условиях формироваться неоднородные рельефы четырех типов: волновой нано-рельеф, террасы, риплы и ямки травления [3,15]. Наибольший интерес в области нанотехнологий представляет волновой нанорельеф, так как его используют как «наномаску» [4]. В качестве математической модели формирования неоднородных структур было выбрано нелокальное уравнение эрозии. Это уравнение заменяет [3,4] для нанометрового диапазона известное уравнение Брэдли-Харпера [1,2,16].
В работе показано, что при рассмотрении нелокального уравнения эрозии, как и при анализе уравнения Брэдли-Харпера, механизм формирования неоднородного рельефа остается прежним. Неоднородные волновые структуры формируются в результате бифуркаций пространственно неоднородных решений от однородного состояния равновесия при потере последним устойчивости. В рамках математической модели, которая носит название «нелокальное уравнение эрозии», этот механизм отмечен впервые. Для уравнения Брэдли-Харпера аналогичный результат был получен в работе [2].
Напомним, что потеря устойчивости состояния равновесия происходит обычно при увеличении интенсивности потока ионов [1,2,4,16] и, следовательно, относительно легко реализуется с физической и технологической точек зрения.
Список цитируемых источников
1. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н.,Отриханов М.Н. Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Ядерная физика и инжиниринг. — 2010. — Т. 1. — №2. — C. 151-158.
2. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 52. — №5. — C. 930-945.
3. Рудый А.С., Бачурин В.И. Пространственно нелокальная модель эрозии поверхности ионной бомбардировкой // Изв. РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72. — №5. — C. 624-629.
4. Рудый А.С., Куликов А.Н., Метлицкая А.В. Моделирование процессов формирования наноструктур при распылении ионной бомбардировкой // Микроэлектроника. — 2011. — Т. 40. — №2. — C. 109-118.
5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: ЛГУ им. А.А.Жданова, 2000. — 255 с.
6. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды Московского математического общ-ва. — 1961. — Т. 10. — C. 297-350.
7. Белан Е.П. Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом // Динамические системы. — 2000. — В. 16 — C. 160-167.
8. Белан Е.П., Лыкова О.Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40. — №. 10. — C. 1348-1357.
9. Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журнал математичекой физики, анализа и геометрии. — 2005. — Т. 1. — №. 1. — C. 3-34.
10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Изд-во Наука,1967. — 464 с.
11. Марсден Дж., Мак-К'ракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир,1950. — 367 с.
12. Куликов А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве. // Исследования по устойчивости и теории колебаний. / Под ред. Ю.С. Колесова. — Ярославль: ЯрГУ, 1976. — С. 114-129.
13. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. — М.: Физматлит, 2005. — 430 с.
14. Sigmund P. A mechanism of surface micro-rougening by ion bombardment //J. Mat. Sci. — 1973. — V. 8. — C. 1545.
15. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets // Phys. Rev. — 1969. — V.184. — №2. — C. 383-416.
16. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography induced by ion bombardement //J. Vac. Technol. — 1988. — A6(4). — P. 2390-2395.
Получена 30.09.2012 Переработана 10.12.2012
