CC BY
30
Режимы распространения твердофазной реакции в щели между двумя инертными пластинами
А.А. Чащина, А.Г. Князева
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Предложена двумерная математическая модель соединения инертных материалов с использованием самораспространяющегося высокотемпературного синтеза, которая представляет собой двумерную сопряженную задачу теплопроводности с учетом тепловыделения вследствие химической реакции в соединительном составе и граничными условиями, соответствующими постоянному или импульсному действию внешнего источника в виде горячей пластины. Задача решается численно с использованием неявной разностной схемы, расщепления по координатам и линейной прогонки. В расчетах определяются поля температуры и степени превращения, время полного превращения в системе конечных размеров, время выхода на стационарный режим горения, скорость стационарного режима в зависимости от параметров модели.
Regimes of solid-phase reaction propagation in a slit between two inert plates
A.A. Chaschina and A.G. Knyazeva
Two-dimensional model of material junction using SH-synthesis is suggested. The model represents two-dimensional conjugate thermal conductivity problem with regard to heat release due to chemical reaction proceeding in an adhesive composition. Boundary conditions correspond to a constant or impulse source in the form of hot plate. The problem is solved numerically with the help of a non-explicit difference scheme, coordinate splitting and linear double-sweep method. The temperature and conversion degree fields, total conversion time for the system of finite size, time of quasi-stationary regime establishment, and stationary conversion rate have been determined depending on the model parameters.
1. Введение
При соединении неметаллических материалов с использованием СВС-технологии возникает проблема выбора условий, обеспечивающих нужный режим синтеза. Для того чтобы выработать требования к соединительному составу, требуется провести предварительные теоретические и модельные экспериментальные исследования.
Самораспространяющийся высокотемпературный синтез, как известно [1], сопровождается высокими градиентами температуры в реакционной зоне, что может привести к нежелательным последствиям. Один из способов уменьшить температурные градиенты заключается в использовании в качестве наполнителя в соединительной смеси инертного материала. Большую роль в отводе тепла из зоны реакции могут играть и сами соединяемые материалы. Математическая модель процесса соединения материалов в условиях теплового взрыва предложена в [2], где выявлен медленный режим синтеза при заданной температуре. Целью настоящей работы является исследование возможных режимов превращения при нагреве соединяемых материалов с торца.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о соединении двух материалов с использованием экзотермического превращения в конденсированной фазе в следующей постановке.
Допустим, что между двумя инертными пластинами толщины Н находится слой реагирующего вещества толщины 2h в смеси с инертным наполнителем (рис. 1). Поджигание смеси осуществляем с левого торца, где в момент t = 0 температура повышается от Т0 до Т8 >> Т0.
Требуется исследовать возможные режимы превращения в такой системе.
Задача является симметричной, поэтому для ее решения достаточно ограничиться верхней полуплоскостью. Математическая постановка задачи включает уравнение теплопроводности в реагенте (0 < у < к):
ЭT Э (. ЭТ1') Э (
CefPef dt ~Эх {ef Эх J+Эу +(1 - z )б£0ф1(а)ф2(Т ),
. ЭТ
Aef З-
ЭУ
+
(1)
где
cef Pef = ciPi(1 - z)+cpz a-ef = M1 - z)+^z>
и уравнение теплопроводности в инертных материалах (h < y < H):
Чащина А.А., Князева А.Г., 2004
Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи в размерных переменных
ЭТ2 д
С2р 2"дТ ~дХ
х дії. Х2 л
дх
э
+ ду
х дТ±
2 ду
(2)
Полагаем, что экзотермическая химическая реакция протекает по первому порядку, а скорость ее зависит от температуры по закону Аррениуса:
да
— = ко ф!(а )Ф 2 (Т1) = к 0(1- а) ехр
RT1
Условия на внешних границах имеют вид:
і = Т8, г<*1,
х = 0:
х —— I:
ді п
—1- = 0, г > *1,
дх
дії
дх
■ 0, і - 1,2, дТ2
у = h + Н: -X2^ = а(Те -Т2). дУ
На оси симметрии выполняется условие:
у = 0: ^ = 0.
дУ
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
На границе между веществами считаем справедливыми условия идеального теплового контакта, что математически формулируется следующим образом:
у = h : [X(1 -2) + Ь]|т- = X2 ^, Т - Т2. (8)
ду ду
В начальный момент времени имеем * = 0: і = І2 = Т,.
(9)
В (1)-(9) приняты следующие обозначения: Т — температура; а — степень превращения; Xг-, с, рг- — теплопроводность, теплоемкость и плотность материалов; z — доля инертного наполнителя; а — коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; — время действия импульсного источника; k0, Q, Е — формально-кинетические параметры суммарной реакции; R — универсальная газовая постоянная; индекс i = 1 относится к реагенту, 2 — к соединяемым материалам, величины без индекса относятся к инертному наполнителю.
В безразмерных переменных
0 =
(Т - Тс)Е г х у г
------4- —, П - —, т-—,
ДТг х* х* га
I--- X у
х*^К1*а, к1 -—Ц *а =— ехр СЛ к 0
задача (1)-(9) принимает вид:
ЯТс
V с у
^01 = дт
д 2 01 + д 2 01 д£,2 дп2
V У
+ Gф1 (а)Ф2 (0), Ф1 (а) = 1 - а,
■даТ = у(1 - а )ехр дт
К д0 2 = К ^2
К с17-К
0
1+ Р01
‘■Х
д 2 02 + д 2 0 2
д42 дп
V J
д0
, 0<п<л/5,
П > л/5,
(10)
4- 0: 0і = 0, т<І1 и —^ = 0, Т>Т1,
д4
4 = Ь: | = 0,
п = 0: ■д0- = 0, дп
п
= л/5:
д01
дп
V 1 У
д0 2 дп
V 1 У
А/5-0 (01^л/б- 0 =(0 2)46+0,
п - Д + л/5: ^ = Nu(0 2 +0е), дп
т- 0: 01 --08, 02 --08
л/б+0
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
где
г I Д Н б ^ хт а4б в RT
Ь- —, Д- —, 5-—, № - —-—, р = —,
х* х* х* X Е
л, - с1р1ІЇТІ 0 - Т - Т0 Е Р - Х
у-~дТ-■ 9«-~1ТГЕ' Рх-Х1'
т> Ср К - Х2 К - С2р2 Рс -----> К X - Т", К с------
С1Р1 Х1
с1р1 1 - 2
где
параметры задачи,
Р= 1 + 2 (дх-1)
1 + 2(ВС - 1)’ 1 + 2(ВС - 1)
Численное исследование задачи (10)-(16) проведено с использованием неявной разностной схемы второго порядка точности по пространственным координатам и первого по времени, расщепления по координатам и линейной прогонки. Согласно этому методу, переход от слоя п к слою п + 1 реализуется в 2 этапа. На первом шаге в уравнениях теплопроводности учитываем только переменную на втором — п, что можно толковать как предельно анизотропный процесс теплопроводности. Разностное уравнение для степени превращения было абсолютно неявным по а; расчет степени превращения а осуществлялся после расчета температурного поля. Граничные условия аппроксимировались со вторым порядком.
Рис. 2. Пространственное распределение температуры (а) и степени превращения (б) для последовательных моментов времени: т = 0.1 (7); 5 (2); 29 (3); 31 (4); 31.1 (5); 32 (6); 32.5 (7); 33 (8); 33.5 (9); 34 (70);
2 = 0; К с = Кх =1
Рис. 3. Пространственное распределение температуры (а) и степени превращения (б) для последовательных моментов времени: т = 0.1; 5; 15; 33; 37; 37.5; 38; 38.5; 39; 39.5; 40; 40.5; 41; 2 = 0.1; КС = Кх =1;
Вс = Вх =1
О сходимости разностной задачи и точности решения судили, сравнивая результаты расчетов, полученные при различных значениях шагов разностной сетки друг с другом, а в случае инертной задачи — с известным точным аналитическим решением. В представленных ниже расчетах принято
Ь - 25, Д -12.5, 5 - 6.25, р - 0.1, у - 0.01, 00 - 5.
Основные исследования проведены для № = 0.
3. Анализ результатов
На рис. 2 показано распределение температуры 0 (а) и степени превращения (б) вдоль оси 4 (п = 0) для различных моментов времени для случая 2 = 0 (т.е. без инертного наполнителя в соединительной смеси).
Внешний источник тепла отключался в момент времени т1 - 20, и на границе 4 = 0 ставилось условие адиаба-тичности. К этому моменту времени соединяемые материалы успевали прогреться так, что тепло из реагента не отводилось. После того как реагент прогреется на достаточную глубину (сформируется зона прогрева с достаточным запасом тепла), в нем возбуждается химическая реакция, способствуя дополнительному повышению температуры. После некоторой нестационарной стадии устанавливается квазистационарный режим превращения, который характеризуется максимальной температурой во фронте 0тах и стационарной скоростью V. Скорость можно приближенно оценить, используя данные, представленные на этом рисунке:
V - (4її - 41 )/(тїї - ті) ~ 6, где тїї и тї — моменты времени, соответствующие выбранным положениям 4 її и 4 ї фронта реакции на
оси 04. Такая картина развития процесса типична для задач тепловой теории горения. Анализ результатов численного счета показал, что в зависимости от соотно-
Рис. 4. Зависимость максимальной температуры (а); температуры в выбранной точке (б) и суммарной степени превращения (в) от времени: К С = К х = 1; ВС = Вх = 1; 2 = 0 (7); 0.1 (2); 0.3 (3)
0.1 (б); 0.3 (в); белый цвет соответствует температуре 0 < 0; светло-серый — 0 < 0 < 10; темно-серый —10 < 0 < 30; черный — 0 > 30
шения теплофизических параметров реагента и соединяемых материалов в такой системе наблюдаются различные режимы превращения: вынужденный; самопод-держивающийся (быстрый и медленный), медленное нестационарное превращение и тепловой взрыв. Область параметров модели (00, у, в), где реализуются са-моподдерживающиеся режимы превращения, существенно расширяется по сравнению с тепловой теорией, что объясняется ролью соединяемых материалов.
Обнаружено, что при добавлении инертного наполнителя в соединительную смесь самоподдерживающие-ся режимы превращения также реализуются (рис. 3). Чем больше доля инертного наполнителя, тем ниже 0тах во фронте стационарного горения, больше период задержки воспламенения, ниже скорость V. Так, для 2 = 0, 0.1, 0.3 имеем соответственно 0 тах = 56.5, 51.4, 39.5 и V = 6, 8, 10.
Зависимость максимальной температуры и суммарной степени превращения УШа1 от времени для различных 2 показана на рис. 4, а, в. Величина УШа1 рассчитывалась в соответствии с формулой
л/б L
Гюаі = —^ Г Га(4 п^Уп-
Ьл/5 І І
0 0
На этом же рисунке (рис. 4, б) показана зависимость температуры от времени в некоторой выбранной точке, также хорошо иллюстрирующая динамику развития процесса. Стационарной стадии соответствуют постоянная максимальная температура и линейный участок на кривой суммарной степени превращения от времени (рис. 4, в). Так как реальный расчетный образец имеет конечные размеры, после приближения волны прогрева к границе образца наступает другой режим — реакция резко ускоряется, что приводит к увеличению тепловыделения и резкому росту температуры, что видно на температурных кривых 0тах (т) (рис. 4, а). Асимп-
тотический рост степени превращения на рисунках не показан.
Стрелками на рисунках отмечен момент отключения внешнего источника нагрева; пересечение пунктирных линий с осью т дает время полного превращения в системе.
Развитие процесса превращения в пространстве после отключения внешнего источника иллюстрирует рис. 5, где представлены изолинии температурного поля в различные моменты времени для 2 = 0, 0.1, 0.3.
При данном наборе теплофизических свойств максимум тепловыделения, а следовательно, и степени превращения, находится в окрестности границы раздела веществ ^ = л/б. Чем больше доля инертного наполнителя 2, тем дольше идет процесс превращения в системе, тем больше прогреваются соединяемые материалы, что видно из сравнения рис. 5, а-в. Изменение КС, Кх, ВС, Вх существенно меняет качественную картину развития процесса.
В целом, режимы превращения в этой модели во многом аналогичны тем, которые наблюдаются при горении слоевых систем.
При изучении возможности соединения материалов с использованием превращения в твердой фазе возникает еще одна проблема: устойчивость стационарного фронта превращения зависит от многих факторов. Для одномерных возмущений этот вопрос проанализирован в [3].
Литература
1. Мержанов А.Г. Твердопламенное горение. - Черноголовка: ИСМАН, 2000. - 224 с.
2. Князева А.Г., Чащина А.А. Численное исследование задачи о тепловом
воспламенении в сосуде с толстыми стенками // Физика горения и взрыва. - 2004. - № 4.
3. Князева А.Г., Чащина А.А. О термомеханической устойчивости фронта
твердофазного превращения в щели между двумя инертными пластинами // Труды Междунар. науч. конф. «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», 8-11 октября, 2003, Хабаровск. - С. 111-121.
Рис. 4. Качественное представление температурного поля в процессе соединения материалов: Кс - Кх - 1; Рс - Рх - 1; 00 - 5; 2 = 0 (а);
