CC BY
62
УДК 536.46+531
А. Г. Князева
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Россия
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Россия
ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФРОНТА ТВЕРДОФАЗНОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ К ДВУМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ
Представлен краткий обзор связанных моделей твердофазных превращений в деформируемых средах. Сформулирована проблема устойчивости волн горения в твердой фазе для ситуаций, реализуемых при соединении материалов и термической обработке материала с покрытием. Задача об устойчивости фронта горения к двумерным возмущениям для плоской деформации исследована с использованием метода малых возмущений и в приближении узкой реакционной зоны. Представлены итоговые уравнения, позволяющие определять область устойчивых режимов превращения при варьировании физических параметров модели. Проанализированы частные варианты модели, разрешаемые аналитически точно.
Ключевые слова: твердофазные превращения, технологические процессы, связанные модели термомеханики, автомодельное решение, горение, детонация, устойчивость волн.
A.G. Knyazeva
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, Russia National Research Tomsk Polytechnical University, Tomsk, Russia
THERMOMECHANICALSTABILITY OF SOLID PHASE CONVERSION FRONT TO TWO DIMENSOINAL PERTURBATIONS
The paper briefly reviews coupled models of solid phase transformations in deformed media. The problem of combustion wave stability in the solid phase is formulated for situations occurring at joining of materials and thermal treatment of a material with coating. The problem of combustion front stability to two-dimensional perturbations is studied with the method of small perturbations and in the approximation of a narrow reaction zone for plane strain and for plane stressed state. Overall equations that allow defining the domain of steady-state transformation modes at varying physical parameters of the model are given. Particular variants of the model solved analytically exactly are analyzed.
Key words: solid phase transformations, technological processes, coupled models of thermomechanics, self-similar solution, combustion, detonation, wave stability.
Введение
Многие современные технологии получения, соединения и поверхностной обработки материалов сопровождаются многочисленными физико-химическими превращениями, в том числе экзотермическими и эндотермическими. Например, в термитной сварке непосредственно используется энергия химических реакций для обеспечения формирования шва. Более того, формирование сварного шва и зоны термического влияния в различных технологиях сварки связано непосредственно с протеканием физико-химических процессов в конденсированной фазе. В процессе кислородной резки тепловыделение в химической реакции окисления обеспечивает формирование края реза и удаление металла. При нанесении покрытий плазменными методами и / или с использованием электронно-лучевого нагрева часто используются экзотермические составы: тепловыделение в реакции обеспечивает дополнительный прогрев и устойчивость процесса формирования структуры. В свою очередь, известно, что режим превращения зависит от подвижности среды. Наличие этой зависимости привело, например, к появлению двух теорий горения - тепловой и гидродинамической. Согласно тепловой теории горения появление различных режимов превращения может быть обусловлено наличием параллельных и последовательных стадий химического превращения, фазовых переходов, теплоотдачи в окружающую среду, т.е. с дополнительными источниками и стоками тепла. В гидродинамической теории режимы превращения зависят от характера течения - ламинарного или турбулентного. В твердой фазе картина обратных связей между разными процессами более сложна, чем в жидкостях и газах. Так как физические причины появления различных скоростей протекания превращений в конденсированной фазе непосредственно связаны со взаимодействием различных процессов, например химических и механических, теплофизических и диффузионных, следует ожидать в твердой фазе и большего разнообразия режимов превращения, чем в газах и жидкостях. Скорость распространения фронта превращений зависит от скоростей всех физический стадий. В зависимости от условий инициирования ведущую роль могут играть разные процессы, приводя к появлению принципиально разных режимов превращения. Для деформируемых сред важную роль в химических превращениях играют механические процессы: напряжения могут влиять на скорость реакции как прямо, так и косвенно,
благодаря наличию обратных связей и приводя к появлению режимов превращения с различными скоростями. Напряжения и деформации сопровождают реакции, протекающие с участием твердых веществ, на разных структурных уровнях [1], начиная со стадии образования зародышей, их слияния и образования фронта реакции и заканчивая формированием структуры конечного продукта далеко за фронтом превращения. Описание химических превращений, которые могут распространяться с различными скоростями, возможно с единых позиций на основе связанных моделей термомеханики. А для описания и объяснения закономерностей, наблюдаемых в разных технологиях, весьма полезен опыт, накопленный в теории технологического горения [2].
В [3-5] показано, что в связанной модели реализуются два принципиально различных режима распространения фронта реакции. Медленный режим превращения в твердой фазе обеспечивается распространением тепла теплопроводностью. Режим быстрого превращения, в котором энергия переносится волной механических возмущений, есть такое же свойство химически реагирующей среды, как и режим медленного горения. По всем признакам этот режим можно назвать твердофазной детонацией. Анализ свойств нелинейных волн в твердых средах представляет интерес для различных областей, смежных с механикой сплошной среды. А исследование устойчивости таких волн интересно и для изучения технологических процессов и их стадий. Впервые вопрос об устойчивости волн твердофазного превращения к механическим возмущениям поставлен в [6].
Цель настоящей работы заключается в исследовании устойчивости стационарных волн превращения в термоупругой деформируемой среде к двумерным возмущениям.
1. Предварительные пояснения
Твердофазное горение можно определить как самоподдержи-вающееся послойное распространение реакции в твердой фазе [2, 7].
С точки зрения классической тепловой теории горения задачи о формировании шва и покрытия в процессе самораспространяющегося высокотемпературного синтеза в простейшем приближении могут быть сформулированы одинаково. В первом случае (рис. 1, а) для обеспечения плоского фронта достаточно предположить, что инициирование реакции осуществляется в результате однородного нагрева об-
разца со стороны плоскости (У2) , т.е. в плоскости А , а на торцах реагента, контактирующих с соединяемыми инертными материалами, обеспечивается условие адиабатичности. Нестационарная стадия описывается системой уравнений
'Л/71 ^2гр
рс‘-^=хт —г+еФ(г,-п); (1)
дт дх
1=фм (2)
с граничными и начальными условиями
х = 0 : Т = Т;
х ^ = 0; (3)
ох
t = 0: T = To;y = 0 .
а
б
Рис. 1. Иллюстрация к постановке проблемы
В (1)-(3) и далее T - температура, ^ - степень превращения или массовая доля продукта реакции; t - время; р, ае, Хт - плотность, теплоемкость при постоянстве деформаций и коэффициент теплопровод-
( E ^
ности; ф(тл)=ko9i(л)ф2(т); ФіЫ=(1-пГ, Ф2(т)=exp -;
V RT
Q - тепловыделение в реакции; ко - предэкспоненциальный множитель; Ea - энергия активации суммарной реакции; R - универсальная газовая постоянная; То - начальная температура; Ts - температура нагретой поверхности.
В образце достаточно больших размеров через некоторое время после инициирования экзотермическая реакция выйдет на стационарный режим, скорость которого следует из решения простейшей задачи теории горения [8]. В системе координат, связанной с фронтом, движущимся в направлении оси (ОХ) , эта задача имеет вид
-сер^=хг^г+0®(г, ч);
ах ах
-^=фМ; (4)
ат п ч+ т т х^-да : —-0; х^+да : Т - Т0 .
ах
Задача об определении скорости фронта Уп есть задача на собственные значения. Решение представляет собой волну постоянного профиля, движущуюся со скоростью Уп. Кроме скорости горения, этот режим превращения можно характеризовать температурой продуктов:
Т - То+-3-,
сеР
которая легко получается из первого интеграла системы уравнений (4). Будем обозначать далее температуру продуктов, следующую из простейшей модели, как ТЬо, а скорость горения, определяемую на основе
анализа модели (4), как упо .
Для учета роли соединяемых материалов с точки зрения тепловой теории горения достаточно учесть потери тепла в них, например переходя к сопряженной двумерной постановке [9] или, еще проще, включая в модель эффективные потери тепла с эффективным коэффициентом теплообмена [10].
При синтезе покрытия на подложке (рис. 1, б) плоский фронт можно организовать аналогичным способом, т.е. поджигая образец однородным нагревом в плоскости А , а подложка будет отнимать тепло по тому же механизму. Эти потери тепла можно учесть как введением эффективного коэффициента теплообмена, так и за счет введения эффективных теплофизических коэффициентов и эффективного тепловыделения в реакции [11]. В результате мы придем к той же простейшей задаче теории горения (4).
В настоящее время в тепловой теории горения, конечно, существует множество более сложных моделей, учитывающих различную геометрию образцов, стадийность химического превращения, замедление реакций слоем продукта и т.п., обзор которых не входит в задачи данной работы.
С точки зрения термомеханики задачу об инициировании реакции (см. рис. 1, а) при «мгновенном» нагреве поверхности можно рассматривать как задачу о тепловом ударе [12]. Эта задача формулируется с использованием уравнения теплопроводности, связанного с деформациями,
где Зт - вектор плотности теплового потока (поток тепла в классической теории термоупругости связан с градиентом температуры законом Фурье Зт = -ХтУТ); и - вектор перемещений; ат - линейный коэффициент теплового расширения; ст - тензор напряжений; К = Х + 2ц/3 - изотермический модуль всестороннего сжатия; X, ц -
деформаций Коши.
Дополнительными соотношениями, связывающими компоненты тензоров напряжений и деформаций, являются соотношения Дюамеля-Неймана
В этих уравнениях возможные химические превращения не учитываются.
При резком повышении температуры поверхности А до Т3 и при
условии идентичности свойств материалов (реагента и соединяемых образцов) можем принять
У-іт -3КаТТ
(5)
ді
и уравнений движения
(6)
коэффициенты Ламе; г
компоненты тензора малых
м2 = uз = 0; их = u (х, t);
сп ф 0, а22 =^33 Ф 0, а12 =а23 =а31 = 0;
6кк =£11 =6 = ди/дх.
В этом случае решение задачи сводится к решению одномерных уравнений
дТ . д 2Т дб
РС‘^-0ХГ - 3К атТ ¥: <8)
-> (9)
дt2 дх
с краевыми условиями
х = 0: Т = Г, u = 0 (или а11 = 0), (10)
1 дТ х : КТ—=и дх
и начальным условием
t = 0: Т = Т0, и=0. (11)
С использованием соотношений (7) задача может быть переформулирована в напряжениях или перемещениях.
Говоря более строго, соединение материалов можно реализовать в условиях плоской деформации, так, что для рис. 1, а нужно записать
633 = °>
и задача нахождения возникающих волн напряжений и деформаций становится двумерной.
Для ситуации, изображенной на рис. 1, б, мы должны, вообще говоря, использовать иные условия. В этом случае можно принять
а33 = °>
т.е. нанесение покрытия на пластину больших размеров происходит в условиях плоского напряженного состояния.
В классической теории термоупругости [12] с учетом малости коэффициента связанности
(12)
А + 2ц с8р
уравнение теплопроводности линеаризуют при температуре недефор-мированного состояния. Поэтому в большинстве работ, в которых требуется оценить температурные напряжения, эффектом связанности пренебрегается [12-15]. Решения задач линейной теории хорошо исследованы. Эти решения представляют собой волны, быстро затухающие при удалении от нагреваемой поверхности. Решений типа бегущей волны в линейной теории термоупругости не существует. Такие решения появляются в связанной нелинейной теории [16].
Учитывая тепловыделение вследствие химической реакции, протекающей в упругой среде, придем к модели термомеханики, допускающей два типа решений. Эта особенность связанных моделей сохраняется при учете сжимаемости среды [15, 17], конечности времени релаксации потока тепла [18], концентрационных напряжений и деформаций в зоне реакции [3, 8, 20, 21], иных реологических свойств [22, 23], зависимости скорости реакции от напряжений и деформаций [3, 19, 24-26].
Возникает естественный вопрос: при каких условиях твердофазная волна горения будет устойчивой? Чтобы на него ответить наиболее простым способом, следует перейти к иной формулировке задачи, в которой зона реакции заменяется поверхностью разрыва. Исследование устойчивости фронта твердофазной реакции к одномерным возмущениям в рамках связанной модели впервые осуществлено в [6]. В [27-30] представлены некоторые результаты исследования этой проблемы применительно к разным ситуациям также в одномерном приближении. В данной работе возмущения считаем двумерными. Ограничимся учетом только термических напряжений и суммарной схемой химического превращения.
2. Общие соотношения
Для описанных выше ситуаций - формирования шва при соединении материалов и синтеза покрытия на подложке - связанная задача термоупругости с учетом наличия зоны превращения становится двумерной. В первом случае (плоская деформация) имеем
а13 = а31 = а23 = а32 - 0, £33 = £13 = £31 = £23 = £32 = 0, и3 = °.
Следовательно,
£кк = £11 + £22>
П = -(£11а11 + £22а22 + 2£12а12 ) .
Дополнительным уравнением будет условие совместности деформаций, следующее из соотношения Коши для £12 (при условии непрерывности всех величин)
д Чі, + ^22 = 2
і2
ду
2
дх
2
дхду
Учитывая эти соотношения, уравнение движения в случае плоской деформации в системе координат, связанной с фронтом, движущимся влево, представим в виде
(Х + 2ц)
5 2в
11
дх2 = Р
+ А
5 2г
22
дх
+ И
д2 в
11
д 2г
22
д^11 , от/ д2в11+ у
ді
2 +2Уп дідх
дх2 2 д2в
- 3К а
д 2Т
Т дх2'
11
п дх2
(Х + 2ц)
д2 в
22
ду
=Р
+х
д2 в
11
ду2
+ц
д 2в11 +д 2в22
ду
2
дх
2
- 3К а
д2Т
т '
ду
д2в
ді
+ 2Г д2в22 +Г2 — 2 Уп дідх Уп -2
22
22
дх
Это соответствовало бы инициированию реакции со стороны плоскости А.
Во втором случае (плоское напряженное состояние) имеем
а13 =а31 =а23 =а32 = 0, £13 =£31 =£23 =£32 = 0 , следовательно,
вкк =в11 + в22 +в33
П = -(в11а11 + в22а22 + 2в12а12 ) •
2
Тогда уравнения движения, записанные в системе координат, связанной с реакционным фронтом, примут вид
2ц
X + 2ц
2 (Х + ц)
д2в
11
дх
+ Х
д 2в
22
д 2Т
дх
0 3К ат 0
22 дх
+ц
д 2в11 +д 2в22
ду
2
дх
2
= Р
д2в
11
+ 2У
д 2в
11
дідх
+у
2 д2в
11
дх
2ц
X + 2ц
2 (Х + ц)
^+хд^1! - 3К а
ду2
ду2
д2Т
Т
+ц
д °в11. + д 2в22
ду
2
дх
2
= Р
д 2в
ді
д2в22 тл2 д2 в
+ 2У-------22 + У--------
2 п дідх п ^-2
22
22
дх"
Уравнение теплопроводности в подвижной системе координат принимает вид
свР
дТ у —
ді п дх
=Хт
-3КаТТ
дв у дв ді п дх
(13)
для плоской деформации и
саР
дТ у —
ді п дх
=Хт
6 К ц
аТТ
X + 2ц
для плоского деформированного состояния, где еа = С£ +
дв у дв ді п дх
(14) (3КаТ У Т
р(Х + 2ц)
теплоемкость при постоянстве напряжений; £ = £ц +£22- Третья компонента тензора деформаций в уравнениях для плоского напряженного состояния явно не присутствует, поскольку
-Я(£11 + £22)+ЪКат (т-Т)
в33 =■
Х + 2ц
Выписанные уравнения справедливы в области реагентов и продуктов реакции. На границе раздела между ними условия формулируются специальным образом.
В реагентах (х ^ -да ) все возмущения равны нулю, в продуктах ( х ^+да ) - все возмущения затухают или конечны.
3. Стационарная задача
Первый этап исследования задачи об устойчивости фронта превращения - решение невозмущенной стационарной задачи. Для случаев плоской деформации и плоского напряженного состояния невозмущенные задачи в математическом отношении будут отличаться лишь коэффициентами: теплоемкостью с£ и са и коэффициентом 3Кат и
6 К цат / (Х + 2ц), при слагаемом, описывающем перекрестный эффект.
(Аналогичные выводы следуют и из анализа задачи для возмущений.) Поэтому далее остановимся лишь на анализе одной ситуации - на задаче о распространении фронта превращения между соединяемыми материалами.
В стационаре фронт реакции движется влево со скоростью У^.
Заметим, что на стадии распространения фронта превращения непосредственно соединение материалов не происходит. Соединение материалов осуществляется за счет более медленных физических стадий (например, контролируемых диффузией), которые следует изучать отдельно. Поэтому здесь речь идет о влиянии соединяемых материалов (условий организации эксперимента) на режимы превращения.
В приближении узкой зоны химической реакции и для реакции нулевого порядка стационарная невозмущенная задача (Т = Тх) для случая плоской деформации включает уравнения
серУ„0 ^-Хт^-3КатТУ0 ^
dx 1 іх2 Т 1 п dx
Х+2ц-р(Кп0 )
2 ^ і 2вш і 2Т
----^— 3К аТ—2
у іх іх
где \ = 1 соответствует реагентам (х < 0), I = 2 - продуктам реакции ( х > 0); £»£11.
На границе раздела реагентов и продуктов х = 0 будут справедливы условия
Т1І0-- Т2І0+;
іТ1
іх
іх
+ ОУ.
0+ Хт
(15)
где разрыв в потоке тепла непосредственно связан с тепловыделением в реакции.
Условия непрерывности перемещений и компонент тензора напряжений, перпендикулярных фронту превращения, будут выглядеть так:
41,1
0-
11,210+ , и1,1|0- - и1,2
0+
(16)
Условия в невозмущенном веществе (в начальном состоянии) х^-да : т = т0,£11 = 0 и условия в продуктах реакции
ат п
х^+да : — = 0
ах
остаются прежними.
В безразмерных переменных
е. - т: - Ті , х - г„<>х
ТЬ0 Т0
к
5*..-а/ е.. --в/
, °I/ , е/
а* в*
где
ТЬ0 - Т0 + ; кт - Т ; а*- 3КаТ (ТЬ0 Т0); в*-
а*
СєР СєР
стационарная задача принимает вид
2
X + 2ц
і Є ; і 2Є ; /е ч іе11, '
--ю(ег+а)-
іх іх2
іх
і е11, і і2е . 2 і е11, і
'--а -
іХ2 іХ2
5Єі
дх
іХ
де2
2
0-
дх
0+
(17)
и
1,1
- и
1,210+ ; 511,110- — 511,2
0+
0
0
^-да: ef - 0, еЦд - 0;
е , d e2 л den,2 л
£^+<ю: —2 - 0, -------—=0,
dX dX
[ЪКат) {ТЬ0 -T0) T0 2 Р^„2 К А!
где ю--—-—^-------------- , а-----------------------------------0—, а -— . Коэффициент свя-
(Х + 2ц) сЕр тЬ0-т0 Х + 2ц
занности, в отличие от теории термоупругости (12), вычисляется при температуре, характерной для химической реакции. Параметр а - есть отношение скорости фронта реакции к скорости звука - скорости распространения продольных механических возмущений. В соответствии с [Ъ, 5 и др.] этот параметр может быть как много меньше единицы, так и сравним с ней.
Уравнение теплопроводности линеаризуем при температуре
e-e6:
dei d2° (e , ) de11,i
— i-®(eb +а)--------- .
dX dX2 V J dX
В силу равенств si - еш -ei, i -1,2 (соотношений Дюамеля-
Неймана, записанных в безразмерной форме) условие непрерывности напряжений и перемещений во фронте невозмущенной волны горения эквивалентно условию непрерывности деформаций
е11д|0_- е11,210+ . (18)
Точное решение стационарной линеаризованной задачи имеет вид
e,0-Oj exp(yX), e,°-Oj; e1u° -r°r exP (yX) • e11,20 -г°т ; (19)
1-а 1-а
„ 0 - а ej p (yX) s 0 - а eb
s11,1 -л 2 exp (yX ) , s11,2 - 2
1-а2 1-а
eb +а 1-а
квадратного уравнения
где y-1 + ю ^b ' 2 > 0, а значение температуры продуктов следует из
Ю О2 4.
2 0ь +
1-а
1+
юа
1-а2
Оь-1-0
или
где В -
2В0Ь +( 2Ва-1)0ь +1-0,
(20)
(21)
ю
2 (а2-1)'
В невозмущенной волне
0а 0 а 0 а 0 0 0 £\0
е22 -0 ; е12 -0 ; ^2 -0; 522 -533 -У1е11 -0 :
(22)
где
У1-
X + 2ц
-<1.
Из (19) находим
01 е1 ^3 йе11,2° -1 1 0 а 020 _ У0ь _ 1
йХ 0- йХ 1-а2 0+ йХ 0- йХ 0+ _ 1-а2 1-а2
, (23)
т.е. разрыв в градиентах деформации и, следовательно, в градиентах скоростей зависит от параметров, характеризующих волну горения (проверяется непосредственной подстановкой).
В случае плоского напряженного состояния (см. рис. 1, б) в физических переменных стационарные уравнения принимают вид
с„рк„» ^-хтЦ--— йх йх Х + 2ц
ада
йх
Сп
11, г
2ц
где С0 -
йх Х + 2ц
4ц(Х + ц) /т/0\2
-3К а
й 2т
Т йх2
- 0,
X + 2ц
уравнение для температуры продуктов
р(уП) . Аналогично предыдущему (21) найдем
2 А02 + 0ь [2аА-1] + 1 - 0,
где
А -
ю 2у 2-а 2 а2 -У2 (14У1)
У 2-1-У1»
и распределения деформаций, напряжений и температуры в стационарной волне горения
е11, г--
У 200
,0 У 2а^0 0
У2 (14У1 )-а
С0 -
С1 1 : —
2 , С11,
У2 (14У1 )-а2 ’
010-0ь ехр[5Х], 020-0ь ,
где
ю(2у2 -а2)
8-1+ т у (0ь +а).
У2 (14У1 )-а
гое
Рис. 2. Качественное распределение температуры (а, г), деформаций (6, Э) и напряжений (в, ё), перпендикулярных фронту невозмущенной волны в твердой фазе для медленного режима горения (а-в) и для твердофазной детонации (г-ё). ш=0,3; 71 = 0,65; а=0,15. Кривая 1 соответствует плоской деформации; кривая 2 - плоскому напряженному состоянию; Х = Уп°х/кт ; фронт движется влево; а = 0,1 (а-в) и а = 2,5 (г-ё)
Качественное распределение температуры, а также напряжений и деформаций, перпендикулярных направлению распространения фронта, в невозмущенной стационарной волне показано на рис. 2.
Как видно из рисунков, зона прогрева в случае плоской деформации меньше, чем в случае плоского напряженного состояния. Обнаружено, что существует область параметров модели, где стационарные режимы горения не существуют. Например, для ю=0,3; 71 = 0,65; а = 0,15, если а = 0,1, стационарный режим существует и соответствует рис. 2 (а-в) для любого напряженно-деформированного состояния. Если а = 1,2, стационарный режим не существует для случая плоской деформации, но появляется для плоского напряженного состояния и характеризуется отрицательными значениями деформаций и напряжений, перпендикулярных фронту. Если а = 2,5, уравнение для температуры продуктов в случае плоской деформации (21) имеет два положительных решения, в то время как уравнение для температуры продуктов для случая плоского напряженного состояния - только одно. В соответствии с [19, 23, 27] в первом случае появляются двухтемпературные реакционные фронты. Но линейный анализ не позволяет описать эту сложную ситуацию. Низкотемпературная часть фронта показана на рис. 2 (г-ё).
Следующий этап решения задачи об устойчивости твердофазного фронта - формулировка задачи для возмущений. Также ограничимся подробным рассмотрением задачи, соответствующей рис. 1, а.
Допустим, что произошло искривление фронта реакции. Для возмущенной волны в случае плоской деформации справедливы уравнение
(13) (линеаризованное при температуре продуктов), уравнения движения для случая плоской деформации (для компонент тензора деформаций 8ц, 822) и условие совместности для компоненты 812. В тех же самых безразмерных переменных, что и для невозмущенной задачи (17), имеем
4. Задача для возмущений
50 50 Э20 Э20
----1----—------------—Ю
Эх ЭХ ЭХ2 ЭУ2
5Х2 ЭХ2 ЭХ2 2 ЭУ2 ЭХ
2
Э е
(24)
° е11 е11 .
ЭхЭХ ЭХ2 ’
Ъ,
2
Э 2еп Э 2е
22
ЭУ2 ЭХ
Э 2е
22
Э20
ЭУ2 ЭУ
-+У1
Э 2е
11 —а2
Э2е22 + 2 Э2&
22
Э 2е
22
Эх2 ЭхЭХ ЭХ2
Уравнения, необходимые для определения оставшихся компонент тензоров напряжений и деформаций, отличных от нуля, принимают в этом случае вид
5П = е11 -0+У1е22;
^22 — е22 0 + у1е11; 533 — у1 (е22 + е11 )-0 ,
(25)
где у2 —
2ц
; у1 +у 2 —1, и
Э 2е
11
Э 2е
22
+ "
ЭУ2 ЭХ"
— 2
Э 2е
12
ЭХ ЭУ
(26)
Уравнения (24)-(26) справедливы как за фронтом волны, так и перед ним.
Во фронте возмущенной волны Х — С остаются справедливыми условия непрерывности температуры и деформаций
0І —0| =0,; е
111?- — е11
(27)
Разрыв в потоках тепла связан с тепловыделением в химической реакции
Э0
ЭХ
С-
эе
ЭХ
С+
(28)
где Vn V - скорости возмущенной и невозмущенной волн.
Из условия непрерывности компоненты тензора напряжений и компоненты тензора деформаций, перпендикулярных фронту, и температуры следует непрерывность компоненты тензора деформаций е22 :
е221?- — е22
?+
(29)
Полагаем, что в случае малых возмущений во фронте возмущенной волны остаются справедливыми соотношения, аналогичные (23). Тогда из (28) и первого соотношения (23) имеем еще два условия
Эе1
11
ЭХ
Эе1
11
С-
Эе22
ЭХ
ЭХ
С-
С+
Эе22
1
1-а2 V»0
ЭХ
— 0.
С+
Последним граничным условием будет условие полного потребления вещества в зоне реакции
а х
V
0 '
Будем искать решение нестационарной задачи в виде
0 —00 + 0 ; еп — е0 + еп.
е22 — е22 + е22 •
(31)
(32)
Подставляя (32) в нестационарную систему уравнений (24), учитывая решение невозмущенной (стационарной) задачи (19) и вводя для удобства обозначения
0 тл0 ' т/ 0 0 ' 1
е11 - ^1 ; е11 -^1 ; е22 - и1 ; е22 — и1
для величин перед фронтом реакции и
0 т/' 0 ' т/ '0 0 ' '
е11 — ^2 ; е11 -^2 ; е22 -и2 ; е22 —и2
для величин за фронтом реакции, придем к задаче для возмущений, справедливой для случая плоской деформации:
-ч/ . тл\ -ч/ . тл\Л
50 +Э0, — Э20, + 520,- + ,
----+----—-----■ +----т—®( 0Л + °)
Эх ЭХ ЭХ2 ЭУ2 v ’
д(иі +ГІ ) + д( иі +V )
V
ЭХ2 ЭХ2
+У1
ЭХ
2+2
5^- 5 2и
ЭУ2 ЭХ
2
—а
у2
2
5 2V■ д2и
ЭУ2 ЭХ
2
Э2и 520;
ЭУ
~ ~ д2V■
1--—■ + у —-■
- дУ2 дУ2
■ +—а2
дх ЭХ
дV „ д2V■ дV
—2—+ 2-----------1-------2
Эх2 дхдХ ЭХ2
д2и,- д2м,- дV
■-+2-------^+- 1
(33)
Эх2 ЭхЭХ ЭХ2
где индекс / —1 относится к реагентам, а / - 2 - к продуктам реакции.
Для того чтобы записать линеаризованные граничные условия для возмущений, представим скорость фронта в виде [31 ]
V = V +
п п
дТ
(т-Т°)+Г—1 (п-п0), V } V дП ^0 ’
/о
где V0 - скорость невозмущенного фронта, П0 - температура и работа
напряжений в стационарной волне. Переходя к безразмерным переменным, найдем
Тт=>+*10-
22 (П-П0
(34)
где z1 =—0 1 V
дК
дТ
(ТЬо - То) - коэффициент чувствительности скорости
1
реакции к температуре; Z2 = о
V'n
дVn Л [3^ат (тьо То)]
___п
дП
- коэффи-
о X + 2ц
циент чувствительности скорости реакции к работе напряжений. Для работы в безразмерных переменных оставлено то же обозначение, что и в размерных переменных.
С учетом этого условия во фронте возмущенной волны (27)-(31) линеаризованные относительно невозмущенной границы примут вид
^ ?+0/= М 5+02' =0,';
ах ах
а 20О 5+=4%, «2
ах2 ах ах2
у2А0
^ а02 а тт
5+“ТГГ + ^0, + ^П, ;
ах
аа^=-( ^0, + Z2ПS |;
а\5+^'= % 5+V2'=v/;
ах
ах
(35)
ааv1 а¥2° аv2 z10, + z2п, —О5+—-=—2-5+—^ +-1 5 2 5
ах2
ах ах2
ах
1-а2
ам°. ' а«? „ '
—— 5+«1 =—2 5+«; ах^ 1 ах^ 2
1
0
—— С +——=------— С+——.
dX2 dX dX2 dX
В (35) учтено, что работу можно представить в виде
П=П0 +П' или Пs =Пs° +ПS,
где индекс 5 относится к границе раздела реагента и продукта.
С точностью до слагаемых второго порядка малости по возмущениям находим
или в новых обозначениях
где а - амплитуда возмущения, ф - комплексная частота, к - волновое число; і - мнимая единица. Тогда возмущенные решения ищем в виде
где декремент затухания т\ и знак «+» соответствуют области 1 (^<0); декремент затухания г2 и знак «-» - области 2 (^> 0). Имеем
Подставляя (37) в систему уравнений для возмущений (33) для области реагентов и продуктов, найдем системы линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд возмущений /1, к1, g1 и
/2, Н2, g 2. Условия разрешимости этих систем уравнений заключаются
в равенстве нулю определителей из матриц коэффициентов
Зададим возмущение фронта в виде
С = a exp (фт+ikq),
(36)
0 i = fi exP(фс±riX + ikn),
Vj = h exp(фх±riX + ікц), ui = gi exP(фх±riX +ікл),
(37)
П s' = 2h— -h [ h— + g— ]+2^2^. (38)
1-а 1-а 1-а
(ф± г - г2 + к 2) (ф± г )8
2 У2 ,2 а2
(ф± Г )8
-Г
Г2 ^^22 к 2-а 2 (ф± Г)
с
-к2
У1 +
У 2
2 2 ( У 2 Л
г Г +Т, у г 2 - к 2-а 2 (ф± г )2
где 5 = ю(06 +а), г = 1,2 . Если к = 0 , уравнения дают условия разрешимости системы для возмущений в одномерной задаче.
Подставляя (37), (38) в линеаризованные граничные условия (35) и учитывая решение стационарной задачи (37), придем к системе семи уравнений, условие разрешимости которой есть
1 1 -1 0 0 0 0
У Г г2-Р 0 -Ц 0 Р
1 1-а2 0 0 1 -1 0 0
У 0 Р Ц 0 Р
1-а2 1 -а2 Г1 Г2 1-а2 1 -а2
ф 0 Р 0 Ц 0 - Р
0 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 Л г2
= 0,
Z20b 1 + а
где Р = z1 -7~Г ; Ц = Z20b~—2
; р=-z20b
2У1 ^ 1-а2
-1
1-а 1-а
из (20).
Раскрывая определитель, придем к уравнению
(Г1 + Г2 Лф(Г1 + Г2 ) + 1 [Г1 -Ф-У]^ = 0'
а 0ь следует
1-а2
(40)
Определители (39), конечно, тоже легко раскрываются, но вследствие их неудобной формы окончательные уравнения не приведены.
2
к
2
Анализ системы уравнений (39), (40) позволяет сделать вывод об устойчивости тех или иных режимов превращения.
5. Анализ результатов
Проанализируем некоторые частные случаи.
1. Так, полагая ю = а = Z2 = к = 0, придем к уравнениям для декрементов
ф+г -г2 = 0, ф-Г2 - г? = 0, (41)
откуда с учетом физического смысла
Г1,2 = 2 (л/1+4р ±1). (42)
Следовательно, из (40) находим квадратное уравнение1
4ф2 + (^2 + 4 Zl +1)ф+Zl = 0. (43)
Устойчивым режимам соответствуют корни этого уравнения с
отрицательной действительной частью, что получается, если
- Zl + 4 Zl +1 > 0. Отсюда находим условие устойчивости в виде
0 < ^ < z¡ = 2 ^л/5. (44)
При Zl > Zl малые возмущения растут. Так как вблизи z1 мнимая часть ф отлична от нуля, то процесс потери устойчивости может носить колебательный характер. Этот результат полностью совпадает с [32], что подтверждает достоверность модели.
2. Если ю = Z2 = к = 0, но а^ 0, то у = 1 и решение распадается на три независимых решения (41),
г12-а2 (ф + г1 )2 = 0, г22-а2 (ф-г2 )2 = 0 (45)
и
Сг2-а2 (ф+г1 )2 = 0, СТ?-а2 (ф-г2 )2 = 0, (46)
1 Вообще говоря, мы получаем кубическое уравнение для комплексной частоты ф , один корень которого тождественно равен нулю. Аналогичная ситуация получается и в более сложных случаях.
где С = ^.
Решение (41) соответствует медленной волне твердофазного горения, (45), (46) - волнам механических возмущений, порождаемым волной горения.
Действительно, пусть а<1, т.е. волна горения - медленная. Тогда в области устойчивости, когда Яеф<0, из (45) имеем г =-фа2 >0,
г =-фа1 >0, где а2 = а ; а2 = а . Подставляя полученные значе-
1 + а 1 -а
ния декрементов в (40), найдем уравнение
ф2 (а2 + а1 )+ф(а2 +1) z1 + z1 = 0. (47)
Оба корня этого уравнения имеют отрицательные действительные части:
2 (а1 + а2 )
Следовательно, волна механических возмущений, порождаемая медленной волной горения, оказывается всегда устойчивой.
В области неустойчивости, Яе ф> 0, имеем
г1 =фа1 > 0 и г1 =фа2 > 0.
Следовательно,
ф2 (а2 + а1 )+ф(а2 -1) z1 + z1 = 0.
Так как (а -1) Zl > 0, то такая волна механических возмущений
абсолютно неустойчива.
Допустим, что а>1, т.е. скорость волны превращения больше скорости звука. Тогда в области устойчивости (Яеф<0 ) получаем г1 > 0, но г2 < 0, чего не может быть по условию. В области неустойчивости ( Яе ф> 0 ) имеем г < 0 , но г2 > 0, что тоже не имеет смысла. Следовательно, сверхзвуковые режимы горения при условии ю = 0 не реализуются, что еще раз подтверждает выводы [33]. Этот результат не зависит от теплопотерь [27].
Используя третью пару корней, следующую из (46),
аа
г1 =±ф^^, г2 = ±ф7^_,
С+а С ±а
найдем, что для а<1 в области устойчивости медленной волны горения Яеф < 0 появляется неустойчивая волна механических возмущений при условии С<а<1 .
Если а <С <1 , то
г1 =-ф-
а
г2 = -ф
а
С+а С-а
и уравнение для частоты ф принимает вид
ф2 ( С2+С1 )+ф( С2+1) ^+Zl = 0, С1 =
а
С2 =-
а
С-а С+а
Сверхзвуковая волна в этом случае также не реализуется.
3. Если — ^0, но а = к = 0, то Р = z1 -z206 ; д = z206 и Р +—
1-а2
= z1 и
у = 1+ — (06 +а).
В этом случае для температуры продуктов находим
06 = 2— ^(1 + юа)2 + 4—-(1 + юа)
а для декрементов г имеем уравнения
2
(48)
(49)
откуда
г 2 =— 1,2 2
г2 + г- (1+6)-ф(1+6) = 0, Л/(1+б)2 + 4—(1+8) ±(1+8)
(50)
где 8 =—(06 + а).
Подставляя (50) в (40), найдем уравнение для комплексной частоты ф :
4ф2 (1+8)+(-z12 + 4 z1 (1+8)+(1+8)2 )ф+z1 (1+8)2 = 0. (51)
Критическое условие потери устойчивости следует из соотношения
1
и имеет вид
- + 4 ^ (1 + 8)+(1+8)2 = 0
7* =(2+л/5)[1 +—(0ь +ст)] .
Если z1 < z1, волна горения устойчива. Этот результат отличается
от (44), но не зависит от коэффициента чувствительности скорости реакции к работе напряжений.
Зависимости 0Ь и z1 от коэффициента связанности показаны на рис. 3. 4. Если —=к = 0, но Ф 0, аФ 0,
то 0Ь =1, 8 = 0, у = 1, Р = г1 -
Г 1-а2
, (1+а 2) 1-а2
и уравнения (39) имеют
три группы корней, как и в случае 3.
Рассматриваем первую пару корней (41). В результате простых преобразований приходим к уравнению (43)
4ф2 +(-?2 + 4s + 1)ф+5 = 0, (53)
Рис. 3. Температура продуктов (а) где вместо zl стоит параметр
1 -а
(1-“2 Г
и критическое значение z1 (б) в зависимости от коэффициента связанности: а= -0,15 (1),
ст= -0,20 (2) и ст= -0,25 (3) ^ , ,
4 7 > V / Коэффициент чувствительности
скорости реакции к работе напряжений может иметь любой знак. Поэтому условие устойчивости (44) изменяется. Относительно z1 условие принимает вид
0 < z1 < z1a = 2+75 -
2а 2 z^
(1-а2)2 ■
(54)
Если > 0, то влияние механических напряжений приводит к
снижению предела устойчивости медленной волны горения, а<1. Ес-
z
а
ЛИ ¿2 >(2+ >/5)(1 -а2) /2а2, медленная волна горения абсолютно неустойчива.
Если ¿2 < 0, т.е. скорость реакции уменьшается под действием напряжений, то условие устойчивости может быть представлено в виде 52Ь <5 <51а , где Я? = 2 + >/5 , я/ = 2->/5, или
Ь ^ ^ а
¿1 < ¿1 < ¿1
(55)
ь ~ 17 2а2
где ¿1 = 2 -V 5 -
2
(1-а2)'
> 0 - нижний предел устойчивости стационар-
\2yf5 - 2
ного режима горения, причем ^>(1-а2) ^ . Тогда z1 - верхний
предел устойчивого горения.
Зависимости верхнего и нижнего пределов устойчивости от параметра Z2 представлены на рис. 4 для различных значений параметра а < 1. Область устойчивости волны медленного горения лежит между сплошными линиями.
Рассмотрим вторую группу корней (45). Для а<1 и Яеф<0 находим уравнение для комплексной частоты
ф2 (а2 + а1 )+ф(а2 +1) 5 + 5 = 0,
Рис. 4. Пределы устойчивости волны медленного горения в зависимости от параметров модели: а = 0,1 (1); а = 0,2 (2); а = 0,3 (3). Сплошные линии -область устойчивости волны горения; пунктирные - область устойчивости волны механических возмущений
откуда следует, что в случае 5 > 0 комплексная частота действительно всегда отрицательная; в случае 5<0 появляется область
неустойчивости механической волны, порожденной тепловой волной. Это возможно, если
а
>
4 (а2 +а1)
(1-а2 ) (1 + а2 )
2 - ¿1 и ¿1 <
4 (а2 +а1) (1 + а2 )2
Соответствующая область отделена на рис. 4 пунктирной линией. Для указанных на рисунке значений а имеем ¿1М = 0,65; 1,066; 1,293.
Область устойчивости механической волны пренебрежимо мала или практически не существует.
5. Пусть теперь ю = а = ¿2 = 0, но к Ф 0, т.е. возмущения - двумерные. Имеем для декрементов
2
-г2 + к 2) (г2 - С2к2)(С2 г2 - к2)+к 2Г2 (1-с2)'
=0. (56)
Очевидно, одна группа корней будет соответствовать медленной волне горения, вторая - механической волне, порожденной тепловой волной. Из предыдущего ясно, что сверхзвуковые режимы в несвязанной модели не реализуются. Поэтому ограничим рассмотрение одним частным вариантом
(ф±г -г2 + к2 ) = ^
откуда находим
г1,2=2 (V1+4 (ф+к 2)
±1і.
(57)
Уравнение для комплексной частоты ф в этом случае принимает
вид
3 2
4ф3 +ф2
1 + 4 + 4к
2
+ ф^1
1 +4к2
+к 2 ¿2 = 0
(58)
или
16ф3 + 4ф2
1 + 4 + т2
+ 4фZl
+ т2 ¿12 = 0, где т = 4к 2
откуда следует результат работы [32], что еще раз говорит в пользу достоверности модели. Аналогично [32], полагая ф = ±1у, найдем границу области устойчивости:
z
2
3т2 +4±
(3т2 + 4) + 4 (1 + т2)
2
(1 + т2)
В (59) выбираем знак «+», так как г! > 0 .
*
Минимальное значение г! достигается при т = 1.
Зависимость частоты от коэффициента чувствительности г1 и волнового числа следует из равенства
4 ¿1 (1+т2) •
(60)
6. Аналитически точно разрешается аналогичный вариант задачи, но с учетом влияния напряжений на скорость реакции. То есть примем ю = а = 0, но к Ф 0; 22 Ф 0. В этом случае имеем для декрементов уравнения (56). Как и в одномерном случае, при а = 0 результат не зависит от коэффициента чувствительности скорости реакции к работе напряжений и для первой группы корней имеет вид (59).
Подставляя в уравнение
ф(Г1 + г2 ) + г1 [Г1 -Ф-1] = °> следующее из (40), ф = ±1у, найдем
1 1
г1 =—; г2=г1—•
Тогда из равенства
(г2 - с2к2 )(с2г2 - к2)+к2г2 (1-С2 )2 = 0
найдем два уравнения
(1-С 2к 2 z12)(С2 - к2 Й21+к2 Й211-С I = 0
;)+к2 ^2 (1-с 2 )2
и
( ¿12-1)2 - С2к2¿12
+к2 ¿12 (¿12-1)2 (1-С2 У = 0,
С2 (¿12-1)2 - к2¿12
2
(61)
(62)
3
z
z
1
1
дающих границу области устойчивости механических волн, порождаемых волной горения (но не оказывающих на нее непосредственного влияния).
Сверхзвуковые режимы здесь, очевидно, не реализуются (а = 0).
Анализ показывает, что уравнение (62) имеет единственное решение при к = 0: когда =1, функция У имеет минимум У = 0. Для любого к > 0 имеем У > 0 , минимальное значение У положительно и лежит ниже г1 =1. Это означает, что механические двумерные неустойчивости не появляются.
Очевидно, что устойчивым можно считать режим превращения в области параметров, соответствующих устойчивости как тепловых (химических), так и механических волн.
7. Пусть ю = 0, но кФ0; 22 Ф0; аФ0. В этом случае у = 1, 5 = 0, а уравнения для декрементов и комплексной частоты ф принимают вид
Как и выше, первая группа корней дает результат (59), (60) для обобщенного параметра чувствительности 5:
(ф± г - г2 + к2)[(ГГ - С гк 2-а2 (ф± г )2)(С ггї - к2-а2 (Ф± г, )2)+
ф(Гх + г2 ) + 5 [гі-ф-1] = 0,
(63)
5
(і+т) (64)
2 (і + т1)
или
где
2 (і+т2)
2 ’
3т2 + 4+
а
2л =-
(3т2 + 4 )2 + 4 (1+т2)
2а2
2
(1-а2 )2 '
На рис. 5 представлена зависимость верхнего (а) и нижнего (б) пределов устойчивого горения от волнового числа при различных значениях параметра 22.
0,6
0,4
0,2
0,0
3
а=0,3
2 \
1 \
0,0
0,3
0,6
0,9
Рис. 5. Пределы устойчивости в зависимости от волнового числа 22 =-2 (1); 22 =-3 (2); 22 =-4 (5)
Если 22 > 0, то существует только верхний предел устойчивого горения, причем работа напряжений сужает область устойчивости. Если же 22 < 0, т.е. скорость реакции уменьшается под действием напряжений,
то, начиная с некоторого значения, появляется нижний предел, также зависящий от волнового числа, и может оказаться так, что фронт превращения будет более устойчив к двумерным возмущениям, чем к одномерным. В этом случае напряжения приводят к расширению области устойчивости по сравнению с чисто тепловой моделью. Частота на границе устойчивости, как и в чисто тепловой модели, чисто мнимая, т.е. потеря устойчивости носит колебательный характер. Границу колебательной и экспоненциальной неустойчивостей дает вещественный корень уравнения (76), где вместо 21 стоит обобщенный параметр Очевидно, что в области 22 < 0 таких границ также будет две, что на рисунках не показано.
Заключение
В работе показана применимость моделей твердофазного горения к описанию режимов превращения в современных технологиях нанесения покрытий и соединения материалов. Сформулирована задача об
3
2
2
устойчивости волн превращения в условиях, типичных для технологий, в том числе в условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Показано, что в этих ситуациях оказываются различными даже характеристики стационарных режимов. Методом малых возмущений исследована задача об устойчивости фронта превращения в твердой фазе к двумерным возмущениям в условиях плоской деформации. Показано, что существует два предела устойчивого горения по коэффициенту чувствительности скорости реакции к температуре, если скорость реакции может уменьшаться под действием напряжений. В противоположной ситуации работа механических напряжений сужает область устойчивого горения, в том числе за счет появления неустойчивости поперечных механических волн. Обнаружено, что существует область физических параметров, в которой фронт превращения более устойчив к двумерным возмущениям, нежели к одномерным. Представлены зависимости пределов устойчивого горения от параметров модели.
Библиографический список
1. Болдырев В.В. Реакционная способность твердых веществ (на примере реакции термического разложения) / Рос. акад. наук, Сиб. отд., Ин-т твердого тела и перераб. минер. сырья. - Новосибирск, 1997. - 303 с.
2. Мержанов А.Г., Мукасьян А.С. Твердопламенное горение. -М.: ТОРУС-ПРЕСС, 2007. - 336 с.
3. Тимохин А.М., Князева А.Г. Режимы распространения фронта твердофазной реакции в связной термомеханической модели твердофазного горения // Химическая физика. - 1996. - Т. 15, № 10. -С. 1497-1514.
4. Князева А.Г. Решение задачи термоупругости в форме бегущей волны и его приложение к анализу возможных режимов твердофазных превращений // ПМТФ. - 2003. - Т. 44, № 2. - С. 26-38.
5. Князева А.Г. Приложение макрокинетики к моделированию технологических процессов // Физическая мезомеханика: материалы междунар. конф. по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов. 23-28 августа, Томск, 2004. - Т. 7. - Спец. вып. Ч. 1. - С. 12-15.
6. Князева А.Г. Распространение волны горения в деформируемой сплошной среде // Физ. гор. и взр. - 1993. - Т. 29, № 3. - С. 48-53.
7. Мержанов А.Г., Хайкин Б.И. Теория волн горения в гомогенных средах. - Черноголовка: ИСМ АН, 1992. - 162 с.
8. Новожилов Б.В. Скорость распространения фронта экзотермической реакции в конденсированной среде // Докл. АН СССР, 1961. -Т. 141, № 1. - С. 151-153.
9. Чащина А.А., Князева А.Г. Режимы распространения твердофазной реакции в щели между двумя инертными пластинами // Физическая мезомеханика: материалы междунар. конф. по физической мезо-механике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов. 23-28 августа, Томск, 2004. - Т. 7. Спец. вып. Ч. 1. - С.82-85.
10. Шкадинский К.Г., Хайкин Б.И. Влияние теплопотерь на распространение фронта экзотермической реакции в к -фазе // Горение и взрыв. - М.: Наука, 1972. - С. 104-109.
11. Князева А.Г., Поболь И.Л. Гордиенко А.И. Coating formation in SHS-regime during thermal treatment of material by moving energy source // 7-th International Conference on modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Tomsk, 25-30 July 2004, pp. 178-183.
12. Коваленко А.Д. Термоупругость. - Киев: Вища школа, 1975. -
216 с.
13. Мелан Э, Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. - М.: ИЛ, 1958. - 167 с.
14. Боли Б., Уайнер А. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 517 с.
15. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. - 256 с.
16. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. - М.: Мир, 1972. - 184 с.
17. Князева А.Г. Скорость фронта простейшей твердофазной химической реакции и внутренние механические напряжения // Физ. гор. и взр. - 1994. - Т. 30, № 1. - С. 44-54.
18. Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Стационарная волна химической реакции в деформируемой среде с конечным временем релаксации теплового потока // Физ. гор. и взр. - 1995. - Т. 31, № 3. - С. 37-46.
19. Knyazeva A.G., Timokhin A.M., Dyukarev E.A. Supersonic Regimes in the Solid Phase Combustion Models with Regard to the Thermomechanical Processes // Proc. of Second Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, V.K.Bulgakov, A.I.Karpov (Eds.) Khabarovsk State University, September, 13-17, 1995. - P. 210-221.
20. Дюкарев Е.А., Князева А.Г. Термомеханическая модель распространения фронта никотемпературной реакции хлорирования хлористого бутила с учетом разрушения // Химическая физика процессов горения и взрыва: XI симпозиум по горению и взрыву. - Черноголовка: Изд-во ОИХФ, 1996. - Т. 2. - С. 72-76.
21. Князева А.Г., Дюкарев Е.А. О режимах твердофазного разложения одиночных кристаллов инициирующих взрывчатых веществ // Физическая мезомеханика. - 2000. - Т. 3, № 3. - С. 97-106.
22. Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Модель распространения стационарного фронта превращения в вязкоупругой среде // Физика горения и взрыва. - 2000. - Т. 36, № 4. - С. 41-51.
23. Князева А.Г., Сорокова С.Н. Стационарные режимы превращения в вязкоупругой среде // ФГВ. - 2006. - Т. 42, №5. - С. 63-73.
24. Князева А.Г. Влияние реологических свойств среды на характеристики зажигания и горения // Unsteady combustion and interior ballistic. Vol. 1, proceeding of Int. Workshop. - СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2001. - C. 30-40.
25. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of detonation of lead aside (PbN3) with regard to fracture // Int J. of Fracture, 1999. - Vol. 100, No. 2. -P.197-205.
26. Князева А.Г., Дюкарев Е.А. Модель автоволнового распространения твердофазной реакции низкотемпературного хлорирования хлористого бутила // Физика горения и взрыва, 1998. - Т. 34, № 5. -С. 84-94.
27. Князева А.Г., Чащина А.А. О термомеханической устойчивости фронта твердофазного превращения в щели между двумя инертными пластинами // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: тр. междунар. науч. конф., 8-11 октября, 2003, Хабаровск. - С. 111-121.
28. Князева А.Г., Сорокова С.Н. Устойчивость волны горения в вязкоупругой среде к малым одномерным возмущениям // ФГВ. - 2006, Т. 42, №4. - С. 50-60.
29. Князева А.Г. Твердофазное горение в условиях плоского напряженного состояния 1. Стационарная волна горения // ПМТФ. -2010. - № 2. - Т. 51. - С. 27-38.
30. Князева А.Г. Твердофазное горение в условиях плоского напряженного состояния. Устойчивость к малым возмущениям // ПМТФ. -2010. - № 3, Т. 51. - С. 24-31.
31. Князева А.Г. Воспламенение П-образного очага разогрева в деформируемой сплошной среде // Физ. гор. и взр. - 1993. - Т. 29, № 4. - С. 3-13.
32. Махвиладзе Г.М., Новожилов Б.В. Двумерная устойчивость горения конденсированных систем // ПМТФ. - 1971. - № 5. - С. 51-59.
33. Knyazeva A.G. The stationary modes of the reaction front and their stability For solid media with regard to chemically induced Internal stresses and strains - in Book “Combustion of energetic materials. Selected papers of 5 Int. Symp. On Special Topics in Chemical Propulsion” Italy, Stresa, June, 18-22 2000 // Kluwer Academic Publishing, 2001 - P. 867-878.
References
1. Boldyrev V.V. Reaction ability of solid substances (on the example of decomposition reaction) / SB RAS, Institute of Solid State Chemistry and Mechanochemistry. Novosibirsk, 1997. 303 p.
2. Merzhanov A.G., Mukasyan A.S. Solid flaming. М.: TORUS PRESS, 2007. 336 p.
3. Timokhin A.M., Knyazeva A.G., Propagation modes of the solidphase reaction front in a coupled thermomechanical model of solid-phase combustion // Khim. Fiz. 1996. 15, No. 10. P. 1497-1514 (in Russian).
4. Knyazeva A.G. Solution of the thermoelasticity problem in the form of a traveling wave and its application to analysis of possible regimes of solid-phase conversions // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2003 44, No. 2. P.26-38.
5. Knyazeva A.G. Macrokinetics application to technology processes modeling // Phys. Mesomech. 2004. 7. Spec. Iss., P. 1. P.12-15.
6. Knyazeva A.G. Combustion wave propagation through deformed solids // Combust. Explos. Shock Waves. 1993. 29. No. 3. P. 299-303.
7. Merzhanov A.G., Khaikin B.I. Theory of combustion waves in homogeneous media, ISM AN, Chernogolovka, 1992 (in Russian).
8. Novozhilov B.V. Rate of exothermal reaction front propagation in a condensed medium // Dokl. AN SSSR. 1961. 141, No. 1. P. 151-153 (in Russian).
9. Chaschina A.A., Knyazeva A.G. Regimes of solid-phase reaction propagation in a slit between two inert plates // Fiz. Mezomekh. 2004. 7. Spec. Iss. P. 1. P. 82-85.
10. Shkadinskii K.G., Khaikin B.I. Effect of heat loss on exothermal reaction front propagation in the k -phase // Combustion and detonation. Nauka: Moscow, 1972. P. 104-109 (in Russian).
11. Knyazeva A.G., Pobol I.L., Gordienko A.I. Coating formation in SHS-regime during thermal treatment of material by moving energy source // Proc. of 7th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, 25-30 July 2004. Tomsk, 2004. P. 178-183.
12. Kovalenko A.D. Thermoelasticity. Basic Theory and Applications, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1969.
13. Melan E., Parkus H. Wärmespannungen Infolge Stationärer Temperaturfelder. Wien: Springer, 1953. 167 c.
14. Boley B.A., Weiner J.H. Theory of thermal stresses, Dover Publications. Mineola, NY, 1997.
15. Nowacki W., Dynamic problems of thermoelasticity. Noordhoof International, Leyden, 1976. 256 c.
16. Bland D.R. Nonlinear dynamic elasticity. Blaisdell, Waltham, Mass. - 184 c.
17. Knyazeva A.G. Velocity of the simplest solid-phase chemical reaction front and internal mechanical stresses // Combust. Explos. Shock Waves. 1999. 30. No. 1. P. 43-53.
18. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Stationary wave of a chemical reaction in a deformable medium with finite relaxation time of the heat flux // Combust. Explos. Shock Waves. 1995. 31. No. 3. P. 304-312.
19. Knyazeva A.G., Timokhin A.M., Dyukarev E.A. Supersonic regimes in the solid phase combustion models with regard to the thermomechanical processes // in Proc. of Second Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, V.K.Bulgakov, A.I.Karpov (Eds.) Khabarovsk State University, September, 13-17, 1995. P.210-221.
20. Dyukarev E.A., Knyazeva A.G. Thermomechanical model of front propagation for low temperature reaction of butyl chloride chlorination. Chemical physics of the combustion and explosion processes, XI Symp. on Comb. And Expl. Chernogolovka: BICPH, 1996. Vol. 2. P.72-76 (in Russian).
21. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. On the modes of solid phase decomposition of single crystals of priming explosives // Phys. Mesomech. 2000. 3. No. 3. P. 97-106.
22. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of stationary conversion front propagation in a viscoelastic medium // Combust. Explos. Shock Waves. 2000. 36. No. 4. P.41-51.
23. Knyazeva A.G., Sorokova S.N. Steady regimes of conversion in a viscoelastic medium // Combust. Explos. Shock Waves. 2006. 42. No. 5. P.549-558.
24. Knyazeva A.G. Influence of rheology properties of medium on the ignition and combustion characteristics // Unsteady combustion and interior ballistics SPb.: Baltic State Technical University, 2001. Vol. 1. P.30-40.
25. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of detonation of lead aside (PbN3) with regard to fracture // Int J. of Fracture. 1999. Vol. 100. No 2. P.197-205.
26. Knyazeva A.G., Dyukarev E.A. Model of autowave propagation of solid-state low-temperature chlorination of butyl chloride // Combust. Explos. Shock Waves. 1998. 34. No. 5. P. 556-565.
27. Knyazeva A.G., Chaschina A.A. Thermomechanical stability of the solid-phase conversion front in a slit between two inert plates // Proc. of Int. Conf. “Fundamental and Applied Problems of Mechanics”, 8-11 October 2003. Khabarovsk, 2003. P. 111-121 (in Russian).
28. Knyazeva A.G., Sorokova S.N. Stability of the combustion wave in a viscoelastic medium to small one-dimensional perturbations // Combust. Explos. Shock Waves. 2006. 42, No. 4. P. 411-420.
29. Knyazeva A.G. Solid phase combustion at the conditions of plane stressed state. 1. Stationary wave // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 2010. No. 2, Vol. 51. P. 27-38.
30. Knyazeva A.G. Phase combustion at the conditions of plane stressed state. 2. Stabality to small perturbations // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 2010. No. 3, P. 51. C. 24-31.
31. Knyazeva A.G. Hot-spot thermal explosion in deformed solids // Combust. Explos. Shock Waves, 1993. 29, No. 4. P. 419-428.
32. Makhviladze G.M., Novozhilov B.V. Two-dimensional stability of the combustion of condensed systems // J. Appl. Mech. Theor. Phys. 1971. 12, No. 5. P. 676-682.
33. Knyazeva A.G. The stationary modes of the reaction front and their stability For solid media with regard to chemically induced Internal stresses and strains Combustion of energetic materials. Selected papers of
5 Int. Symp. On Special Topics in Chemical Propulsion Italy, Stresa, June, 18-22 2000. Kluwer Academic Publishing, 2001. P. 867-878.
Об авторах
Князева Анна Георгиевна (Томск, Россия) - профессор кафедры физики высоких технологий в машиностроении Национального исследовательского Томского политехнического университета, заведующая лабораторией моделирования физико-химических процессов в современных технологиях Института физики высоких технологий в машиностроении Томского политехнического университета; главный научный сотрудник Института физики прочности и материаловедения СО РАН.
About the authors
Knyazeva Anna Georgievna (Tomsk, Russia) - professor of department of PHTM TPU, head of laboratory MPCPMT of Institute of PHT TPU; principal research of ISPMS SB RAS.
Получено 28.10.2011
