CC BY
27
УДК 536.46
Моделирование синтеза интерметаллида на подложке цилиндрической формы
С.Н. Сорокова, А.Г. Князева
Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Предложена и исследована двумерная модель синтеза покрытия на подложке в условиях регулируемого нагрева, учитывающая кинетические и тепловые явления. В качестве модельной системы покрытия выбрана смесь порошков Т и №, в качестве подложки — сталь. Система химических реакций записана в соответствии с диаграммой состояния Т-№. В модели учитывается, что химические реакции тормозятся слоем продукта. Задача решена численно. Определены распределения температуры и концентраций элементов и соединений в различные моменты времени для различных условий синтеза. Показано, что при любой организации процесса синтезированный материал оказывается химически неоднородным.
Ключевые слова: твердофазный синтез, математическое моделирование
Simulation of intermetallide synthesis on a cylindrical substrate
S.N. Sorokova and A.G. Knyazeva
Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
A two-dimensional model of temperature-controllable coating synthesis that takes into account kinetic and thermal phenomena was proposed and examined. The coating model system is taken to be a Ti-Ni powder mixture and a steel substrate for which a system of chemical reactions is written to fit the Ti-Ni state diagram. The model assumes that the chemical reactions are suppressed by the coating material. The problem was solved numerically and the temperature and element density distributions in the system are determined for different synthesis conditions at different points in time. It is shown that the synthesized material is chemically heterogeneous no matter what the synthesis condition.
Keywords: solid-phase synthesis, mathematical simulation
1. Введение
В процессе синтеза покрытия на подложке редко происходит формирование соединения между покрытием и подложкой или переходной зоны между материалами [1]. Для формирования переходной зоны требуется дополнительная термическая обработка. Более того, в таких условиях далеко не всегда удается организовать устойчивый самоподдерживающийся процесс. Подложка, отнимающая тепло из зоны нагрева, может оказывать существенное влияние на режимы инициирования реакции, на режимы послойного распространения реакции в конденсированной фазе аналогично тому, как влияют на режимы превращения в подобных системах инертные включения [2], инертный стержень [3] или
соединяемые материалы [4]. Вследствие потерь тепла излучением и конечной величины коэффициента теплопроводности кинетические закономерности могут различаться в разных частях образца, что в итоге приведет к неоднородному фазовому составу конечного продукта.
Цель настоящей работы заключается в исследовании возможных режимов синтеза на подложке цилиндрической формы в зависимости от технологических параметров.
2. Математическая постановка задачи
Рассмотрим образец цилиндрической формы, который состоит из стальной основы (подложки), предварительно нагретой до температуры Т]¥, на которую нане-
© Сорокова С.Н., Князева А.Г., 2009
сена прессовка порошков Т1-№ меньшего или того же радиуса, также цилиндрической формы. Возможны различные технологические варианты организации процесса синтеза, например: 1) до заданной температуры нагревается только подложка, 2) до заданной температуры нагревается только прессовка (покрытие) или ее часть.
Будем считать, что при любом способе нагрева центр пятна нагрева совпадает с центром покрытия (рис. 1).
Поле температуры в системе и распределение концентраций фаз можно найти из совместного решения уравнений теплопроводности и химической кинетики. Двумерное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат можно записать в виде [5]:
__ЭТ 1 э(тэт $ Э#тЭТ' ^
с р— =-----1 гк— 1+----1 к— 1+ Ж,
дt г дгI дг I дz I дz
(1)
где Ж— суммарный источник тепла с химической реакцией; теплоемкость и плотность образца с прессовкой
___кРс. Аь < z < Аь+hc,
с Р = 0
|сьРь, 0 < z <
коэффициент теплопроводности образца с прессовкой
к = |кc, К < z < АЬ + hc, iкb, 0 < z < hb, индекс с соответствует прессовке, Ь — основе; T — температура. Граничными условиями к (1) будут (рис. 1):
дТ
дz
2 = 0: -к^ = -еьао(Т4 -ТЖ\
4- =ТЦ-к ь
ЗТ_
д-
= к
-=Кь
дТ_
д-
0 < г < Rc,
-=Аь
Л ГТ1
-кь— = _еьсто (Т4 - Т4) + q(t, г), Rc < г < Rb, д-
- = АЬ + Ас
дТ
-кс= -£с^о(Т4 -ТЖ) + q(t,г), д-
г = 0: = 0 (условие симметрии),
дг
дТ
дг
дТ
г = *с: кс -ч = ес^0(Т Т1У), АЬ < - < АЬ + Кс,
q(t, г) =
Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи
г = *Ь: кЬ~^ = еЬа0(Т Тж), 0 < - < Кь,
дг
где ст0 — постоянная Стефана-Больцмана; ес, еь — степень черноты для покрытия и основы. Функция источника q(t, г) записывается следующим образом [1]:
\qоf (г), Т < Т5,
00, Т > Т5,
где Т5 — средняя температура прессовки, при которой нагрев прекращается; q0 — максимальная плотность мощности источника (плотность потока), известная из эксперимента [1].
В соответствии с диаграммой состояния системы Т1-№ [6] в области атомных концентраций, интересных с практической точки зрения, можем записать систему трех основных химических реакций в покрытии: Т + N1 ^ Т№, 2Т1 + N1 ^ Ti2Ni,
Т + 3№ ^ Т№3. (2)
Введем обозначения для мольных концентраций реагентов и продуктов реакции, участвующих в превращениях:
у = [Ti], у2 = 1^1], Уз = [Т1№],
У4 = [TІ2Ni], у5 = ГП№з].
Тогда система кинетических уравнений может быть представлена в виде:
д1 = -у1 у2Ф1 - у1 у2Ф2 - у1 у2Фз, дt
'Ч
ду2 = -у1 у2Ф1 - у1 у2Ф2 - у1 у2Фз, (3)
дt
ду3 ду4 2 ду5 з
= У1 У2Фl, “д"4 = У У2Ф2, У2Фз.
Функции Фг- записываем следующим образом:
Фг = к ехР(-Е&1RT)ехр(-ту)у~п‘, i = 1, 2, 3, где кг, Еаг — предэкспоненты и энергии активации реакций; у = у4 + у5 — концентрация образовавшегося суммарного продукта реакций; тг, пг — параметры торможения [7]. Суммарный источник тепла вследствие химических реакций в уравнении (1) принимает вид:
тгг V К dyl
Ж = Рс Нт ’
I=1 dt
или с учетом системы кинетических уравнений (3):
Ж = 01 у1 у2Ф1 + Q2 у1 у2Ф2 + Q3 у2 у1Фз, где 01,02,0з — теплоты химических реакций:
01 = Ь=. (-К1 - К2 + Аз),
02 = С ( 2А1 А2 + А4),
тс
Таблица 1
Формально-кинетические параметры реакций
Т + N1 ^ Т№ 2Т1 + N1 ^ Т12№ Т + 3№ ^ Т№3
к, с-1 2.8 • 1018 1.1 • 1018 2.53 • 1018
Еаг, Дж/моль 2.11 • 105 2.3 • 105 2.7 • 105
01, Дж/см3 3.765 • 103 3.178 • 103 3.732 • 103
Таблица 2
Теплофизические свойства материалов
Р, г/см3 с, Дж/(г • К) к, Дж/(см-с-К) d, см h, см
Сталь 3 7.9 0.502 0.163 2.5 0.5
Т + N1 2.3 0.623 0.08 1-2.5 0.5
0з =—(-К - зк2 + К5).
тс
В начальный момент времени имеем условия: t = 0: Т(0, г,-) = Т0 при Аь < - < Аь + Ас,
Т (0, г, -) = ТЖ при 0 < - < Аь, у1 = Уl0, у2 = у20> уз = у4 = у5 = °.
Требуется исследовать динамику процесса синтеза для различных условий нагрева.
3. Алгоритм численного исследования
Термодинамические и физические параметры известны из эксперимента или вычислялись специальным образом [1, 8, 9]. Все данные, использованные в расчетах, представлены в табл. 1, 2.
Значение плотности мощности источника рассчитывали по формуле [1]:
Ш ^ —.
где I = 5 мА — сила тока; и = 60 кВ — напряжение; 51 — площадь пятна воздействия. Если пятно нагрева однородно, то
5 = П2, (4)
R — радиус пятна. Если пятно нагрева представляет собой кольцо, то
5 = п(К2 ^22), Rl > R2, (5)
Щ, R2 — внешний и внутренний радиусы кольца нагрева соответственно.
В первом приближении предполагалось, что параметры торможения всех реакций одинаковы, то есть п = = п1 = п2 = пз и т = т1 = т2 = тз. Их значения выбирались из условия, что реакции должны начинаться, когда
образец прогреется до температуры Т ~ 600 К: п = 0, т = 5 (что соответствует сильному кинетическому торможению реакций слоем продукта [7]). В дальнейшем для согласования с экспериментальными данными параметры торможения могут варьироваться.
Из экспериментов в начальный момент времени известны относительные массовые концентрации элементов хТ1 и х№. Для расчета мольных концентраций соединений, имеющихся в начальный момент времени, используем формулы, соответствующие равновесному составу на диаграмме состояния:
у10 = — для Т1, у20 = Р^ для N1,
тТ1 т№
где т№, тТ1 — молярные массы N1 и Т1.
Численное решение задачи на каждом шаге по времени проводится в два этапа. Первый этап заключается в решении задачи теплопроводности методом расщепления по координатам с использованием линейной прогонки. Второй этап — в решении кинетической задачи неявным методом Эйлера. Экспоненту ехр(-Е^^КТ) раскладываем в ряд Тейлора в окрестности температуры нижнего слоя, ограничиваясь слагаемыми первого порядка малости по АТ = Т^+1 - Т^ [10]. В отличие от алгоритмов, в которых разложение экспоненты не используется, данный алгоритм позволяет проводить расчеты при больших шагах по времени и пространству без потери точности и без возникновения неустойчивостей в кинетической задаче. Достоверность результатов подтверждена сравнением с известными аналитическими решениями для частных предельных случаев.
Динамику процесса синтеза на подложке, кроме распределения температуры и концентраций в различные моменты времени, могут характеризовать интегральные кривые:
Рис. 2. Иллюстрация к организации первого (а), второго (б), третьего (в) режимов синтеза
О 9
Г 0.7
0,5
0.0
0
0.2 0.4
Г, см
ш
Рис. 3. Пространственное распределение фазы у^Т1) в прессовке в различные моменты времени t = 0.3 (а), 0.4 (б), 0.5 (в), 0.6 (г), 0.9 (д), 1.6 с (е). Первый режим синтеза
Значения в конце процесса дают средний фазовый состав синтезированного материала.
4. Результаты численного исследования
1. Рассмотрим вариант технологического процесса, когда диаметр прессовки меньше диаметра основы и внешний источник нагревает только поверхность прессовки, т.е. в (4) Я = Яс (рис. 2, а). Начальная температура основы ТЖ = 1 073 К. Нагрев прекращается если Т5 = 1073 К. В качестве примера на рис. 3, 4 показано пространственное распределение концентрации фаз Т1 и Т1№ в прессовке в различные моменты времени. Концентрация N1 изменяется аналогично концентрации Т1, что на рисунках не показано, фазы Т12№ и Т1№3 образуются в очень малых количествах, а пространственное распределение этих фаз качественно соответствует распределению фазы (рис. 4).
Вследствие того что на начальной стадии процесса большую температуру имеет подложка, в открытой части она остывает только за счет излучения, а в области, закрытой прессовкой, — за счет теплопроводности, то реакции в прессовке начинаются со стороны подложки практически однородно, за исключением малой краевой области (рис. 3, а, 4, а). В дальнейшем однородность процесса нарушается (рис. 3, б-д, 4, б-д), что связано с потерями тепла излучением. Уже к моменту t = 0.4 с реакции инициируются и со стороны источника, а к моменту t = 1.6 с остается неизрасходованной малая доля реагентов в области прессовки, граничащей с незакрытой частью подложки (рис. 3, е, 4, е). Фаза Т1№ также оказывается распределенной неравномерно как по ходу процесса обработки (рис. 4, б-д), так и в конце процесса (рис. 4, е). (Аналогично меняется и содержание фаз Т12№ и Т1№3.) Степень неоднородности покрытия в этом случае невелика.
Неоднородность температурного поля по ходу процесса иллюстрирует рис. 5. К моменту t = 1.6 с синтез можно считать завершенным, так как состав далее не
0
б
0
0
0
Рис. 4. Пространственное распределение фазы у^Т1№) в прессовке в различные моменты времени t = 0.3 (а), 0.4 (б), 0.5 (в), 0.6 (г), 0.9 (д), 1.6 с (е). Первый режим синтеза
изменяется. Это дополнительно иллюстрирует рис. 6, где представлены среднеинтегральные концентрации реагентов и продуктов. На этих кривых можно выделить три стадии процесса синтеза:
I. Медленное увеличение концентрации продуктов и уменьшение концентрации реагентов (или период индукции);
II. Ускорение реакции, быстрое накопление продуктов, сопровождающееся слиянием реакционных зон;
III. Замедление и прекращение реакций в результате потерь тепла и исчерпания реагента.
Резкие изломы на кривых Уг ^) в представленном масштабе оказываются лишь точками перегиба, положение которых не зависит от параметров разностной сет-
ки. Замечено, что изменение температуры предварительного нагрева подложки приводит как к изменению скорости процесса, так и к изменению состава конечного продукта. В любом случае при выбранном соотношении исходных веществ покрытие в результате синтеза состоит в основном из фазы Т1№.
2. Иной режим синтеза наблюдается, если поверхность прессовки нагревается источником постоянной интенсивности с характерным радиусом, меньшим радиуса прессовки (рис. 2, б). Соответствующие распределения концентраций фаз Т1 и Т1№ в прессовке, а также распределение температуры в прессовке с покрытием показаны на рис. 7-9. Концентрация N1 меняется подобно концентрации Т1, а концентрации фаз Т12№ и
0.8
1 0.4
0.0
1000
Г
% V
600
800
— 1000
ш
0.0
0 4 0.
г, см
8 1.2
0
1 0.4
0.0
0.0
\ Ч^4оГ-
0.4 0.8
г, см
1.2
Рис. 5. Пространственное распределение температуры по толщине прессовки и основы в различные моменты времени t = 0.3 (а), 0.4 (б), 0.5 (в), 0.6 (г), 0.9 (д), 1.6 с (е). Первый режим синтеза
0
б
0
0
0
0
0
0
0 9
N 0 7
0.5
Г, см
б
Г, см
0
0
0
0
г, см
г, см
0.8
0.4
0.0
-! 600 1 о О и —,пп зро
* 400 600
И
0.0
0 4 0.8
г. см
1.2
0.0
О 4 0.8
Г, См
1.2
И
00
0-4 0,8
г. см
1.2
0 0 0.0
Рис. 9. Пространственное распределение температуры в прессовке и основе в различные моменты времени t = 0.1 (а), 0.2 (б), 0.6 (в), 0.8 (г), 1.2 (д), 1.4 (е), 1.6 (ж), 2.0 (з), 3.0 с (и). Второй режим синтеза
у^ту^-кг3
{г} у5(Т1М13)Ю-5
Рис. 10. Распределение интегральных значений концентраций фаз и элементов во времени для различных значений начальной температуры основы Тш = 1073 (7), 1273 (2), 1473 К (3). I с Второй режим синтеза
Т№3 незначительны, поэтому пространственные распределения для них не показаны.
В условиях крайне неоднородного поля температуры (рис. 9) синтез покрытия идет неравномерно. Несмотря на предварительный прогрев подложки реакции начинаются в области воздействия электронного луча (рис. 7, а-в, 8, а-в) и только к моменту t = 0.08 с в покрытии со стороны подложки (рис. 7, г, 8, г). Далее реакция распространяется от внешней поверхности вглубь и от подложки (рис. 7, д, е, 8, д, е); затем зоны реакции сливаются, но вследствие потерь тепла излучением с боковой поверхности реакции тормозятся и синтез прекращается, что иллюстрируют рис. 7, з, и, 8, з, и для моментов времени t = 2 и 3 с, а также среднеинтегральные концентрации элементов и фаз (рис. 10).
Расчеты показывают, что при таком режиме синтеза все фазы распределены в покрытии неравномерно, имеется большая область непрореагировавшей прессовки, так что такая организация процесса неприемлема для практического использования.
На среднеинтегральных кривых У1 (г), как и в предыдущем случае, выделяются разные стадии процесса синтеза:
I. Увеличение концентрации продукта (уменьшение концентраций реагента) в области внешнего нагрева;
II. Замедление реакции вследствие частичного исчерпания реагентов в области внешнего нагрева;
III. Ускорение реакций вследствие их подключения со стороны подложки;
IV. Замедление реакций, сопровождающееся слиянием реакционных зон;
V. Замедление и прекращение реакций в результате потерь тепла и исчерпания реагентов.
Потери тепла приводят к тому, что синтез не завершается полностью. Влияние начальной температуры подложки более заметно, чем в предыдущем случае. Видно, что чем выше температура подложки ТТ¥, тем более завершенным будет процесс синтеза (рис. 10, кривые 1-3), что, вообще говоря, предсказуемо заранее.
3. Третий вариант синтеза покрытия осуществляется при условиях, когда диаметр прессовки равен диаметру основы, а поверхность прессовки нагревается постоянным источником, меньшего размера (рис. 2, в). В этом случае, как и в предыдущих случаях, несмотря на предварительный прогрев подложки синтез сначала наблюдается в области внешнего нагрева (рис. 11, а, б,
12, а, б). Покрытие в основном прогрето равномерно вдоль радиуса (рис. 13, а, б), за исключением области внешнего воздействия. Только при создании широкой зоны прогрева вблизи подложки реакция там ускоряется (рис. 11, в, 12, в), что приводит к изменению положения основной области тепловыделения в реакции, которая далее распространяется на оставшуюся часть реагента (рис. 11, ж-и, 12, ж-и). После ускорения реакции подложка становится стоком тепла, что опять же приводит к неоднородности температурного поля и, следовательно, к неоднородности поля концентраций. К концу процесса в центре прессовки остается малая доля неизрасходованного №, а в области близкой к подложке у внешнего края покрытия — малая доля Ть Несмотря на то что распространение реакции после слияния реакционных зон идет от центра покрытия к его краям, в
' л 1 1 1 ' 0 055 0.9 Е и ■ N'0.7 0.010 ■ ■ ^ 1 . 0.055—-^ б 0.9 2 ■ о м-0.7- 0.01 —"X я о
0,5 0.5
I 0.7-
0,5
0.0 0.4 0.8
Г, см
0.0 0.4 0.8 1.2
Г, См
г 0.7
0.5
■ 0,9 - 0.9- | '
е>« 1ШШШШ - 5 О N’0.7 0.5 • < • 5 о N 0.7 0.5 я? и
0.0
0.4 0,1
Г, ОМ
1.2
0.0
0.4 0.
Г, см
8 1.2
0,0
0.4 0.
г, см
а 1,2
Рис. 11. Пространственное распределение фазы >1 (Т1) в прессовке в различные моменты времени t = 0.5 (а), 0.7 (б), 0.8 (в), 0.9 (г), 1.2 (д), 2.0 (е), 3.0 (ж), 4.0 (з), 8.0 с (и). Третий режим синтеза
конце процесса более полным оказывается превращение в области г > 0.8 см (рис. 11, з, и, 12, з, и) для t = 4 и 8 с.
Доля фаз Т2№ и Т£№3 по-прежнему невелика. В целом, невелика и неоднородность состава покрытия в результате синтеза. Так, к моменту t = 8 с минимальное и максимальное значения концентрации >3(Т1№) в покрытии равны 0.0503 и 0.056 моль/см3 соответственно. Таким образом, этот вариант организации процесса также может быть приемлемым.
На среднеинтегральных кривых (рис. 14) можно выделить три стадии процесса синтеза, аналогично первому случаю обработки. Увеличение начальной температуры подложки приводит к более полному процессу синтеза (рис. 14, кривые 1-3). В отличие от первого режима, индукционная стадия оказывается много меньше, что связано с более быстрым формированием зон прогрева (рис. 13, а-в), достаточных для ускорения реакции. Более длительной оказывается заключительная стадия, на которой синтез завершается без внешнего
и N 0.7
0.5
0.0
04 0.8
Г, См
1 2
0.4 0.8
Г, см
Рис. 12. Пространственное распределение фазы _у3(Т1№) в прессовке в различные моменты времени t = 0.5 (а), 0.7 (б), 0.8 (в), 0.9 (г), 1.2 (д), 2.0 (е), 3.0 (ж), 4.0 (з), 8.0 с (и). Третий режим синтеза
нагрева за счет созданного запаса тепла и тепловыделением в реакциях.
5. Выводы
В работе предложена и исследована математическая модель твердофазного синтеза покрытия на подложке в процессе электронно-лучевой обработки. Показано, что состав образца после синтеза зависит от технологических характеристик внешнего источника и начальной температуры основы. Показано, что при любом способе нагрева, который используется в эксперименте, покры-
тие имеет неоднородный состав. Но существует возможность такой организации процесса, когда неоднородность фазового состава в результате синтеза будет незначительна. Очевидно, что результат зависит и от начального состава прессовки, и от геометрических параметров. Так, подложка, с одной стороны, отнимает тепло из зоны реакции, а с другой, является дополнительным источником тепла, тем большим, чем больше ее размер (толщина). Предложенная модель может быть легко модифицирована и для других систем.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-08-90004-Бел_а).
\а\
И
Е
И
У,(Ті)
0.04
0.02
У4(ТІ2МІ)-10-:
З І, с 0
у2(мі) Щ
0.04 1 .
Г4- 2
^ 3
С 1 2 3 1, с
Щ Уз(ТІМІ)
V 5(ТІ Мі3) ■ 10—:
Рис. 14. Распределение интегральных значений концентраций во времени для различных значений начальной температуры основы Тш =
= 1073 (7), 1273 (2), 1473 К (3). Третий режим
З с синтеза
Литература
1. Поболъ И.Л. Научные и технологические основы обработки конструкционных и инструментальных материалов и получения изделий с использованием электронно-лучевого воздействия // Дис. ... докт. техн. наук. - Минск: ФТИ НАН, 2007. - 267 с.
2. Прокофъев В.Г., Смоляков В.К. Влияние структурных факторов на нестационарные режимы горения безгазовых систем // Физика горения и взрыва. - 2003. - Т. 39. - № 2. - С. 56-66.
3. Ивлева Т.П., Мержанов А.Г. Математическое моделирование трех-
мерных спиновых режимов безгазового горения // Физика горения и взрыва. - 2002. - Т. 38. - № 1. - С. 47-54.
4. Чащина А.А., Князева А.Г. Численное исследование задачи о тепловом воспламенении в толстостенном сосуде // Физика горения и взрыва. - 2004. - Т. 40. - № 4. - С. 15-21.
5. Князева А.Г., Поболъ И.Л., Гордиенко А.И., Демидов В.Н., Крюкова О.Н., ОлещукИ.Г. Моделирование теплофизических и физикохимических процессов, сопровождающих формирование покрытий в электронно-лучевых технологиях модификации поверх-
ностей металлических материалов // Физ. мезомех. - 2007. -Т. 10.- № 3. - С. 105-119.
6. Хансен М. Структура двойных сплавов: Справочник / Под ред. И.И. Новикова, И.Л. Рогельберга. - М.: Металлургиздат, 1962. -609 с.
7. Мержанов А.Г. Теория безгазового горения. - Черноголовка, 1973. - 25 с. / Препринт ИХФ АН СССР.
8. Сорокова С.Н., Князева А.Г. Формирование покрытия системы Т-№ на железной подложке в процессе электронно-лучевой обработки // Докл. Десятой межд. конф. «Физико-химические процессы в неорганических материалах (ФХП-10)». - Кемерово: Кузбасс-вузиздат, 2007. - Т. 2. - С. 67-71.
9. Свойства элементов: Справочник / Под ред. М.Е. Дрица. - М.: Металлургия, 1985. - 671 с.
10. Сорокова С.Н., Князева А.Г. Моделирование формирования фазовой структуры покрытия в процессе электронно-лучевой обработки с использованием синтеза в твердой фазе // Теоретические основы химической технологии. - 2008. - Т. 42. - № 4. - С. 457 -465.
Поступила в редакцию 10.02.2009 г.
Сведения об авторах
Сорокова Светлана Николаевна, инж. ИФПМ СО РАН, ассистент ТПУ, s_sorokova@tpu.ru Князева Анна Георгиевна, д.ф.-м.н., гнс ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, anna@ms.tsc.ru
